Tirsdag - Matematik - Rasmus Sylvester Bryder

eller (cos(t −1 ), sin(t −1 )) = (cos(s −1 ), sin(s −1 )) ved at gange begge vektorer med s −1 . Derfor vil
cos(s −1 ) = cos(t −1 ) og sin(s −1 ) = sin(t −1 ), hvormed s −1 = t −1 + 2πn for et n ∈ Z eller |s −1 − t −1 | =
2πm for et m ∈ N0. For dette m vil nu gælde 2πm = |s −1 − t −1 | < 2π (s˚adan valgte vi s), s˚a m = 0.
Derfor vil |s −1 − t −1 | = 0, hvormed s −1 = t −1 og s = t – men dette strider igen imod hvordan vi
valgte s. Alts˚a vil x /∈ A, og vi slutter at intet punkt i A er indre.
Jf. ovenst˚aende er randen ∂A lig hele A = A ∪ {(0, 0)}.
Torsdag
Reeksamen 2010, opgave 1
Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent.
(a)
∞ (−1)
n=1
n n 2 +3n+7
2n +1
For alle n ∈ N vil
(−1) n n 2 + 3n + 7
2 n + 1
≤ |(−1)nn2 + 3n + 7|
2n ≤ |(−1)n n 2 | + |3n| + |7|
2 n
= n2 + 3n + 7
2n .
For et vist N ∈ N vil 3n + 7 ≤ n 2 for alle n ≥ N (da n 2 − (3n + 7) → ∞ for n → ∞). Specielt vil
gælde for n ≥ N, at
Eftersom
(−1) n n 2 + 3n + 7
2 n + 1
2(n+1) 2
2 n+1
2n 2
2 n
= 2(n + 1)2 2 n
2 n+1 2n 2
≤ n2 + 3n + 7
2n ≤ 2n2
.
2n (n + 1)2
=
n2 1 1
→
2 2
for n → ∞, konvergerer rækken ∞
n=N 2n2
2 n , hvormed ogs˚a rækken
∞
n=N
(−1) n n 2 + 3n + 7
2 n + 1
konvergerer jf. Sammenligningstesten. Eftersom ændring af startindeks ikke ændrer p˚a konvergens af
rækken, slutter vi at den oprindelige række konvergerer absolut.
(b)
∞ n+(−1)
n=1
n 7
2n2 +1
Vi har for n ∈ N, at n + (−1) n 7 ≥ n − 7. Lad os derfor betragte den positive række
∞
n=7
n + (−1) n 7
2n 2 + 1
og vise, at den divergerer (bemærk, at startindekset er ændret); s˚aledes vil den oprindelige række
ogs˚a divergere. Bemærk, at vi har for n ≥ 7 at
n + (−1) n 7
2n 2 + 1
n − 7
≥
2n2 n − 7
≥
+ 1 2n2 + n
n − 7
= .
2 3n2 Rækken ∞
n=7 n−7
3n 2 divergerer; hvis den konvergerede, ville rækken ∞
n=7 1
3n
1
3n
= n
3n
n − 7 7
= + 2 3n2 n2 og rækken ∞ n=7 7
ingen forskel). Alts˚a f˚as ved Sammenligningstesten, at ∞ n=7
ogs˚a konvergere, idet
n2 konvergerer, men det gælder ikke jf. TL 12.2.4 (den p˚agangede konstant gør
divergerer.
5
n+(−1) n 7
2n 2 +1