Ugeseddel/bagside 4 som pdf-fil

Matematik XX – E2003
Ugeseddel 4
Ved forelæsningerne i sidste uge, 15. og 17. september, blev Cayleys sætning om antallet
af træer med knudesæt {1, 2, . . . , n} gennemgået, og vi fik begyndt på Halls »bryllupssætning«,
især indholdet af Halls betingelse(r). I denne uge fortsættes gennemgangen af
Kapitel 3, med beviset for bryllupssætningen, der tages fra bagsiden af denne ugeseddel
(jeg har skrevet det af fra en bog), og med andre »indpakninger« af bryllupssætningen.
Bryllupssætningen er nok ved første møde ret tung; det konkrete eksempel øverst på
side 26 er godt til at forstå hvilke krav Halls betingelse(r) pålægger pigernes bekendtskabskredse,
og hvad en kritisk delmængde af pigerne er. De to sidste sider i Kapitel 3, dvs. fra
side 31 5 til side 33 8 , tages op, når sætningen på side 31–32 skal bruges i Kapitel 5.
For at strække gennemgangen af Kapitel 3 begyndes også på Kapitel 4. Det meste
er eksempler på »kombinatoriske tricks«, men emnerne er ikke underlødige: tilsvarende
argumenter dukker op i utallige situationer. Nogle af eksemplerne indeholder også generelle
udsagn, fx om grafer, og især de tilhørende diskussioner er gode at indprente sig. Næste
uge fortsættes med anden halvdel af Kapitel 4, og begyndelsen af Kapitel 5 om »latinske
kvadrater« (latin squares); midt i Kapitel 5 bliver teorien ret vidtløftig, og det er planen at
forbigå de sidste ti sider, altså fra side 59 midt og kapitlet ud, og fortsætte med Kapitel 6.
Den første obligatoriske prøve i Mat XX afholdes den sidste time ved onsdagsforelæsningerne
i ugen før efterårsferien, altså onsdag 8. oktober, kl. 15 00 (præcis).
Prøven drejer sig om teoretiske og praktiske emner fra de første fire kapitler i lærebogen.
Nærmere oplysninger følger på næste ugeseddel. Studerende, der IKKE kan
deltage i prøven på det anførte tidspunkt, bedes give mig besked snarest muligt.
Øvelserne i næste uge, tirsdag 30. september, tager udgangspunkt i følgende program:
(a) Forbered en diskussion af de vigtigste resultater i første halvdel af Kapitel 4.
(b) Forbered opgaverne 1–4, 8 og 9 i Kapitel 4 (brug vinkene, om nødvendigt).
(c) Lav en repetitionsliste over de ca. 10 vigtigste grafteoretiske begreber fra Kapitel 2;
skriv definitioner af begreberne med dine egne ord, og gør dem så præcise du kan!
(d) Aflever skriftlige besvarelser af opgave 7 i Kapitel 4 (»odd« betyder »ulige«, og
»perfect square« betyder »kvadrattal«) samt af nedenstående opgave U 4.1. NB. højst én
A4-side pr. opgavebesvarelse.
Opgave U 4.1 Lav en »synopsis« for beviset på bagsiden af denne ugeseddel. (Vink. Retningslinier
for en sådan synopsis er vanskelige at give, men formålet med en bevissynopsis
er at kunne støtte ens egen – måske svage – hukommelse. En god synopsis er tilpas detaljeret
til, at man på det aktuelle indlæringsstade kan supplere til et fuldt bevis uden brug af
lærebogen. – Det kan måske endda være en god idé til eksamensforberedelse. – Prøv at
formulere en synopsis i få, højst fem, hovedpunkter, med en enkelt sætning til forklaring af
hvert. Hvis yderligere forklaring måtte være nødvendig bør nok vælges en anden, måske
mere findelt, opdeling i hovedpunkter; velvalgte stikord kan måske også være nyttige.)
22. september 2003, Gunnar Forst
Bevis for bryllupssætningen – fortsættelse af bagside 3
Definition 3. Et bryllup for en bryllupssituation (P, (Dp)p∈P ) er en delmængde af ∪ p∈P Dp på ialt
|P | drenge og en bijektiv (altså »monogam«) tilordning af disse til pigerne fra P , der opfylder, at
hver pige tilordnes en dreng fra sin bekendtskabskreds. (Faktisk er det et »bunke-bryllup«.)
Bryllupssætningen. En bryllupssituation (P, (D p)p∈P ) tillader et bryllup, hvis og kun hvis den
opfylder Halls betingelse (HB, se Definition 2 på bagside 3)

MatXX – E2003 – Bagside 4
Bevis for bryllupssætningen (fortsat)
Beviset for »kun hvis«-delen, altså, at en bryllupssituation, der tillader et bryllup opfylder Halls
betingelse, vises som i bogen (Kapitel 3). Beviset for »hvis«-delen er induktion efter antallet |P |
af piger i en given bryllupssituation (P, (Dp)p∈P ), der antages at opfylde HB; i induktionsskridtet
udføres, i princippet, en »konstruktion« af et bryllup.
En vigtig pointe er, at det ved »den successive tildeling« af drenge til piger undgås at tildele
drenge på en måde, der udelukker andre nødvendige tildelinger, som fx, at en dreng, der »ene mand«
udgør bekendtskabskredsen for én pige, tildeles en anden pige. Dette styres med følgende begreb:
Definition 4. En delmængde S af pigerne, altså S ⊆ P , kaldes kritisk, hvis den samlede bekendtskabskreds
for pigerne i S, altså mængden ∪ p∈SDp, består af præcis |S| drenge (i så fald kan et
bryllup ikke gennemføres, hvis piger udenfor S tildeles drenge fra ∪p∈SDp).
En mængde R af piger er således ikke kritisk, hvis den samlede bekendtskabskreds for pigerne
fra R omfatter |R| + 1 eller flere drenge. Ved kontrollen af HB kan det fx »registreres« for hver
mængde af piger om den er kritisk eller ej. For bogens eksempel, side 26, ses, at pige-delmængden
S = {1, 2, 6} er kritisk, da disse pigers samlede drenge-bekendtskabskreds er {1 ′ , 2 ′ , 3 ′ }.
Induktionsstarten: En bryllupssituation (P, (Dp)p∈P ), der opfylder HB, og |P | = 1, tillader
følgende bryllup: den ene pige p ∈ P tildeles en dreng fra Dp, der pga. HB har mindst 1 element.
Betragt nu en bryllupssituation (P, (Dp)p∈P ), der opfylder HB, og |P | > 1, og antag – dette er
induktionsantagelsen – at alle bryllupssituationer, der opfylder HB, med højst |P | − 1 piger, tillader
et bryllup. Et bryllup for (P, (Dp)p∈P ) konstrueres ved at skelne mellem to typer af situationer:
1. der findes ingen ikke-tom, ægte, kritisk delmængde af P , og
2. der findes en ikke-tom, ægte, kritisk delmængde af P .
Bevis for type 1: Her lader vi først en vilkårligt valgt pige p0 ∈ P vælge én af drengene
d0 ∈ Dp0
(ligeledes vilkårligt; Dp0 = ∅ pga. HB); dette valg suppleres derefter til et »fuldt« bryllup.
En reduceret bryllupssituation (P ′ , (D ′ p )p∈P ′) defineres ved at sætte P ′ := P \ {p0} (pigerne er alle
fra P pånær p 0), og D ′ p := Dp \ {d0}, for p ∈ P ′ (hver pige i P ′ har samme bekendtskabskreds som
i den givne bryllupssituation, dog pånær, at ingen nu »kender« d 0). Denne hjælpe-bryllupssituation
opfylder HB, og omfatter færre piger end den givne. Det sidste er klart, og at den opfylder HB indses
på følgende måde. Lad R være en vilkårlig samling af piger fra P ′ (altså uden p0); da den givne
bryllupssituation er af type 1, er R ikke kritisk (opfattet som delmængde af P ′ ), og altså gælder
| ∪p∈R Dp| > |R|, men ∪p∈RD ′ p = (∪p∈RDp) \ {d0} og derfor | ∪p∈R D ′ p | ≥ | ∪p∈R Dp| − 1 ≥ |R|.
Altså er HB opfyldt for (P ′ , (D ′ p )p∈P ′) som ifølge induktionsantagelsen derfor tillader et bryllup,
der suppleret med parret (p0, d0) fastlægger er bryllup for (P, (D p)p∈P ).
Bevis for type 2: Lad S være en ægte, ikke-tom, kritisk delmængde af P ; om den samlede
bekendtskabskreds for pigerne i S, altså C := ∪p∈SDp, gælder |C| = |S|. Men (S, (D p)p∈S) er en
bryllupssituation – den til pigerne i S reducerede bryllupssituation – der klart opfylder HB, og har
færre piger end P (S er en ægte delmængde), og den tillader derfor, ifølge induktionsantagelsen, et
bryllup. Også pigerne udenfor S bestemmer en bryllupssituation, nemlig (P \ S, (D ′ p )p∈P \S), hvor
D ′ p = Dp \ C, for p ∈ P \ S (fra hver bekendtskabskreds er fjernet drengene fra C), med færre
piger end |P |. Denne bryllupssituation opfylder HB. Betragt nemlig en delmængde R af P \ S; det
skal vises, at | ∪p∈R D ′ p | ≥ |R|; men den givne bryllupssituation opfylder HB, og derfor gælder for
mængden R ∪ S af piger, at | ∪ p∈R∪S Dp| ≥ |R ∪ S|. Bidraget til ∪p∈R∪SDp, fra p ∈ S, er præcis
drengene C, altså ialt |S|, og da der er |R ∪ S| = |R| + |S| eller flere elementer i | ∪p∈R∪S Dp| er der
|R| eller flere elementer i | ∪p∈R D ′ p |; udtrykt med mængde-symboler – der dog næppe gør sagen
klarere – gælder for de involverede mængder, at:
∪p∈RD ′ p = ∪p∈R(Dp \ C) = (∪p∈RDp) \ C = (∪p∈R∪SDp) \ C.
Dermed opfylder (P \ S, (D ′ p )p∈P \S) HB, og ifølge induktionsantagelsen tillader den et »partielt«
bryllup, der sammen med brylluppet på den kritiske del fastlægger et bryllup for den givne situation.