Den hurtige Fouriertransformation

Korrekthed af den inverse DFT
Foldning
DFT og den inverse DFT er faktisk inverse operationer
[a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n-1 ] [b 0 ,b 1 ,b 2 ,...,b n-1 ]
Bevis: Lad A=F -1 F. Vi ønsker at vise, at A = I, hvor
Hvis i = j, har vi
n
! " 1
" ki kj
A [ i,
j]
= # #
n k=
0
n"
1
n"
1
1 " ki ki 1 0 1
A[
i,
i]
= !#
# = !#
=
n
n
k=
0
Hvis i og j er forskellige, har vi
n"1
A[i, j] = 1 #! ( j"i)k = 0 (ved brug af annuleringsegenskaben)
n
k= 0
1
k=
0
n
n
= 1
DFT og den inverse DFT kan
bruges til at multiplicere to
polynomier
Derfor kan vi bestemme
koefficienterne for produktpolynomiet
hurtigt, hvis vi
kan bestemme DFT og dens
inverse hurtigt
Pad with n 0's
Pad with n 0's
[a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n-1 ,0,0,...,0] [b 0 ,b 1 ,b 2 ,...,b n-1 ,0,0,...,0]
DFT
DFT
[y 0 ,y 1 ,y 2 ,...,y 2n-1 ] [z 0 ,z 1 ,z 2 ,...,z 2n-1 ]
Component
Multiply
[y 0 z 0 ,y 1 z 1 ,...,y 2n-1 z 2n-1 ]
inverse DFT
[c 0 ,c 1 ,c 2 ,...,c 2n-1 ]
(Convolution)
13
14
Den hurtige Fourier-transformation
FFT-algoritmen
Den hurtige Fourier-transformation (FFT) er en effektiv algoritme til
beregning af DFT
FFT er baseret på paradigmet del-og hersk:
Hvis n er lige, opdeles polynomiet
i polynomierne
Vi har da, at
15
Køretiden er O(n log n)
16