2 Morphismen von Schemata

2 Morphismen von Schemata
Beweis Sei X = Spec B, Y = Spec A, f : X → Y, α : A → B, α der Ringhomomorphismus zu f.
Dann ist X ×Y X = Spec(B ⊗A B). ∆ wird induziert von
µ : B ⊗A B −→ B
b1 ⊗ b2 ↦−→ b1 · b2
µ ist surjektiv, also ist ∆ abgeschlossen. (Das ist so, weil ein surjektiver Ringhomomorphismus Primideale
auf Primideale abbildet und deswegen alle Primideale, die
µ −1 (p)
p Primideal
enthalten, schon Urbilder von Primidealen waren.)
Bemerkung 2.7.3
Seien f, g : X → Y Morphismen von S-Schemata. Ist Y über S separiert, so ist
abgeschlossen in X.
E(f, g) := {x ∈ X : f(x) = g(x)}
Beweis Sei h : X → Y ×S Y der von f und g induzierte Morphismus.
X
h
f g
Y ×S Y
Y Y
p
S
Dann ist E(f, g) = h −1 (∆), (∆ = ∆p(Y )). Also ist E(f, g) abgeschlossen.
Proposition 2.7.4
Seien (X, OX) ein Schema, R ein diskreter Bewertungsring, K = Quot(R), T = Spec R. Dann gibt es
eine natürliche Bijektion
Hom(T, X) −→ {(x0, x1, i) : x0, x1 ∈ X mit x0 ∈ {x1}, i : κ(x1) → K Körperhomomorphismus
mit i(OZ,x0 ) ⊆ R und i(mZ,x0 ) = mR ∩ i(OZ,x0 )},
wobei Z = {x1} red sei. Dann ist OZ,x1 = κ(x1) = OX,x1
mx1 .
Beweis Für f : T → X sei x0 := f(mR), x1 = f(0), i = f ♯ x1 . Da T reduziert ist, “ist” f ein Morphismus
nach Z:
T X
f
f
25
Z