Elektrodynamik Lab 1 Rapport

Elektrodynamik Lab 1 Rapport
Indhold
Fysik 6, EL
Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk)
Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk)
John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk)
1. Transienter og RC-kredsløb
1.1 Formål
1.2 Teori
1.3 Forsøgsopstilling, del 1
1.4 Forsøgsopstilling, del 2
1.5 Måledata, del 1
1.6 Måledata, del 2
1.7 Konklusion
2. RCL-kredsløb og Resonans
2.1 Formål
2.2 Seriekreds
2.3 Parallelkreds
2.4 Konklusion
Bemærk!
Vi har ikke angivet usikkerheder overfor Gnuplot, hvilket betyder, at de angivne værdier for
ß
2
fra Gnuplot skal tages med et gran salt.
red
1. Transienter og RC-kredsløb
1.1 Formål
1.2 Teori
Formålet med øvelsen er at undersøge egenskaber ved elektroniske høj- og lavpasfiltre.
1.2.1 Højpasfilter
Opstillingen for et højpasfilter er vist i figur 4a i opgaven. Teorien siger, at sådan en opstilling vil
lade høje frekvenser passere mere eller mindre uændret, hvorimod lave frekven vil blive dæmpet.
Frekvensen går på pulsperioden for spændingskilden, og udgangsspændingen måles over
modstanden, R . Vi forventer en glidende overgang, sådan at ved gradvis højere frekvenser vil vi
se gradvis højere værdier af udgangsspændingen.
Spændingen over modstanden, R , er ifølge teorien givet ved
1.2.2 Lavpasfilter
Opstillingen for et lavpasfilter er vist i figur 4b i opgaven. I lighed med højpasfiltret vil dette filter
lade nogle frekvenser passere, hvorimod andre vil blive dæmpet. For lavpasfiltret er det de lave
frekvenser, der mere eller mindre passerer uændret, hvorimod høje frekvenser bliver dæmpet. Vi
forventer også her en glidende overgang.
Spændingen over kapacitoren, C , er ifølge teorien givet ved
1.2.3 Tidskonstanten
U (t) R
°
U C (t) = U 1
h
= U exp À
h
À exp À
t
i
RC
t
iÑ
RC
Produktet, RC , kaldes tidskonstanten (eller den karakteristiske tid)
Ü
= RC

Hvis t µ Ü, har systemet opnået ligevægt, og dermed går udviklingen af spændingen i stå.
1.3 Forsøgsopstilling, del 1
Opstillingen består af et simpelt elektronisk kredsløb bestående af en spændingskilde, der leverer
vekselspænding ved variable frekvens, samt en modstand og en kondensator. Vi undersøgte den
transiente opførsel af RC-kredsløbet.
Vi har flg. teoretiske værdier for komponenterne:
Hvilket giver flg. teoretiske værdi for den kritiske tid:
Vha. Picoscope kan vi vise spændingskurver for input og output.
1.4 Forsøgsopstilling, del 2
1.4.1 Højpasfilter
Komponenterne blev forbundet i serie som vist i figur 4a i opgaven. Outputspændningen måles
over modstanden, R .
1.4.2 Lavpasfilter
Komponenterne blev forbundet i serie som vist i figur 4b i opgaven. Outputspændningen måles
over kapacitoren, C .
Med disse opstillinger lavede vi en måleserie, med forskellige frekvenser for inputsignalet.
1.5 Måledata, del 1
1.5.1 Transient, Modstand
C
= 47 nF
R = 10 kÊ
Ü
= 470 Ös
Flg. plot fra Picoscope viser den transiente opførsel af spændingen, som funktion af tiden, når vi
målte over modstanden. Den blå kurve er indgangsspændingen, V in, den røde er spændingen,
V , over modstanden:
R
Det ses, at når indgangsspændingen vender, så hoppe den målte spænding over modstanden til
en endnu større værdi, end hvad indgangen leverer. Det er fordi kapacitorens placering i dette
kredsløb giver et ekstra 'skub' til spændingen, når den vender. Derefter går spændingsforskellen
over modstanden mod nul, så der efter 'lang' tid ikke løber nogen strøm over modstanden.

1.5.2 Transient, Kapacitor
Flg. plot fra Picoscope viser den transiente opførsel af spændingen, som funktion af tiden, når vi
målte over kapacitoren. Den blå kurve er indgangsspændingen, V in, den røde er spændingen, V C,
over kapacitoren:
Det ses her, at spændingsforskellen over kapacitoren ikke øjeblikkeligt skifter til
indgangsspændingen. Det skyldes modstanden placering, og fordi modstande virker som en
forsinkelse. Efter 'lang' tid er der samme spændingsforskel over kapacitoren som ved indgangen.
Der løber dog (efter 'lang' tid) ingen strøm over kapacitoren, selvom der er en spændingsforskel.
De 2 sider af en kapacitor er nemlig ikke fysisk forbundet, så der kan løbe ladning.
Da vi kom til at sætte Pisoscope til AC i den ene måling og DC i den anden, kan vi ikke
umiddelbart vise begge grafer
p
i samme plot. Så vi aflæste den kritiske tid som det sted, hvor
spændingen havde nået 1= 2 af max. Denne spænding findes ved at se på flg. sammenhæng
for den komplekse strøm:
j I j
j I 0 j = 1
r
° Ñ
1 + Q 2 ! ! 2
! 0
À
0
!
Hvis man på ovenstående graf kigger på første firkantimpuls
p
startende ved tiden 0 ms , så er det
altså tiden fra dette punkt til den røde kurve har nået 1= 2 af sin max. værdi, vi aflæser. Vi fik
flg. værdi ved at benytte hjælpestreger i Pisoscope:
Det er ret tæt på den teoretiske værdi, 470 Ös .
1.6 Måledata, del 2
De 2 foregående målinger var det indledende benarbejder, som har rustet os til de forsøg, der er
det egentlige formål med denne øvelse - nemlig at undersøge høj- og lavpasfiltre.
1.6.1 Højpasfilter
Ü
= 454 Ös
Flg. plot fra Picoscope viser den periodiske variation af spændingen for 70 Hz vekselspænding.
Den blå kurve er indgangsspændingen, V , den røde er spændingen, V , over modstanden:
in
R

Flg. plot fra Picoscope viser den periodiske variation af spændingen for 3360 Hz vekselspænding.
Den blå kurve er indgangsspændingen, V , den røde er spændingen, V , over modstanden:
in
R
Graferne for vores målinger viser tydeligt, hvorfor denne opstilling kaldes et højpasfilter: Ved lave
frekvenser er output-spændingen meget lav, men ved høje frekvenser svarer outputspændingen,
V , til input-spændingen.
R
Vi har fittet funktionen:
g =
!RC
q
1 + (!RC)
2
til vores data. Flg. plot viser resultatet fra gnuplot:

Vi har plottet overføringsfunktionen, g(f ), dvs. V =V , som funktion af Á R Á C.
Gnuplot angiver ß
2
til:
red
5:111 Â 10
À5
Det ses tydeligt, at g(f ) er tæt på 1 ved høje frekvenser og tæt på 0 ved lave frekvenser. Grafen
følger fint den teoretiske kurver, der er vist i figur 3a i opgaven.
Vi har desuden kigget på Ò=Ù som funktion af ! Á R Á C:
Vi har fittet flg. funktion til vores data:
Ò
out in !
= arctan 1
!RC
Flg. plot viser faseforskydningen som funktion af frekvensen (i form af vinkelhastigheden, !,
gange den karakteristiske tid, Ü = RC
). Vi har benyttet gnuplot.:
Gnuplot angiver ß
2
til:
Grafen følger fint den teoretiske kurver, der er vist i figur 3b i opgaven.
1.6.2 Lavpasfilter
red
3:181 Â 10
À5
Derefter ændrede vi opstillingen til at svare til fig 4b. Igen lavede vi en måleserie, hvor vi
varierede frekvensen af inputsignalet.
Flg. plot fra Picoscope viser den periodiske variation af spændingen for 70 Hz vekselspænding.
Den blå kurve er indgangsspændingen, V , den røde er spændingen, V , over kapacitoren:
in
C

Flg. plot fra Picoscope viser den periodiske variation af spændingen for 3360 Hz vekselspænding.
Den blå kurve er indgangsspændingen, V , den røde er spændingen, V , over kapacitoren:
in
C
Graferne for denne måleserie viste tydeligt, hvorfor denne opstilling kaldes et lavpasfilter: Ved
høje frekvenser er output-spændingen lav, men ved lave frekvenser svarer output-spændingen,
V , til input-spændingen.
C
Vi har fittet flg. funktion til vores data:
g =
til vores data. Flg. plot viser resultatet fra gnuplot:
1
q
1 + (!RC)
2

Vi har plottet overføringsfunktionen, g(f ), dvs. V =V , som funktion af Á R Á C.
Gnuplot angiver ß
2
til:
red
8:605 Â 10
À5
Her ses det, at g(f ) går mod 0 ved høje frekvenser og er tæt på 1 ved lave frekvenser. Grafen
følger fint den teoretiske kurver, der er vist i figur 5a i opgaven.
Vi har desuden kigget på Ò=Ù som funktion af ! Á R Á C:
Vi har fittet flg. funktion til vores data:
Ò
out in !
= arctan(!RC)
Flg. plot viser faseforskydningen som funktion af frekvensen (i form af vinkelhastigheden, !,
gange den karakteristiske tid, Ü = RC
). Der er brugt gnuplot.:
Gnuplot angiver ß
2
til: 0:0002096
Som det ses fra de meget små chisquares, passer vores data rigtig godt til teorien.
1.7 Konklusion
Vi synes, forsøget forløb tilfredsstillende. Vores måleresultater passer fint med teorien. Dette
forsøg har også givet os en god fornemmelse for, hvordan høj- og lavpasfiltre virker. Vi har sågar
dannet vores egen fysiske forklaring (som dog ikke er med her) på, hvordan elektronerne i
virkeligheden bevæger sig i kredsløbene, så man får de målte effekter. Det hjælper at tænke på
vandslanger, når man forestiller sig den fysiske 'virkelighed' mht. elektroniske kredsløb.
2. RCL-kredsløb og Resonans
red

2.1 Formål
Formålet med denne del af øvelsen er at undersøge resonant opførsel af et såkaldt RCLkredsløb.
Et RCL-kredsløb består af en modstand, R , en kapacitor, C , og en spole, L . Vi vil både
undersøge systemet, når alle 3 komponenter sidder i serie, og når kapacitoren og spolen sidder i
parallel (og i serie med modstanden).
2.2 Seriekreds
2.2.1 Teori
I figur 2a i opgaven er vist de teoretiske strømme som funktion af vinkelhastigheden, !, og
dermed frekvensen. De forskellige kurver er for forskellige værdier af 'Quality faktoren', Q . Denne
faktor er defineret som
! 0
L
Q Ñ ! 0 0:4
R = ! L
0 Ù 2
R + R L
angiver den frekvens, hvor strømamplituden er maksimal:
!
= 1
p
LC
Ñ ! 0
I forsøget benytter vi flg. teoretiske værdier for de forskellige komponenter:
Dette giver så flg. teoretiske værdi for resonansfrekvensen:
2.2.2 Forsøgsopstilling
I denne del forbindes de tre komponenter og jord i serie med en total spænding
Spændingen over modstanden R måles.
2.2.3 Måledata
Vi har med LCR-meteret målt værdierne for de forskellige komponenter til:
C
Ù 47 nF
L Ù 40 mH
R Ù 35 Ê
! 0 = ( 2Ù) 3:61 kHz
R = 34:7 Ê
C
= 46:9 nF
L = 41:5 mH
RL = 11:3 Ê
over dem.
Vi kan hermed beregne en værdi for resonansfrekvensen. Den er stadig teoretisk ved, at den er
beregnet. Dog benytter vi faktiske målte værdier for de enkelte komponenter, så det er en
specifik teoretisk værdi for netop dette eksperiment. Vi beregnede flg. værdi for
resonansfrekvensen:
! 0 = p 1 Ù ( 2Ù) 3:61 kHz
LC
V in
, hvilket man ser er samme værdi, som vi angav under teorien. Dette er fordi, de aktuelle målte
værdier af komponenterne ligger tæt på de teoretiske.
Indgangsspændingen V in og spændingen, V R, over modstanden blev målt omkring
resonansfrekvensen, ! 0 . Faseforskydnigen, , mellem V in og V R blev fundet ved hjælp af
PicoScope.
Flg. tabel viser vores måledata for seriekredsen:
· [kHz] V in [mV ] V R [mV ]
[Ös]
3.06 423 57.0 -71.5

3.39 401 106 -54.5
3.51 360 132 -42.3
3.56 310 143 -31.0
3.58 291 146 -25.4
3.60 270 149 -18.8
3.65 250 151 0.0
3.70 271 149 18.8
3.73 291 146 27.2
3.76 319 141 32.0
3.80 361 132 38.5
3.87 390 116 45.1
4.01 410 91.9 49.8
4.42 423 52.5 51.7
Amplitudeforholdet plottet i forhold til frekvensen (gnuplot):
Faseforskydningen plottet i forhold til frekvensen (gnuplot):
Begger grafer er i overensstemmelse med teorien.
Flg. plot fra gnuplot viser forholdet for strømmen ved forskellige
Q -værdier:

Det kvadrerede amplitudeforhold findes ved hjælp af flg. ligning og plottes i forhold til frekvensen:
j I j 2
j I 0 j = 1
2 1 + Q 2 ! !
(
! 0
À
0
=
!
)
(Á!=2) 2
(Á!=2) 2 + (! À ! 0 )
= 1
2 1 + tan 2
I gnuplot kan vi tilnærme vores datapunkter til en Lorentzfordeling.
Vi finder ud fra fit værdien for FWHM:
Á! a Ù ( 2Ù) 437 Hz Æ 62 Hz
, en afvigelse på 14% . Vi finder Q med formlen Á! a=! 0 = 1=Q
Q a Ù 8:35
2
ß :0281606
red = 0
Vi kan også plotte tan() over for (w=w0 À w0=w)
for at finde Q v.hj.a. gnuplot:

Gnuplot giver flg. værdi for ß
2
: 0:02857
red
2.2.4 XY-mode
Når man sætter skopet i XY-mode bliver V in og V R vist på x- og y-aksen henholdsvis. Ved
resonansfrekvensen, ! 0, vises en lige linie i plottet. Man aflæser det sådan, at top-top og dal-dal
falder sammen. Når man viger væk fra ! 0 fremstår en ellipse. Tiden går "i ring" i ellipsen, i positiv
omløbsretning for negative og i negativ omløbsretning for positive . Jo mere man går væk fra
! , jo mere vandret bliver ellipsen, hvilket betyder, at og V kommer helt ud af fase.
2.3 Parallelkreds
2.3.1 Teori
I denne opstilling benytter vi samme værdier for kapacitoren, C , og spolen, L , hvilket betyder, at
vi har samme teoretiske værdi for resonansfrekvensen:
2.3.2 Forsøgsopstilling
I denne del forbindes R , Z og jord i serie, hvor Z er en erstatningsmodstand bestående af en
parallelforbindelse mellem C og L . L regnes også for at have en ohmsk modstand i serie med
den, R L. En total spænding, V in, sendes over kredsløbet. Spændingen over modstanden, Z CL,
måles.
2.3.3 Måledata
Vi har med LCR-meteret målt værdierne for de forskellige komponenter til:
Flg. tabel viser vores måledata for parallelkredsen:
3.34 595 60.0 -61.1
3.47 595 99.7 -51.7
3.53 595 140 -44.2
3.57 595 180 -34.8
Q b Ù 8:57 Æ 0:36(4:2%)
0 V in
· [kHz] V in [mV ] V CL [mV ]
[Ös]
! 0 = 3:61 kHz
R = 50:9 kÊ
C
= 46:9 nF
L = 41:5 mH
RL = 11:3 Ê
R

3.60 595 215 -22.5
3.62 595 236 -16.0
3.65 595 251 0.0
3.67 595 244 10.3
3.69 595 219 22.6
3.72 595 179 33.8
3.78 595 132 43.2
3.85 595 91.2 51.7
3.93 595 69.8 54.5
Amplitudeforholdet i forhold til frekvensen (gnuplot):
Fasefoskydningen i forhold til frekvensen (gnuplot):
Begge grafer er i overensstemmelse med teorien.
Flg. plot fra gnuplot viser V praktisk som funktion af teoretisk:
CL V CL

!
, hvor Q er taget som
0 L
R L
Ù 83:4
.
2Ù
Gnuplot giver flg. værdi for ß
2
:
red 97:06 0:64
Denne urimelig høje værdi skyldes, at vi ikke har angivet usikkerheder overfor Gnuplot. (Se
bemærkning øverst!)
Vi har fittet for at finde forholdet mellem dem. Hældningen på den fittede linie er ca.
har en afvigelse fra teorien på 36% .
. Dvs. vi
ÁV
ÁV
CL
CL
praktisk
Ù 0:64 Æ 0:03(4:2%)
teoretisk
2.3.4 Firkantspænding
Til sidst drev vi parallelkredsen med en firkantspænding. Når vi ændrede frekvensen, så vi, at
ved særlige frekvenser opstod der resonans, så output-spændingen pludselig blev synlig. Det
skete ved 1, 3, 5, 7, ... osv. gange den periodiske funktions periode. Dette passer fint med
teorien, når man regner på det. Et firkant-signal kan nemlig beskrives ved de ulige komponenter
af en Fourier-række.
Flg. plot viser resultatet af en Fourier-række, hvor 40 ulige komponenter er brugt:
Plottet er dannet med et program, vi har skrevet i sproget REBOL.
Vi observerede den transiente opførsel (dæmpet svingning), når perioden blev lang. Resultatet
ses af flg. figur:

Man kan sige, at kredsløbet 'slås an', hvilket starter en svingning, som så 'klinger ud' efterhånden
som tiden går. Lidt som man kender det fra lyd, når man slår på en klokke. Når perioden bliver
meget lang, er det at sammenligne med jævnstrøm. Det kendes som en underdæmpet
svingningskreds.
For firkantspændingen aflæste vi de fire første perioder i datafilen fra Picoscope. De var i
gennemsnit ca. 2:75 Â 10 À4 s , hvilket giver en frekvens på:
2.4 Konklusion
1
638Hz
T Ù 3
Det lykkedes at måle resonansfrekvenser. Vi så også 'overtoner' ved hele ulige multipla af
grundfrekvensen.
Vores målte data afspejler i hovedtræk teorien mht. amplitudeforhold og faseforskydning.
Desuden fandt vi 'Quality factoren' ud fra forholdet mellem det kvadrerede strømforhold. Vi fandt
den til 10 , hvor teorien sagde 20 . Ifølge vejlederen skulle vi forvente at finde en lavere værdi i
forhold til den teoretiske.
NicomDoc - 4-Jan-2008 - niclasen@fys.ku.dk