Bilagsrapport - It.civil.aau.dk

K1. LasterSide 2

JF Kennedy ArkadenK1. LasterPå Figur 1.1 ses en skitse af Arkaden set fra sydøst. En mere detaljeret oversigt over bygningenfremgår af Tegningerne 101 –106 i tegningsmappen.Figur 1.1 Busterminalens geometriske udformning. Skitse ikke i målTil bestemmelse af de dimensionsgivende laster, er der for hver etagedæk foretaget en optegningaf lokaleinddelingen og etagedækkenes spændretning. På de efterfølgende figurer fremgårlokaleindeling til venstre og spændretningen af etagedækkene til højre. For spændretningsfigurerneer en fuldoptrukken linie en bærende væg (skive), mens en stiplet linie betyder,at etagedækket her bæres af et bjælke søjlesystem. Skravering foretages, hvor der ikke er etagedækpå den pågældende etage.Etage 8:Figur 1.2 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 8. etage. Spændvidden af taget på 8. etage er som foretagedækket på 8. etageSide 3

K1. LasterEtage 7:Figur 1.3 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 7. etageEtage 5 og 6:Figur 1.4 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 5. og 6. etageEtage 4:Figur 1.5 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 4. etageSide 4

JF Kennedy ArkadenEtage 3:Figur 1.6 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 3. etageEtage 2:figur 1.7 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 2. etageEtage 1:Figur 1.8 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 1. etageSide 5

K1. LasterKælder:Figur 1.9 Ruminddeling for kælderetage. Kældergulvet in-situ støbesBygningen der projekteres, vurderes at blive påvirket af følgende laster: Egenlast, nyttelast,vindlast, snelast og ulykkeslast.1.1 EgenlasterTil bestemmelse af egenlaster for Arkaden benyttes følgende laster:Tabel 1.1 Egenlaster der påvirker konstruktionenKonstruktionsdel Elementdele Egenvægt[kN/m 2 ]KildeIndervæg 225 mm beton 4,95 [Spæncom]Ydervæg150 mm isolering225 mm beton4,95 [Spæncom]Skillevæg 160 mm letbeton 2,56 [Spæncom]Glasfacade 30 mm glas 0,78 [DS 410, 1998]Beton over glasfacade 225 mm beton 4,95 [Spæncom]Etagedæk 320 mm betonhuldæk 4,36 [Spæncom]Tag 320 mm betonhuldæk 4,36 [Spæncom]Side 6

JF Kennedy Arkaden1.2 NyttelasterDer er ved projektering af Arkaden brugt følgende nyttelaster, der er bestemt ved brug af DS410, 1998.Tabel 1.2 Nyttelaster der virker på konstruktionenRum Kategori LastKontorer Kontor og let erhverv 3,0 kN/m 2Butikker Mindre butikker 3,0 kN/m 2Dagligvarebutikker Større butikker og forretninger 5,0 kN/m 2Biograf Samlingslokaler med faste pladser 4,0 kN/m 2Trapper Trapper, for hvilke q mindre end eller lig 3,0 kN/m 2 3,0 kN/m 2Gangareal Gange, for hvilke q mindre end eller lig 3,0 kN/m 2 3,0 kN/m 2Parkeringshus Biler med totalmasse indtil 3500 kg 3,0 kN/m 2Kontorer Kategori A og B 0,5 kN/mSkillevægge Butikker Kategori D1-D2 1,0 kN/mDagligvarebutikker Kategori D1-D2 1,0 kN/m1.3 VindlastDa bygningen er placeret over 25 km fra Vesterhavet, bruges v b,0 = 24 m/s som basisvindhastighedensgrundværdi. Bygningen er en permanent konstruktion, hvorfor c års = 1 [DS 410,1998]. Dette giver en basisvindhastighed, v b på:v c ⋅ v = 1⋅24m/s 24m/s(1-1)b=års b, 0=Ud fra basisvindhastigheden beregnes basishastighedstrykket på bygningen til:22( 24m/s ) 360N/mq ρ (1-2)23b= 0 ,5 ⋅ ⋅ vb= 0,5 ⋅1,25kg/m⋅ =Her erρ luftens densitet [kg/m 3 ]Ved brug af basishastighedstrykket bestemmes det maksimale hastighedstryk på Arkaden.Størstedelen af bygningen har en højde på 22m jf. Figur 1.1. Sættes dette til referencehøjden,z, findes ruhedslængden, z 0 , minimumshøjden z min , og terrænfaktoren, k t , ved brug af [DS 410,1998] til hhv. z 0 = 1,0 m, z min =16,0 m og k t = 0,24.Side 7

K1. LasterHerefter kan ruhedsfaktoren, c r , bestemmes til:⎛ z ⎞ ⎛ 22 ⎞c ln⎜⎟r= kt⋅ = 0,24 ⋅ ln⎜⎟ = 0,74(1-3)⎝ z0⎠ ⎝ 1 ⎠Ud fra ruhedsfaktoren og en topografifaktor, c t = 1 kan 10 minutters middelhastighedstrykketbestemmes til:2 22 222qm= cr⋅ ct⋅ qb= 0 ,74 ⋅1⋅ 360N/m = 198N/m(1-4)Turbulensens indvirkning på hastighedstrykket bestemmes ud fra turbulensintensiteten, I v :I v1=⎛ z ⎞ln⎜⎟⎝ z0⎠1= = 0,324⎛ 22 ⎞ln⎜⎟⎝ 1 ⎠(1-5)Det karakteristiske maksimale hastighedstryk kan herefter udregnes til:22q ( 1 + 7 ⋅ I v) ⋅ q = ( 1 + 7 ⋅ 0,324) ⋅ 198N/m = 647N/m(1-6)max = mDen karakteristiske vindlast på facaderne beregnes ud fra q max multipliceret med formfaktorenc pe,10 . Facadernes formfaktorer og karakteristiske vindlast ses på Figur 1.10.Figur 1.10 Formfaktor og vindlaster på facaderneSide 8

JF Kennedy ArkadenDen karakteristiske last på taget udregnes på samme måde, tagets belastningsområder fremgåraf Figur 1.11.Figur 1.11 Belastningsområder på vandret tag [DS 410, 1998]Med en gennemsnitlig bygningshøjde på 22 m høj bliver e = 44 m. Dette medfører, at x, y ogz bliver hhv. 4,4 m, 11 m og 22 m.Tabel 1.3Vindlaster på taget over 4. etage 22 m over terrænBelastningsområde c pe, 10 (mindste / største) Mindste værdi Største værdi[-] [kN/m 2 ] [kN/m 2 ]F -1,8 / 0 -1,16 0G -1,3 / 0 -0,84 0H -0,7 / 0 -0,45 0I -0,5 / 0,2 -0,32 0,131.4 SnelastVed bestemmelse af snelasten undersøges for snelast på hele taget. Den jævnt fordelte snelast,S, beregnes ifølge DS 410 af formel [DS 410,1998]:Her erS = c ⋅C⋅C⋅ s(1-7)ietkc iC eC ts kformfaktoren for snelastbeliggenhedsfaktorentermisk faktorsneens karakteristiske terrænværdiBeliggenhedsfaktoren og den termiske faktor sættes på den sikre side til 1. Sneens karakteristisketerrænværdi beregnes af formlen [DS 410,1998]:sk= cårs⋅ sk,0(1-8)Her erc årss k,0årstidsfaktor for sneens terrænværdigrundværdi for sneens terrænværdiSide 9

K1. LasterIdet konstruktionen er permanent sættes årstidsfaktoren til c års = 1,0. Grundværdien for sneensterrænværdi s k,0 sættes til 0,9 kN/m 2 . Sneens karakteristiske terrænværdi bestemmes af formel(1-7):sk22= cårs⋅ sk, 0= 1 ,0 ⋅ 0,9kN/m = 0,9kN/mTil formfaktoren for snelast anvendes c i , da konstruktionen opføres med fladt tag, denne sættesifølge DS 410 til 0,8 for taghældningen α = 0º.Den samlede snelast bliver dermed:Sk=22= c1 ⋅ s 0,8⋅ 0,9kN/ m 0,72kN/ m(1-9)Side 10

JF Kennedy ArkadenK2. Bygningens totalstabilitetI dette afsnit behandles bygningens totalestabilitet for vandret lastpåvirkning. Den vandrettelast, hidrørende vindlast, er beregnet i afsnit (1-3).Totalstabiliteten eftervises i form af en spændingsberegning. Beregningerne foretages ud frafølgende forudsætninger:• Skiverne optager de vandrette kræfter• Sammenhængende vægge er forbundet med stive samlinger• Plan spænding- og tøjningsfordeling• Konstruktionsmaterialet er et lineærelastisk materiale• Vægprofilerne indspændes i fundamenterne• Forskydningsdeformationerne er negligerbare• Negative spændinger regnes som tryk, positive spændinger regnes som træk.De bærende vægges højde og placering i bygningen er illustreret på Figur 2.1. Væggene erbestemt med udgangspunkt i udleveret tegningsmateriale og ruminddeling, jf. Bilag K1.Figur 2.1 Vægprofilernes variation i højdenDer tages udgangspunkt i [Montage 2, 2002] ved beregningerne af spændingerne fra 1.- 6.etage. Denne metode er en tilnærmelses metode, der bygger på en antagelsen om, at de enkeltevægprofiler er vridningsslappe, og at deres hovedinertiakse er parallel med vægsystemetshovedretninger [Montage 2, 2002, s. 10].Side 17 af 125

K2. Bygningens totalstabilitetFor 7. og 8. etage tages udgangspunkt i en metode, der bygger på en elasticitetsteoretisk betragtningaf profilet. [Rumbjælker, 2002]2.1 Stabilitet for 1. – 6. etageTil bestemmelse af spændingerne bestemmes først bygningens inertimoment, herefter bestemmesvridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet. Til sidst bestemmesde vandrette kræfter, der påvirker de enkelte vægge, hvorefter spændingerne over disseberegnes. I det følgende henvises til de enkelte vægprofiler i henhold til nummereringen påFigur 2.2 - 2.4 .Figur 2.2 Grundplan med bærende vægge for1-3etage. Et modul lig 3 mFigur 2.3 Grundplan af de bærende vægge med for4-6 etage. Et modul lig 3 mFigur 2.4 Grundplan af de bærende væggefor 7-8 etage. Et modul lig 3 m16 af 125

K2. Bygningens totalstabilitetArealet af vægprofil 1 med tykkelsen 375mm:A 375 = m1= mm⋅9000mm+ 15000mm⋅375mm9, 02Det statiske moment om x’- aksen bestemmes af formlen:Her er∑'i, x'j j jS = b ⋅ h ⋅ y(2-2)S ib jh jstatiskmoment for det i’te vægprofilbreden af det j’te vægelenenthøjden af det j’te vægelementy’ j afstnden fra det j’te vægelements tyngdepunkt til det globale koordinatsystemDet statiske moment for vægprofil 1:S x( = m−91,'= 375mm⋅9000mm⋅82500mm+ 15000mm⋅375mm⋅87000mm)⋅10767, 83Afstanden η fra x’-aksen til tyngdepunktet af vægprofil 1 bestemmes:η 1, y’ =3S1,x ' 767,8m= 85,32 mA19,0m= (2-3)Vægprofil 1’s inertimoment om x-aksen bestemmes ved indsættelse i formel (2-1):32 −6( 9000mm) + ( 3,375m) ⋅10⋅( 82500 − 85300mm)2I1,x '= ⋅375mm⋅12⋅15000mm⋅=112132 −624( 375mm) + ( 5,625m) ⋅10⋅( 87000mm− 85300mm) 65,6m+Inertimomenterne for de resterende vægelementer om de lokale tyngdepunktsakser er opstillet iTabel 2.1 og Tabel 2.2.14 af 125

JF Kennedy ArkadenTabel 2.1 Inertimoment for stabiliserende vægelementer for etage 1-3Element S i,x’ S i,y’ η x’ η y’ I i,x I i,y[m3] [m3] [m] [m] [m4] [m4]1 42,19 767,81 4,69 85,31 65,56 224,162 194,40 336,15 48,00 83,00 16,21 28,363 186,30 171,11 92,00 84,50 1,52 8,104 11,14 214,65 2,36 45,43 86,22 4,135 315,90 146,81 93,60 43,50 41,01 2,846 5,06 8,10 2,50 4,00 8,10 1,527 75,94 12,15 22,50 3,60 14,18 6,598 129,60 6,08 48,00 2,25 2,54 16,219a 1646,33 297,68 85,08 15,38 2203,09 543,7710 2527,20 663,19 78,55 20,61 4596,71 3077,9711 117,45 88,09 58,00 43,50 13,67 0,0112 270,34 257,68 50,06 47,72 81,59 8,4313 372,60 340,20 69,00 63,00 0,02 259,2014 372,60 380,70 69,00 70,50 0,02 259,20Σ 4726,01 3562,82 - - 4927,36 3929,14Tabel 2.2Inertimoment for stabiliserende vægelementer for 4-6 etageElement S i,x’ S i,y’ η x’ η y’ I i,x I i,y[m 3 ] [m 3 ] [m] [m] [m 4 ] [m 4 ]1 42,19 767,81 4,69 85,31 65,56 224,162 194,40 336,15 48,00 83,00 16,21 28,363 186,30 171,11 92,00 84,50 1,52 8,104 11,14 214,65 2,36 45,43 86,22 4,135 315,90 146,81 93,60 43,50 41,01 2,846 5,06 8,10 2,50 4,00 8,10 1,527 75,94 12,15 22,50 3,60 14,18 6,598 129,60 6,08 48,00 2,25 2,54 16,219b 1646,33 297,68 85,08 15,38 2203,09 543,77Σ 2606,85 1960,54 - - 2438,43 835,69Side 15 af 125

K2. Bygningens totalstabilitet2.3 Forskydningscenterets placeringI dette afsnit fastlægges bygningens forskydningscenter med henblik på bestemmelse af vridningsstivheden.x’ F -koordinaten til forskydningscenteret findes af formel (2-4) [Montage 2,2002, s. 10]:∑ Iix⋅x'F=Ixηx'(2-4)Her erη x'afstanden fra det valgte koordinatsystem til det i’te elements tyngdepunkt [m]I x det samlede inertimoment om x-aksen [m 4 ]Reusultaterne af beregningerne til I i,x ּ η x' og I i,yּ η y´ er opstillet i Tabel 2.3 og Tabel 2.4 fohenholdsvis 1. – 3. og 4. – 6. etage.Tabel 2.3 Vridningsstivheden V 1-3l . for 1.-3. etageElement I i,x·η i,x' I i,y· η i.y'[m 5 ] [m 5 ]1 307 191242 778 23543 140 6854 203 1885 3839 1246 20 67 319 248 122 369a 361050 6344310 793 011 4085 40212 2 1633013 2 1827414 0 2041∑ 371660 12303016 af 125

JF Kennedy ArkadenTabel 2.4 Vridningsstivhed for V 4-61 4.-6. etageElement I i,x·η i,x ’ I i,y· η i.y’[m 5 ] [m 5 ]1 307 191242 778 23543 140 6854 203 1885 3839 1246 20 67 319 248 122 369b 187442 8365Σ 193171 30905I det følgende beregnes forskydningscentrets x’ F -koordinat for 4.-6. etage ud fra formel (2-4).x∑ Iix⋅ηx'=I193171m=2438,43m5'FC= 79, 24xmForskydningscenterets y’ F -koordinat for 4.-6. etage er bestemt efter samme metode og koordinatettil forskydningcentret er:F 4-6 =( x’ F , y’ F ) = (79,2 m; 37,0 m)Forskydningscentret F 1-3 er bestemt til (75,4 m; 31,3 m), placeringen af dette kan ses på Figur2.6 og Figur 2.7.Figur 2.6 Placering af forskydningscenter for 1.-3.sal. Hvert tern lig med 3x3 mFigur 2.7 Placering af forskydningscenter for 4.-6.sal. Hvert tern lig med 3x3 mSide 17 af 125

K2. Bygningens totalstabilitet2.4 VridningsstivhedDa den vandrette kraftpåvirkning ikke påvirker konstruktionen i forskydningscentret opstårder vridning af konstruktionen. Der indlægges et xy- koordinatsystem, parallelt med x’y’-systemet med nulpunkt i FC. Herefter kan vridningsstivheden bestemmes af formlen: [Montage2, 2002, s. 11]Her er∑2i∑2iV = I ⋅ x + I ⋅ y(2-5)ixiyI 1x , I iyx i , y iinertimomentet for det i'te elementafstsnden fra det i'te vægprofils tyngdepunkt til forskydningscenteretTabel 2.5 Vridningsstivhed for 1.-3. etage V 1-3Element2I ix·x i[m 6 ]2I iy·y i[m 6 ]1 328085 6536582 12191 757713 419 229224 460333 8245 13543 4226 43095 11377 39717 50638 1909 136889a 44680 35242110 4152 111 52495 227012 1 26026613 1 39804814 15 32533∑ 1000635 181902518

JF Kennedy ArkadenTabel 2.6 Vridningsstivhed V 4-6 . for 4.-6. etageElement2I ix·x i[m 6 ]2I iy·y i[m 6 ]1 364196 5236102 15795 600613 249 182964 509344 2955 8482 1216 47692 16587 45611 73468 2473 195499b 75709 253653Σ 705661 884588Vridningsstivheden bestemmes ud fra Tabel 2.5 og Tabel 2.6 og ligning (2-5) bestemmes til:V 4-6 = 705661 m 6 + 884588 m 6 = 1590249 m 6V 1-3 = 1000635 m 6 +1819025 m 6 = 2819660 m 62.5 VridningsmomentBygningens vridende moment, M v , bestemmes efter formel (2-6), hvor momentet regnes positivtmod uret:MHer erv = Py⋅ xP− Px⋅ yP(2-6)P xx pP yy pkraften i x-aksens retning, P østafstanden, i x-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentetkraften i y-aksens retning, P nordafstanden, i y-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentetI det følgende bestemmes M v,øst for 1.-3. etage og 4.-6. etage med vind fra øst. Vindlasten P eri Bilag K1 bestemt til 0,65 kN/m 2 .19

K2. Bygningens totalstabilitetFigur 2.8 Model med vindpåvirkning fra øst og afstanden y P,1-3Ud fra de angivede dimensioner på Figur 2.8 bestemmes resultanten af vindpåvirkningen fraøst, for henholdsvis 1-3 etage og 4-6. etage til:kNP1 − 3, øst = 0,65 ⋅ 87,0 m ⋅11,1m = 627, 7 kN2mkNP4 − 6, øst = 0,65 ⋅ 87,0 m ⋅ 9,6 m = 542. 9 kN2mAfstanden fra forskydningscenteret til vindpåvirkningens resultant bestemmes, idet resultantenangriber midt på bygningen, se Figur 2.8.87,0 my P, 1−3= − yFC,1−3= 43,5 m − 31,3 m = 12, 2 m287,0 my P, 4−6= − y FC,4−6= 43,2 m − 37,0 m = 6, 5 m2Ved indsættelse i formel (2-6) giver M v med ovenstående udregninger og P nord lig nul:M østv , ,1−3 = 627,7 kN ⋅12,2m = 7657, 9 kNmM østv , ,4−6 = 543,9 kN ⋅ 6,5 m = 3535, 4 kNm20

JF Kennedy Arkaden2.6 LastfordelingUd fra inertimomentet, vridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet bestemmeskraften, der påvirker det enkelte vægprofil i henholdsvis x- og y-retningen, af følgendeformler [Montage 2, 2002, s. 11]:⎛⎞⎜PxMvP = − ⋅ ⎟ixIiyyi⎝ IyV ⎠(2-7)⎛ PyM ⎞vP = ⎜ + ⋅⎟iyIixxi⎝ IxV ⎠(2-8)Her erP ixI iyP xI yy iM vVP iyI ixP yI xx ikraften på det i'te vægprofil i x-aksens retning, P østinertimomentet for det i'te vægelement om y-aksenden samlede kraften i x-aksens retning, P østdet samlede inertimomentet om y-akseny-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunktvridningsmomentetvridningsstivheddenkraften på det i'te vægprofil i y-aksens retning, P nordinertimomentet for det i'te vægelement om x-aksenden samlede kraften i y-aksens retning, P norddet samlede inetrimoment om x-aksenx-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunktI det følgende bestemmes kraften, der påvirker vægprofil 1 på 1.-3. etage og 4.-6. etage. Udregningerneer foretaget ud fra (2-7), idet P x = P øst :4⎛ 627,7 kN 7657,9 kNm⎞P øst 224,16m⎜1 , ,1−3 = ⋅−⋅= 9746 63929,2 m 2,8 10 m⎟⎝⋅⎠( 85,0 m − 31,3 m) ⎟ 2, kN4⎛ 542,9 kN 3535,2 kNm⎞P øst 224,16m⎜1 , ,4−6 = ⋅−⋅= 3846 6825,7 m 1,6 10 m⎟⎝⋅⎠( 85,3 m − 37,0 m) ⎟ 121, kNDe øvrige lastfordelinger for 1.-3. etage og 4.-6. etage med vind fra øst fremgår afTabel 2.7-Tabel 2.1021

JF Kennedy ArkadenTabel 2.9 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 1-3 sal med vind fra nordVægprofilP x[kN]P y[kN]1 -81,471 -22,0092 -9,866 -0,7163 -2,901 0,3844 -0,393 -30,2945 -0,233 10,7756 0,280 -2,8397 1,230 -3,0608 3,170 -0,1129a 221,672 741,94610 -0,001 0,31611 -0,931 -2,47212 -55,281 0,00013 -68,365 0,00014 -6,910 0,000Σ 0,000 691,920Tabel 2.10 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 4-6 sal med vind fra nordP x P yVægprofil[kN] [kN]1 -127,275 -41,3162 -15,333 -1,9673 -4,523 0,6034 -0,410 -56,6925 -0,218 16,9936 0,591 -5,3147 2,585 -5,9688 6,612 -0,3089b 137,970 692,381Σ 0,000 598,41323

K2. Bygningens totalstabilitet2.7 Beregning af normalspændinger ved fundamentI det følgende bestemmes normalspændingerne ved terræn. Spændingerne bestemmes vedNavier´s formel, idet der kun ses på bidraget fra den vandrette kraftpåvirkning:M =⋅ yσxyi(2-9)IxHer erσ y spændingen i forhold til y-retnigen [kN/m 2 ]M xy idet bøjende Momentet om x-aksen [kNm]asfstand fra vægprofil i’s tyngdepunkt til spændingspunktet [m]Eksempel for vægprofil 1 med vind fra østPå Figur 2.9 er afstanden fra vægprofil 1’s tyngdepunkt til dens endepunkter angivet, samtden valgte retning på akserne.Figur 2.9 Vægprofil 1 med angivet TP placering om Y-aksen. Mål i meterDet bøjende moment hidrørende vindlasten beregnes af formel (2-10):Her erh(1−3)⎛ h(4−6)⎞M = ⋅ + ⋅⎜ +⎟xPx, i(1−3)Px, i(4−6)h(1−3)(2-10)2 ⎝ 2 ⎠P x,i(1-3)h (1-3)P x,i(4-6)h (1-3)den resulterende kraft fra vind fra øst 1.-3. etage [kN]højden af 1.-3. etage [kN]den resulterende kraft fra vind fra øst 4.-6. etage [kN]højden af 4.-6. etage [kN]24

JF Kennedy ArkadenMomenterne for vægprofil 1 beregnes:11,1 m⎛ 9,6 m ⎞= 2,965 kN ⋅ + 121,383kN⋅ ⎜11,1m + ⎟2⎝ 2 ⎠M x , øst= 1946, 511,1 m⎛ 9,6 m ⎞= −12,570kN ⋅ + −10,862kN ⋅ ⎜11,1m + ⎟ =2⎝ 2 ⎠kNmM y , øst−242,5kNmInertimomenterne for vægprofil 1 er jf. Tabel 2.1 bestemt til:4Ix= 65,5m4Iy= 224,2mSpændingen ved fundamentet for væg 1 med vind fra øst bestemmes:Punkt A:σσσ1946,5kNm65,5 my , A=⋅1,687m= 45, 94− 242,5kNm=⋅224,16mm = −kN2mx, A10,312 13, 24kNmkNmkN2mA= σy, A+ σx,A= 45,9 −13,2= 32, 822kN2mPunkt C:σσ1784,7 kNm65,5 my, C=⋅(−7,313)m = −199,14− 286,0kNm224,16mx , C=⋅(−4,688)m = 6, 04kN2mkN2mσC= σ σkNmkNmy, C+x,C= −199,1+ 6,0 = −193,022kN2mPunkt B:σkNmkNmB= σy, A+ σx,C= 45,9 + 6,0 = 51, 922kN2m25

K2. Bygningens totalstabilitetFor vægprofil 1 fordeles normalspændingerne som vist på Figur 2.10.Figur 2.10 Øverst venstre: Normalspændinger fra komposanten P x .Øverst højre: Normalspændinger fra komposanten P y .Nederst: Samlede normalspændinger for vægprofil 1 med vind fra øst. Spændinger i [kPa]Normalspændingerne for vind fra øst og nord, for de øvrige åbne profiler, er bestemt på tilsvarendemåde og fremgår af Figur 2.33 og Figur 2.34 i slutningen af dette kapitel.2.8 Beregning af forskydningsspændinger ved fundamentVed beregningerne af forskydningsspændingerne benyttes to metoder, en for åbne tyndfligedetværsnit, og en for lukkede tyndfligede tværsnit. For åbne tyndfligede tværsnit benyttes Grashofsformel. Lukkede tyndfligede tværsnit beregnes efter eladtisitetsteorien.26

JF Kennedy Arkaden2.8.1 For åbent tyndfliget tværsnitForskydningsspændingerne beregnes af Grashofs formel:Py⋅ SxPx⋅ Syτ = +(2-11)I ⋅tI ⋅tHer erxyτP xforskydningsspændingen [MPa]vandret kraft i x-retningen [kN]S x statiske moment om x, for betragtet punkt [m 3 ]I x inertimomentet om x-aksen [m 4 ]ttykkelsen af tværsnittet [m]Eksempel for vægprofil 1 med vind fra øst.Det vælges at bestemme forskydningskraften i følgende punkter jf. Figur 2.11.Figur 2.11 Punkterne på vægprofil 1, hvor forskydningskraften findes. Alle mål i mDet statiske moment om x-aksen bestemmes af formel (2-12):S x = ∫y ⋅ dA = t ∫ y ⋅ ds(2-12)Her erytAfstand i y retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m]Tykkelsen af profilet [m]27

K2. Bygningens totalstabilitetFor strækningen fra A til B er s 1 = -x, hvorved det statiske moment bestemmes ved:S x= −t⋅ y ⋅(2-13)s 1På strækningen fra B til C er s 2 = y, Det statiske moment bestemmes ved:Sy2= 1 t ⋅ ⋅ s 1(2-14)2De statiske momenter i punkterne A, B og C bestemmes til:SSSSSS=⋅ −= −3A1, x0,375m 1,687m 10,31m 6,52m=⋅ −3B, x0,375m 1,687m 15m 9,50m= − m+⋅⋅⋅= −⋅ −23( 1,687m) = −10,023B1, x9,50 0,375m 0,5m=⋅⋅ −23( 10,312m) = −A1, y0,375m 0,519,9m23( − 4,688m) − ( 10,312 ) ) 2= −15,9= ⋅ ⋅mB, y0,375m 0,5m= − m+⋅ −⋅ −= −33B1, y15,9 0,375m 1,687m 4,688m 12,9mFor åbne ender af tværsnittet er forskydningsspændingen τ A = τ B = 0kN/m 233124,3kN ⋅ −19,9m− 23,4kN ⋅(−6,52)mkNτA1=+= -23,2442224,2m ⋅0,375m65,56m ⋅0,375mm33124,3kN ⋅ −15,9m− 23,4kN ⋅(−9,50)mkNτB=+= -17,3442224,2m ⋅0,375m65,56m ⋅0,375mmτB1124,3kN ⋅ −12,90m=4224,2m ⋅0,375m3− 23,4kN ⋅(−10,02)m+465,56m ⋅0,375m3kN= −12,92mPå Figur 2.12 fremgår, hvordan forskydningsspændingerne varierer over vægprofil 1.28

JF Kennedy ArkadenFigur 2.12 Forskydningsspændingernes variation ved fundamentet for vægprofil 1, med vind fra øst.[kPa]2.8.2 Forskydningsspændinger i vægprofil 11, lukket tyndfliget tværsnitDen samlede forskydningsspænding i et lukket tyndfliget tværsnit er nul. Til bestemmelse afvariationen over tværsnittet bestemmes den forskydende krafts variation over tværsnittet. Denforskydende kraft i lukkede tyndfligede tværsnit kan bestemmes ved at integrere rundt i tværsnittet.Dette er givet ved [Rumbjælker, 2002, s. 43]:∫⎛ H ⎞⎜ ⎟ds= 0⎝ G ⋅t⎠(2-15)Her erHGtsden forskydende kraft [kN/mm]forskydningskraftmodulet [MPa]tværsnittets tykkelse [mm]den tilbagelagte strækning [mm]Idet egenvægten og tværsnittets tykkelse er konstante over tværsnittet ses bort fra disse i devidere beregninger af formel (2-15). Den forskydende kraft pr. længdeenhed bestemmes affølgende formel:∂H∂sx− Qy=I⋅ y ⋅tzz= −k⋅ y− Qy⋅thvor k =(2-16)IzzHer erH xsQ yytden forskydende kraft [kN/mm]den tilbagelagte strækning [mm]kraften der påvirker tværsnittets tyngdepunkt [kN]afstanden til y-aksen [mm]tykkelsen af tværsnittet [mm]I zz inertimomentet om z-aksen [mm 4 ]29

K2. Bygningens totalstabilitetEksempel for spændinger i y-aksens retning i vægprofil 11 med vind fra øst.Spændinger i de på Figur 2.13 angivende punkter bestemmes.Figur 2.13 Punkter og afstande for vægprofil 11. Alle mål i m. Alle afstande regnes til centerlinieDen forskydende kraft på strækningen fra B til C bestemmes med y = -0,281-s 1 , her giverformel (2-16):H x = k ⋅ ( s + 0,2811)∂s⎛ 1 2 ⎞xk⎜s + 0, ⋅ s ⎟ HB∂H =12811+⎝ 2⎠I punktet C er s 1 = 4,5 m, den forskydende kraft er her:⎛ 1⎝ 22HC= k⎜4,5 + 0,281⋅4,5⎟ + HB1= 11,039⋅k +⎞⎠HB130

JF Kennedy ArkadenPå strækningen fra C til D bestemmes den forskydende kraft med y = -4,781:∂ H x = k ⋅ 4,781∂sHxk ⋅ 4 ,781⋅s + HC=2Med s 2 = 3,0 i punktet D bliver den forskydendekraft:H = k ⋅H k + HD4,781⋅3,0 +C= 25,733⋅B1Fra D til E er y = s 3 -4,781, dermed bliver den forskydende kraft:∂H x = − k ⋅ ( s − 4,7813)∂s⎛ 1 2 ⎞xk⎜s − 4, ⋅ s ⎟ HDH =37813+⎝ 2⎠Den forskydende kraft i punktet E bliver med s 3 = 4,5⎛ 1⎝ 22HE= −k⎜4,5 − 4,781⋅4,5⎟ + HD= 37,123⋅k +⎞⎠HB1Med y = -0,281 på strækningen fra E til B er den forskydende kraft:∂ H x = k ⋅0,281∂sHx= k ⋅0,281⋅s4+ HEMed s 4 = 3,0 i punktet B bliver den forskydende kraft:HB2 = k ⋅966 +0,281⋅3,0+ HE= 37, ⋅kHB1Den forskydende krafts fordeling over tværsnittet BCDE er optegnet på Figur 2.14.31

K2. Bygningens totalstabilitetFigur 2.14 Den forskydende krafts for løb over vægprofil 11Til bestemmelse af størrelsen H B1 udføres formel (2-15) som arealberegning af Figur 2.14∫1Hds = HB132+ 25,733⋅k ⋅ 4,5 + ⋅3( 2⋅4,5 + 2⋅3,0) + ⋅11,390⋅k ⋅ 4,5 + 11,390⋅k ⋅3,0+ ⋅( 25,733−11,390)⇒ H B= −22,4⋅k112( 37,123 − 25,733) ⋅ k ⋅ 4,5 + 37,123⋅3,0+ ⋅( 37,966 − 37,123) ⋅ k ⋅3,0= 0Dermed fås den forskydende kraft i punkterne C, D, E og B til:H B 1H CH DH EH B 2= −22,442 ⋅ k= 11 ,390 − 22,442⋅k= −11,052⋅k= 25 ,733⋅k − 22,442 ⋅ k = 3, 291⋅k= 37 ,123⋅k − 22,442 ⋅ k = 14, 681⋅k= 37,966⋅k− 22,442⋅k= 15, 524⋅k12⋅ k ⋅3,0Forskydningskraften over fligen A til B bestemmes idet y = 8,971-s 5 .∂∂sH xH x= k ⋅( 8,971− s )⎛ 1= k⎜8,971⋅s1− s⎝ 2521⎞⎟⎠32

JF Kennedy ArkadenI punktet B er strækningen s 5 = 9,0, den forskydende kraft bliver herH B⎛ 1 2 ⎞3= k⎜8,971⋅9,0− 4,5 ⎟ = −37,971⋅k(2-17)⎝ 2 ⎠For vindlasten fra øst bestemmes konstanten k i formel (2-16) med en kraftpåvirkning af vægprofil 11 fundet iTabel 2.7 og Tabel 2.8. Idet koordinatsystemets y-akse er vent i forhold til beregningerne afkraftpåvirkningen bliver Q y = -0,971 kN, og et inertimoment I zz = I x = 81,591 m 40,971⋅0,225 kNk = = −0,00273(2-18)81,591mIdet den forskydende kraft kan bestemmes i alle punkter på tværsnittet, findes forskydningsspændingenover tværsnittet at formelH xτ =(2-19)tForskydningensspændingen i punkterne A-E bestemmes ved formel (2-19)τA= 0kPa− 22,442 ⋅ −0,0027τ B1 == 0, 267 kPa0,22515,524 ⋅ −0,0027τ B2 == −0,185 kPa0,225− 37,971⋅−0,0027τ B3 == 0, 452 kPa0,225−11,052⋅ −0,0027τ C == 0, 132 kPa0,2253,291⋅−0,0027τ D == −0,039 kPa0,22514,681⋅−0,0027τ E == −0,175 kPa0,22533

K2. Bygningens totalstabilitetPå Figur 2.15 er spændingerne over tværsnittet optegnet for komposanten i y-aksens retningved vindpåvirkning fra øst.Figur 2.15 Spændingsfordeling hidrørende y-komposanten for vægelement 11 for vind fra østPå tilsvarende måde findes forskydningsspændingen for komposanten i x-aksens retning forvindlast fra øst, hvorefter disse adderes, for den samlede forskydningsspænding over tværsnittet.Forskydningsspændingerne for de øvrige profiler er bestemt på tilsvarende måde og fremgåraf Figur 2.35 for hhv. vind fra øst og vind fra nord.I det foregående er størrelsen på normal- og forskydningskræfterne fundet ved bunden af debærende vægge. Inden fordelingen kan optegnes for tårnets bærende vægge skal normal- ogforskydningskræfterne bestemmes for tårnets 7. og 8. etage.2.9 Beregninger for tårnets 7. og 8. etageI det følgende bestemmes spændingerne hidrørende fra tårnet. Tårnet beregnes som værendeet stift legeme. Tårnet antages at være et tyndfliget tværsnit idet tykkelsen, t, er meget mindreend længden af tværsnittet. Idet tårnet er fast indspændt med de underliggende etager, regnestværsnittet udsat for bunden vridning. Tårnets tværsnit fremgår af Figur 2.16.34

JF Kennedy ArkadenFigur 2.16 De bærende vægge på 7. – 8. etage, med valgt placering af x- og yaksen, samt systemet i 3DI det følgende regnes der med betegnelserne t for tykkelsen, samt a for længden svarende til 1Hmeter. Normalspændingerne, σxx, fra vridning bestemmes af formelen: [Rumbjælker, 2002, s.77]:σHer erHxx2d θ= −E⋅ ωn⋅(2-20)2dxE elasticitetsmodulet for beton [kN/m 2 ]ω n normaliseret sektorkoordinat [m 2 ]θvridningsvinklen [-]Forskydningsspændingerne fra vridning bestemmes af formlen [Rumbjælker, 2002, s. 83]:H xHer erd 3θE ⋅ Sω ⋅ ⋅t(2-21)dx=3E elasticitetsmodulet for beton [kN/m 2 ]S ω sektorstatiske moment [m 4 ]θ vridningsvinklen [-]35

K2. Bygningens totalstabilitetFor at kunne løse formel (2-20) og (2-21) skal flere parametre, der skal bestemmes. I det følgendebestemmes disse, hvorefter spændingerne findes.2.9.1 Bestemmelse af tværsnittets tyngdepunkt, TPTværsnittets tyngdepunkt samt inertimomenter er bestemt som i afsnit 2.2 og fremgår afTabel 2.11.Tabel 2.11 Tværsnitsdata for tårnInertimomenterAfstand til TPAreal I xx’ I yy’ X TP Y TP60·a·t 3725 · a 3 · t 1584 · a 3 · t 4,5· a 11,85· aTyngdepunktets placering er skitseret på Figur 2.17.Figur 2.17 Tyngdepunktets placering samt nyt koordinatsystem med origo i TP36

JF Kennedy Arkaden2.9.2 Bestemmelse af tværsnittes forskydningscenter, FCKoordinaterne til forskydningscentret kan bestemmes efter formlerne [Rumbjælker, 2002, s.32]:x'F− Iωy= (2-22)Ixx'Her erI ωy sektorcentrifugalmomenter [m 4 ]I xx' Inertimomentet om x’-aksen [m 5 ]Iωxy'F= (2-23)Iyy'Her erI ωx sektorcentrifugalmomenter [m 4 ]I yy' Inertimomentet om y’-aksen [m 5 ]Bestemmelse af tværsnittets afstandsmæssige variation med x’ og y’.x’s variation over tværsnittet er optegnet på Figur 2.18.Figur 2.18 x’(s).Mål i mm37

K2. Bygningens totalstabilitety’s variation over tværsnittet y’(s) bestemmes. Resultaterne fremgår af Figur 2.19.Figur 2.19 y’(s).Mål i mmSektorkoordinaten ω bestemmes. Det gøres ud fra formlen [Rumbjælker, 2002, s. 32]:dω= r ⇒ dω = r ⋅ ds ⇒ ω = r ⋅ s + C(2-24)dsHer err vinkelrette afstand fra betragtet element til TP [m]s strækningen over elementet [m]ω sektorkoordinaten [m 2 ]Formel (2-24) anvendes på de enkelte strækninger:Strækning AB:s = 6aAB: rdω= 10,5a = , ω = 10,5a ⋅ds=ds∫6a06a2[ 10,5a ⋅s+ C] , ω = 10,5a ⋅6a+ C = 63a C0 B+38

JF Kennedy ArkadenStrækning BC:dωBC :r = 9,15a = , ω = 9,15a ⋅s+ C1ds2ω = 9,15a ⋅s+ 63a + C, ω = 200,25a2C2i det for+ Cs2= 0⇒ ω = ωBStrækning CD:dωCD : r = 4,5a = ,dsω = 4,5a ⋅s+ 200,25a32ω = 4,5a ⋅s+ C+ C,ωD2= 294,75a2+ C,ωE= 254,25a2+ CStrækning EF:dωEF : r = 2,85a = ,dsω = 2,85a ⋅s+ 254,25a42ω = 2,85a ⋅s+ C,4+ C32ωF = 262,8a+ CStrækning FG:dωFG : r = 1,5a = , ω = 1,5a ⋅s5+ C4ds22ω = 1,5a ⋅s+ 262,8a + C,ωG = 276,3a+ C5Strækning GH:dωGH : r = 11,85a = , ω = 11,85a ⋅s6+ C5ds22ω = 11,85a ⋅s+ 276,3a + C,ωH = 347,4a+ C6Sektorkoordinaten normaliseres, idet der skal gælde,∫ ω ⋅t⋅ ds = 0(2-25)Hermed sikres, at der vil forekomme ren vridning, idet der ikke optræde normalkrafter i tværsnittet.Figur 2.20 anvendes til bestemmelse af konstanten, C så (2-25) er opfyldt.39

K2. Bygningens totalstabilitetFigur 2.20 Bestemmelse af CKonstanten C bestemmes grafisk ved at multiplicere arealerne:s 1 6·a·c + (63- 0)·a 2 · 6a · ½ +s 2 (63a 2 + C) · 15a + (200,25- 63)a 2 · 15a · ½ +s 3 (200,25a 2 + C) · 21a + (294,75- 200,25)a 2 ·21a · ½ +s 4 (254,25a 2 + C) ·3a + (262,8- 254,25)a 2 ·3a · ½ +s 5 (262,8a 2 + C) ·9a + (276,3- 262,8)a 2 ·9a · ½ +s 6 (276,3a 2 + C) ·6a + (347,4- 276,3)a 2 ·6a · ½ = 0 ⇒= 12433,5·a 3 + 60a · C = 0 ⇒ C = -207,2 · a 240

JF Kennedy ArkadenMed C bestemt kan den normaliserede sektorkoordinaten ω’s variation over tværsnittet optegnesjvf. Figur 2.21.Figur 2.21 Den normaliserede sektorkoordinaten ω n (s) variationBestemmelse af sektorcentrifugalmomentet I ωx til brug i formel (2-23), til bestemmelse afFC’s Y F koordinat, sker ved (2-26)∫x( s)⋅ω(s)⋅ dA = ∫x(s)⋅ω(s)⋅ t ⋅ ds = t ⋅∫ x(s)⋅ω(s ⋅Iω x= ) ds(2-26)Ved brug af Figur 2.22 kan løsningen til (2-26) findes ud fra Figur 2.18.Figur 2.22 Løsning til integralet [ Rumbjælker, 2002, Appendiks]41

K2. Bygningens totalstabilitetStrækning s 1 :22⋅ ( − 207,2 ⋅ a ) + 2 ⋅10,5a⋅ ( −144,2⋅ a )22( −144,2⋅ a ) + 10,5a⋅ ( − 207,2 ⋅ a )6a1 ⎛2⋅10,5a⎞t ⋅ x ds a ⎜⎟∫ ⋅ω⋅1= ⋅ 6 ⋅= − ⋅ aa1106960⎝+10,5 ⋅⎠Strækning s 2 :15at ⋅ ∫022⋅ ( −144,2⋅ a ) + 2 ⋅ ( −4,5a)⋅ ( − 7,0 ⋅ a )22( − 7,0 ⋅ a ) − 4,5a⋅ ( −144,2⋅ a )1 ⎛2⋅10,5a⎞x ⋅ω⋅ ds a ⎜⎟2= ⋅15⋅= − ⋅ aa59756 ⎝+10,5 ⋅⎠Strækning s 3 :21at ⋅ ∫02( − 7,0 ⋅ a )21 ⎛2⋅ ( −4,5a)⋅ + 2 ⋅ ( −4,5a)⋅87,5⋅ a ⎞x ⋅ω⋅ ds a ⎜⎟3= ⋅ 21 ⋅= − ⋅ a22a a a ( a )38046 ⎝−4,5 ⋅87,5⋅ − 4,5 ⋅ − 7,0 ⋅⎠Strækning s 4 :3a221 ⎛2⋅ ( −4,5a)⋅ 47 ⋅ a + 2 ⋅1,5a⋅ 55,6 ⋅ a ⎞t ⋅ x ds a ⎜⎟∫ ⋅ω⋅4= ⋅ 3 ⋅= − ⋅ a22a a a a21860⎝−4,5 ⋅ 55,6 ⋅ + 1,5 ⋅ 47 ⋅ ⎠Strækning s 5 :9a221 ⎛2⋅ ( −1,5a) ⋅ 55,6 ⋅ a + 2 ⋅ ( −1,5a) ⋅ 69,1 ⋅ a ⎞t ⋅ x ds a ⎜⎟∫ ⋅ω⋅5= ⋅ 9 ⋅= − ⋅ a22a a a a84260⎝−1,5⋅ 69,1 ⋅ −1,5⋅ 55,6 ⋅⎠Strækning s 6 :6a221 ⎛2⋅ ( −1,5a) ⋅ 69,1 ⋅ a + 2 ⋅1,5a⋅140,2⋅ a ⎞t ⋅ x ds a ⎜⎟∫ ⋅ω⋅6= ⋅ 6 ⋅= ⋅ a22a a a a10760⎝−1,5⋅140,2⋅ + 1,5 ⋅ 69,1 ⋅ ⎠4⋅ t4⋅ t4⋅ t444⋅ t⋅ t⋅ tIωx= ∑ Iωxi= ( −11069− 5975 − 3804 − 218 − 842 + 107) ⋅ a4⋅ t = − 21801⋅a4⋅ tBestemmelse af sektorcentrifugalmoment, I ωy bestemmes tilsvarende I ωx og er fundet til:Iωy= ∑ Iωyi= (-6294-10376 - 4614 - 439 - 4216 - 7441) ⋅a4⋅ t = − 33380⋅a4⋅ t42

JF Kennedy ArkadenDen endelige placering af koordinatet til forskydningscentret, FC bestemmes ved brug af (2-22) og (2-23).− I=I33380 ⋅ a=3725⋅a4ωyxF3xx'I=I⋅ t⋅ t4− 21801⋅a ⋅ t=1584 ⋅ a ⋅ tωxyF3yy'= 9,0 ⋅ a= −13,8⋅ aPlaceringen af FC i forhold til tårnet er illustreret på Figur 2.23.2.9.3 Bestemmelse af det sektorstatiske moment, S ωDet sektorstatiske moment findes af formlen:∫Sω = t ⋅ ωn⋅ ds(2-27)Figur 2.23 s-retninger til bestemmelse af sektorstatiskmoment med afstand til TP, desuden fremgår beliggenhedenaf det beregnede forskydningscenter43

K2. Bygningens totalstabilitetDa forskydningsspændingerne er 0 ved en fri rand fås følgende randbetingelser.A: H x = 0D: H x = 0H: H x = 0Fra A til B:2ωn= −207,2a+ 10,5a ⋅s12 12Sω= t ⋅ ( −207,2a⋅ s1+ ⋅10,5a⋅ s1+ C1)jf. randbetingelser C 1 =0222= t ⋅(−207,2⋅a ⋅ s + 5,25⋅a ⋅ s )Fra B til C:112ωn= −144,2a+ 9,15a ⋅s22 123Sω= t ⋅ ( −144,2a⋅ s2+ ⋅ 9,15a⋅ s2+ C2) jf. randbetingelser s 2 = 0⇒ S ω= t ⋅ a ⋅ ( −1054,2)222 3= t ⋅ ( −144,2⋅ a ⋅ s + 4,575⋅a ⋅ s − a ⋅1054,2)22Fra C til E:ωn= −7,0a2+ 4,5a ⋅ s32 123Sω= t ⋅ ( −7,0a⋅ s3+ ⋅ 4,5a⋅ s3+ C3) jf. randbetingelser s 3 = 0⇒ S ω= t ⋅ a ⋅ ( −2187,8)222 3= t ⋅ ( −7,0⋅ a ⋅ s + 2,25 ⋅ a ⋅ s − a ⋅ 2187,8)33Fra D til E:2ωn= 87,5a − 4,5a ⋅s42 12Sω= t ⋅ ( 87,5a⋅ s4+ ⋅ 4,5a⋅ s4+ C4) jf. randbetingelser s 4 = 0⇒ C 4 = 0222= t ⋅ (87,5 ⋅ a ⋅ s + 2,25⋅a ⋅ s )44Fra H til G:ωn= 140,2a2−11,8a⋅ s52 12Sω= t ⋅ ( 140,2a⋅ s5+ ⋅ ( −11,8)a ⋅ s5+ C5) jf. randbetingelser s 5 = 0⇒ C 5 = 0222= t ⋅ (140,2 ⋅ a ⋅ s − 5,9 ⋅ a ⋅ s )5544

JF Kennedy ArkadenFra G til F:ωn= 69,1a2−1,5a⋅ s62 12Sω= t ⋅ ( 69,1a⋅ s6+ ⋅ ( −1,5)a ⋅ s6+ C6) jf. randbetingelser s 6 = 0⇒ S 3 ω= t ⋅ a ⋅ 628, 8222 3= t ⋅ (69,1 ⋅ a ⋅ s − 0,75 ⋅ a ⋅ s + a ⋅ 628,8)66Fra F til E:ωn= 55,6a2− 2,87a ⋅ s72 12Sω= t ⋅ ( 55,6a⋅ s7+ ⋅ ( −2,87)a ⋅ s7+ C7) jf. randbetingelser s 7 = 0⇒ S 3 ω= t ⋅ a ⋅1190, 0222 3= t ⋅ (55,6 ⋅ a ⋅ s − 2,87 ⋅ a ⋅ s + a ⋅1190,0)772.9.4 Bestemmelse af sektorinertimomentet IωSektorinertimomentet, I ω er defineret som [Rumbjælker, 2002, s.77]∫2Iω= ωndA(2-28)AHer erω n den normaliserede sektorkoordinat, fundet i afsnit 2.9.2 .Da s er løbende langs tværsnittet og tykkelsen t er konstant fås:∫2Iω = t ⋅ ωn⋅ ds(2-29)45

K2. Bygningens totalstabilitetIFigur 2.24 s-retninger til bestemmelse af sektorinertimoment. s 3 går fra 0 til 21 og s 4 er derfor ikke med21a222∫ ( −144,2a+ 9,15a ⋅ s2) ds2+ ∫ ( − 7,0a + 4,5a ⋅s3)6a9a3a2222∫ ( 140,2a −11,8a⋅ s5) ds5+ ∫ ( 69,1a −1,5a⋅s6) ds6+ ∫ ( 55,6a − 2,87a ⋅ s7)0IIωtωω=6a∫0( −207,2a= 457518 ⋅ a52⋅ t+ 10,5a ⋅ s1)02ds1+15a523 6( 1000mm) ⋅ 225mm= 1,03⋅10= 457518⋅mm02002ds7⇒2ds3+Bestemmelse af vridningsinertimomentetVridningsinertimomentet er givet ved [Rumbjælker, 2002, s.70].Iv=∫A3t ( s)ds3(2-30)Her ertstykkelsen [mm]tværsnittes længde [mm]46

JF Kennedy ArkadenHer fås ved brug af (2-30):I v=39 4( 225mm) = 227,8 ⋅10320 ⋅ a ⋅t= 20 ⋅1000mm⋅mmBestemmelse af værdierI det følgende regnes med at elasticitetsmodulet for beton er E = 1,75 · 10 4 MPa og poissonsforholdυ = 0,2I ω[mm 6 ]I v[mm 4 ]Tabel 2.12 Værdier af parametreGk[N/mm 2 ] [mm -1 ]E2 ⋅ (1 + ν )k 2[mm -2 ]G ⋅ I vE ⋅I ωk 3[mm -3 ]1,03 · 10 23 227,8 · 10 9 7291,7 9,6· 10 -7 9,22· 10 -13 8,85· 10 -192.9.5 Bestemmelse af m xm x er det konstante moment, der påvirker tværsnittet, jf. Figur 2.25.Figur 2.25 Skitsetegning til bestemmelse af m x , mål i mm , længden 12450 benævnes d arm47

K2. Bygningens totalstabilitetm x med vind fra østM v er det resulterende vridende moment:kNM = qvind⋅ darm⋅ A = 0,65⋅12,45m⋅ 21m⋅ 6,4 m = 1087,2mv6kNmm x er det konstante vridende moment pr. højde af bygning:mM=h1087,6 kNm== 169,6,4 mvx9kNmmm x med vind fra nordd arm er her beregnet til 6000mmkNM = qvind⋅ darm⋅ A = 0,65⋅ 6 m ⋅ 21m⋅ 6,4 m = 524,2mmv2M=h524,2 kNm= = 81,6,4mvx9kNmmkNm2 3d θ d x2.9.6 Bestemmelse af og til brug i formel (2-20) og(2-21).23dx dxDet vridende moment M x for en bjælke med åbent tyndfliget tværsnit og påvirket til ren vridning,er givet ved [Rumbjælker, 2002, s.78]:Mx3dθ d θ= G ⋅ Iv⋅ − E ⋅ Iω⋅(2-31)3dx dxM x = m x · hDa tårnet er fast indspændt er det vridende moment statisk ubestemt. Det betyder at vridningsvinklenθ bestemmes ved. [Rumbjælker, 2002, s.78]:Her er42d θ 2 d θ mx− k ⋅ − = 042(2-32)dx dx E ⋅ IωkE2I ωm xI vG ⋅ I=E ⋅ Ivωelasticitets modulet for beton.sektorinertimomentet.konstant momentpåvirkning.inertimoment for vridning.48

JF Kennedy ArkadenDifferentialligningen (2-32) har den fuldstændige løsning:= C ⋅sinh(k⋅ x) + C ⋅ cosh(k ⋅ x) + C ⋅ x + C g(x)(2-33)θ1 23 4−hvor g(x) er en partikulær løsning til (2-32).For m x konstant er:mx⋅ xg(x) = −2 ⋅ G ⋅ I2vDe afledede til (2-33) er:dθdx( k ⋅ x) + C ⋅ k ⋅sinh( k ⋅ x)x= C1⋅ k ⋅ cosh2+ C3−(2-34)G ⋅ Ivm⋅ x2d θ2dx2( k ⋅ x) + C ⋅ k ⋅ cosh( k ⋅ x)2x= C1⋅ k ⋅sinh2−(2-35)G ⋅ Ivm3θ3dxd 312( k ⋅ x) + C ⋅ k ⋅sinh( k ⋅ x)3= C ⋅ k ⋅ cosh(2-36)2.10 Normal- og forskydningsspændinger for vind fra østI det følgende vil normal- og forskydningsspændingerne blive beregnet. Spændingerne bestemmesi bunden af 7. etage og henføres herfra til fundamentets overkant. Her summeres demed spændingerne fra 1. til 6. etage, hvorved de totale spændinger fra vertikal last er bestemt.Randbetingelserne for tværsnittet:Ved faste understøtninger og simple vridningsunderstøtninger er vridningsvinklen θ = 0 dvs.(R1) x = 0 θ = C 2 + C 4 = 0Når hvælving er hindret gælder at u x = 0 dvs. dθ/dx = 0dθ(R2) x = 0 = C1 ⋅ k + C3= 0dx2H d θKan hvælvingen foregå frit gælder, at σxx= 0 ⇒ = 0dx49

K2. Bygningens totalstabilitet2d θ22mx(R3) x = h = C1⋅ k ⋅sinh(k⋅ h) + C2⋅ k ⋅ cosh(k ⋅ h) − = 02dxG ⋅ IvFor en fri rand er M x = M s,x + M H, x . Det giver [Rumbjælker, 2002, s.79]:3dθd θ(R4) x = h G ⋅ Iv− E ⋅ Iω= M = 03 xdx dxDet vides afk2G ⋅ Iv=2E ⋅ IωG ⋅ I⇒ v = E ⋅ Ikωdvs.3dθ G ⋅ Iv d θG ⋅ Iv− ⋅ = Mx= 0 ⇒2 3dx k dxG ⋅ Iv⋅ (C1⋅ k ⋅ cosh(k ⋅ h) + C2⋅ k ⋅ sinh(k ⋅ h) + Cmx⋅ h− −G ⋅ I33( C ⋅ k ⋅ cosh(k ⋅ h) + C ⋅ k ⋅ sinh(k ⋅ h) ) = M = 0 ⇒G ⋅ Iv⋅2 1kmx⋅ hMx= C3− = 0G ⋅ IvKonstanterne C 1 , C 2, C 3, C 4 bliver med vind fra øst ved brug af randbetingelser R1-R423xvFra (R4):6 Nmm169,9⋅10⋅ 6400mmm ⋅ hCmm310x−4−1= == 6,55⋅mmG ⋅ I3 Nv9 47,29 ⋅10⋅ 227,8 ⋅10mm2mmFra (R2):C− m⋅ h−169,9⋅10⋅ 6400mmx1= == −G ⋅ I ⋅3 Nvk9 47 17,29 ⋅10⋅ 227,8 ⋅10mm ⋅9,6⋅10− mm −2mm6Nmmmm682Fra (R1) og (R3):C2= −C4=11101550

JF Kennedy Arkaden3d xog , med vind fra øst, kan normal- og forskydningsspæn-3dx2d θMed de fundne størrelser2dxdingerne bestemmes.Normalspændinger med vind fra østNormalspændingerne bestemmes af formlen [Rumbjælker, 2002, s.77].σHer erEHxxω n2d θdx22d θ= −E⋅ ωn⋅(2-37)2dxelasticitetsmodulet for beton.normaliseret sektorkoordinat.den anden afledede til vridningsvinklen.Spændingerne bestemmes i profilets bund, hvorfor x sættes lig 0. Den anden afledede bestemmestil:2d θdx2= C111014 ⋅ (9,6 ⋅101⋅ k2⋅sinh(k ⋅ x)+ C−72⋅ k6169,9 ⋅10) ⋅1−37,29 ⋅10⋅ 227,8 ⋅102mx⋅ cosh( k ⋅ x)−G ⋅ I9v= 1,9 ⋅10=−12Normalspændingerne beregnes langs væggen og findes i punkterne vist på (2-26).Figur 2.26 Punkter på væggen51

K2. Bygningens totalstabilitetω n er bestemt i afsnit 2.9.2 , og ved indsættelse i (2-37) fås,For punkt Aω n = -207· a 2H4 N2−12−2Nσxx= −1,75⋅10⋅ ( −207,2)⋅ (1000mm)⋅1,9⋅10mm = 6,922mmmmFor punkt Bω n = -144,2· a 2H4 N2−12−2Nσxx= −1,75⋅10⋅ ( −144,2)⋅ (1000mm)⋅1,9⋅10mm = 4,822mmmmFor punkt Cω n = -7,0· a 2H4 N2−12−2Nσxx= −1,75⋅10⋅ ( −7,0)⋅ (1000mm)⋅1,9⋅10mm = 0,2322mmmmFor punkt DσHxx= −1,75⋅104Nmm2ω n = 87,5· a 2 2⋅ (87,5) ⋅ (1000mm)2⋅1,9⋅10−12mm−2= −2,9NmmFor punkt EσHxx= −1,75⋅104Nmm2ω n = 47,0· a 2 2⋅ (47) ⋅ (1000mm)2⋅1,9⋅10−12mm−2= −1,6NmmFor punkt FσHxx= −1,75⋅104Nmm2ω n = 55,6· a 2 2⋅ (55,6) ⋅ (1000mm)2⋅1,9⋅10−12mm−2= −1,8Nmm52

JF Kennedy ArkadenFor punkt GσHxx= −1,75⋅104Nmm2ω n = 69,1· a 2 2⋅ (69,1) ⋅ (1000mm)2⋅1,9⋅10−12mm−2= −2,3NmmFor punkt HσHxx= −1,75⋅104Nmm2ω n = 140,2· a 2 2⋅ (140,2) ⋅ (1000mm)2⋅1,9⋅10−12mm−2= −4,7NmmFor at få den samlede spændingsfordeling bestemmes spændingerne hidrørende det bøjendemoment. Det bøjende moment regnes ligeledes for vind fra øst.I beregninger medtages kun horisontal last, dvs. N = 0.Mσ ⋅ x(2-38)Her erbøjbøj =iyy'M bøjimomentet fra den vandrette last fra vind fra øst [kNm]I yy’ inertimomentet for bygningen om TP om y-aksen [m 4 ]x vandret afstand til TP fra betragtet punkt, jf. Figur 2.18 [m]Figur 2.27 Figur til bestemmelse af det bøjende moment M samt den vandrette kraft Q53

K2. Bygningens totalstabilitetFor punkt A bliver normalspændingen σ bøj fra det bøjende moment med vind fra øst:Afstanden i x retningen fra TP til punkt A lig 10,5 m, jf. Figur 2.18.Afstandende på Figur 2.27 er fundet til:Bredden b = 21m.Højden h = 6,4mHøjden fra fundament d = 23,9mVertikale kraft fra vind q v = 0,65kN/m 2MIσxyy'Bøj= qvkN⋅b⋅ h ⋅ d = 0,65 ⋅ 21,0m⋅ 6,4 m ⋅ 23,9 m = 2088kNm2m= 1584 ⋅ a3⋅t= 1584 ⋅( 1m)2088kNmkN= ⋅10,5m = 61,542356,4 mm3⋅ 0,225m= 356,4 m= 0,062Nmm24Den totale normalspænding bliver dermed:σ = σ σ= 0 ,06 MPa + 6,9 MPa = 7,HA bøj+xx0MPaVærdierne for de øvrige punkter er opstillet i Tabel 2.13. Disse værdier skal multipliceresmed normalspændingerne fra 1. til 6 etage.Tabel 2.13 De samlede normalspændinger ved fundamentet for horisontal last for vind fra østσ H xx x-afstand σPunktBøj σ total for tårn[MPa] [m] [MPa] [kPa]A 6,9 10,5 0,06 6960B 4,8 10,5 0,06 4860C 0,23 -4,5 -0,03 2330D -2,9 -4,5 -0,03 -2930E -1,6 -4,5 -0,03 -1630F -1,8 -1,5 -0,01 -1810G -2,3 -1,5 -0,01 -2310H -4,7 1,5 0,01 -4710Normalspændingerne er optegnet på Figur 2.28.54

JF Kennedy ArkadenFigur 2.28 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last fra øst [kPa]Forskydningsspændinger med vind fra østDen forskydende kraft pr. længdeenhed bestemmes ud fra formel(2-21):3d θH x= E ⋅S⋅ ⋅tω 3dxHer erES ωθelasticitetsmodulet for beton.sektorstatiske moment.vridningsvinklen.Forskydningsspænding τ, fås herved til:H xτ =(2-39)tHer erttykkelsen af tværsnittet [m]Til bestemmelse af den forskydende kraft, bestemmes:3d θ33= C1⋅ k ⋅cosh(kx)+ C2⋅ k ⋅sinh(kx)3dx55

K2. Bygningens totalstabilitetDa spændingen ønskes bestemt i bunden af 7.etage sættes x = 0 , jf. Figur 2.25.dvs. for x = 0 ,d θdx3−19−16−3= −682⋅8,85⋅10= −6,03⋅10mm3For punkt ASω= t ⋅s 1 = 0mm22( − 207,2⋅ a ⋅ s + 5,25 ⋅ a ⋅ s )H x = 0 N/mm 2N0Ndvs. τ = mm = 02225mm mm11For punkt BS ω= t ⋅ as 2 = 0mm3⋅( −1054,2)3( 225mm⋅ ( 1000mm) ⋅ ( −1054,2))4 N−16−3H x= 1,75 ⋅10⋅⋅ −6,03⋅10mm = 25032mmN2503Ndvs. τ =mm= 11,12225mmmmNmmFor punkt CS ω= t ⋅ as 3 = 0mm3⋅( − 2187,8)3( 225mm⋅ ( 1000mm) ⋅ ( − 2187,8))4 N−16−3H x= 1,75 ⋅10⋅⋅ −6,03⋅10mm = 51952mmN5195Ndvs. τ =mm= 232225mmmmNmm56

JF Kennedy ArkadenFor punkt Ds 4 = 0mmH x= 0, 0NmmN0Ndvs. τ = mm = 02225mm mmFor punkt E= t ⋅ a3 ⋅ 970S ωs 7 = 0mm3( 225mm⋅ ( 1000mm) ⋅ ( 970))4 N−16−3H x= 1,75 ⋅10⋅⋅ −6,03⋅10mm = −23032mmN− 2303Ndvs. τ =mm= −102225mmmmFor punkt F= t ⋅ a3 ⋅1190S ωs 7 = 0mm3( 225mm⋅ ( 1000mm)⋅1190)4 N−16−3H x= 1,75 ⋅10⋅⋅ −6,03⋅10mm = −28252mmN− 2825Ndvs. τ =mm= −12,62225mmmmNmmNmmFor punkt G= t ⋅ a3 ⋅ 628,8S ωs 6 = 0mm3( 225mm⋅ ( 1000mm)⋅ 628,8)4 N−16−3H x= 1,75 ⋅10⋅⋅ −6,03⋅10mm = −14932mmN−1493Ndvs. τ =mm= −6,62225mmmmNmm57

K2. Bygningens totalstabilitetFor punkt Hs 5 = 0mmH x= 0, 0NmmN0Ndvs. τ = mm = 02225mm mmDe ovenstående forskydningsspændinger stammer fra det vridende moment. I det følgendefindes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q.Qy⋅ Syτ =(2-40)I ⋅ tHer eryy'QS yI yy”tvandrette kraft.statiske moment om x-aksen for betragtet punkt.inertimomentet om y-aksen.tykkelsen af vægprofilerne.Q findes ud fra Figur 2.27 for vind fra øst.kNQλ= 0,65⋅ 21m⋅ 6,4 m = 91, 4kN2m34( 1m) ⋅ 0,225m356,I yy1584 = m3'= ⋅ a ⋅ t = 1584 ⋅4t = 0,225mDet statiske moment om y-aksen bestemmes af:Her er∫S y= x ⋅ dA = t ⋅ x ⋅ s(2-41)xtsafstand i x retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m]tykkelsen af profilet [m]afstand til betragtet punkt fra begyndelsespunktet A [m]De statiske momenter bestemmes ud fra Figur 2.29.58

JF Kennedy ArkadenFigur 2.29 De statiske momenter bestemmes ud fra viste buemål s1, s2, s3, s4, s5, s6Punkt Længde y xTabel 2.14 De statiske momenter.S = ∫ ytdsS ∫x y= xtdsA 0 0s 1 6a 3,15a+6s 1 10,5a2,15a⋅ s1 ⋅ t + 3⋅s1⋅ t10,5a⋅ s1B22Cs 2 15a 9,15a 10,5a -s 2 2126,9 ⋅ a ⋅t+ 9,15a⋅ s2⋅t3 ⋅t126 ,9 ⋅ a ⋅t63 ⋅ a ⋅ t2163 ⋅ a ⋅ t + 10,5a⋅ s2⋅ t − ⋅ t ⋅ s222264 ⋅ a ⋅t108 ⋅ a ⋅ tH 0 0s 4 6a -11,85a 4,5a-s 4 −11,85a⋅ s ⋅ t 44 ,5a⋅ s4⋅tGFEs 5 9a -11,85a+s 5-1,5as 6 3a -2,85a 3a-s 6t1 2− ⋅ s4⋅t222− 71,1⋅ a ⋅t9 ⋅ a ⋅ t− 71 2,1 ⋅ a ⋅t + 2a ⋅ s ⋅ t − ⋅ s ⋅ t219 ⋅ a ⋅ t −1,5a⋅ s ⋅t9555222− 30,6⋅ a ⋅t− 4,5 ⋅ a ⋅t2− 30,6 ⋅ a ⋅− 2 ,85a⋅ s6⋅ t − 4 2,5 ⋅ a ⋅t1+ 23 a ⋅ s ⋅ t − ⋅ s ⋅ t66222− 39,2⋅ a ⋅t− 45 ⋅ a ⋅ t22D 0 059

K2. Bygningens totalstabilitetMed a = 1m og t = 0,225m bliver de statiske momenter om de to akser i [m 3 ].Tabel 2.15 De statiske momenter i de valgte punkterSPunktxS y[m 3 ] [m 3 ]A 0 0B 28,6 14,2C 59,4 10,1H 0 0G -16,0 2,0F -6,9 -1,0E -8,8 -10,1D 0 0Det er nu muligt at bestemme forskydningsspændingen fra den vandrette last.Eksempel for punkt B, vind fra øst391,4 kN ⋅28,6m kNτ == 32,642356,4m⋅0,225mmB= 32, 6kPaDe øvrige forskydningsspændinger er beregnet og opstillet i Tabel 2.16Tabel 2.16 Forskydningsspændinger fra vandret last vind fra østPunktτ px[kPa]A 0B 32,6C 67,7D 0E -10,0F -7,9G -18,2H 0Med vind fra øst er den samlede forskydningsspænding hidrørende vandret last på tårnet optegnetpå Figur 2.30:60

JF Kennedy ArkadenFigur 2.30 Forskydningsspændinger for tårn med vind fra øst [kPa]2.11 Normal- og forskydningsspændinger med vind fra nordMed vind fra nord skal konstanterne bestemmes med ny m x . Konstanterne C 1 , C 2, C 3, C 4 for x= 0 bliver med vind fra nord følgende:C 1[-]Tabel 2.17 Værdier af konstanterneC 2C 3[-][mm -1 ]C 4[-]m x[Nmm/mm]-329 53514 3,16·10 -4 -53514 81,9· 10 62d θdx2d θdx= C1⋅ k2⋅sinh2x−13( k ⋅ x) + C ⋅ k ⋅cos(k ⋅ x)− = 2⋅10333= C3 1⋅ k ⋅cosh(kx)+ C2⋅ k ⋅sinh(kx2mG ⋅ I) = −58,6⋅8,85⋅10v−19= −5,2⋅10−17Normalspændinger med vind fra nordNormalspændingerne fra det vridende moment med vind fra nord er bestemt ved samme fremgangsmådesom for vind fra øst. Normalspændingerne er opstillet i Tabel 2.18 .61

K2. Bygningens totalstabilitetTabel 2.18 Normalspændinger for tårnet med vind fra nord hidrørende fra det vridende momentσ H xxPunkt[MPa]A 3,0B 2,0C 0,1D -1,3E -0,7F -0,8G -1,0H -2,0For punkt A bliver normalspændingen fra det bøjende moment med vind fra nord, σ BøjAfstanden x er tidligere fundet jf. Figur 2.18 til 10,5a ⇒ 10,5m, se evt. Figur 2.27kNx= qv⋅ b ⋅ h ⋅ a = 0,65 ⋅ 23,9m ⋅ 6,4m ⋅15,0m= 1491kNmmM234( 1m) ⋅ 0,225m838,I xx3725 = m3'= ⋅ a ⋅t= 3725⋅1σ1491 kNm838 , 1 mkNmBøj= ⋅ 10 , 5 m = 18 , 7 = 0 , 024 2Nmm2Den totale normalspænding fra tårnet bliver dermed i punkt A:σ A = 0,02 MPa + 0,73 MPa = 0,75 MPa = 750 kPaTabel 2.19 Totale normalspændinger for tårnet med vind fra nordσ H xx x-afstand σPunktBøj σ total[MPa] [m] [MPa] [kPa]A 3,0 10,5 0,02 3020B 2,0 10,5 0,02 2020C 0,1 -4,5 -0,01 110D -1,3 -4,5 -0,01 -1310E -0,7 -4,5 -0,01 -710F -0,8 -1,5 0,0 -800G -1,0 -1,5 0,0 -1000H -2,0 1,5 0,0 -2000Normalspændingerne fra tårnet, med vind fra nord, er optegnet på Figur 2.31.62

JF Kennedy ArkadenFigur 2.31 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last, med vind fra nord [kPa]Forskydningsspændinger med vind fra nordBeregningerne for vind fra nord er fortaget på samme måde, men med m x udregnet for vindfra nord se afsnit 2.9.5 .Tabel 2.20 Forskydningsspændingerne for tårnet med vind fra nordPunkt H x [N/mm] τ [N/mm 2 ]A 0 0B 1209 5,7C 2508 11,2D 0 0E -1112 -4,9F -1364 -6,1G -721 -3,2H 0 0De ovenstående forskydningsspændinger stammer fra det vridende moment. I det følgendeberegnes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q.Q bestemmes som for find fra øst.kNQ y= 0,65⋅15m⋅6,4m = 65, 3kN2mt = 0,225m33I xx= 3725⋅a ⋅t= 3725⋅1m⋅ 0,225m= 838, m( )4'163

K2. Bygningens totalstabilitetForskydningsspændingerne er beregnet efter formel (2-40) og det statiske moment er tidligereberegnet og opstillet i Tabel 2.15.Tabel 2.21 Forskydningsspændinger fra vandret lastPunktS y[m 3 ]τ py[kPa]A 0,0 0B 14,2 4,9C 10,1 3,5H 0,0 0G 2,0 0,7F -1,0 -0,3E -10,1 -3,5D 0,0 0Ved summation af værdierne for spændingerne fra Tabel 2.20 og Tabel 2.21Figur 2.32 Forskydningsspændinger for tårne med vind fra nordVed beregningerne af forskydningsspændingerne er det valgt at se bort fra beregnet værdierfor den del af vægprofil 9, der består af 1.-3. etage, da dette delvist er opbygget af et lukkettyndfliget tværsnit. Beregningsmetoden for lukkede tyndfligede tværsnit er anvendt på vægprofil11, idet denne rapport indgår i en læreproces, er det valgt ikke at gentage denne beregning.64

JF Kennedy ArkadenI det følgende gives et eksempel for bestemmelse af den samlede normalspænding for vind fraøst. Der regnes for tårnets punkt B jf. Figur 2.29.Ud fra den anvendte metode der er benyttet i afsnit 2.1 er der for punkt B bestemt en normalspændingfor 1.-6. etage på 26 kPa. For 7. til 8. etage er der i afsnit 2.10 bestemt en normalspændingfra det vridende moment på 4800 kPa samt en normalspænding fra det bøjendemoment på 60 kPa. Sammenlagt giver det for punkt B:26 kPa + 4800 kPa + 60 kPa = 4886 kPa svarende til 4,9 MPa.Den endelige fordeling af normal- og forskydningsspændinger for vindpåvirkning fra hhv. østog nord, ses på Figur 2.33 til Figur 2.36.Figur 2.33 Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra øst[kPa]. Er ikke i mål. Træk er positiv.65

K2. Bygningens totalstabilitetFigur 2.34 Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra nord [kPa]. Er ikke i mål. Træk er positiv.Figur 2.35 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra øst [kPa]. Er ikke i mål66

JF Kennedy ArkadenFigur 2.36 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra nord [kPa]. Er ikke i mål67

K3. Detaildimensionering af TT dækK3. Detaildimensionering af TT dækI dette kapitel detaildimensioneres en del af etagedækket for taghaven. Det er valgt, at detaildimensioneredækket over Premierebiografen hvor spændvidden er 20,4 m. Etagedækket dimensioneresi hht. DS 411 og DS 410.3.1 Etagedæk over premierebiografArkaden opbygges af elementmoduler fra producenten Spæncom. Spæncom leverer vægelementer,med en modulbredde, der er delelig med 600 mm. For at undgå brug af dyre specialelementervælges at bruge producentens modulmål så der kan anvendes lagervarer. Tages derikke højde for disse modullængder, vil det medføre, at enkelte elementer skal specialfremstilles,hvilket vil forhøje prisen på elementet væsentligt. På Figur 3.1 fremgår spændretning fordækket over premierebiografen samt tilstødende dækelementer.Figur 3.1 Spændretning af etagedæk samt placering af premiere biografBiografen har en indvendig dimension på (l x b) 20,2 m x 24 m. Dækket over biografen liggeraf på en 200 mm bred væg. Da der også skal ligge dæk af på væggen fra de tilstødenderum bliver vederlaget 100 mm. Det vælges derfor at benytte et standart TT dæk med en dimension(l x b) på 20,4 m x 2,4 m. På Figur 3.2 er elementerne omkring biografen samt TTdækkene illustreret.68

JF Kennedy ArkadenFigur 3.2 Elementer i præmierebiografenVægelementerne leveres i modulmål, som er delelig med 600 mm. Herved fås følgende opbygningsom vist på Figur 3.3.Figur 3.3 Elementer omkring premierebiografenAntallet af elementer, der skal benyttes til Premierebiografen fremgår af Tabel 3.1.Tabel 3.1 Elementer til premierebiografenBredde (incl fuge) Højde Tykkelse Antal[mm] [mm] [mm] [stk]Væg 200a 2400 6000 200 55Væg 200b 2400 6000 200 2Væg 200c 2400 6000 200 1Væg 200d 1200 6000 200 2Væg 350 2400 2000 350 1869

K3. Detaildimensionering af TT dækDer skal til konstruktionen benyttes 10 stk. TT dæk med l x b på 20,4m x 2,4m. TT dækketmodelleres med fast simpel understøtning ved væggene som vist på Figur 3.4.Figur 3.4 Modellering af statisk system for TT dækket3.1.1 Laster på etagedækFor at isolere biografen og lave et underlag til taghaven monteres et sandwichelement ovenpåTT dækket som vist på Figur 3.5.50 mmFigur 3.5 Opbygning af præmiere biografens tagkonstruktionMed udgangspunkt i DS 410 bestemmes lasterne som TT dækelementerne skal bære. Linielasternepå TT dækket beregnes ud fra dækkets modulmål på 2400 mm.Tabel 3.2 LasterRumvægt Tykkelse Linielast pr. TT dækelement[kN/m 3 ] [m] [kN/m]Letbeton 14 0,05 1,7Isolerings batts. 0,3 0,25 0,2Letbeton 14 0,06 2,0TT-bjælke* - - 8,4Gipsloft 9 0,05 1,1* Spæncom angiver egenvægt på 3,5 kN/m 2Den samlede permanente last på TT dækket er 13,4 kN/m. I henhold til DS 410 skal der fortagterrasser regnes med en nyttelast på 3 kN/m 2 . Herved fås en linielast på 7,2 kN/m. På tagterrasserskal der ikke regnes med snelast, idet det forudsættes, at der ikke er personbelastningved sne på terrassen samt at personbelastning er større end snelasten.70

JF Kennedy ArkadenTabel 3.3 Laster som påvirker TT-dækelementet[kN/m]Permanent last G 13,4Nyttelast N y 7,23.1.2 LastkombinationerFølgende lastkombinationer er vurderet som værende dimensionsgivende for TT dækket.Anvendelsesgrænsetilstand LK 1 : 1 . G + 1 . NyBrudgrænsetilstand LK 2.1: 1 . G + 1,3 . NyBrand LK 3.3: 1 . G + 0,5 . NyPå Figur 3.6 er moment- og forskydningskraftfordeling for de 3 lastkombinationer vist.Lastkombination LK 1: Lastkombination LK 2.1: Lastkombination LK3.3:Figur 3.6 Kraftfordeling for LK 1, LK 2.2 og LK 3.33.2 BeregningsforudsætningerVed dimensionering af TT dækkene anvendes følgende beregningsforudsætninger:- Høj sikkerhedsklasse.- Passiv miljøklasse.- Normal materialekontrolklasse.71

K3. Detaildimensionering af TT dækHerved fås følgende partialkoefficienter for armering og beton som vist i Tabel 3.4.Tabel 3.4 Partial koefficienter [DS 411, 1999 s. 29]γ bγ s1,82 1,43ArmeringTT dækket længdearmeres med forspændte L12,5 linier. Linens arbejdslinie er vist på Figur3.7.Figur 3.7 Karakteristisk arbejdslinie for L12,5. [Søren Kloch, 2001, s. 2.3]Tværsnitskonstanterne for L12,5 linerne fremgår af Tabel 3.5.Tabel 3.5Tværsnitskonstanter for L12,5 [Søren Kloch, 2001, s. 2.3]Type Diameter Armerings areal, A s Elasticitetsmodul, E Brudstyrke, f uk[mm] [mm 2 ] [MPa] [MPa]L12,5 12,5 93 1,85 . 10 5 1760Til spaltearmering af TT dækket benyttes tentorstål med en karakteristisk flydespænding, f yk =550 MPa. Der anvendes dimensionerne φ10 og φ12 til spaltearmering. Til armering af flangenfor TT dækket benyttes et armeringsnet med en maskevidde på 200mm og en armeringsdiameterpå φ6.72

JF Kennedy ArkadenBetonDer anvendes følgende beton i TT dækket jf. Tabel 3.6.Tabel 3.6 BetonkarakteristikaNominel maks. korndiameter Trykstyrke, f ck Trækstyrke, f tk[mm] [Mpa] [Mpa]15 40 2For betonens bøjningstrækstyrke anvendes to gange trækstyrken i henhold til [DS 411, 1999,s.77].3.2.1 TT dækkets tværsnit samt konstanterTT dækket dimensioner fremgår af Figur 3.8. I beregningerne af TT dækket antages retliniettværsnit som vist på figuren til højre.Figur 3.8 Tværsnit af TT60 dæk fra Spæncom samt tilnærmet tværsnit. Mål i mmUd fra dimensionerne bestemmes følgende tværsnitskonstanter, som fremgår af Tabel 3.7.Tabel 3.7 TværsnitskonstanterTværsnitsareal Inertimoment Modstandsmoment KerneradierA I x W el,1 W el,2 k 1 k 2[mm 2 ] [mm 4 ] [mm 3 ] [mm 3 ] [mm] [mm]3,06 · 10 5 10,812 · 10 9 5,721· 10 7 2,631· 10 7 187 86Index 1 og 2 referer til hhv. tværsnittet bund og top.73

K3. Detaildimensionering af TT dæk3.3 Dimensionering af længdearmeringI dette afsnit bestemmes først et interval for forspændingskraften i forhold til anvendelsesgrænsetilstanden.Herefter fastsættes en forspændingskraft, og bjælkens brudmoment kontrolleresi brudgrænsetilstand 2.1. Der tages udgangspunkt i et tværsnit midt på bjælken armeretmed 24 liner som vist på Figur 3.9.Figur 3.9 Placering af armering ved bjælkens midte. Mål i mm og er fra centrum af armeringArmeringen er placeret i henhold til DS 411 krav til tykkelse af dæklag og armeringsafstande.Anvendelsesgrænsetilstand 1Der anvendes lastkombinationen 1: LK 1: 1 · G + 1 · N yHerved fås det maksimale momentet fra henholdvis den permanente last, M g og nyttelast, M ptil:M g = 697 kNmM p = 375 kNmFor at undgå revnedannelser i anvendelsesgrænsetilstanden ønskes forspændingskraften bestemt,så de resulterende spændinger opfylder:Her er− σ ≤ σ ≤(3-1)tσ cσ tσ cden numerisk største værdi af trækspændingerne.den største trykspænding som kan accepteres.74

JF Kennedy ArkadenI beregningerne forudsættes en elastisk spændingsfordeling i betontværsnittet som vist påFigur 3.10.Figur 3.10 Forudsat spændingsfordeling i betonenDer er ingen Norm krav til tilladelige trykspændinger i beton i anvendelsestilstanden, menerfaringsmæssigt bør der ikke vælges større spænding end 55 procent af den karakteristisketrykspænding [Kloch, Note 3, s. 3.4]. Der anvendes derfor 0,55·f ck for tilladelige trykspændingeri betonen og 2·f tk for bøjningstrækstyrken jf. afsnit 3.2 . Ved brug af spændingsfordelingernei Figur 3.10 fås følgende krav til forspændingskraften, K [Kloch, Note 3, s. 3.4].For tværsnittets overside:Mg+ Mp−σc⋅W2Mg+ σt⋅W≤ K ≤y − ky − kk2k22(3-2)For tværsnittets underside:MHer erM gM py kg+ Mp−σt⋅W1Mg+ σc⋅W≤ K ≤y + ky + kk1moment fra nyttelast [kNm]moment fra permanent last [kNm]Afstand fra tyngdepunktsakse til tyngdepunkt af armering [m]k11(3-3)I udtrykkene anvendes index 1 for tværsnitkonstanter hidrørende for den nederste del af tværsnittetog index 2 for den øverste del. Ved indsættelse i formlerne fås:For tværsnittets overside:For tværsnittets underside:1952 kN ≤ K ≤ 3159 kN1599 kN ≤ K ≤ 3710 kNHerved skal der anvendes en forspænding i intervallet:1952 kN ≤ K ≤ 3159 kN.75

K3. Detaildimensionering af TT dækDer benyttes 24 armeringsstænger, hvilket betyder, at hver armeringsline skal forspændesmed en kraft i intervallet:81 kN ≤ K ≤ 131 kN.Brudgrænsetilstand 2.1Elementer leveret af Spæncom kan maksimalt forspændes med 160 kN/line. Der er derforingen yderligere indsnævring af forspændingsintervallet. Det vælges at forspænde med enkraft på 117 kN/line af hensyn til brudmoment, krybning, svind og relaxation. Begyndelsestøjningen,ε 0 for en forspænding på 117 kN/line bestemmes ud fra Figur 3.11 til6,8 ‰.Figur 3.11 Arbejdskurve for L 12,5 liner. [ Kloch, 2001, s. 2.3]I det følgende antages en trykzone højde, x hvorefter det kontrolleres ved vandret ligevægt omden statiske betingelse for konstruktionen er opfyldt. På Figur 3.12 er spændings- og tøjningsfordelingenvist.Figur 3.12 Tværsnit samt tøjning og spændingsfordeling. (mål i mm)76

JF Kennedy ArkadenTrykzonehøjden, x antages til 64,5 mm. Tillægstøjningen i armeringen bestemmes:d − x 529mm− 64,5mm∆ε s= ε cu⋅ = 3 ,5‰ ⋅= 25,2‰(3-4)x64,5mmDen totale tøjning i armeringen bliver:ε ε + ∆ε= 6,8‰ + 25,2‰ 32,0‰(3-5)s=0 s=Ved brug af Figur 3.11 bestemmes kraften, F s i hver armeringsline til 161,6 kN. Idet antalletaf armeringsliner betegnes n, giver vandret projektion for tværsnittet:n ⋅ FH :γss0,8 ⋅ x ⋅ 2394 ⋅−γcfc=24 ⋅161,6⋅101,433N0,8 ⋅ 64,5mm⋅ 2394mm⋅ 40MPa−1,82= 2,7kNDet accepteres med denne afvigelse. Brudmomentet, M u på midten af bjælken bliver:MMuuFs= ( d − 0,4 ⋅ x)⋅ N ⋅ ⇒γs3161,6 ⋅10N= (529mm− 0,4 ⋅ 64,5mm)⋅ 24liner⋅1,43line= 1365kNm(3-6)Da det største snitmoment i LK 2.1 er 1184 kNm jf. afsnit 3.1.1 er der tilstrækkelig styrke.Da momentet hidrørende egenlasten er nul ved bjælkeenden undersøges for brud ved bjælkeendenforårsaget af forspændingen. På Figur 3.13 ses spændingsfordelingen ved bjælkeenden.Figur 3.13 Spændingsfordeling fra forspændingskraften ved bjælkeende77

K3. Detaildimensionering af TT dækSpændingsfordelingen bestemmes ved brug af Navier, jf. formel (3-7):F F ⋅ aσ = + ⋅ y(3-7)A IHer erzFaforspændingskraften [N]Afstanden fra tværsnittets tyngdepunktslinie til tyngdepunktet af armeringen [mm]Ved indsættelse i formel (3-7) bestemmes spændingen i tværsnittets top og bund:− 24 ⋅161,6⋅10σ =2305640mm⎧y= −189mm⇒ 7,5MPaσ = ⎨⎩y= 411mm⇒ −45,5MPa33N − 24 ⋅161,6⋅10N ⋅340mm+⋅ y9 410,812 ⋅10mmDa spændingerne ikke ligger i intervallet [-4 Mpa ; 22 MPa] opstår der brud ved bjælkeendenpga. forspænding af armeringen. Derfor vælges det at opbøje længdearmering ud mod bjælkeenden.Dette vil reducere den indre momentarm, hvilket medfører en formindskelse afspændingen ved bjælkeenden.Fremgangsmåden til bestemmelse af den nødvendige opbøjning af armeringen er:1. Bestemmelse af interval for y k2. Opbøjning af line3. Kontrol af brudmomentVed bestemmelse af interval for y k benyttes (3-2) og (3-3), der omskrives til:For tværsnittets overside:Mg+ Mp−σc⋅W2Mg+ σt⋅W+ k2≤ yk≤KK2+ k2(3-8)78

JF Kennedy ArkadenFor tværsnittets underside:Mg+ Mp−σt⋅W1Mg+ σc⋅W− k1≤ yk≤KK1− k1(3-9)Ved brug af formel (3-8) og (3-9) bestemmes øvre og nedre værdier af y k . Værdierne er beregnetpr. løbende meter og fremgår af Tabel 3.8. På Figur 3.14 fremgår for hvilket områderesultanten af armeringen kan placeres. For at kunne benytte formel (3-8) og (3-9) bestemmesmomentligningerne for den permanente last og nyttelasten:MMggx20,4m2= 7,2⋅kN / m ⋅ x ⋅ − 7,2⋅kN / m ⋅ ⋅ x = 3,6kN/ m ⋅ x − 73,4 ⋅ kN ⋅ x22(3-10)x20,4m2+ Mp= 20,6⋅kN / m ⋅ x ⋅ − 20,6⋅kN / m ⋅ ⋅ x = 10,3⋅kN / m ⋅ x − 210,1 ⋅ kN ⋅ x22Ved x = 0 bliver intervallet for y k ved brug af formel (3-8):For tværsnittets overside:10,3 ⋅ kN / m ⋅ 0≤ yk≤27− 210,1 ⋅ kN ⋅ 0 − 0,55⋅40MPa⋅ 2,631⋅10mm24 ⋅117⋅ kN3+ 86mm3,6kN/ m ⋅ 027− 73,4 ⋅ kN ⋅ 0 + 4 ⋅ MPa ⋅ 2,631⋅10mm24 ⋅117⋅ kN3+ 86mmIntervallet for tværsnittets overside bliver:− 120mm ≤ yk ≤ 124mmFor tværsnittets underside:10,3 ⋅ kN / m ⋅ 0≤ yk≤27− 210,1 ⋅ kN ⋅ 0 − 4MPa⋅5,721⋅10mm24 ⋅117⋅ kN3−187mm3,6kN/ m ⋅ 027− 73,4 ⋅ kN ⋅ 0 + 0,55⋅40 ⋅ MPa ⋅5,731⋅10mm24 ⋅117⋅ kN3−187mm79

K3. Detaildimensionering af TT dækIntervallet for y k ved tværsnittets underside bliver:− 269mm ≤ yk ≤ 261mmIntervallet for y k når x = 0 er− 120mm ≤ yk ≤ 124mmDe resterende intervaller for y k er beregnet på tilsvarende måde og resultater fremgår af Tabel3.8.Figur 3.14 Markerede areal afgrænser nedre og øvre værdi for y kFor at kunne opbøje armeringen i den forspændte konstruktion placere en plade med huller itil armeringsstængerne 7 m fra understøtningen. Det vælges at opbøje armeringen med envinkel på 1,8º fra pladen og ud til understøtningen.Tabel 3.8 Øvre og nedre værdier for y k , samt fastlag afstand for y kxNedre y kØvre y kValgt y k[mm][mm][mm][mm]0 -120 124 1201000 -49 170 1512000 15 211 1833000 71 248 2144000 121 280 2465000 162 307 2776000 197 330 3097000 224 347 3408000 244 360 3409000 256 368 34010200 262 372 340Placering af armeringens resultant fremgår Figur 3.15.80

JF Kennedy ArkadenFigur 3.15 Placering af armeringsresultantenKontrol af brudmomentTil bestemmelse af brudmoment benyttes samme fremgangsmåde som tidligere anvendt. Derer for hver y k -værdi beregnet en ny trykzonehøjde, x. Dette bevirker at forspændingskraftenændres. Herved kan brudmomentet for de enkelte snit beregnes hvorefter det kontrolleres, omdet er større end det beregnede snitmoment ved brudgrænsetilstnad i lastkombination LK 2.1.Resultater af beregning fremgår af Tabel 3.9.Tabel 3.9 Kontrol af momentbæreevne for lastkombination LK 2.1x y k Trykzonehøjde, x ε s K M u > M LK 2.1[mm] [mm] [mm] [‰] [kN] [kNm] [kNm]0 120 61,0 21,0 152,8 730 01000 151 61,0 22,8 154,3 818 2212000 183 62,0 24,3 155,4 905 4193000 214 62,0 26,1 156,9 996 5944000 246 63,0 27,5 158,0 1086 7475000 277 63,0 29,2 159,4 1179 8766000 309 64,0 30,5 160,4 1271 9837000 340 64,5 32,0 161,6 1365 10678000 340 64,5 32,0 161,6 1365 11299000 340 64,5 32,0 161,6 1365 116810200 340 64,5 32,0 161,6 1365 1184Det fremgår af tabellen samt Figur 3.16, at brudmomentet er større end snitmoment.81

K3. Detaildimensionering af TT dækFigur 3.16 Momentkurve for venstre bjælkehalvdel. Stiplede linie viser momentkurve for lastkombination LK 2.1mens nederste afgrænsede område beskriver TT dækkets brudmoment3.4 Svind, krybning og relaxationVed svind og krybning opstår der en sammentrykning af betonen og dermed en spændingsændringaf den forspændte armering. Relaxation beskriver spændingstabet, der opstår i armeringenunder konstant tøjning. Det reducerede brudmoment for TT dækket bestemmes fortiden t → ∞.Materialeparametre for TT dækket:Den anvendte beton har følgende karakteristika:- Cementindhold, C = 350 kg/m 3- Vand cementtal, v/c = 0,5- Modenhed, der beskriver den ækvivalente hærdealder ved 20 o , M 20 = 10 døgn- Cementstyrkeklassen er 52,5Derudover er der til beregningerne forudsat at:- Relativ luftfugtighed, RF = 90% i de første 14 dage og 50% i resten af perioden- Relaxation, R = 5% af forspændingskraften [Producentoplysning]82

JF Kennedy ArkadenSvindSvindtøjningen for TT dækket opstår som følge af udtørring af betonen og er derfor hovedsageligtafhængig af det omgivende klima. Svindet kan beregnes ved den empiriske formel (3-11) [Beton bogen, 1985, s. 110 - 115].ε = ε ⋅ k ⋅ k ⋅ k(3-11)sHer erεbk bk dbbdtbasissvindet, der kun afhænger af den relative luftfugtughed (RF)faktor, der afhænger af betonens sammensætning (cementindhold og v/c-tal)faktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometrik t faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t = ∞ ⇒ kt = 1Basissvindet, ε b afhænger af den relative luftfugtighed. Den korte periode med høj luftfugtighedhar meget ringe indflydelse på totalsvindet, hvorfor det vælges at benytte RF = 50% forhele perioden.0,089 ⋅ (1 − RF)0,089 ⋅ (1 − 0,50)εb=== 0,38‰(3-12)1,67 − RF 1,67 − 0,50Faktoren k b bestemmes ved:−3⎛ 1 ⎞−3⎛ 1 ⎞k b= 7 ⋅10⋅C⋅ ⎜v/ c + ⎟ ⋅ v / c = 7 ⋅10⋅ 350 ⋅⎜0,5+ ⎟ ⋅ 0,5 = 1,02(3-13)⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠Faktoren k d , der afhænger af konstruktionsdelens geometri er defineret ved den empiriskeformel:kdHer err æ0,25⋅(0,852 + ræ)=0,132 + ræækvivalent radius.(3-14)Den ævivalente radius er defineret ved 2 gange arealet af tværsnittet divideret med omkredsenaf arealet, og bliver for TT dækket, r æ = 0,09m.83

K3. Detaildimensionering af TT dækFaktoren k d , bestemmes ved brug af formel (3-14):k d0,25⋅(0,852 + 0,09m)=0,132 + 0,09m= 1,06Svindtøjningen bestemmes ved brug af formel (3-13):εs= 0 ,038% ⋅1,02⋅1,06⋅1= 0,48‰Dvs. at svindtøjningen for betonen efter tiden t → ∞ er 0,48 ‰.KrybningKrybetøjningen defineres ved [Beton bogen, 1985, s. 91-96]:εcHer erψ ⋅ n=E0sk⋅σc(3-15)ψ krybetallet [-]n 0σcE skfaktor der defineres ved n⎛ 13 ⎞5 ,5 ⋅ ⎜ ⎟1 +. Med f ck = 40MPa ⇒ n 0 =7,3⎝ f ⎠= ockgennemsnits spænding i armeringen fra forspænding og egenvægt [MPa]elasticitetsmodulet for armering. For forspændte L12,5 liner er E sk = 1,85 . 10 5 MPaKrybetallet udtrykkes ved:ψ = k ⋅ k ⋅ k ⋅ k ⋅ k(3-16)Her erk ak bk ck dabcdtfaktor, der tager højde for betonens modenhedfaktor, der afhænger af betonens sammensætning (cementindhold og v/c-tal)faktor, der afhænger af den relative luftfugtighedfaktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometrik t faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t = ∞ ⇒ kt = 184

JF Kennedy ArkadenFaktorer k a , der tager højde for betonens modenshedstal bliver med M 20 = 10 døgn:k a0,085 ⋅=1,75 +( 54 + M )M2020= 0,99Faktoren k c , der afhænger af den relative luftfugtighed. Med en relativ fugtighed, RF på 90%fås:k c6,7 ⋅ (1,15 − RF)=2,03 − RF= 1,48Faktoren k d , der afhænger af TT dækkets geometri bliver med en ækvivalent radius r æ =0,09m,der er forholdet mellem tværsnittets areal og omkreds.kd0,56 ⋅ (0,211+ræ)=0,0727 + ræ= 1,04Krybetallet bestemmes ved brug af formel (3-16) til Ψ = 1,55.Spændingen i armeringen bestemmes ved brug af Navier. Der medtages kun spændingsbidragfra forspænding og egenlast.Spændingen fra forspændingen i armering:33− 24 ⋅117⋅10N − 24 ⋅117⋅10N ⋅340mmσf=+⋅340mm= −39MPa210 4305605 mm 10,812 ⋅10mmSpændingen fra egenlasten midt på bjælken:6697 ⋅10Nmmσe=⋅340mm= 21, 9MPa9 410,812 ⋅10mmSpændingen fra forspændingen forudsættes at være konstant over hele TT dækkets længderetning,mens spændingen fra egenlasten varierer parabelformet over TT dækkets længderetning.Derfor regnes der for TT dækket med en middel betonspænding svarende til 2/3 af denmaksimaleværdi af spændingen fra egenvægten.85

K3. Detaildimensionering af TT dækMiddelbetonspændingen bliver:22σc= σf+ ⋅σe= −39MPa+ ⋅ 21,9 MPa = −24,4MPa33Krybetøjningen kan nu bestemmes ved brug af formel (3-15):1,55⋅7,3⋅14,4MPaεc= = 0,088%51,85⋅10MPaDvs. at krybetøjningen for betonen efter tiden t → ∞ er 0,88‰.RelaxationTøjningen fra relaxation er fra producenten oplyst til 5% af forspændingskraften. Linerne forspændesmed 117 kN/line, hvilket betyder, at reduktion af forspændingskraften pr. line erF tab.r = 5,9 kN/line.Reduktion af forspændingskraftNedsættelsen af forspændingskraften fra svind og krybning kan bestemmes ved Hooks lov, ogbliver til tiden t → ∞:F522+ k= ε ⋅ E ⋅ A = (0,00048 + 0,00088) ⋅1,85⋅10N / mm ⋅ 93mm/ line 23,4kNline (3-17)tab . s= /Det vil sige, at spændingstabet forårsaget af svind og krybning efter t → ∞ bliver 23,4kN/line.Da svind- og krybningstøjningen giver et spændingstab i armeringen, vil der opstå en gensidigpåvirkning med relaxationen. Svind og krybning reducerer armeringsspændingen og dermedspændingstabet fra relaxationen. Derfor beregnes en reduktionsfaktor ved formlen:Ftab.. s+k 23,4kNγ = 1−2 ⋅ = 1−2 ⋅ = 0,6(3-18)F117kNtab.rDet samlede spændingstab i armeringen bliver:F tab= 23 ,4kN/ line + 0,6 ⋅5,9kN/ line = 26,9kN/ line86

JF Kennedy ArkadenDen beregnede forspændingskraft på 161,6kN/line vil blive reduceret med 26,9kN/line ogbliver herved 134,7kN/line til t → ∞. Det er kontrolleret, at brudmomentet efter spændingstabeti armeringen ikke er mindre end snitmommentet for TT dækket.3.5 ForskydningsarmeringFor at kontrollere om bjælken skal forskydningsarmeres tages der udgangspunkt i kravene tiluarmerede bjælker i DS 411. Der skal opfyldes følgende [DS 411, 1999, s.42] :τsd⎧β⋅τ0d≤ ⎨⎩½⋅νv⋅fcd(3-19)Da de indgående faktorer afhænger af yderligere faktorer, der afhænger af afstanden fra bjælkeendenbestemmes de i det følgende hver for sig, hvorefter de opsummeres i en tabel. β er enfaktor, der tager hensyn til bueeffekten i bjælken og er defineret ved:dβ = 2,5⋅ 1 ≤ β ≤ 5xHer er(3-20)dxden effektive højde. [mm]afstanden fra understøtningen. [mm]τ 0, d er defineret ved:τ= 0,25 ⋅ k ⋅ (1,2 + 40ρ) ⋅ f + 0, 15 ⋅σ0 , dl ctdcp(3-21)Her erkρ lσ cpskala effektdet geometriske armeringsforholdden regningsmæssige normalspænding i tværsnittet [MPa]Skalaeffekten, k bestemmes ved:k = 1,6− d ≥ 1(3-22)Her erdden effektive højde. [mm]Det geometriske armeringsforhold, ρ l er givet ved:87

K3. Detaildimensionering af TT dækAslρl= ≤ 0,02(3-23)b ⋅ dHer erwA sl det effektive areal af trækarmeringen (længdearmeringen) [mm 2 ]d bjælkens bredde [mm]Bjælkebredden, b w er 2x150 mm og A sl er 24x93 mm 2 /line. Herved kan τ 0d bestemmes vedindsættelse i formel (3-21).Effektivitetsfaktoren, υ v er defineret ved:fckνv= 0,7 −(3-24)200Her erf ckden karakteristiske betontrykspænding [MPa]Da f ck er 40 MPa fås υ v til 0,5. Forskydningsspændingen, τ sd i tværsnittet bestemmes ved enelastisk betragtning via Grashofs formel. Det anvendte tværsnit samt det statiskemomentsvariation er vist på Figur 3.17.Figur 3.17 Bjælketværsnittes statiskemoment i mm 3 , samt antaget tværsnit. Øvrige mål i mmVed brug af de forrige formler bestemmes konstanterne som vist i Tabel 3.1088

JF Kennedy ArkadenTabel 3.10 Konstanter til bestemmelse af forskydningsstyrken i bjælken.f ctk f ck ν σ cp2 MPa 40 MPa 0,5 9,18 MPaAfstand Effektiv højdeKonstanterx [mm] d [mm] β ρl k τ 0d [MPA]0 309 5 0,02 1,29 2,141000 340 1 0,02 1,26 2,093000 403 1 0,02 1,20 2,014000 435 1 0,02 1,17 1,985000 466 1 0,02 1,13 1,956000 498 1 0,01 1,10 1,927000 529 1 0,01 1,07 1,908000 529 1 0,01 1,07 1,909000 529 1 0,01 1,07 1,9010200 529 1 0,01 1,00 1,86Herved fås forskydningsspændingerne ved indsættelse af konstanter i formel (3-19).Tabel 3.11 ForskydningsspændingerForskydningsstyrkePåvirkningAfstand Forskydnings- Resulterende spænding Forskydningskraften, V Aktuelle spændingspændingx[mm]β·τ0d[MPa]0,5·ν·f cd[MPa] [MPa] [kN]Krop[MPa]Flange[Mpa]0 10,72 5,49 5,49 234 1,70 1,861000 2,09 5,49 2,09 211 1,54 1,682000 2,05 5,49 2,05 188 1,37 1,493000 2,01 5,49 2,01 165 1,20 1,314000 1,98 5,49 1,98 142 1,04 1,135000 1,95 5,49 1,95 119 0,87 0,956000 1,92 5,49 1,92 96 0,70 0,777000 1,90 5,49 1,90 73 0,53 0,588000 1,90 5,49 1,90 50 0,37 0,409000 1,90 5,49 1,90 28 0,20 0,2210200 1,86 5,49 1,86 0 0,00 0,00Figur 3.18 er forskydningsspændingerne vist. Det fremgår at det ikke er nødvendigt at forskydningsarmerebjælken.89

K3. Detaildimensionering af TT dækFigur 3.18 Forskydningsspændingernes variation i bjælken3.6 VederlagstrykFor at undersøge om der er risiko for knusning af betonen ved understøtningerne bestemmesvederlagstrykket. Reaktionen ved vederlaget regnes jævnt fordelt over vederlaget. Trykket fravederlaget optages dels som tryk i skrå betonlameller og som træk i armeringen jf. Figur 3.19.Figur 3.19 VederlagstrykketFor at der ikke opstår knusning i betonlamellerne ved vederlaget er kravet til vederlagstrykket[Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.2-15]:σ ≤ν ⋅(3-25)Her erσ ccf cdtværsnitshøjden. [MPa]υ effektivitetsfaktor, der for almindelige bjælker sættes til 0,8. [Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.6-12]f cdbetonens regningsmæssige trykspænding. [MPa]90

JF Kennedy ArkadenKraften i armeringen bestemmes [Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.2-19]:Fs= F + 0,5⋅ R cot( θ )(3-26)forALHer erF forR ALforspændingskraften. [kN]reaktionen ved understøtningen. [kN]Idet forspændingen er 117 kN og cot(θ) = 2,5 fås F s til 410 kN.Spændingen i vederlaget fås ved ligevægten af F cw , F s og R AL :σvederlag=F2ALA+ Fvederlag2s⇒σvederlag=2234kN+ 394KN2 ⋅150mm⋅100mm2= 15,2MPaHerved fås:σ≤ν ⋅f cd⇒c640MPa15,2MPa≤ 0,8 ⋅1,8215,2MPa≤ 17, MPa⇒Dvs. der er tilstrækkelig styrke i betonlamellerne til at optage vederlagstrykket.3.7 Armering af flangeDer kontrolleres for forskydningsbrud og bøjningsbrud af TT dækkets flange. Der betragtesen meter af bjælkens længderetning. Flangen moduleres som en bjælke understøttet ved de to”kroppe” som vist på Figur 3.20.Figur 3.20 Modulering af statisk system af flange91

K3. Detaildimensionering af TT dækTværsnittet kontrolleres i lastkombination 2.1 og laster, moment- og forskydningskurve fremgåraf Figur 3.21.Figur 3.21 Linielast, reaktioner og forskydnings- og momentkurve for tværsnitI det følgende betragtes først bøjningsbrud.3.7.1 Bøjningsbrud i flangenBøjningsmomentet fremgår af Figur 3.21 og herpå fremgår det, at det maksimale moment, dermedfører henholdsvis tryk og træk i flangen er 0,02 kNm og 1,7 kNm. Det undersøges, ombetonen har tilstrækkelig styrke i forhold til momentet påvirkningen:MM= f ⋅W⇒(3-27)=t,del2 2MPa 1⋅ ⋅1000mm⋅ (60mm)1,82 6= 0,66kNmMomentet på 1,7 kNm kan ikke optages af betonen, derfor indlægges armeringsnet i flangensoverside. Der vælges at benytte et armeringsnet med en maskevidde på 200 mm og en armeringsdiameterpå φ6. Antallet af stænger bliver herved 5 pr. løbende meter bjælke, mens armeringsarealetbliver 141 mm 2 pr løbende meter bjælke. Armeringen placeres, så der sikres etdæklag på 15 mm.Ved vandret ligevægt bestemmes nulliniedybden, x jf. Figur 3.22.92

JF Kennedy ArkadenFigur 3.22 Armeret tværsnit med tilhørende tøjnings- og spændingsfordeling samt snitkraftpåvirkningNuliniedybden beregnes ved:0 = −0,8⋅ x ⋅ b ⋅ fcd+ As⋅ fyd⇒40MPa2 550MPa0 = −0,8⋅ x ⋅1000mm⋅ + 141mm⋅ ⇒ x = 3, 1mm1,821,43(3-28)Tøjningen i armeringen bliver:=d − x 42mm− 3,1 mm⋅ = 3 ⋅=x3,1 mmε0 0sε cu,5 0044 00(3-29)Da brudtøjningen for armeringsnettet er 82 ‰ er dette acceptabelt. Brudmomentet for tværsnittetbestemmes ved:MMuu= fyd⋅ As⋅(d − 0,4 ⋅ x)⇔(3-30)550MPa= ⋅141mm1,432⋅(42mm− 0,4 ⋅3,1mm)= 2,2kNmHerved er det eftervist, at tværsnittet armeret med φ6 net har tilstækkelig styrke i forhold tildet bøjende moment.3.7.2 Forskydning mellem krop og flangeFor at undgå forskydningsbrud pga. de store forskydningskrafter mellem flange og krop undersøgesi det følgende udfra DS 411, hvilke krav der er til armering af flangen. For at be-93

K3. Detaildimensionering af TT dækstemme det nødvendige tværarmeringsareal benyttes formel (3-34), der er defineret ved [DS411 1998, s. 43]:AHer erA fb fb wfg+pzf yd3≥ ⋅8b −b ⋅ g + p2(f w) ( )b ⋅z⋅ffydarmeringsareal pr. meter [mm 2 /m]effektive bredden af TT bjælkens trykflange [mm]kropsbredden [mm]bjælkens regningsmæssige last pr. længdeenhed [N/m]den indre momentarm [mm]den regningsmæssige flydespænding [MPa](3-31)De geometriske størrelser, der benyttes fremgår af Figur 3.23. Det er som tilnærmelse valgt atsætte kropsbredden af TT dækket til afstanden mellem kroppen plus de to kroppes bredde jf.Figur 3.23. Den effektive bredde af trykflangen er bestemt ved at vægte bredden af trykzonen(det skraverede område på Figur 3.23)Figur 3.23 Geometriske størrelser til beregning af armeringsarealArmeringsarealet pr. længdeenhed bestemmes ved brug af (3-31) og bliver:233 (2375mm−1350mm)⋅(22,8⋅10N / m)mm armering≥ ⋅= 208550MPam2375mm⋅503mm⋅1,43A f2Dvs. at arealet af armeringen minimum skal være 14mm 2 pr. løbende meter bjælke, hvilketogså er opfyldt med det valgte net.94

JF Kennedy Arkaden3.8 SpaltearmeringFor at undgå langsgående revner i forbindelse med spændingsomlejringer ved forspændingenaf længdearmeringen indlægges spaltearmering. Det forudsættes at forspændingskraften erfordelt over hele tværsnittet i en afstand svarende til højden af bjælken inde i tværsnittet. Førstdimensioneres den lodrette spaltearmering, hvorefter den vandrette dimensioneres. Til armeringanvendes slap armering med en karakteristisk brudstyrke på 550 MPa.Lodret spaltearmeringDenne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles udover tværsnittets højde.Armering opdeles i en primær og en sekundær armering. Den primære armering fordeler kraftenud over et areal svarende til en trykspredning på 1:2, som vist på Figur 3.24.Figur 3.24 Fordeling af spændinger i bjælkeenden. Mål i mmDet antages forspændingen påføres jævnt fordelt over en længde på 75 mm samt at den i afstanden25 mm inde i tværsnittet er jævnt fordelt over en længde på 100 mm. Tværkraften kanherved bestemmes ved [Kloch, 2001, s. 72]:T1Her erT 1Kl 1l 2l1= 0,25⋅K ⋅ (1 − )(3-32)l2den primære tværkraft [kN]opspændingskraften [kN]opspændingenshøjden [mm]højden som kraften skal fordeles på [mm]Ved indsættelse i formel (3-32) fås:75mmT1 = 0,25 ⋅12⋅117kN⋅ (1 − ) = 87, 8kN100mm95

K3. Detaildimensionering af TT dækDet nødvendige armeringareal bestemmes, idet der anvendes en brudspænding svarende tilhalvdelen af brudstyrken af armeringen:AnødT(3-33)= ⇒ σs387,8 ⋅10N= 319mm⎛ 550MPa⎞⎜ ⎟⎝ 2 ⎠2Der anvendes en frettering med 4 ø12 armeringsstænger og et samlet areal på 452 mm 2 . Fretteringenplaceres 21 mm fra bjælkeenden, så der sikres et dæklag på 15 mm jf. Figur 3.32.Type 1φ12Figur 3.25 Primær frettering.Sekundær spaltearmeringDen sekundære spaltearmeringen skal sikre, at spændingen kan fordeles videre udover helebjælkehøjden. Da bjælken er excentrisk belastet kan formel (3-32) ikke anvendes. Det forudsættesi stedet, at forspændingskraften er jævnt fordelt udover bjælkehøjde i en afstand svarendetil bjælkens højde fra bjælkeenden. Spændingsfordelingen er vist på Figur 3.26.Figur 3.26 Spændingsfordeling. Mål i mm96

JF Kennedy ArkadenDe to spændinger bestemmes ved antagelse om en elastisk spændingsfordeling, og en konstantplacering af forspændingskraftens tyngdepunkt på 120 mm fra bjælkens tyngdepunktsakse.Idet tryk regnes negativt fås:3T124 ⋅117⋅10Nσ = =A 2 ⋅100mm⋅150mm1=93,6MPaσσσ222T1M= ± ⋅ y ⇒A I3− 24 ⋅117⋅10N=5 23,06 ⋅10mm3120mm⋅ −24⋅117⋅10N±9 410,812 ⋅10mm⎧−4,5MPafor y = −189mm= ⎨⎩−21,99MPafor y = 411mm⋅ y ⇒Herved fås følgende kraftfordeling pr. bjælkehøjde idet bredden for hele tværsnittet antages atvære 150 mm:Det maksimale moment bestemmes til:Figur 3.27 Kraftfordeling. Mål i mmMM= 675⋅x2= 0,7283x⋅ 0,5 + 4,37 ⋅ x3− 6682,5x22⋅ 0,5 ⋅13⋅ x −14040⋅+ 6718140 ⋅ x −1.6073⋅10( x − 478,5)92⋅ 0,5478,5 ≤ x ≤ 578,5Ved differentiation af udtrykket fås det største moment for x lig 552 mm og det maksimalemoment til 187,4 kNm. Det forudsættes, at den vandrette spændingsfordeling er fordelt meden afstand på h/2 mellem tryk- og trækresultant som vist på Figur 3.28.97

K3. Detaildimensionering af TT dækHerved fås trækresultanten til:Figur 3.28 Vandret spændingsfordeling6Mmax 187 ⋅10NmmT2 = == 625kNh 600mm22Det nødvendig armeringsareal bestemmes:AT625⋅10N32nød= = =σ 550MPas22272mm2Det vælges at anvende 6 fretteringer med 4 φ12 lodrette armeringsstænger som vist på Figur3.29. Herved fås et armeringsareal på 2714 mm 2 .Type 2φ12Figur 3.29 Sekundær spaltearmering98

JF Kennedy ArkadenVandret spaltearmeringDenne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles over bjælkens bredde. Kraftenfordeles over hele bredden i forholdet 1:2 som vist på Figur 3.30.Ved brug af formel (3-32) fås:Figur 3.30 SpændingsfordelingTT33l1= 0,25⋅K ⋅ (1 − )l282mm= 0,25⋅12⋅170kN⋅ (1 − ) = 159kN150mmDet nødvendige spændingsareal bestemmes til:AT159 ⋅10N33nød= = =σ 550MPas2579mm2Der anvendes 2 stk. frettering med 5 vandrette φ10 armeringsstænger med et samlet areal på785 mm 2 .Type 3φ10Figur 3.31Vandret spaltearmering99

K3. Detaildimensionering af TT dækPå Figur 3.32 er placeringen af spaltearmeringen vist.Figur 3.32 Placering af spaltearmeringPå Figur 3.32 er afstandene fra centrum af armeringen, og disse fremgår af Tabel 3.12.Tabel 3.12 Afstande mellem centrum af armeringsstængera[mm]b[mm]c[mm]d[mm]e[mm]21 29 30 70 603.9 Nedbøjning af TT dækVed beregning af udbøjning medtages kun bidraget fra bøjningsmomentet. Det forudsættes, atdet anvendte TT dæk er af lineærelastisk materiale. Elasticitetsmodulet, E antages til 1,75 . 10 4MPa.Nedbøjningen bestemmes i anvendelsesgrænsetilstand, hvor lastkombinationen er:LK 1:1 . G + 1 . NyNedbøjningen af TT dækket bestemmes ved brug af to forskellige beregningsmetoder. Førstberegnes nedbøjningen ved brug af arbejdsligningen, hvorefter nedbøjningen bestemmes vedbrug af differentialligninger for flytninger.100

JF Kennedy Arkaden3.9.1 Nedbøjning ved brug af arbejdsligningen.Ved arbejdsligningen, der også benævnes det virtuelle arbejdes princip, sættes det indre arbejdelig det ydre arbejde. Ved beregning af det virtuelle arbejde påføres TT dækket en fiktivlast på 1. Da det kun er bidraget fra bøjningsmomentet, der medtages fås arbejdsligningen:[Notat vedr. Arbejdsligningen, 1995]:Her erlM1⋅ M dx1⋅ δ = ∫ ⋅(3-34)E⋅IδM 1M0znedbøjningen af bjælken [mm]snitmoment fra en fiktiv last på 1 [Nmm]snitmoment fra lastkombination LK 1 [Nmm]I z inertimoment, jf. afsnit 3.2.1 er I z = 10,81 . 10 9 mm 4Det virtuelle arbejdeDen fiktive last placeres midt på TT dækket, hvilket fremgår af Figur 3.33.Figur 3.33 Påførelse af fiktiv last på TT dækSnitmomentet ved snit 1 bliver:M11= ⋅ x2,l0 ≤ x ≤(3-35)2101

K3. Detaildimensionering af TT dækSnitmoment fra lastkombination LK 1.Ved beregning af snitmomentet skal der beregnes et snitmoment fra forspændingskraften M fsamt et snitmoment fra den permanente last M p .Figur 3.34 Bøjningsmoment ved lastkombination LK 1Der forspændes med i alt 24 . 117 kN = 2808 kN. Ved beregning af nedbøjning antages det, atlinerne ikke opbøjes, men i stedet placeres med en exentricitet på 340 mm over hele bjælkelængden.Dette medfører, at det konstante momentbidrag over TT dækket bliver:M =−24⋅117kN ⋅ 0,340m =− 954,7kNmfMomentbidraget fra den permanente last bliver i snit 1:1Mp= 210,1kN ⋅x −20,6 kN / m⋅x ⋅ ⋅ x = 210,1kN ⋅x −10,3 kN / m⋅x22Ligningen for momentkurven bliver:M = M + M =− 954,7kNm + 210,1kN ⋅x −10,3 kN / m⋅xfp2Momentkurven for TT dækket fremgår af Figur 3.35.Figur 3.35 Momentkurve for lastkombination LK1102

Idet belastningen er symmetrisk på TT dækket bestemmes nedbøjningen med:JF Kennedy Arkaden1⋅δ= 2 ⋅δ = 2 ⋅10,2m∫0δ = −17mml∫0M1⋅ MdxE ⋅ Iz0 ≤ x ≤ 10,2 ⇒0,5 ⋅ x ⋅ −954,7kN+ 210,1kN⋅ x −10,3kN4291,75 ⋅10N mm ⋅10,812⋅10mm4m ⋅ x2dx ⇒TT dækket vil have pilhøjde på 17 mm, hvilket svarer til en ca. 1/1000 af spændvidden.3.10 BrandPremierebiografen skal dimensioneres som en BS-bygningsdel 60. Der eftervises derfor i detfølgende, at TT dækket opfylder kravene mht. brandmodstandsevnen under et brandforløb på60 minutter. Der regnes med en brandpåvirkningen virkende fra undersiden af TT dækket, dadet vurderes at være til størst ugunst for bæreevnen pga. placeringen af armeringen. TT dækketundersøges ud fra et nominelt brandforløb i hht. DS 411. Ved et nominelt brandforløbtages der ikke hensyn til den geometriske udformning af brandrummet samt brændbare materialeri brandrummet.3.10.1 LasterTT dækket undersøges for lastkombination 3.3, ulykkeslast – brand.LK 3.3: 1 · G + 0,5 · N yDet maksimale momentet fra hhv. den permanente last, M g og nyttelast, M p er 884 kNm,hvilket også fremgår af Figur 3.36.Figur 3.36 Momentkurve for lastkombination LK 3.3103

K3. Detaildimensionering af TT dæk3.10.2 Nominelt brandforløbDet nominelle brandforløb bestemmes ud fra et standard brandforløb, der beregnes ved formel(3-36), [DS 410, 1998, s. 93]:( 8 1)θ = 20 + 345 ⋅ log10 t +(3-36)gHer erθ gtbrandgassens temperatur i henhold til det aktuelle brandforløb [˚C]tiden [min.]Det nominelle brandforløb for 60 minutter er afbilledet i Figur 3.37, hvor maksimum temperaturener 945 ˚C.Temperatur i o C100090080070060050040030020010000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Brandforløbet i minutterFigur 3.37 Det nominelle brandforløb3.10.3 Temperaturfordeling i brandrumOpbygningen af loftkonstruktionen i premierebiografen er vist på Figur 3.38.50 mmFigur 3.38 Loftkonstruktion i premiere biografen104

JF Kennedy ArkadenDet nedhængte loft består af 2 gipsplader med forskudte samlinger. Gipsloftet har en samlettykkelse på 50 mm, og består af to stk. 12,5 mm gipsplader med 25 mm hulrum. Dette har engod lydisoleringsevne, pga. den store tyngde af materialet, samt det tynde lag stilleståendeluft. Gipsloftet virker isolerende, og vil derfor ved en brandpåvirkning hindre en hurtig temperaturstigningomkring TT dækkene. For at bestemme temperaturen mellem gipsloftet og TTdækket tages der udgangspunkt i formel (3-37), [DS 410, 1998, s. 91]. Denne beskriver temperaturforløbetinde i materialet for et ensidet påvirket tværsnit med halvuendelige tykkelse.−1,9⋅k( t)⋅x⎛π⎞θ1( x , t)= 312 ⋅ log10( 8t+ 1) ⋅ e ⋅ sin⎜− k(t)⋅ x⎟ [˚C] (3-37)⎝ 2 ⎠Her erx tykkelsen af gipsloftet 0,025[m]t tiden [min.]k(t) k(t)=π ⋅ ρ ⋅ cp750 ⋅ λ ⋅ tρ densiteten, sættes til 970 for gips [kg/m 3 ]c pλvarmekapaciteten, sættes til 1090 for gips [J/kg ˚C]varmeledningsevnen, sættes til 0,17 for gips [w/m ˚C]Det antages, at temperaturen mellem gipsloft og TT dæk er konstant. Temperaturen findes vedat beregne temperaturen, θ l (x,t) 25 mm inde i en halvuendelige tyk gips ved brug af formel(3-37).Temperaturforløbet i rummet over det nedhængte gipsloft er ud fra formel (3-36) og (3-37)skitseret på Figur 3.39.Temperatur i o C1000900800700Temperaturforløb i biografen600500Temperaturforløb imellem400gipsloftet og TT dækket30020010000 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60Brandforløb i minutterFigur 3.39 Brandforløbet i rummet og imellem gipsloft og TT dæk105

K3. Detaildimensionering af TT dækDen maksimale lufttemperatur, TT dækket belastes med efter 60 minutter, er 270 °C jf. Figur3.39.3.10.4 Temperaturforløb i TT dækketDen del af TT dækket, hvor der sker en temperaturvariation grundet brandforløbet kaldes densvækkede zone, da styrke- og stivhedsegenskaberne formindskes. Grundet TT dækkets udformningvil der under brandforløbet opstå en temperaturpåvirkning på TT dækket fra fleresider. Dette resulterer i, at der ved hjørnerne sker en kraftigere opvarmning og derved en højeretemperatur længere inde i TT dækket, jf. Figur 3.40.Figur 3.40 Temperaturforløbet inde i TT dækketTil bestemmelse af temperaturforløbet inde i TT dækket benyttes formel (3-38), der gælderfor et tresidet påvirket tværsnit. Ved beregning regnes på en temperaturfordeling i et betontværsnit.Der ses bort fra armeringens indflydelse på temperaturfordelingen [DS 410, 1998, s.92]:θ3( x,y,t)θ2 ( x,t)⋅θ1(y,t)= θ2 ( x,t)+ θ1(y,t)−(3-38)θ1(0, t)Her erx og ytindtrængningsdybde i betonen [m]tiden [min.]De to faktorer θ 1 (y,t) og θ 2 (x,t) der indgår i formel (3-38) bestemmes ved:−1,9⋅k(t)⋅y⎛ π ⎞θ 1( y , t)= 312⋅log10( 8t+ 1) ⋅e⋅sin⎜− k(t)⋅ y⎟ [˚C] (3-39)⎝ 2 ⎠θ2( x,t)θ1(0,t)= θ1(x,t)+ θ1(2w− x,t)⋅[˚C] (3-40)θ + θ1(0, t)1(2w,t)2w tykkelsen at TT dækkets fod, jf. Figur 3.40. Sættes til 0,15 mk(t)ρc pλk(t)=π ⋅ ρ ⋅ cp750 ⋅ λ ⋅ tdensiteten, sættes til 2300 kg/m 3 for betonvarmekapaciteten, sættes til 1000 J/kg ˚C for betonvarmeledningsevnen, sættes til 0,75 w/m ˚C for beton106

JF Kennedy ArkadenFor at tage højde for gipsloftets isolerende effekt, benyttes temperaturen mellem gipsloftet ogTT dækket på 270 °C som overfladetemperaturen af TT dækket. Dette er gjort ved at indsætte270 °C i stedet for 312 ּ log 10 (8ּt + 1), der henviser til overfladetemperaturen jf. formel(3-37). Grundet denne antagelse tages der ikke højde for fugtbevægelsernes indflydelse påtemperaturen nær tværsnittets overflade, som vil forårsage en lavere overfladetemperatur påbetonen. Temperaturforløbet kan beskrives ved:−1,9⋅k( t)⋅x⎛π⎞θ1( x , t)= 270°C ⋅e⋅sin⎜− k(t)⋅ x⎟(3-41)⎝ 2 ⎠3.10.5 Eftervisning af bæreevnen for TT dækket i LK 3.3Ved eftervisning af momentbæreevnen for TT dækket skal følgende krav overholdes:M≤ Mmax LK 3.3 u(3-42)Det reducerede brudmoment er beregnet ved at bestemme en reduktionsfaktor for armeringenog betonen, som afhænger af temperatur til tiden t = 60 min. Reduktionsfaktorerne for hhv.armeringen og betonen benævnes ξs,0,2 og ξc.Bestemmelse af reduktionsfaktoren for armeringenFor at bestemme temperaturen i armeringen opdeles tværsnittet i to zoner, jf. Figur 3.41. Detforudsættes, at armeringen i hver zone har samme reduktionsfaktor.Figur 3.41 Zone inddeling for armeringsjernene. Mål i mm107

K3. Detaildimensionering af TT dækTemperaturen i zonerne afhænger af placeringen af armeringen. For zone 1 er indtrængningsdybdeni x- og y-retningen fastlagt til 27 x 27 mm. I denne indtrængningsdybde vil den maksimaletemperaturen i zone 1 opstå. Ved zone to er der antaget en indtrængningsdybden på 52x 68 mm, der er i tyngdepunktet for armeringsstængerne i denne zone, jf. Figur 3.41.I det følgende vises beregningseksempel for temperaturen efter 60 min ved zone 1, hvor indtrængningsdybdener 27 x 27 mm.Bestemmelse af faktoren k(t):3π ⋅ ρ ⋅ cpπ ⋅ 2300kg/ m ⋅1000J/ kg ⋅° Ck(t)= ⇒ k(60)=⇔ k(60)= 14,7750 ⋅ λ ⋅t750 ⋅ 0,75w/ m ⋅° C ⋅ 60minFor at kunne benytte formel (3-38) skal følgende størrelser bestemmes:Størrelsen θ 1(x,t) bliver:θθθ1( x,t)1(0,027,60)1(0,027,60)= 270°C ⋅ e= 270°C ⋅ e= 117,6°C−1,9⋅k( t)⋅x−1,9⋅14,7⋅0,027⎛π⎞⋅sin⎜− k(t)⋅ x⎟⇒⎝ 2 ⎠m ⎛π⎞⋅sin⎜−14,7⋅ 0,027m⎟⇔⎝ 2⎠Størrelsen θ 1(y,t) bliver lig θ 1(x,t) , da der benyttes samme tidsinterval og indtrængningsdybde:θθ1( y,t)1(0,027,60)= 270°C ⋅ e= 117,6°C−1,9⋅k( t)⋅ y⎛π⎞⋅sin⎜− k(t)⋅ y⎟⇒⎝ 2 ⎠Størrelsen θ 1(0,t) bliver:θθθ1(0, t)1(0,60)1(0,60)= 270°C ⋅ e= 270°C ⋅ e= 270,0°C−1,9⋅k( t)⋅0−1,9⋅14,7⋅0⎛π⎞⋅sin⎜− k(t)⋅ 0⎟⇒⎝ 2 ⎠⎛π⎞⋅sin⎜−14,7⋅ 0⎟⇔⎝ 2 ⎠108

JF Kennedy ArkadenStørrelsen θ 1(2T-x,t) bliver:θθθ1(2ω−x,t)1(150−0,027,60)1(150−0,027,60)= 270°C ⋅ e= 270°C ⋅ e= −2,0°C−1,9⋅k( t)⋅2ω−x−1,9⋅14,7⋅(0,150⎛π⎞⋅sin⎜− k(t)⋅ (2ω− x)⎟ ⇒⎝ 2⎠−0,027)m ⎛π⎞⋅sin⎜−14,7⋅ (0,150 − 0,027) m⎟⇔⎝ 2⎠Størrelsen θ 2(x,t) bliver ved brug af formel (3-40):θθθ2( x,t)2( x,t)2( x,t)= θ1(x,t)+ θ1(2ω −x,t)⋅θ1(0, t)1(0, t)+ θ1(2ω, t)⇒270,0°C= 117,6°C − 2°C ⋅270,0°C − 2,44°C= 115,6°Cθ⇔Herved kan temperaturen i zone 1 bestemmes jf. formel (3-38):θθθ3( x,y,t)2( x,t)2( x,t)= θ2( x,t)+ θ1( y,t)θ−2( x,t)⋅θ1(0, t)1( y,t)⇒115,6°C ⋅117,6°C= 115,6°C + 117,6°C −270,0°C= 182,8°Cθ⇔For zone 1, hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er den samme er der optegnet en graf,jf. Figur 3.42, udfra formel (3-38). Figur 3.42 viser, at temperaturen for en indtrængningsdybdepå 27 x 27 mm er 183 °C.300Temperatur i [ o C]250200150100500Ensidet påvirket brandforløbTresidet påvirket brandforløb0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08Indtrængnings dybte fra en eller to sider, i [m]CFigur 3.42 Temperatur faldet ved en- og tresidet brandbelastning109

K3. Detaildimensionering af TT dækDet fremgår af Figur 3.42 at der er symmetri omkring indtrængningsdybden 0,075m, da detteer den halve bredde af TT dækkets krop.Ud fra en temperatur i zone 1 på 183 °C er der ved brug af Tabel 3.13 bestemt en reduktionsfaktor,ξs,0,2, på 0,87 , ved lineær interpolation.Tabel 3.13 Reduktionsfaktorer for armering ved en given temperatur[DS 411, 1999, Tabel V 9.2.2a s.89]Ståltemperatur[˚C]ξs,0,220 1,00100 1,00200 0,84300 0,69400 0,56500 0,47600 0,25700 0,11800 0,07900 0,051000 0,03For zone 2 hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er på 52 x 68 mm, er temperaturenberegnet udfra formel (3-38) til 67 °C. Dette giver en reduktionsfaktor ξs,0,2 på 1,00 ved brugaf Tabel 3.13.Bestemmelse af reduktionsfaktoren for betonen i trykzonenFor at bestemme trykstyrken i betonen opdeles trykzonen i tre zoner, jf. Figur 3.43. Det forudsættes,at betonen i hver zone har samme reduktionsfaktor svarende til den gennemsnitligeindtrængningsdybde.Figur 3.43 Zoneinddeling af betontværsnittet110

JF Kennedy ArkadenTemperaturforløbet ind i de tre zoner regnes som et ensidet påvirket tværsnit, og temperaturenkan heraf beregnes ved brug af formel (3-39). Temperaturen i zone 1, 2 og 3 er hhv. beregnettil 202 ˚C, 106 ˚C og 50 ˚C.Ud fra de tre temperaturer er der, ved aflæsning af Figur 3.44, bestemt en reduktionsfaktor, ξc,for hver zone på hhv. 0,99, 1,00 og 1,00.Figur 3.44 Reduktionsfaktoren ξc for betons enaksede trykstyrke [DS 411, 1999, s. 86]Betonens trykstyrke bestemmes, jf. (3-43).fHer er⎛ 0,99 + 1+1⎞= fcd⋅ξ c= 22MPa⋅⎜⎟ 21, MPa(3-43)⎝ 3 ⎠cd , r= 9F cdξcBetonens regningsmæssige trykstyrke [MPa]ReduktionsfaktorTT dækkets bæreevne i LK. 3.3Beregningen af TT dækkets momentbæreevne i brandtilfældet er analogt med beregningen ibrudgrænsetilstanden, jf. afsnit 3.3For at bestemme om der er tilstrækkelig bøjningsbæreevne, fastlægges den effektive højde, d,fra oversiden af TT dækket og ned til armeringslinernes resulterende trækkraft. Afstandenbestemmes ud fra Figur 3.45 og resultatet er opstillet i ligning (3-44).111

K3. Detaildimensionering af TT dækFigur 3.45 Afstanden d, fra oversiden af TT dækket til den resulterende trækkraftBestemmelse af den effektive højde, d:n ⋅ s1⋅ f1+ n ⋅ s2⋅ f2+ n ⋅ s3⋅ f3d =⇔(3-44)n ⋅ f + n ⋅ f + n ⋅ f1236 ⋅566mm⋅117kN⋅ 0,87 + 12 ⋅516mm⋅117kN⋅ 0,87 + 6 ⋅516mm⋅117kN⋅1,00d == 528mm6 ⋅117kN⋅ 0,87 + 12 ⋅117kN⋅ 0,87 + 6 ⋅117kN⋅1,00Ved en iterativ proces, hvor der skønnes en trykzonehøjde, x, udregnes en tillægstøjning, ∆εder lægges til forspændingstøjningen, ε 0s på 6,8 ‰. Forspændingstøjningen er bestemt i afsnit3.3 . Hvis den totale tøjning i armeringen bliver større end 35 ‰, vil der opstå tøjningsbrud iarmeringen, jf. Figur 3.46. Trykzonehøjden sættes til 59 mm, og i det følgende kontrolleresdenne højde.Herved er der udregnet en tillægstøjning, jf. (3-45).d − x528mm− 59mm∆ε = ε ⋅ ⇒ 3 ,50 0cu00 ⋅= 27, 8 00(3-45)x59mmDen samlede tøjning i armeringen bliver herved:εs= ∆ε+ ε0000s⇒ 27 ,8 00 + 6,8 00 = 34, 6 00Herved kan forspændingskraften pr. line bestemmes ved Figur 3.46.112

JF Kennedy ArkadenFigur 3.46Arbejdslinie for L 12,5 linerDen samlede kraft i armeringen bliver ved brug af reduktionsfaktorerne jf. (3-46):Fs( + 0,8 ⋅ ) ⋅ ( 18 ⋅ξ+ ⋅ξ) ⇒, reduceret= 136ss,0,2,zone16s,0,2,zone 2ε (3-46)( 136 + 0,8 ⋅ 34,6) ⋅ ( 18 ⋅ 0,87 + 6 ⋅1,00) kNF, reduceret==s3546Ud fra den samlede kraft i armeringslinerne er det undersøgt i ligning (3-47) om der ervandret ligevægt i tværsnittet.Fs,reduceretγs− 0,8 ⋅ x ⋅b⋅ f = 0cd⇒(3-47)3⎛ 3546 ⋅10N⎞3⎜− 0,8 ⋅59⋅ 2394 ⋅ 21,9 101,43⎟ ⋅ −mm mm MPa⎝⎠= 5kN≈ 0Det accepteres med denne afvigelse hvilket bevirker, at den skønnede x-værdi kan benyttes.Det reducerede brudmoment, M u , beregnes på midten af TT dækket jf. (3-48).⎛3546kN⎞ −3Mu= ( d − 0,4 ⋅ x)⋅ Fsd, r= ⎜(528mm− 0,4 ⋅59mm)⋅ ⎟ ⋅10= 1251kNm⎝1,43 ⎠(3-48)113

K3. Detaildimensionering af TT dækVed brug af det reducerede brudmoment undersøges bæreevnen ud fra formel (3-42):MmaxLK 3.3≤ Mu⇒ 884kNm≤ 1251kNmDet er eftervist er der er tilstrækkelig momentbæreevne efter et nominelt brandforløb i 60minutter. For at sikre tilstrækkelig momentbæreevne er det et krav, at gipsloftet i fjernes, dadette vil forøge temperaturen ved TT dækket væsentligt.114

JF Kennedy ArkadenK4. Samlinger af betonelementerDer tages udgangspunkt i etageadskillelsen mellem 3.- og 4. sal, samt facaderne i bygningensnordlige kontordel, som er markeret på Figur 4.1. Etageadskillelsen er udført som et PX32dæk [Spæncom], som spænder fra ydervæg til ydervæg. Facadeelementer er ligeledes udført ielementer fra Spæncom, hvis egenskaber og udseende anvendes i dimensioneringen.Figur 4.1 Spændretning for etageadskillelse mellem 3. og 4. salDer tages udgangspunkt i den 66 m lange strækning som vist på Figur 4.1. På denne strækningligger der 55 stk. PX32-dæk med en bredde på 1,2 m. Undersøgelsen tager udgangspunkti de elementer der er vist på Figur 4.2, hvor de markerede områder undersøges.115

K4. Samlinger af betonelementerFigur 4.2 Punkterne der undersøgesSamlingerne dimensioneres for punkterne beskrevet i rettelsesbladet Ret.1, til DS 411. Forskydningsarmeringsamt stødlængden mellem bøjle og længdearmering dimesioneres efterTeknisk Ståbi.Bilaget er opstillet efter bestemmelser i pkt. 5.1 i Ret.1 til DS 411:I. ”Etageadskillelser skal være armerede svarende til en karakteristisk last på 30 kN/m ihver retning”II. ”Langs omkredsen af hver etageadskillelse skal der anordnes en randarmering som eri stand til at optage en karakteristisk last på minimum 80 kN. Randarmeringen skalvære forankret til etageadskillelsen, således at forskydende kræfter kan overføres”III. ”I vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres gennemgående lodrettetrækforbindelser, som er i stand til at optage en karakteristisk last på 30 kN/m”IV. ”I top og bund af vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres horisontaletrækforbindelser anordnet på en sådan måde, at hver enkelt væg kan fungeresom en bjælke, der er udkraget over et tænkt lokalbrud i den underliggende etage.Trækforbindelserne skal kunne optage en karakteristisk last på 150 kN og tillades udførtsom armering i etagekrydsene”Ved samling V på Figur 4.2 undersøges den største forskydningskraft der opstår mellem dækkene,og herudfra dimensioneres længde- og bøjlearmering i fugen mellem dækkene. Veddenne dimensionering af armeringen antages det, at armeringen skal kunne optage kræfter,svarende til den største forskydningskraft, der opstår under vindpåvirkningen.116

JF Kennedy Arkaden4.1 Materialeparametre og sikkerhedsklasseDer anvendes normal kontrolklasse og høj sikkerhedsklasse i alle beregninger. For ribbestålB550 bestemmes den regningsmæssige flydespænding til:f550MPa= 384, MPa(4-1)1,43yd , s= 6Der anvendes en fugebeton med en karakteristisk trykstyrke på 20 MPa. Den regningsmæssigetryk- og trækstryke bestemmes med γ m = 1,82 for beton til:ffcdctd20MPa= = 10,99MPa1,821,4 MPa= = 0,77MPa1,82Placering, dæklag og indbyrdes afstande mellem armeringsjern foretages alle ud fra kravene iDS 411. Detailtegninger ses på Tegning 202 i tegningsmappen.4.2 Randarmering efter punkt IDet antages, at de 30 kN/m i længderetningen af dækelementerne optages gennem dækketsspændarmering. Det undersøges derfor kun for 30 kN/m i dækelementernes bredderetning. Dadækkene spænder ca. 15 m skal der indlægges armering svarende til en trækkraft på 450 kN.Denne kraft optages langs randen af dækeelementerne, som skitseret på Figur 4.3. Det medfører,at kun den halve kraft, svarende til 225 kN i hver side, skal optages af armeringsanordningenlangs randen. Randarmering bør bestå af to armeringsjern, hver med en diameter påmin. 12 mm [Bygningsdelsstatik, notat 2003].Figur 4.3 Undersøgelse af punkt I117

K4. Samlinger af betonelementerDet nødvendige armeringsareal der skal benyttes for at kunne optage den påførte last bestemmesved:AFf225000N=384,6MPas==yd585mm2Der anvendes 2 stk. φ20 armeringsjern, som har et tværsnitsareal på 628 mm 2 . Disse indlæggeslangs elementernes understøttede rand. Armeringsjernene skal stødes sammen på en sådanmåde at styrken af stødet svarer til den påførte last. Den nødvendige stødlængde findes vha.[Teknisk Ståbi, 2002, s.153]. Forholdet mellem trækforankringslængden og armeringsdiameteren,l/φ, findes som funktion af betonens trykstyrke. I dette tilfælde bestemmes forankringslængdenfor trykstyrker svarende til fugemassens trykstyrke, som er fastsat til 20 MPa [Bygningsdelssstatik,notat 2003] og for armeringsstål af typen B550. For ribbestål anvendes enforankringsfaktor på 0,8, svarende til ny tentor [Teksisk Ståbi, 2002], og forholdet l/φ findestil 44. Med en diameter på 20 mm findes den nødvendige stødlængde:l / φ = 44 ⇒ l = 44 ⋅ 20mm= 880mmStødlængden for randarmeringen er dermed bestem til 880 mm.4.3 Randarmering efter punkt III punkt II skal randarmeringen rundt om etageadskillelser kunne optage en karakteristisk lastpå minimum 80 kN. Da undersøgelsen af punkt I viste, at det var nødvendigt med 2 stk. φ20armeringsjern for at kunne optage 225 kN, er kravet på 80 kN også overholdt. Armeringsjerneneskal ilægges hele vejen rundt om hver etageadskillelse.4.4 Armering mellem vægelementer efter punkt IIIDen karakteristiske last på 30 kN/m, omtalt under punkt II, regnes optaget af armering i fugenmellem de enkelte vægelementer. I disse beregninger antages det, at facadeelementerne ikkehar gennemgående montagebolte, som kan optage trækkræfter. Vægelementerne antages atvære maksimal 6 m bredde, hvilket svarer til en enkeltkraft i hver fuge på 180 kN, se Figur4.4.118

JF Kennedy ArkadenFigur 4.4 Undersøgelse af punkt IIDenne kraft på 180 kN undersøges på tilsvarende måde som i afsnit 4.2 . Det nødvendige armeringsarealfindes til 468 mm 2 . Dette svarer til 1 stk. φ25 armeringsjern, som skal stødes1100 mm med armeringen mellem de ovenstående vægskiver for at kunne overføre den påførtelast.4.5 Randarmering efter punkt IVDenne undersøgelse sikrer stabiliteten, ved et tænkt lokalbrud i den underliggende etage. Situationener skitserest på Figur 4.5. Det antages at den underliggende vægskive fjernes, evt.ved en eksplosion. Stabiliteten af bygningen skal stadig opretholdes, hvilket den anses værende,hvis vægskiven over det tænkte brud kan optage en karakteristisk trækkraft på 150 kN. Idenne betragtning antages vægskiven over bruddet at virke som en udkraget bjælke.Figur 4.5 Undersøgelse af punkt IV119

K4. Samlinger af betonelementerDet nødvendige armeringsareal bestemmes til 390 mm 2 , svarende til 2 stk. φ16, med et armeringsarealpå 402 mm 2 .4.6 Fastlæggelse af randarmering mht. punkt I, II og IVDet fremgår af beregningerne at punkt I bliver dimensionsgivende for randarmeringen. Armeringeni fugen omkring dækkene skal derfor være 2. stk. φ20, som opfylder de i punkt 5.1 iDS 411/Ret.1, 2002 beskrevne tilfælde.Forskydningsarmeringen mellem dækkene er udført, hvor alle etageadskillelserne virker somen bjælke påvirket af en jævnt fordelt last. Der er i denne dimensionering ikke taget højde forvridning og deformationer, som kunne give større forskydningskræfter, men det antages atden benyttede metode er på den sikre side.4.7 Armering mellem dækelementer, VVed denne bestemmelse betragtes etageadskillelsen mellem 3. og 4. sal, som 66 m lang simpeltunderstøttet bjælke påvirket af en jævnt fordelt last, svarende til vindlasten, der påvirkerbygningen, se Bilag K1. Kraften, der påvirker dækket, er skitseret på Figur 4.6.Figur 4.6 Vindpåvirkning på etageadskillelseAf Figur 4.6 opstilles det statiske system og moment- og forskydningskurve bestemmes somvist på Figur 4.7.120

JF Kennedy ArkadenFigur 4.7 Snitkraftfordeling for etageadskillelse.Forskydningsarmeringen mellem dækkene dimensioneres ud fra den største forskydningskraft,der opstår i dækkene. Denne antagelse er analog med skrårevneefffekten i betonbjælker,hvor betonlameller overfører trykkræfter, der skal optages i bøjlearmering. I dette tilfælde erden maksimale forskydningskraft på 73 kN, jf. Figur 4.7. Denne kraft skal optages af armeringmellem dækkene. Ligeledes er kraften bestemmende for stødlængden mellem længdearmeringenog bøjlen, der indlægges i hver ende af fugen mellem dækkene, for at kunne overføreforskydende kræfter. Dette behandles senere.Det undersøges samtidig om momentet giver anledning til større trækkræfter i randarmeringen,end der i punkt I-IV er dimensioneret for.4.7.1 Forskydningsarmering mellem dækDen maksimale forskydningskraft på 73 kN, hvilket medfører at det nødvendige armeringsarealbliver 190 mm 2 , svarende til 2 stk. φ12 med et armeringsareal på 226 mm 2 . Her vælgesat bruge 2 stk. φ12 i stedet for 1 φ16. Dette skyldes at armeringen skal stødes med en bøjleved hver ende af dækkene. De to ben i U-bøjlen bør tilsammen kunne optage samme trækkraft,som kan optages i fugearmeringen som U-bøjlen er stødt med [Bygningsdelsstatik, notat2003]. Bøjlen udføres derfor af φ12 armeringsstål.Forankringslængden mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk, bør mindst regnessom svarende til stød i samme snit. Stødlængden, l s bestemmes som i afsnit 4.2 til til 528 mm,se Figur 4.8. Det er ligeledes denne stødlængde der anvendes til stødet af armeringsstængernemellem dækkene.121

K4. Samlinger af betonelementerFigur 4.8 Stødlængde l s mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk4.7.2 Momentvirkningen på etageadskillelsenSom det fremgår af Figur 4.7, påvirkes etageadskillelsen af et maksimalt moment på 1198kNm, midt på ”bjælken”. Dette moment giver anledning til et kraftpar på 79,9 kN, hhv. somtræk- og tryk i overside og underside, se Figur 4.9.Figur 4.9 Momentpåvirkning af dæk.Trykkraften regnes at kunne optages i betonen og trækkraften vil kunne optages i randarmeringen,der i punkt I er dimensioneret til en trækkraft på 225 kN.4.7.3 Optagelse af forskydningspændinger i støbeskelI foregående afsnit blev det fundet at forskydningskraften mellem dækkene optages gennemarmeringen. Det er her undersøgt om forskydningsspændingen kan optages gennem fugen.122

JF Kennedy ArkadenDer regnes forskydningsspændinger mellem 2 PX32 etagedæk, der spænder over 15 m. Forskydningsspændingenbestemmes af (4-2) [DS 411, 1999, s. 44]:V=SdτSd(4-2)AjHer erV Sdregningsmæssig forskydningskraft i snittet[N]A j støbeskellets areal [mm 2 ]79900NτSd== 0, 017MPa320mm⋅15000mmDenne forskydningsspænding skal optages af fugen mellem dækkene, hvor arealet bestemmessom længden af dækket gange højden af dækket.Da dækelementerne er ekstruderede elementer, regnes der med et jævnt støbeskel iht. DS 411,1999, s. 44.Den regningsmæssige bæreevne, hvor normalkraft og armering regnes jævnt fordelt over detbetragtede areal, bestemmes som den mindste værdi af (4-3) [DS 411, 1999, s.44]:τ = k ⋅τ+ µ ( ρ ⋅ f ⋅ sinα+ σ ) + ρ ⋅ f ⋅ cosα≤ 0, 5 ⋅ v ⋅ f(4-3)Her erRdk Tτ cdTcdyden faktor i hht. Tabel V 6.2.2.4 i DS411[-]= 0,25 ·f ctd svarende til den laveste betonstyrke, der indgår [MPa]µ friktionskoefficienten i hht. tabel V 6.2.2.4 i DS411 [-]ρ =A s /A j [-]A sndydtværsnitsarealet (målt vinkelret på armeringens retning) af den armering gennem støbeskellet, som deltageri forskydningsoptagelsen [mm 2 ]A j støbeskellets areal [mm 2 ]σ nd normalkomposanten af den spænding, der virker på støbeskellet svarende til den regningsmæssige last[N/mm 2 ]v v effektivitetsfaktoren i hht. tabel V 6.2.2.1 i DS411 [-]f cd den regningsmæssige styrke af den laveste betonstyrke der indgår [MPa]α er vinklen den indstøbte armering danner med støbeskellet [◦]vcdI dette tilfælde regnes der ikke med indstøbt armering i dækket, hvorfor vinklen α sættes lig 0.σ nd svarer til spændingen hidrørende tryk- og trækkraften fundet i afsnit 4.7.2 . Trækkraften erallerede regnet optaget i randarmeringen, og medtages derfor ikke som en negativ spænding.Trykkraften regnes ikke at forøge bæreevnen af støbeskellet, hvilket betyder at beregningerne123

K4. Samlinger af betonelementerer på den sikre side. Fugearmeringen er i afsnit 4.7.1 bestemt til 2 stk. φ12, med et samletarmeringsareal på 226 mm 2 . I Tabel 4.1 fremgår de anvendte parametre til beregningen afbæreevnen.Tabel 4.1 Parametre til beregning af forskydningsbæreevne i hht. DS 411fk T µ v cd f ctdv[MPa] [MPa]1,4 0,6 0,6 10,99 0,77Bæreevnen af fugen beregnes af formel (4-3:τcτRdRd= 1,4 ⋅ (0,25⋅0,77MPa)≤ 0,5 ⋅ 0,6 ⋅10,99MPa= 0,27MPa≤ 3,0MPaDa bæreevnen er større end den aktuelle forskydningsspænding, beregnet først i afsnittet,overholder styrken af fugen kravet i hht. DS 411. Af Figur 4.10 ses et snit gennem facade oghuldæk, hvor dæklag og afstande er påført. Facadeelementet på figuren er ikke dimensioneret.Figur 4.10 Afstande i samling mellem etageadskillelse og facade124

JF Kennedy Arkaden4.8 Armering i hjørne af etagedækArmeringsanordningen ved hjørner af etagedækkene beregnes ikke, men udformes på en sådanmåde at armeringsanordningen overholder de krav, der er gennemgået i dette bilag. Hjørnearmeringenkan udformes som vist på Figur 4.11, hvor randarmering (φ20 mm) og armeringmellem vægelementer (φ25 mm), svarer til de før beskrevne.Figur 4.11 Armeringsanordning ved hjørne125