Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für ... - next-internet.com

Aufgabe B3
Es sei X eine standardnormal-verteilte Zufallsvariable, kurz X ∼ N (0, 1). Weiter sei Y :=
3X − 1.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert IEY und die Varianz V (Y ).
Lösung: Mit IEX = 0 und V (X) = 1 folgt
IEY = 3IEX − 1 = −1,
V (Y ) = 9V (X) = 9.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit IP(−1 < Y ≤ 2).
Lösung: Mit der Definition von Y und 8.11 Satz folgt
IP(−1 < Y ≤ 2) = IP(−1 < 3X − 1 ≤ 2) = IP(0 < X ≤ 1) = Φ(1) − Φ(0).
Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion von X. Wegen Φ(2) = 0.8413 und Φ(0) = 0.5 (aus
Tabelle A.1) folgt
IP(−1 < Y ≤ 2) = 0.3413.
c) Bestimmen Sie das 0.975-Quantil q0.975 der Zufallsvariablen Y .
Lösung: Die Verteilungsfunktion von Y sei mit FY bezeichnet. Dann ist q0.975 die Lösung
q der Gleichung
q − (−1)
FY (q) = Φ
= 0.975.
3
Wegen Φ(1.96) = 0.975 (aus Tabelle A.1) gilt also
und damit
q + 1
3
= 1.96
q0.975 = q = 3 · 1.96 − 1 = 4.88. (1)
Der Zusammenhang (1) kann auch direkt aus Bemerkung 12.20 c) abgelesen werden.
d) Bestimmen Sie die Kovarianz C(X, Y ).
Lösung: Wegen IEX = 0 und IEX 2 (= V (X) + (IEX) 2 ) = 1 gilt
C(X, Y ) = IE[X · Y ] − IEX · IEY = IE[X · (3X − 1)] − 0 · (−1) = IE[3X 2 − X]
= 3IEX 2 − IEX = 3.