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Lösung: a) Der Wasserdruck ist in Bodennähe größer als weiter oben, daher wirkt auf die untere Hälfte der Klappe eine größere Kraft als auf die obere Hälfte. Dadurch wird ein Drehmoment auf die Klappe im Uhrzeigersinn erzeugt, das die Klappe gegen die Wand presst und so den Ablauf verschließt. b) Wahl des Koordinatensystems: z-Achse zeigt nach oben, der Nullpunkt liegt am Boden des Ablaufbeckens. Dann ist der Druck im Wasser als Funktion von z gegeben durch p(z) = p0 + ρg h + a − z . 2 Auf die Klappe wirkt von rechts der konstante Gegendruck p0, d.h. der resultierende Druck auf die Klappe ist pK(z) = ρg h + a − z . 2 Um den Druck über die Klappe integrieren zu können, ist es sinnvoll die Koordinate y auf der Klappe einzuführen. Der Nullpunkt sei auf der Höhe der Drehachse und die positive Richtung zeige nach oben. Dann ist rein geometrisch und der Druck als Funktion von y z(y) = a + y sin α 2 pK(y) = pK(z(y)) = ρg(h − y sin α). Für das Drehmoment muss man über y in den Grenzen y = −a/(2 sin α) bis y = a/2(sin α) integrieren D = ˆ a/(2 sin α) −a/(2 sin α) dy bpK(y)y. Das Flächenelement ist der Streifen bdy, die Kraft ist Fläche mal Druck, und der Hebelarm ist y. Es ergibt sich hieraus D = bρg ˆ a/(2 sin α) −a/(2 sin α) = −bρg sin α 1 3 dy hy − y 2 sin α = −bρg sin α 2a 3 8 sin 3 α = − a3 bρg 8 1 3 y3 a/(2 sin α) −a/(2 sin α) 12 sin 2 α = 28.25 · 106 Nm.
8. Wasserführendes Rohr (*) Betrachten Sie ein gerades wasserführendes Rohr, das sich vom Radius r1 auf den Radius r2 verengt und auf beiden Seiten mit beweglichen Kolben verschlossen ist (s. Abbildung). Auf den linken Kolben wird zusätzlich zum Atmosphärendruck p0 die Kraft F1 ausgeübt, auf den rechten Kolben wirkt von außen nur der Atmosphärendruck. Das System befinde sich in einem stationären Zustand. Betrachten Sie das Wasser als inkompressibel und reibungsfrei. Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 der beiden Kolben? Mit welcher Kraft F2 wird der rechte Kolben aus dem Rohr herausgedrückt? Wie groß ist der Druck im Wasser vor der Verengung (p1) und nach der Verengung (p2)? Was geschieht im Fall r1 = r2? Lösung: Für die stationäre Strömung gelten die Kontinuitätsgleichung v1A1 = v2A2 mit den Querschnittflächen A1 = πr 2 1 und A2 = πr 2 2, sowie die Bernoulli-Gleichung p1 + 1 2 ρv2 1 = p2 + 1 2 ρv2 2. Da das System stationär sein soll, muss an beiden Kolben Kräftegleichgewicht herrschen, d.h. p1 = p0 + F1 A1 und p2 = p0. Von innen wirkt auf beide Kolben tatsächlich nur der jeweilige statische Druck des Wassers, da an der Berührungsfläche Wasser-Kolben das Wasser relativ zum Kolben ruht. Damit kann man nun das System aus Kontinuitätsgleichung und Bernoulli-Gleichung nach den Geschwindigkeiten auflösen. Es ergibt sich 1 2 ρv2 1 = A 2 2 A 2 2 − A 2 1 (p2 − p1) = 9 A 2 2 F1 A2 1 − A2 2 A1 .
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