Koblede differentialligninger af 1. orden.
Koblede differentialligninger af 1. orden.
Koblede differentialligninger af 1. orden.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Vi stiller os nu flg. rent matematiske opgave: Antag at vi pludselig, til tiden t = 0, fjerner alle Radonkernernes<br />
døtre, dvs. sætter NPo = NPb= NBi= 0, idet NRn selv holdes på ligevægtsværdien NRn.<br />
Hvorledes vil NPo, NPb og NBiså<br />
udvikle sig som funktioner <strong>af</strong> tiden ? For at løse denne opgave,<br />
må skal vi bestemme den løsning til de sammenhørende <strong>differentialligninger</strong><br />
dNRn<br />
dt = A 0 − ln2 NRn<br />
TRn<br />
dN Po<br />
dt<br />
dN Pb<br />
= ln2( NRn<br />
dt = ln2( NPo<br />
dN Bi<br />
dt<br />
T − ,<br />
Rn NPo T )<br />
Po<br />
= 0,<br />
,<br />
TPo − NPb TPb )<br />
= ln2( NPb<br />
T Pb − N Bi<br />
T Bi )<br />
. (1<strong>1.</strong>8)<br />
der opfylder begyndelsesbetingelsen = = = 0 for t = 0. Figur 1<strong>1.</strong>1 nedenfor viser<br />
NPo NPb NBi<br />
hvorledes løsningen kan opnås ved Eulers metode, og figur 1<strong>1.</strong>2 viser hvorledes den kan opnås ved<br />
Runge-Kuttas metode <strong>af</strong> 4. <strong>orden</strong>.<br />
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
12<br />
13<br />
14<br />
15<br />
16<br />
17<br />
18<br />
19<br />
20<br />
21<br />
22<br />
23<br />
24<br />
25<br />
26<br />
Navn<br />
t0<br />
tslut<br />
Dt<br />
n<br />
dt<br />
TRn<br />
TPo<br />
TPb<br />
TBi<br />
NRn<br />
N0Po<br />
N0Pb<br />
N0Bi<br />
NslutPo<br />
NslutPb<br />
NslutBi<br />
Udtryk<br />
tmax<br />
Dt/n<br />
3.82*24*60<br />
1e5<br />
NRn*TPo/TRn<br />
NRn*TPb/TRn<br />
NRn*TBi/TRn<br />
NPo:= NPo+ln(2)*(NRn/TRn-NPo/TPo)*dt<br />
<strong>Koblede</strong> differential ligninger <strong>af</strong> <strong>1.</strong> <strong>orden</strong> FPRO 11 - 2<br />
Værdi<br />
0<br />
250<br />
5<br />
100<br />
0.05<br />
5501<br />
3.05<br />
26.8<br />
19.7<br />
100000<br />
0<br />
0<br />
0<br />
55<br />
487<br />
358<br />
Tekst<br />
min<br />
min<br />
min<br />
min<br />
min<br />
min.<br />
min<br />
min<br />
Antal Rn-222<br />
Start-antal:<br />
Po-218<br />
Pb-214<br />
Bi-214<br />
Slutantal:<br />
Po-218<br />
Pb-214<br />
Bi-214<br />
Værdier<br />
Klar<br />
t:=t0<br />
NPo:= N0Po<br />
NPb:= N0Pb<br />
NBi:= N0Bi<br />
UpdateRate:=n<br />
Løkke<br />
NPb:= NPb+ln(2)*(NPo/TPo -NPb/TPb)*dt<br />
NBi:= NBi+ln(2)*(NPb/TPb - NBi/TBi)*dt<br />
t := t+dt<br />
If t > tslut then stop<br />
Figur 1<strong>1.</strong>1: Program MAT11a.FPR. Gr<strong>af</strong>en viser viser hvorledes antallet <strong>af</strong> Radons døtre vokser<br />
op fra nul. Længst nede, markeret med små cirkler, har vi gr<strong>af</strong>en for henfaldskædens første led,<br />
nemlig Po-218. Øverst, markeret med små trekanter, har vi næste led, Pb-214, og ind imellem, markeret<br />
med små kvadrater, har vi sidste led, Bi-214. De vandrette linjer angiver de slutværdier som<br />
- 32 -<br />
500 N<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0 100<br />
tiden t , minutter<br />
200
Change language