Inhaltliches Denken vor Kalkül

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Inhaltliches Denken vor Kalkül 11 Dieses Vorgehen lässt sich am Beispiel zweier Seiten aus dem Schulbuch mathe live 7 in Abb. 6 (aus Emde et al. 2000, S. 15/16) verdeutlichen, in denen Addition und Subtraktion negativer Zahlen nach diesem Ansatz eingeführt wird. Da die Mathematisierung von Größen bzgl. einer Vergleichsmarke auf einer Skala (die zentrale Grundvorstellung für negative Zahlen selbst) sich erst in der Rückschau als Vorteil erkennen lässt, wählt das Schulbuch hier im Anschluss an Hefendehl-Hebeker (1989) den Zugang über ein Spiel als Mustersituation. Im Spiel werden die Operationen handelnd erlebbar, und das Spielbrett liefert die graphische Darstellung auf dem Zahlenstrahl gleich mit. Erst nach ausreichender Erfahrung mit diesem (und einem weiteren Spiel zu Guthaben und Schulden) werden die Wirkungen der Operationen schematisch zusammengestellt und zu kalkülhaften Rechenregeln formalisiert. So werden Addition und Subtraktion ganzer Zahlen nach dem Prinzip „Inhaltliches Denken vor Kalkül“ erarbeitet. Macht das guter Mathematikunterricht nicht schon immer so? Tatsächlich beginnt praktisch jedes Schulbuch ein neues Kapitel mit einem vorstellungsbezogenen Zugang, indem eine lebensweltliche Einführungsaufgabe bearbeitet wird, bevor dann ein Kalkül etabliert wird. Die Schulbücher unterscheiden sich jedoch signifikant darin, wie ernst sie selbst diesen vorstellungsbezogenen Zugang nehmen, und wie schnell dann exklusiv zum Kalkül übergegangen wird (vgl. auch Prediger 2008b für ein kritisches Beispiel zum Erweitern von Brüchen). Wer bleibt schon gern im Zugang stehen, sind doch Zugänge dazu da, so schnell wie möglich durchschritten und verlassen zu werden? Für nachhaltige Lernprozesse dagegen ist das Verweilen im inhaltlichen Denken ebenso entscheidend wie die Aufrechterhaltung der Bezüge zum inhaltlichen Denken nach Einführung des Kalküls. In diesem Punkt zeigt auch das vorgestellte Beispiel noch Weiterentwicklungsbedarf: Die Übungsaufgaben (auf der rechten Seite in Abb. 6) nach der Schematisierung nehmen in der ersten Auflage des Buches keinerlei Bezug mehr zu den aufgebauten Mustersituationen, damit wird die inhaltliche Ebene endgültig verlassen. Wer jedoch Lernenden nur zu Beginn einer Unterrichtseinheit Aufgaben mit Bezug zu inhaltlichen Vorstellungen anbietet und dann unwiederbringlich zum Kalkül übergeht, darf sich nicht wundern, dass die Brücke zum inhaltlichen Denken bei vielen abbricht. Deswegen kommt es nicht nur auf die Qualität des Zugangs an, sondern auch darauf, die Vorstellungsorientierung weiter aufrecht zu erhalten; keinesfalls statt Kalkül, aber immer wieder in Ergänzung dazu. Abb. 7: Variierte Aufgaben in der Neuauflage nehmen inhaltliches Denken ernst (mathe live 7) 12 Susanne Prediger Wie durch leichte Veränderungen das Problem behoben werden kann, zeigt die zweite Auflage des gleichen Lehrwerks (vgl. zwei Beispiele in Abb. 7 aus Böer et al. 2007, S. 16/17), in dem auch die kalkülorientierten Aufgaben (die es zum Training der formalen Operationen selbstverständlich auch geben muss, denn die Möglichkeit der zeitweisen Ablösung vom inhaltlichen Denken ist entscheidend) immer wieder Bezug nehmen zum inhaltlichen Denken. Diese Veränderung einer exemplarischen Schulbuchseite weist bereits einen Weg, wie Lehrkräfte auch mit klassischen Schulbüchern produktiv umgehen können. Er besteht aus drei zentralen Strategien: 1. Konsequent im Inhaltlichen verweilen, so dass Lernende mit dem neuen Inhalt zunächst Vertrautheit gewinnen können und selbst ein Bedürfnis nach denkentlastenden Abkürzungen empfinden. Dann kann nach dem Prinzip der fortschreitenden Schematisierung ein Kalkül angeboten werden. 2. Auch nach Einführung des Kalküls immer wieder Rechnungen an inhaltliche Denkweisen rückbinden, damit der Bezug nicht verloren geht. 3. Aufgaben mit inhaltlichen Bezügen auch in der Klassenarbeit einbauen. Gerade der letzte Punkt erscheint entscheidend, denn nur wenn inhaltliche Vorstellungen auch abgeprüft werden, wird den Lernenden ihre Bedeutung bewusst und den Lehrkräften eine diesbezügliche Diagnose ermöglicht. Für eine Diagnose individueller inhaltlicher Vorstellungen ist die Abfrage von Grundvorstellungen in abstrakter Repräsentation als Stichworte aus den oben genannten Gründen untauglich, aber alle anderen Repräsentationsformen sind interessant. Für inhaltliche Vorstellungen zu Rechenoperationen (und für andere mathematische Objekte sinngemäß genauso) eignet sich daher die von Huinker (1993) dokumentierte Systematik aller sechs Übersetzungsvorgänge zwischen graphischer bzw. handelnder Darstellung, Term und Mustersituation (vgl. Abb. 4 und Gerster/Schulz 2004, S 266). Dabei kann jede Aufgabe angereichert werden um den expliziten Auftrag zu erklären, wieso dies passt. • Sachsituation → graphische Darstellung: Zeige an einem Bild oder mit Material, worum es in der Textaufgabe geht. • Graphische Darstellung → Sachsituation: Erfinde eine Rechengeschichte (Textaufgabe, Situation), die zu diesem Bild passt. • Sachsituation → Term: Schreibe eine Rechenaufgabe (Gleichung, Term) auf, die zu der Situation passt. Erkläre, was jede Zahl in dem Text bedeutet. Erkläre, warum du so gerechnet hast. • Term → Sachsituation: Erfinde eine Rechengeschichte (Textaufgabe, Situation), die zu der Aufgabe (zu dem Term, Gleichung) …. passt. • Graphische Darstellung → Term: Schreibe eine Rechenaufgabe (Term, Gleichung) auf, die zu diesem Bild passt. • Term → graphische oder handelnde Darstellung: Zeige mit dem Material (oder einem Bild), was die Rechnung (der Term, die Gleichung) bedeutet.
Inhaltliches Denken vor Kalkül 13 Was hier für einen vorstellungsorientierten Unterrichtsgang im Sinne des vorbeugenden Umgangs mit Rechenschwierigkeiten beschrieben wurde, lässt sich natürlich auch für die Förderung nach Auftreten von Problemen nutzen. Dazu würde man mit den zuletzt genannten Aufgabentypen zunächst eine genauere Diagnose erstellen und dann die Etappen des Lernprozesses nachholen, über die im Unterricht vermutlich zu schnell hinweggegangen wurde. 3. Termumformungen – Übertragung des Prinzips auf andere mathematische Objekte Das Prinzip „Inhaltliches Denken vor Kalkül“ greift nicht nur für die Rechenoperationen, sondern auch für den Bereich der Algebra, wie im Folgenden ebenso gezeigt werde soll wie im Beitrag von Berlin/Bertalan/Fischer/Hefendehl (in diesem Band). 3.1. Termumformungen als Beispielfeld für Kalkülfehler mit inhaltlichem Hintergrund Natürlich ist nicht jedes Rechenproblem in den Übersetzungsprozessen zwischen realen Problemen und ihrer mathematischen Erfassung zu verorten (vgl. Prediger / Wittmann 2009); auch im rein formalen Bereich des Kalküls hat die empirische Forschung häufig wiederkehrende Fehlermuster aufgezeigt, wie etwa die beiden folgenden typischen Beispiele aus der elementaren Algebra: 10n + 3 = 13n (a+b)² = a² + b² Hinter der falschen Umformung im ersten Beispiel steckt oft das Fehlermuster „Gleiches zu Gleichem“ (Tietze 1988, S. 191). Die Fehlerursache im zweiten Beispiel ist meist eine unzulässige Verallgemeinerung von Homomorphie-Schemata (vgl. Malle 1993, S. 161f). Beide Probleme lassen sich durch die alleinige Warnung vor Nichtbeachtung der regulären Umformungsregeln auf Kalkülebene höchstens kurzfristig verdrängen, aber nicht nachhaltig bearbeiten. Zur Bearbeitung der zunächst im Kalkül verorteten Fehlermuster besteht eine gängige Förderstrategie in der Aufforderung zum Überprüfen der Termumformung durch Einsetzen von Zahlen. Dass auch dies allerdings nicht immer zum Erfolg führt, zeigt der folgende Dialog. Er stammt aus einer Fördersequenz der Autorin mit Lea (15 Jahre, Gesamtschülerin), die audiographiert und später transkribiert wurde: Z45 SP: Guck noch mal auf deine Rechnung, 10n + 3 = 13n, stimmt das wirklich? Z46 Lea: Ja, wieso? Z47 SP: Setz doch für n mal eine Zahl ein und überprüfe das. Z48 Lea: Wie meinen Sie das? Z49 SP: Na ja, nimm doch statt n mal die 4 und schreibe das auf. Z50 Lea: [Schreibt 10 4 + 3, stockt] Nee, wär’ ja dann mal, [schreibt 10 ⋅ 4 + 3 = 43] Z51 SP: Und die 13n? 14 Susanne Prediger Z52 Lea: Die wären dann, mhh, 52. Z53 SP: Und, fällt dir was auf? Z54 Lea: Nö, was? [guckt auf die Zahlen, zögert] Ist das wohl falsch? Z55 SP: Da kommt gar nicht das Gleiche raus? Z56 Lea: Nö. Aber ….. das ist ja auch mit 4, nicht mit n. Die gewählte Förderstrategie setzt darauf, die inhaltliche Deutung der Variablen im Einsetzungsaspekt zu nutzen (vgl. Malle 1993): Variable können als Platzhalter interpretiert werden, in die man Zahlen einsetzen kann. Termumformungen müssen sich unter jeder Einsetzung bewähren, indem sie die Aussageform der Gleichung nach Einsetzung in eine wahre Aussage überführen. Lea beherrscht das Einsetzen von Zahlen für Variable, auch wenn sie sich (in Z50) zunächst erinnern muss, dass 10n für 10 ⋅ n steht. Allerdings zeigt ihre Rückfrage in Z 48, dass das Einsetzen ihr im Kontext der von ihr gerechneten Termumformung nicht so nahe zu liegen scheint. Indem sie den eingesetzten Term auswertet, erhält sie mit „= 43“ eine neue rechte Seite und scheint den Term 13n zunächst nicht mehr zu beachten. Das Gleichheitszeichen deutet sie hier als Aufforderung zum Ausrechnen des numerischen Terms, während sie die behauptete Gleichwertigkeit von 10n+3 zu 13n zu der Ungleichheit der Ergebnisse 43 und 52 nicht in Beziehung setzt. Die Vermutung, dass dies falsch sein müsse (Z54), entnimmt Lea vermutlich eher interaktionslogischen als sachlogischen Erwägungen: Es hätte keine weiteren Nachfragen gegeben, wenn nicht noch etwas nicht stimmen würde. Die hier gewählte Förderstrategie, die behauptete formale Gleichwertigkeit der Terme 10n + 3 und 13n durch Einsetzen inhaltlich zu hinterfragen, kann bei Lea deswegen nicht greifen, weil ihr zwar der Einsetzungsaspekt für Variable an sich bekannt ist, nicht aber die Deutung der Gleichwertigkeit von Termen über den Einsetzungsaspekt: „das ist ja auch mit 4, nicht mit n“. Eine auf Nachhaltigkeit setzende langfristige Bearbeitung dieser Kalkül- Schwierigkeit müsste demnach an einer inhaltlichen Interpretation der Gleichwertigkeit von Termen ansetzen. Wer nur die Regeln des Kalküls kennt, hat keine vorstellungsbasierte Kontrollmöglichkeit für das formale Umformen. Ähnliche Gesprächsverläufe sind zu einer zweiten Förderstrategie bekannt, die zur Verdeutlichung des Fehlers (a+b)² ≠ a²+b² im zweiten Beispiel nahezuliegen scheint, nämlich die Heranziehung einer graphischen Darstellung wie der nebenstehenden. Auch dieses Bild kann nur diejenigen überzeugen, die sich bewusst sind, dass im Gegenstandsaspekt der Variablen (vgl. Malle 1993) die Gleichwertigkeit zweier Terme als Beschreibungsgleichheit gedeutet werden kann: Zwei Terme sind dann gleichwertig, wenn sie dasselbe Bild beschreiben. Für Lernende wie Lea dagegen stehen die Umformungsregeln und die Beschreibungen unverbunden nebeneinander, die Verbindung zwischen inhaltlichem Denken und Kalkül müsste erst gezielter aufgebaut werden. a² b²
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