Mitschrieb (.pdf)

Ein Gegenstand werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit v1 unter einem Winkel φ1 abgeworfen. v1 kann
aufgeteilt werden in Komponenten; bei vy kommt zusätzlich die gleichmäßig beschleunigte Geschwindigkeitskomponente
−gt aufgrund des freien Falls hinzu:
Mit v = s
t
vx = v1 · cos φ1
vy = v1 · sin(φ1) − gt
folgt aus diesen beiden Gleichungen die Parameterdarstellung des schiefen Wurfs:
x = v1 · cos φ1 · t (1)
y = v1 · sin φ1 · t − 1
2 gt2
(2)
Durch Auflösen der Gleichung zur x-Komponente der Parameterdarstellung zu t und einsetzen in die y-
Komponente ergibt sich die Normaldarstellung des schiefen Wurfs, wie eine mathematische Funktion in der
Abhängigkeit y = f(x):
y = v1 · sin φ1 · x
−
v1 · cos φ1
1
2 g
x2 =
gx
x · tan φ1 −
2
2v2 1 cos2 φ1
v 2 1 cos2 φ1
Eine Auftragung x gegen y mit konstanter Abwurfgeschwindigkeit |y1| unter variablem φ1 ergibt eine
Kurvenschar und mit unterschiedlichen Wurfweiten und Wurfhöhen. Es egribt sich eine Hüllkurve (nach unten
offene Parabel) der maximalen Wurfhöhen zu einer bestimmten aktuellen Wurfweite x. Jede Wurfweite außer
der maximalen Wurfweite (d.i. der Schnittpunkt der Hüllkurve mit der x-Achse) kann mit einem hohen und
einem flachen Wurferreicht werden. Die Punkte der maximalen Wurfhöhen in der Kurvenschar liegen alle auf
einer halben, nach links offenen Ellipse; man kann als Kgeelschnitte beim schiefen Wurf betrachten.
Die maximale Wurfweite wird erreicht unter einem Winkel φ = 45 ◦ . Berechnung bei Abwurf aus dem
Koordniatenursprung: Die Bedingung ist, dass die Wurfhöhe y = 0 ist (aus Gleichung 2):
Die Wurfweite x(tW ) beträgt damit:
0 = (v1 sin φ1 − 1
gt)t physikalisch sinnlos ist t = 0 also :
2
0 = v1 sin φ1 − 1
2 gtW
tW = 2 · v1 sin φ
g
2v1 sin φ1
xW = v1 cos φ1 =
g
v2 1
g sin(2φ1)
= v2 1
g
Normalerweise erfolgt der Abwurf unter einer Höhe h1, so dass sich aus der Normalform Gleichung 4 ergibt:
gx
y = x · tan φ1 −
2
2v2 1 cos2 φ1
Dabei zeigt sich: je größer h1, desto flacher muss der Winkel φ1 sein, um die größte Wurfweite xW zu erreichen.
Die mathematische Betrachtung ist hier kompliziert. Bei einem realen Wurf in Luft verringert sich natürlich
die Wurfweite, außerdem werden die Wurfbahnen asymmetrisch. Die Wurfweite hängt dabei auch von der
angenommenen Reibungsart ab, diese wiederum vom Wurfgegenstand (Kugel, rotierender Diskus usw.). Die
Rechnung eines solchen Falls ist sehr kompliziert.
Was ist die Geschwindigkeit in x-Richtung in der Abhängigkeit vx(t)? Sie ist konstant bis zum Auftreffen,
denn der schiefe Wurf ist in x-Achsenrichtung eine gleichförmige Bewegung. Siehe Abbildung 8.
Was ist die Geschwindigkeit in y-Richtung in der Abhängigkeit vy(t)? Sie nimmt konstant ab. Siehe Abbildung
9.
Weiter kann aufgetragen werden:
15
+ h1
(3)
(4)