Koblede differentialligninger af 1. orden.

11: Koblede differentialligninger af 1. orden
Dersom man til et givet tidspunkt t har N radioaktive kerner, der henfalder med halveringstiden T,
da vil antal henfald pr. tid, også kaldet aktiviteten, være givet ved
A = kN hvor k = (11.1)
ln2
T
kaldes henfaldskonstanten. I et kort tidsrum t d t + dt vil der altså henfalde
dN = k N dt = N T ln2
(11.2)
kerner.
Vi betragter nu 1 et kælderrum ind i hvilket, der stedse pibler Rn-222 kerner fra vægge og undergrund.
Disse Rn-kerner starter flg. henfaldskæde
222
86Rn
d 218
84Po
+24 He ; TRn = 3,82 døgn,
218
84Po
d 214
82Pb
+24 He ; TPo = 3,05 min,
214
82Pb
d 214
83Bi
+ 0
−1 e + ✚ ; TPb = 26,8 min,
214
83Bi
d 214
84Po
+ 0
−1 e + ✚ ; TBi = 19,7 min. (11.3)
Med oplagte betegnelser vil Radon-kernernes aktivitet være givet ved ARn = k Rn NRn,
og de andre
kerners aktivitet vil være givet tilsvarende. Kælderrummet antages lukket, og vi antager, at det antal,
der siver ind pr. tid, har en konstant værdi A0 . I et kort tidsrum t d t + dt må kernernes antal så få
flg tilvækster,
dNRn = (A0 − ln2 NRn
dNPo = ln2( NRn
T Rn
dNPb = ln2( NPo
T Po
T Rn )dt
,
NPo
− TPo )dt
,
NPb
− T )dt
Pb
dNBi = ln2( NPb
T Pb − NBi
,
T Bi )dt
. (11.4)
Efter nogen tid vil antallet af Rn-kerner være nået ligevægtsværdien
NRn = ln2 , (11.5)
A0 TRn og de andre kerners antal indstiller sig i overensstemmelse hermed til de værdier
NPo = TPo
TRn NRn
Koblede differential ligninger af 1. orden FPRO 11 - 1
N Pb = T Pb
T Po N Po = T Pb
T Rn N Rn
N Bi = T Bi
T Pb N Pb = T Bi
TRn NRn
= 0,55 $ 10 , −3 NRn
= 4,87 $ 10 , −3 NRn
= 3,58 $ 10 , (11.6)
−3 NRn
der findes ved at sætte dN = 0 i (11.4). Bemærk at den relation, der opnås herved, også udsiger, at
når ligevægten er nået, så har alle 4 slags kerner den samme aktivitet, nemlig
. (11.7)
A 0 = A Rn = A Po = A Pb = A Bi
Til trods for at Rn-kernerne er langt de fleste, så udviser de altså ikke flere radioaktive henfald pr. tid
end de andre.
1 Opgaven er taget fra C. Christensen, C. Clausen og B. Felsager: Fysikkens Spor ( Gyldendal 1990, s. 187)
- 31 -

Vi stiller os nu flg. rent matematiske opgave: Antag at vi pludselig, til tiden t = 0, fjerner alle Radonkernernes
døtre, dvs. sætter NPo = NPb= NBi= 0, idet NRn selv holdes på ligevægtsværdien NRn.
Hvorledes vil NPo, NPb og NBiså
udvikle sig som funktioner af tiden ? For at løse denne opgave,
må skal vi bestemme den løsning til de sammenhørende differentialligninger
dNRn
dt = A 0 − ln2 NRn
TRn
dN Po
dt
dN Pb
= ln2( NRn
dt = ln2( NPo
dN Bi
dt
T − ,
Rn NPo T )
Po
= 0,
,
TPo − NPb TPb )
= ln2( NPb
T Pb − N Bi
T Bi )
. (11.8)
der opfylder begyndelsesbetingelsen = = = 0 for t = 0. Figur 11.1 nedenfor viser
NPo NPb NBi
hvorledes løsningen kan opnås ved Eulers metode, og figur 11.2 viser hvorledes den kan opnås ved
Runge-Kuttas metode af 4. orden.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Navn
t0
tslut
Dt
n
dt
TRn
TPo
TPb
TBi
NRn
N0Po
N0Pb
N0Bi
NslutPo
NslutPb
NslutBi
Udtryk
tmax
Dt/n
3.82*24*60
1e5
NRn*TPo/TRn
NRn*TPb/TRn
NRn*TBi/TRn
NPo:= NPo+ln(2)*(NRn/TRn-NPo/TPo)*dt
Koblede differential ligninger af 1. orden FPRO 11 - 2
Værdi
0
250
5
100
0.05
5501
3.05
26.8
19.7
100000
0
0
0
55
487
358
Tekst
min
min
min
min
min
min.
min
min
Antal Rn-222
Start-antal:
Po-218
Pb-214
Bi-214
Slutantal:
Po-218
Pb-214
Bi-214
Værdier
Klar
t:=t0
NPo:= N0Po
NPb:= N0Pb
NBi:= N0Bi
UpdateRate:=n
Løkke
NPb:= NPb+ln(2)*(NPo/TPo -NPb/TPb)*dt
NBi:= NBi+ln(2)*(NPb/TPb - NBi/TBi)*dt
t := t+dt
If t > tslut then stop
Figur 11.1: Program MAT11a.FPR. Grafen viser viser hvorledes antallet af Radons døtre vokser
op fra nul. Længst nede, markeret med små cirkler, har vi grafen for henfaldskædens første led,
nemlig Po-218. Øverst, markeret med små trekanter, har vi næste led, Pb-214, og ind imellem, markeret
med små kvadrater, har vi sidste led, Bi-214. De vandrette linjer angiver de slutværdier som
- 32 -
500 N
400
300
200
100
0
0 100
tiden t , minutter
200

Koblede differential ligninger af 1. orden FPRO 11 - 3
graferne arbejder sig op mod. Disse linjer er tegnet yderst simpelt ved hjælp af den i fig. 8.3
beskrevne metode.
- 33 -

Klar
Model Radon
NPo':= ln(2)*(NRn/TRn-NPo/TPo)
NPb':= ln(2)*(NPo/TPo-NPb/TPb)
NBi':= ln(2)*(NPb/TPb-NBi/TBi)
Endmodel
IntegrateMethod:=RK4
UpdateRate:=n
t:=t0
NPo:= N0Po
NPb:= N0Pb
NBi:= N0Bi
Løkke
Integrate Radon(t,dt)
t:=t+dt
If t > tslut then stop
Koblede differential ligninger af 1. orden FPRO 11 - 4
500 N
400
300
200
100
0
0 100
tiden t , minutter
200
Figur 11.2: Program MAT11b.FPR. Grafen viser det samme som grafen i fig. 11.1, blot er begyndelsesantallene
ændret til 100, 200 og 300 for henholdsvis Po-218, Pb-214 og Bi-214. Integrationsmetoden
er ændret til Runge-Kuttas 4. ordensmetode.
- 34 -