RCL-kredsløb og Resonans

Niels Bohr Institutet , November 12, 2008 (J.H.M.) 1
Fysik 6, Laboratorieøvelse 2
RCL-kredsløb og Resonans
I denne øvelse skal vi m˚ale p˚a et kredsløb best˚aende af en modstand R, en kapacitor
C og en spole L. Dette RCL-kredsløb vil som vi skal se give anledning til
resonant opførsel. Der m˚ales p˚a s˚avel en serie som en parallelkombination.
Figur 1: (a) RCL seriekreds. (b) RCL parallelkreds. RL er spolens ohmske modstand. Spolen L og kapacitoren
C er p˚a figuren til højre repræsenteret ved erstatningsimpedansen ZCL.
1 Seriekreds
Figur 1a viser en kapacitor C, en spole L og en resistor R kombineret i serie. Den komplekse erstatningsimpedans1
for kombinationen er
Z = ZR + ZL + ZC = R − iωL + i
�
= R − i ωL −
ωC 1
�
�
= R
ωC
2 �
+ ωL − 1
�2 e
ωC
iφ , (1)
hvor φ = − arctan �� ωL − 1
� �
ωC /R . Heraf f˚as, at den komplekse strøm for RCL-kredsen drevet af den
komplekse spændning U(t) = V0e−iωt er
I(t) = U(t)
Z =
1
�
R 2 + � ωL − 1
ωC
� 2 e −iφ U(t). (2)
Strømamplituden er maksimal for ω = 1/ √ LC ≡ ω0, hvor vi endvidere har at φ = 0 (strøm og spænding
i fase). Et s˚adant maksimum kaldes en resonans, og ω0 er resonansfrekvensen for serie-RCL-kredsen.
Her er |Z| minimal for RCL-seriekredsen [jvf. (1)]. Definerer vi Q-værdien (eng. ’Quality factor’) som
Q ≡ ω0L/R kan (2) udtrykkes som
I(t) = �
1 + Q 2
1
� ω
ω0
�2 ω0 − ω
e −iφ U(t)
R
= �
1 + Q 2
hvor I0(t) = U(t)/R er strømmen for ω = ω0. Det følger umiddelbart at
|I|
|I0| =
�
1 + Q 2
1
� ω
ω0
1
� ω
ω0
�
e
2
ω0 − ω
−iφ I0(t), (3)
�
. (4)
2
ω0
− ω
Sammenhængen (4) er skitseret p˚a fig. 2a. Det ses at jo højere Q-værdien for kredsen er, desto smallere
1 Bemærkning: Som i Øvelse 1 er kompleks impedans her defineret i overensstemmelse med kursets teoriforløb for ikke
at skabe unødig forvirring. Vær opmærksom p˚a at al teknisk litteratur har modsat fortegn (et spørgsm˚al om i eller −i) i
forhold dette.

RCL-kredsløb og Resonans 2
Figur 2: (a) Seriesvingningskreds: resonanskurver for forskellige Q-værdier. (b) resonanskurve for Q = 10
sammenholdt med faseskiftet φ.
er resonansen. Det kan uden større problemer (øvelse) udledes, at den relative b˚andbredde opfylder
∆ω
ω0
= 1
, (5)
Q
hvor ∆ω er kurvens (fulde) bredde ved 1/ √ 2 af maximet. Endvidere kan faseforskydningen udtrykkes
ved Q-værdien:
� �
ω
φ = − arctan Q −
ω0
ω0
��
. (6)
ω
Figur 2b viser hvorledes φ med frekvensen aftager fra π/2 ved lave frekvenser, bliver nul ved resonans og
g˚ar asymptotisk mod −π/2 for høje frekvenser. Det er m˚aske værd at bemærke at kvadrerer vi (4) (dvs.
betragter energien ∝ I2 ) f˚ar vi
|I| 2
|I0| 2
=
=
1
1 + Q2 �
ω
ω0
�2 =
ω0
− ω
ω2ω2 0
ω2ω2 0 + Q2 2 ≈
[(ω + ω0)(ω − ω0)]
ω 2 0
ω 2 0 + 4Q2 (ω − ω0) 2
(∆ω/2) 2
(∆ω/2) 2 , (7)
+ (ω − ω0) 2
hvor tilnærmelsen gælder for ω ≈ ω0. Dette er en s˚akaldt Lorentzfordeling med FWHM-bredde 2 ∆ω.
1.1 Spændingsfald i kredsen
Spændingsfaldet over RCL-seriekredsens resistor er
UR(t) = I(t)R = �
1 + Q 2
1
� ω
ω0
�
e
2
ω0 − ω
−iφ U(t). (8)
Spændingsamplituden er (naturligvis) maksimal for ω = ω0. Dette gælder ikke for spændingen over
kapacitoren:
UC(t) = −I(t)
iωC
−1
1
= �
iωCR
1 + Q2 � ω
ω0
�
e
2
ω0
− ω
−iφ U(t) = Q ω0
ω
�
1 + Q 2
1
� ω
ω0
�
e
2
ω0
− ω
−i(φ−π/2) U(t).
(9)
Vi ser at for resonansbetingelsen ω = ω0 er amplituden for spændingsfaldet over kapacitoren Q gange
større end for kilden, der driver LCR-kredsen. Et egentligt maksimum indtræffer3 �
for frekvensen ω =
ω0 1 − 1
2Q2 , der for anseelige Q-værdier ikke afviger stort fra ω0
2FWHM=Full Width at Half Maximum.
�
3 Eftervises nemt ved at minimere ω
1 + Q 2
� ω
ω0
�2 ω0 − eller ækvivalent x + Q ω
2 (x/ω0 − ω0) 2 , hvor x = ω2

RCL-kredsløb og Resonans 3
2 Parallelkreds
Figur 1b viser en kapacitor C og en spole L kombineret i parallel. Da tr˚aden, som spolen er viklet af,
har en endelig ledningsevne, har vi inkluderet en seriemodstand i spolens gren af netværket RL, som
repræsenterer spolens ohmske modstand. Den komplekse erstatningsimpedans for denne kombination
(jvf. figur) er
ZCL =
1
1
ZC + 1
1 =
−iωC +
ZL+ZRL 1
−iωL+RL
iQ − ω0/ω
1 +
2
= RL
= RLQ
ω/ω0 + i/Q − ω0/ω i
Q
�
ω 1 − iQ
iωL − RL
=
ω2 CL +iω CRL
� �� �
(ω0Q) −1
� �� �
iω ω0L/RL −ω0
= RL
−1 ω2 /ω0 + iω/Q − ω0
ω0
����
ω −2
0
ω0
ω
− ω0
ω
�, (10)
�
ZCL bliver reel n˚ar ω = ω0 1 − 1/Q2 . Vi noterer, at modulus for ZCL er
|ZCL| = RLQ 2
�
�
�
�
1 +
�
1
Q2 ω2 0
ω2 1 + Q2 � �2 , (11)
ω ω0 − ω0 ω
som er maksimal for ω = ω0
� �1 + 2/Q 2 − 1/Q 2 . Havde vi haft en harmonisk variende strømkilde til
vores r˚adighed og forbundet den til ZCL ville spændingsfaldet over impedansen alts˚a være maksimalt
her 4 . I stedet skal vi kombinere ZCL i serie med en modstand R (se fig. 1b)
Driver vi kredsløbet (p˚a indgangen) med en harmonisk varierende spænding Vin cos ωt vil amplituden
for spændingen over ZCL være (generelt)
VCL = |ZCL|
|ZCL + R| Vin = RLQ 2
�
�
�
�
1 +
�
1
Q2 ω2 0
ω2 (R + Q2RL) 2 + Q2 �
(RL + R) ω0
�2 Vin. (12)
ω
ω − R ω0
Det er værd at overveje den funktionelle opførsel for (12) i forskellige grænsetilfælde. Hvad sker der i
grænsen, hvor R er stor (R ≫ |ZCL|)? — n˚ar Q er stor? — omkring ω0?
I eksperimentet vil vi opbygge et kredsløb hvor RL ≪ R. I dette tilfælde er det nyttigt at definere en
effektive Q-værdi Q ′ med
Q ′ =
Q
1 + Q2 , (13)
RL/R
som tillader os at approksimere spændingsamplitude over ZCL analogt til eq.(4) med standardform
af nævneren:
VCL = RL
R QQ′
�
�
�
�
1 +
�
1
Q2 ω2 0
ω2 1 + Q ′2
� �2 , (14)
ω ω0 − ω0 ω
som viser at bredden af resonanskurven er bestemt af den effektive Q-værdi.
4 Dette er s˚aledes i modsætning til seriekredsen, hvor resonans optræder, n˚ar impedansen er minimal.
Q

RCL-kredsløb og Resonans 4
3 Øvelsesprogram
1. Opbyg en seriekreds som vist p˚a fig. 1a med C ≈ 47 nF, L ≈ 40 mH og R ≈ 35 Ω. M˚al forinden
nøjagtige værdier for resistorens og spolens modstand med laboratoriepladsens multimeter. M˚al
endvidere værdier for C og L med øvelseslokalets LCR-meter.
• En funktionsgenerator (sinus output) forbindes til RCL-kredsens indgang. Med PicoScope
m˚ales Vin og VR (samtidigt p˚a hver sin kanal) som funktion af frekvens omkring resonansfrekvensen
ω0. S˚avel amplituder som faseforskydning fastlægges. Vær opmærksom p˚a at begge
amplituder vil ændre sig grundet funktionsgeneratorens endelige udgangsimpedans.
• Plot amplitudeforholdet og faseforskydningen som funktion af frekvens. Sammenlign med de
teoretisk forventede kurver. Vær opmærksom p˚a at Q-værdien baseres p˚a en resistorværdi
som inkluderer spolens ohmske modstand. Forklar hvorfor den maksimale værdi for amplitudeforholdet
er mindre end 1. Hvordan kan man bruge den maksimale værdi for amplitudeforholdet
til at bestemme den effektive værdi af spolens ohmske modstand? 5
• Plot det kvadrerede amplitudeforhold. Lav et fit til en Lorentz-fordeling og uddrag ω0, ∆ω.
Hvilken Q-værdi svarer dette til?
• Sæt skopet i xy-mode (View og vælg New XY Scope). Hvad sker n˚ar du ændrer frekvensen
omkring ω0?
2. Opbyg en parallelkreds som vist p˚a fig. 1a med C ≈ 47 nF, L ≈ 40 mH og R ≈ 50 kΩ.
• En funktionsgenerator (sinus output) forbindes til RCL-kredsens indgang. Med PicoScope
m˚ales Vin og VCL (samtidig p˚a hver sin kanal) som funktion af frekvens omkring resonansfrekvensen
ω0. S˚avel amplituder som faseforskydning fastlægges.
• Plot amplitudeforholdet og faseforskydningen som funktion af frekvens. Sammenlign den m˚alte
VCL med den forventede teoretiske sammenhæng.
• Hvis du har god tid: Gentag ovenst˚aende med en eller to forskellige værdier for R. Hvorledes
ændrer dette resonanskurven?
3. Ovenst˚aende parallelkreds drives nu med en firkantspænding.
• Frekvensen for firkantfunktionen varieres nu og resonanskredsens respons observeres. Hvad
sker der n˚ar firkantsfunktionens periode svarer til forskellige (ulige) multipla af en periode af
parallelkreds resonansfrekvens? Hvad er dette et udtryk for (hvilke Fourierkomponenter har
en firkantfunktion)?
• Observer den transiente opførsel (dæmpet svingning) n˚ar perioden bliver lang. Gem spændingskurverne
i .txt-format til brug for din lab-journal. Hvad er frekvensen for den dæmpede
svingning (sammenlign med ω0)? Vurder tidskonstanten for den dæmpede svingning og bestem
produktet af tidskonstanten og resonansfrekvensen!
5 Den ohmske del af spolens impedans kan være afhængig af frekvensen blandt andet p˚a grund af skineffekt, s˚a det kan
godt ske at du m˚aler en højere værdi end forventet fra en m˚aling af spolens DC modstand.