Kirchhoffs love. - dirac

Kirchhoffs love.Kirchhoffs love spiller en central rolle i fysisk systemteori, hvor modelleringbestår i at sammensætte simple byggestene. Lovene er mest kendt inden forlineære elektriske netværk. Inden vi formulerer Kirchhoffs love vil vi førstfastlægge orienteringsregler for strøm og spænding i elektriske netværk.Orienteringsregler. Et elektrisk netværk består af en række netværkselementer.Se figur 1. Disse er forbundet i samlinger kaldet knuder. En vilkårlig lukketvej rundt i netværket fra en knude tilbage til samme knude kaldes en maskeFor hvert element tegnes en strømorienteringspil og et symbol I for størrelsenFigur 1 Et eksempel på et elektrisk netværkaf strømmen. Hvis I er positiv, går den virkelige strøm i pilens retning. HvisI er negativ, går den virkelige strøm imod pilens retning. Man kan nu vælgeat opfatte elementet som en energikilde eller som en energibruger (= negativkilde). Er det en kilde, betegnes den potentialstigning, der sker i strømpilensretning, for en elektromotorisk kraft ɛ.Man kan sætte et + ved ledningen nærmest pilespidsen for at angive at,hvis ɛ er positiv, vil potentialet være størst her.Opfattes elementet istedet som en bruger, betegnes det potentialfald, dersker i strømpilens retning, for et spændingsfald, U1

Man kan sætte et + ved pileroden for at angive at, hvis U er positiv, vilpotentialet være størst her.For hver maske tegnes en maskeorienteringspil, der angiver i hvilken retning,elektromotoriske kræfter og spændingstab regnes positive i maskeloven(se nedenfor). Læg mærke til, at for tilstrækkeligt indviklede netværk som figur1, kan maskeorienteringer og strømorienteringer ikke overalt vælges i sammeretning.Kirchhoffs love. Der er to love1) Knudeloven eller strømloven. Summen af strømme ind imod et knudepunkter 0.2) Maskeloven eller spændingsloven. Summen af elektromotoriske kræfter erlig summen af spændingsfald rundt i en maske.For både 1) og 2) gælder, at dersom man løber imod den valgte strømorientering,skal strømmen hhv. spændingen istedet fratrækkes.Hvis vi i eksemplet figur 1 lader U n betegne spændingsfaldet over modstandenmed strømmen I n , så gældermaske 1: ɛ 1 = −U 4 + U 1maske 2: −ɛ 2 = −U 5 + U 1 + U 2maske 3: 0 = −U 5 + U 4maske 4: ɛ 1 + ɛ 2 = −U 2Der er flere masker, Vælg orientering for disse og stil maskeligningerne op.Af knudeligninger kan nævnesI 2 + I 6 = 0, I 1 − I 2 − I 3 = 0, I 3 + I 4 + I 5 − I 6 = 0Til illustration af brugen af Kirchhoffs love vil vi udlede de kendte regler forberegning af erstatningsmodstanden for hhv. serie- og parallelforbindelse af tomodstande.Serieforbindelse.og maskeligningenFra figur 2 finder vi knudeligningernek 1 : I − I 1 = 0k 2 : I 1 − I 2 = 0m : ɛ = U 1 + U 2Knudeligningerne fører til I = I 1 = I 2 og maskeligningen kombineret medOhms lov giverɛ = R 1 I 1 + R 2 I 2 = R 1 I + R 2 I = (R 1 + R 2 )I2

Figur 2 En serieforbindelse af to modstandeSet fra kildens synspunkt kunne de to modstande lige så godt være erstattetmed een modstand R med værdien,R = R 1 + R 2Figur 3 En parallelforbindelse af to modstandeParallelforbindelse.Fra figur 3 finder vi knudeligningenk : I − I 1 − I 2 = 0og maskeligningernem 1 : ɛ = U 1m 2 : ɛ = U 23

Kombineres maskeligningerne med Ohms lov fås hhv ɛ = R 1 I 1 , ɛ = R 2 I 2eller I 1 = ɛ/R 1 , I 2 = ɛ/R 2 , hvorefter knudeligningen giverSkrives detteI = I 1 + I 2 =ser vi, at erstatningsmodstanden erɛR 1+ ɛR 2= ( 1 R 1+ 1 R 2)ɛ1ɛ =1R 1+ 1 IR 2R =11R 1+ 1R 2Ofte udtrykkes dette snarere ved, at de reciprokke modstande også kaldetledningsevnerne, Λ er additive. AltsåΛ = Λ 1 + Λ 2hvor Λ = 1/R, Λ 1 = 1/R 1 , Λ 2 = 1/R 2 .Et mindre trivielt eksempel ville være beregning af erstatningsmodstandenfor Wheatstones bro.4