Approximation der Binomialverteilung
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Nun 2 Aufgaben:<br />
1<br />
2<br />
Normalverteilung<br />
<strong>Approximation</strong> <strong>der</strong> <strong>Binomialverteilung</strong><br />
1) Ein Händler bietet Gurkensamen an, die erfahrungsgemäß zu 95 % keimfähig sind. Wie groß ist<br />
die Wahrscheinlichkeit, dass von 500 ausgesäten Körnern<br />
a) höchstens 470<br />
b) mindestens 470 und höchstens 485<br />
c) mindestens 480 keimen?<br />
Lösung: 1 µ ' 500@ 95<br />
Beachte: Bei Aufgabenteil a) einmal ohne, einmal mit Randausgleich. Die Faustregel ist nicht erfüllt!<br />
Dies ist eine reine Aufgabe zur Normalverteilung und hat mit <strong>der</strong> <strong>Approximation</strong> <strong>der</strong> <strong>Binomialverteilung</strong> nichts mehr<br />
zu tun.<br />
Quelle: Lambacher-Schweizer: Stochastik Leistungskurs, Klett Verlag<br />
100<br />
a) P( X # 470) = Φ 470&475<br />
23,75<br />
P( X # 470) = Φ 470%0,5&475<br />
23,75<br />
' 475 ; σ ' 475@ 5<br />
100<br />
. Φ(&1,03) . 0,1515<br />
. Φ(&0,92) . 0,1788<br />
b) P( 470 # X # 485) . Φ ( 2,05 ) - Φ ( -1,03 ) . 0,8283<br />
c) P( X $ 480 ) = 1 - P( X # 479) . 1 - Φ ( 0,82 ) . 0,2061<br />
' 23,75<br />
2) Die Lebensdauer X (in km) eines Automotors einer bestimmten Marke sei angenähert normalverteilt<br />
mit dem Erwartungswert µ = 105000 und <strong>der</strong> Standardabweichung σ = 10000. 2<br />
Lösung:<br />
a) Bei wie viel Prozent <strong>der</strong> Motoren übersteigt die Lebensdauer 120000 km?<br />
b) Bei wie viel Prozent <strong>der</strong> Motoren weicht die Lebensdauer um mehr als 12000 km vom<br />
Erwartungswert ab?<br />
a) P( X > 120000 ) = 1 & Φ 120000&105000<br />
10000<br />
b) P(*X & 105000* > 12000) ' 2 @ 1 & Φ 12000<br />
10000<br />
. 1 & Φ(1,5) . 0,0668<br />
. 0,2302
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