Tirsdag - Matematik - Rasmus Sylvester Bryder

hvormed
f = − 1
8 e5 + 1
4 e3 − 1
8 e1 − 1
8 e−1 + 1
4 e−3 − 1
8 e−5
ved notationen en(x) = einx for n ∈ Z. Vi har da, at
⎧
⎨ −
cn(f) = 〈f, en〉 =
⎩
1
8 for n ∈ {−5, −1, 1, 5}
1
4 for n ∈ {−3, 3}
0 ellers.
Vi bestemmer nu cosinuskoefficienterne an(f) ud fra ovenst˚aende og ser umiddelbart, at
a0(f) = 2c0(f) = 0, a2(f) = c2(f) + c−2(f) = 0, a4(f) = c4(f) + c−4(f) = 0,
samt an(f) = cn(f) + c−n(f) = 0 for n ≥ 6. Alts˚a skal vi kun bestemme a1(f), a3(f) og a5(f). Vi
har da at a1(f) = c1(f) + c−1(f) = − 1
4 , a3(f) = c3(f) + c−3(f) = 1
2 og a5(f) = c5(f) + c−5(f) = − 1
4 ,
hvormed cosinusrækken for f er givet ved
(c)
Bestem π
−π f(x)2 dx.
− cos(x)
4
+ cos(3x)
2
− cos(5x)
.
4
Da f er kontinuert, 2π-periodisk og C 1 , følger af JPS Sætning 4.3, at Fourier-rækken konvergerer
uniformt med sumfunktion f. Derp˚a følger af Parsevals identitet fra JPS Sætning 2.9, at
π
1
f(x)
2π −π
2 dx =
∞
n=−∞
= |c0(f)| 2 +
|cn(f)| 2
∞
(|cn(f)| 2 + |c−n(f)| 2 )
n=1
= |c1(f)| 2 + |c−1(f)| 2 + |c3(f)| 2 + |c−3(f)| 2 + |c5(f)| 2 + |c−5(f)| 2
= 4
hvormed π
−π f(x)2 dx = 3π
8 .
− 1
2 8
+ 2
2 1
4
= 1 1 3
+ =
16 8 16 ,
8