2. Natürliche Zahlen

2. Natürliche Zahlen
Beweis
A := {n ∈ N : A(n) ist wahr}. Dann: A ⊆ N, aus (I) und (II) folgt A ∈ J.
Beispiele:
(1) A(n) := n ≥ 1. A(n) ∀n ∈ N. Beweis (induktiv):
Induktionsanfang (IA): 1 ≥ 1, also ist A(1) wahr.
Induktionsvorausseztung (IV): Sei n ∈ N und A(n) wahr (also n ≥ 1)
Induktionsschritt (IS, n n + 1): n + 1
(2) Für n ∈ N sei An := (N ∩ [1, n]) ∪ [n + 1, ∞).
Behauptung: An ist eine Induktionsmenge ∀n ∈ N
A(n)
(IV )
≥ 1 + 1 ≥ 1, also A(n + 1) wahr.
(3) Sei n ∈ N, x ∈ R und n < x < n + 1. Behauptung: x /∈ N. Beweis: Annahme: x ∈ N. Sei
Am wie im oberen Beispiel (2) =⇒ Am ∈ J =⇒ N ⊆ Am =⇒ x ∈ Am =⇒ x ≤ m
oder x ≥ m + 1, Widerspruch!
n(n + 1)
(4) Behauptung: 1 + 2 + · · · + n = ∀n ∈ N
2
A(n)
Beweis: (induktiv)
IA: 1+1
2 = 1 =⇒ A(1) ist wahr.
IV: Sei n ∈ N und 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2 .
IS: (n n + 1)
1 + 2 + · · · + n + (n + 1)
A(n+1) ist wahr
(IV )
= n(n+1)
n
(n+1)(n+2)
2 + (n + 1)(IV ) = (n + 1)( 2 + 1) = 2
Definition (Summen- und Produktzeichen)
(1) Seien a1, a2, . . . , an ∈ R, n ∈ N.
n
ak := a1 + a2 + . . . + an
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k=1
n
ak := a1 · a2 · . . . · an
k=1
(2) N0 := N ∪ {0},
Z := N0 ∪ {−n : n ∈ N} (ganze Zahlen),
: p ∈ Z, q ∈ N} (rationale Zahlen).
Q = { p
q
Satz 2.3 (Ganze Zahlen)
Sei ∅ = M ⊆ R.
(1) Ist M ⊆ N, so existiert min M
(2) Ist M ⊆ Z nach oben beschränkt, so existiert max M; ist M ⊆ Z nach unten beschränkt,
so existiert min M.
(3) Ist a ∈ R, so existiert genau ein k ∈ Z : k ≤ a < k + 1. Bezeichnung: [a] := k.
=⇒