Stokastiske variable

Stokastiske variable
Givet: Et udfaldsrum S, en mængde af hændelser H i S og et
sandsynlighedsmål
P :H→ 0, 1
En stokastisk variabel er en reel funktion på udfaldsrummet S:
X : S → R
som opfylder at for alle x ∈ R
X−1−, x ∈ H
Lad e ∈ S være udfaldet af forsøget. Så kaldes x Xe den
realiserede værdi af X.
Støtten (eller værdimængden) for X defineres som

VX XS Xe : e ∈ S

X kaldes positiv hvis VX ⊆ R. Tilsvarende kaldes X
ikke-negativ, heltallig, begrænset osv., hvis VX har disse
egenskaber.
De to vigtigste typer af stokastiske variable:
X kaldes diskret, hvis VX er en endelig eller tællelig mængde.
X kaldes kontinuert, hvis VX består af et interval (evt. flere).
Eksempel Kast med to terninger
Lad X "samlet antal øjne ved de to kast"
Eksempel på en positiv diskret stokastisk variabel:
VX 2, … ,12
Xe : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antal udfald: 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Udfaldene e 1, 3, e 2, 2 og e 3,1 giver alle Xe 4.

Fordelingen for X
Lad B ⊆ R være et interval, eller en anden hændelse i R, sådan at
urbilledet af B
X−1B e ∈ S : Xe ∈ B
tilhører H.
Forsimplet notation:
Vi skriver normalt PX ∈ B istedetforPX−1B. Eksempel Kast med to terninger
Xe : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antal udfald: 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
PX ∈ 1, 3
1 2
36
3 36 1 12

Fordelingen for X er sandsynlighedsmålet på R defineret ved
afbildningen
B PX ∈ B
fra mængden af hændelser i R ind i 0, 1.
Ofte ’glemmer’ vi S og siger:
Lad X være en stokastisk variabel med fordeling
B PX ∈ B
Hvordan håndterer vi fordelingen?

Fordelingsfunktionen F : R → 0,1 defineres ved
Fx PX ≤ x for x ∈ R
Egenskaber for F:
1. F er svagt voksende, dvs. x y Fx ≤ Fy.
2. F er kontinuert fra højre, dvs. lim↓0 Fx Fx.
3. Der gælder
lim Fx 0 og limFx
1.
x→− x→
Sandsynligheden for et interval:
Pa X ≤ b PX ≤ b − PX ≤ a Fb − Fa
Ofte tabelleres F og bruges til udregning af sandsynligheder for X.

Diskrete fordelinger
Sandsynlighedsfunktion
For X er diskret er VX endelig eller tællelig:
VX x1, x2, …
Funktionen f : VX → 0, 1 bestemt ved
fx PX x for x ∈ VX
kaldes sandsynlighedsfunktionen for X.
Eksempel Kast med to terninger
Tabel over fx

x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fx : 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fx : 1
36
2
36
3
36
4
36
Kan udregne sandsynligheder for alle hændelser for X, f.eks.
PX ≥ 9 4
36
PX 5 4
36
PX 5 1
36
3
36
1
9
2
36
2
36
3
36
5
36
1
36
Tabel over fordelingsfunktion
6
36
6
36
6
36
10
36
1
6
5
36
5
36
5
18
4
36
4
36
3
36
3
36
2
36
2
36
1
36
1
36

x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fx : 1
36
3
36
6
36
10
36
15
36
21
36
26
36
30
36
33
36
35
36
36
36

Eksempel på brug af F:
PX ≥ 9 1 − PX 9 1 − PX ≤ 8
1 − F8 1 − 26 10
36 36

Fordelingsfunktionen for diskret X
Lad os antage at VX er ordnet: x1 x2
Når X er diskret har F følgende egenskaber:
1. Fx er 0 når x x1.
2. Fx er konstant mellem to xi-er i VX.
3. Fx er 1 til højre for det største xi i VX (om et sådant
findes).
Sandsynlighedsfunktionen f er givet ud fra F ved
fxi Fxi − Fxi−1 for xi ∈ VX
Fordelingsfunktionen F er givet ud fra f ved
Fxi fx1 fxi

Kontinuerte fordelinger
Tæthedsfunktion
En funktion f : R → 0, kaldes en tæthedsfunktion hvis
f er integrabel og fxdx 1.
−
En stokastisk variabel X kaldes for absolut kontinuert hvis der
findes en tæthedsfunktion f så
PX ∈ A A
I daglig tale siger vi at X er kontinuert.
Vi kalder ofte f for blot tætheden for X.
Støtten VX er det område hvor fx 0.
fxdx for alle hændelser A ⊆ R.

f bestemmer sandsynligheden for intervaller:
Pa X b a
Bemærk, at for ethvert x ∈ R gælder:
Derforgælderder
b
PX x x
fxdx , for alle a ≤ b.
ftdt 0.
Pa X b Pa ≤ X ≤ b
Pa X ≤ b Pa ≤ X b

Eksempel: Eksponentialfordelingen X E med 0
Defineret ud fra tæthedsfuntion
fx e−x , x 0
(0 ellers).
Støtte R, dvs. X er positiv.
Bruges som ventetidsfordeling, f.eks. tiden mellem to ulykker af
en bestemt slags.
Eksempler på eksponentialfordelinger:

Density
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0 1 2 3 4 5
x

Fordelingsfunktion for kontinuert X
Fordelingsfunktionen F for X findes ved
Fx PX ≤ x ftdt for x ∈ R.
−
Tæthedsfunktionen er givet ud fra F:
fx F ′ x
(evt. på nær tælleligt mange punkter).
Eksponentialfordelingen (fortsat)
Fx 1 − e−x , x 0
(0 ellers). Differentiabel på nær i 0.
Det diskrete tilfælde kendes ved at F er stykkevis konstant.
x

Middelværdi, varians og
spredning
Middelværdi
Husk gennemsnit af x1, …,xn:
n
x 1 n ∑ i1
Middelværdi: vægtet gennemsnit af de mulige værdier
xi

X EX
∑ xifxi hvis X er diskret
i1
−
Eksempel Kast med to terninger
Tabel over fx
xfxdx hvis X er kontinuert
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fx : 1
36
xfx : 2
36
2
36
6
36
3
36
12
36
4
36
20
36
5
36
30
36
6
36
42
36
Middelværdi
EX 2 12
36 36
Middelværdi af eksponentialfordeling
5
36
40
36
4
36
36
36
7
3
36
30
36
2
36
22
36
1
36
12
36

EX 0
xe −x dx −1

Middelværdi af en funktion af X
EgX
∑ gxifxi hvis X er diskret
i1
−
Eksempel Kast med to terninger
gx fxdx hvis X er kontinuert
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fx : 1
36
x2fx : 4
36
Middelværdi
2
36
18
36
EX 2 4 36
3
36
48
36
4
36
100
36
5
36
180
36
144
36
6
36
294
36
1974
36
5
36
320
36
4
36
324
36
54.8333
3
36
300
36
2
36
242
36
1
36
144
36

Varians
Teoretisk varians
X 2 VarX EX − X 2
∑ xi − X i1
2 fxi for X diskret
x − X
−
2 fxdx for X kontinuert
DergælderVarX≥ 0ogVarX 0 hvis og kun hvis X
konstant.
Genvejsformel:
VarX EX2 2 2 2 − X EX − E X
Eksempel Kast med to terninger
VarX 54. 8333 − 72 5.8333

Spredning (standardafvigelse)
Teoretisk spredning:
X VarX
Eksempel Kast med to terninger
2 VarX X 5. 8333
Spredning
X 5. 8333 2.4152

Eksempel: Lad Fx x2 for 0 x 1være
fordelingsfunktionen for X.
Så er tætheden
fx F ′ x2x for 0 x 1.
Middelværdi
Varians
Spredning
1
EX
0
EX2 1
0
x 2xdx 2/3
x 2 2xdx 1/2
VarY 1/2 − 2/3 2 1/18

X 1/18 0. 2357

Lineær transformation
Lineær transformation
Der gælder
Ea bX a bEX
Specielt er
Ea a
For variansen gælder
Vara bX b2VarX Specielt er Vara 0.
abX |b|X

Middelværdi af en sum:
EX Y EX EY
Genvejsformel: VarX EX2 − E2X Bevis:
VarX E X − X 2
EX 2 X 2 − 2XX
EX 2 X 2 − 2XEX
EX 2 X 2 − 2X 2
EX 2 − X 2 .