11. kursusgang

Elektromagnetisme – 11 Side 1 af 8InduktionElektromotorisk kraftElektromagnetisk induktion”Den elektromotoriske kraft” i en lukket kreds C er defineret som detelektromagnetiske arbejde pr. ladning på en prøveladning q, der føres rundt i kredsenmed uendelig lille fart i forhold til C:1emf F Cq dl ≡, ⎡emf⎤q ∫ ⋅VC ⎣ ⎦=. (11.1)Den elektromagnetiske kraft på q er Lorentzkraften fra udtryk (8.5):1 emfC= qE ( + v×B)dl:q ∫⋅Cemf = ( E + v × B C ∫ kreds ) ⋅dl , (11.2)Cidet q’s hastighed v pr. definition er lig hastigheden v af kredsløbsudsnittet dl .kredsFor stive og stationære kredsløb fåsemf C= E ∫ ⋅dl . (11.3)CI EM7 blev U indført som spændingsfaldet i et batteridrevet jævnstrømskredsløbemffraregnet selve kemidelen af batteriet.Hvis C betegner det ydre og indre kredsløb, svarer dette ifølge opg. D til U = −Δ ϕ = E⋅dl. (11.4)emfBegreberne Uemfog emf Cer således beslægtede, men ikke identiske, idet udtryk(11.3) anvendt på et jævnstrømskredsløb, i hvilket det er muligt at indføreelektrostatisk potential og dermed spændingsforskel, ville føre til Uemf= 0 .Ifølge EM1 s. 9 er begrebet elektromotorisk kraft som defineret i udtryk (11.3)således kun relevant for kredsløb, for hvilke ∇× E ≠0.∫CThomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 2 af 8InduktionFaradays induktionslovDer gælder flg. empiriske lov kaldet ”Faradays induktionslov” 1 :emfdΦdtifølge hvilken en ændring i den magnetiske fluxSC=− , (11.5)en elektromotorisk kraft i den lukkede kreds C, der afgrænser S.ΦSgennem en flade S vil ”inducere”Hvis C er såvel stift som stationært fås vha. udtryk (11.3) og (9.8) Faradaysinduktionslov på integralform: ∂B ∫ E ⋅ dl =− ⋅nˆdAC ∫∫ . (11.6)S ∂tVha. Stokes’ sætning i udtryk (9.6) fås Faradays induktionslov på differentialform: ∂B2∫∫ ( ∇× E) ⋅ ndA ˆ =− ⋅ndA:ˆS ∫∫S∂t ∂B∇× E =− , (11.7)∂teftersom S er en vilkårlig flade.I det ”magnetostatiske” tilfælde, hvor B( rt , ) = Br ( )elektrostatiske relation ∇× E = 03fra udtryk (1.15) og vice versa. , reducerer udtryk (11.7) til denOmvendt vil et ”magnetodynamisk” felt inducere et elektrodynamisk felt og viceversa, hvilket danner selve grundlaget for elektromagnetiske bølger i form afsvingninger i et koblet elektro- og magnetodynamisk felt.1 Opdaget af englænderen Michael Faraday i 1831.2 Dette udtryk kan i modsætning til udtryk (11.6) vises også at gælde for kredsløb, der ikke er stive og stationære.3 En jævnstrøm giver således anledning til et magnetostatisk felt.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 3 af 8InduktionEn antenne består således groft sagt af en leder indeholdende frie elektroner, der, nårde vha. en varierende spændingsforskel sættes i bevægelse, udsender etelektrodynamisk felt, som inducerer et magnetodynamisk felt, hvorved antennenudsender en elektromagnetisk bølge.For en stiv og stationær leder C,Chvorigennem der er et tidsvarierende B-felt, fås ifølge udtryk (11.6):S∂B ˆn−∫∫⋅ ndA ˆ = E ⋅ dl > 0S ∂t ∫ .CDer er således en elektromotorisk kraft i∂BC, og der går dermed en strøm i denB ∂tinduceretretning, der ifølge højrehåndsreglen erpositiv i forhold til den valgte retning fordl Iˆn .Denne inducerede strøm skaber et induceret B-felt, der modvirker den ændring i B-feltet, der inducerede strømmen. Dette er kendt som ”Lenz’s lov” og forklarer,hvorfor man mærker modstand 4 , hvis man dypper en magnet i en spole.4 Dette er en nødvendighed af hensyn til energibevarelsen.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 4 af 8InduktionBetragt en metalstang, der roterer i et B-felt og derved beskriver en cirkel medcentrum i stangens ene ende.De frie ladningsbærere i stangen vil haveen hastighed vinkelret på stangen, såifølge udtryk (8.5) vil der være enmagnetisk kraft på disse ladningsbærere,som vil føre til en ladningsophobning istangens ender.lB St ()−B +B Ct ( )ˆnDenne ladningsophobning vil føre til en spændingsforskel, der er lig denelektromotoriske kraft i den tænkte kreds Ct, ( ) der afgrænser den fladeS()t, somstangen overstryger:UdΦSt( ) d = emf =− =− B nˆdACt ( ) dt dt ∫∫ ⋅ . (11.8)St ( )VekselstrømsgeneratorHer er vist en java-applet med en vekselstrømsgenerator baseret påinduktionsprincippet:http://www.walter-fendt.de/ph11dk/generator_dk.htm.Bemærk:• Her er for nemheds skyld vist en én-faset generator baseret på én vinding og enpermanent magnet.På elværkerne anvendes trefasede generatorer med tre spoler anbragt 120forskudt i forhold til hinanden, idet disse spoler hver især indeholder enjernkerne. Endvidere anvendes en elektromagnet.• I appletten er det vindingen (spolen), der er ”rotor”, og magneten, der er”stator”, men det kunne lige så godt have været omvendt.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 5 af 8InduktionInduktansVed et ”kvasistatisk” 5 felt forstås et felt, der varierer så langsomt, at det med godtilnærmelse kan beregnes ud fra de love, der gælder for statiske felter.Biot og Savarts lov gælder kun for jævnstrømme og er dermed et eksempel på ensådan lov, der strengt taget kun gælder for magnetostatiske felter, men som med godtilnærmelse beskriver det kvasistatiske B-felt skabt af langsomtvarierende strømme.SelvinduktansIfølge Biot og Savart i udtryk (9.2) afhænger den magnetiske flux gennem en stiv ogstationær kreds, som en langsomtvarierende strøm i kredsen selv giver anledning til,kun af strømstyrken:dΦdΦdI= . (11.9)dt dI dtFor ”selvinduktansen” 6 dΦWbL ≡ , ⎡L⎤HdI⎣ ⎦= ≡ , (11.10)Akan den ”selvinducerede emf”, som en ændring i strømmen inducerer i kredsen selv,ifølge udtryk (11.5) skrivesemfdI=− L . (11.11)dtL er således et udtryk for, hvor stor en elektromotorisk kraft en ændring istrømstyrken i en givet kreds vil inducere i kredsen selv.5 Kvasi er latin og betyder ’næsten’.6 Bemærk, at for n ˆ valgt i overensstemmelse med højrehåndsreglen i forhold til strømretningen øges Φ , når I øges, ogL er således pr. definition positiv.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 6 af 8InduktionGenerelt er L ( I ), men i isotrope og magnetisk lineære materialer, for hvilke Biot ogSavarts lov i udtryk (9.2) kan generaliseres ved at erstatte μ0med μ , ses B-feltet ogdermed fluxen at være proportional med I, svarende tilΦL = = knst.(11.12)IGensidig induktansI et system bestående af N kredse er fluxengennem den i’te kreds resultatet af bidragenefra strømmene i hver af de N kredse:Φ= i ∫∫ BndA ⋅ˆSii = B + B + + B ⋅nˆdA (11.13)hvor∫∫SiN∑= Φj=1Φ ij( 1 2N )ij,isåledes er bidraget til fluxenΦ 1I 1I2I3Φ3Φ 2gennem den i’te kreds fra strømmen i denj’te kreds.Ved kombination af udtryk (11.5) og (11.13) fåsemfCidΦdΦNiij=−dt=−∑ . (11.14)j=1 dtThomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 7 af 8InduktionHvis alle kredsene er stive og stationære og strømmene langsomtvarierende, sådan atindføres den ”gensidige induktans”dΦij dΦij dIj= , (11.15)dt dI dtjdΦijMij≡ , ⎡M⎤HdI ⎣ ⎦= . (11.16)jM ij er således et udtryk for, hvor følsom fluxen gennem den i’te kreds er over forændringer i strømmen i den j’te kreds 7 .Ved kombination af udtryk (11.14), (11.15) og (11.16) fåsemfCidI=−∑ NjMij. (11.17)j=1 dtM ij kobler således den elektromotoriske kraft i den i’te kreds til strømændringen iden j’te eller vice versa, idet det kan vises (”Neumanns lov”), atMij= M . (11.18)jiBemærk, atMii= L , (11.19)og at der i isotrope og magnetisk lineære materialer tilsvarende udtryk (11.12) gælderMijiΦij= = knst.(11.20)Ij7 Eks. er M = 0 , hvis den i’te og den j’te kreds befinder sig så langt fra hinanden, at B-feltet produceret af strømmen iijden i’te kreds er nul, der hvor den j’te kreds befinder sig. I så fald siges de to kredse at være ”dekoblede”.Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007

Elektromagnetisme – 11 Side 8 af 8InduktionInduktanser i kredsløbFluxen gennem en spole er med god tilnærmelse lig summen af de fluxer, som deenkelte vindinger giver anledning til, og da strømmen er den samme i alle vindinger,er spolens selvinduktans ifølge udtryk (11.10) givet ved summen af de enkeltevindingers selvinduktanser:L = NL vinding. (11.21)Da emf svarer til potentialtilvækst, erspændingsfaldetU = U emfi det visteLkredsløb ifølge udtryk (11.11) givet vedsvarende tildIU = RI− emf = RI+ L , (11.22) IdtdI R U+ I = , (11.23)dt L LUR = R + Rder som vist i opg. J for begyndelsesbetingelsen I ( 0)= 0 har løsningenU ⎛= −eR ⎜⎝() ⎜1I tNår spændingen tilsluttes kl. t=0 vilselvinduktansen i spolen såledesmodvirke strømmen (Lenz’s lov), mennår systemet har indstillet sig, ogstrømmen er vokset op og er blevetkonstant, er der ikke længere nogeninduktion i spolen, som derefter blotopfører sig som et stykke ledning, sådanat I= U R jf. Ohms lov.−R tL⎞⎟⎠UR⎟ . (11.24)IiytThomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 29/11/2007