Extrapolation von Beanspruchungskollektiven - TU Clausthal

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5 Verlauf des Amplitudenkollektivs zwischen extrapolierten und gemessenem Höchstwert Bisher wurde gezeigt, wie der Kollektivhöchstwert des Nutzungsdauerkollektivs geschätzt werden sollte. Über den verbleibenden Bereich zwischen dem gemessenen Höchstwert und dem Nutzungsdauerhöchstwert wurden noch keine Aussagen getroffen. Um diesen nicht definierten Abschnitt zu belegen, wird der Extrapolationsfaktor aufsteigend bis zum Endwert variiert, um Stützstellen zu berechnen (hier von e=10 0.1 bis e=10 2 ). Die Berechnung erfolgt hierbei immer mit der optimalen Abschnittanzahl nach Kapitel 4. Das jeweilige Zwischenergebnis (Höchstwert für einen „eingefügten“ Extrapolationsfaktor) wird nach rechts verschoben und agiert somit als Stützstelle zwischen gemessenem und extrapoliertem Höchstwert. Abbildung 13 zeigt, dass mit dieser Vorgehensweise das rechtsverschobene Messkollektiv erwartungsgemäß seiner mathematischen Beschreibung folgt. Das heißt, der Formparameter ν bleibt bei der Extrapolation mathematischer Kollektive erhalten. Da die vorgestellte Extrapolationsmethode nur für die nach Gleichung ( 1 ) beschriebenen Kollektive in Kombination mit der Näherungslösung zuverlässig ist, können die mathematischen Messkollektive auch analytisch bis zur Nutzungsdauer beschrieben werden. Somit entfällt die Einteilung in Abschnitte, das Sortieren der Höchstwerte und das anschließende Abschätzen des Nutzungskollektivhöchstwertes. Amplitude 0.9 0.8 0.7 1 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10 0 Rechtsverschobenes Messkollektiv Schließen des nicht definierten Bereichs durch sukzessive Extrapolation mit Näherungsformel H = 1000 M ν = 2 e = 100 10 1 10 2 10 3 Summenhäufigkeit (log) 10 4 10 5 FACULTY 3 14 Amplitude 0.9 0.8 0.7 1 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10 0 Rechtsverschobenes Messkollektiv Schließen des nicht definierten Bereichs durch sukzessive Extrapolation mit Näherungsformel H = 1000 M ν = 1 e = 100 10 1 10 2 10 3 Summenhäufigkeit (log) Abbildung 13: Nicht definierter Bereich zwischen Messkollektiv und Nutzungsdauerkollektivhöchstwert durch sukzessive Extrapolation belegen, links: Normkollektiv ν=2, rechts: Geradlinienkollektiv ν=1 10 4 10 5
6 Mathematische Kollektive analytisch extrapolieren Ziel soll es sein den Nutzungsdauerkollektivhöchstwert ŜaN aus den bekannten Größen: Messdauerkollektivhöchstwert ŜaM, Messumfang HM, Kollektivform ν und Nutzungsumfang HN analytisch zu bestimmen. Für die folgenden Betrachtungen wird die Ordinate auf den Kollektivhöchstwert des zu bestimmenden Nutzungskollektivs ŜaN bezogen, Abbildung 14. Das Nutzungsdauerkollektiv besitzt demnach immer den Höchstwert eins und kann gemäß Gleichung ( 6 ) beschrieben werden. H = H υ ⎡ S ⎤ a 1−⎢ ⎥ ⎢ ∧ ⎥ ⎣SaN ⎦ N Wie auch in den vorangegangen Kapiteln wird das Messkollektiv um den Extrapolationsfaktor e nach „rechts verschoben“, Abbildung 14. In Gleichung ( 6 ) kann somit der Punkt (e, ŜaM / ŜaN) eingesetzt werden. Abbildung 14: Analytische Extrapolation υ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ SaM ⎟ −⎜ ∧ ⎟ ⎜ S ⎟ ⎝ aN ⎠ 1 ( 7 ) e = H N Der Extrapolationsfaktor beschreibt das Verhältnis aus Nutzungsdauer HN und Messdauer HM, Gleichung ( 8 ). H 15 Technical Report ( 6 ) N e = ( 8 ) H M Durch Einsetzen von Gleichung ( 7 ) in Gleichung ( 8 ) ergibt sich: e = H υ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ SaM ⎟ 1−⎜ ∧ ⎟ ⎜ S ⎟ ⎝ aN ⎠ N H → H N M = H υ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ SaM ⎟ 1−⎜ ∧ ⎟ ⎜ S ⎟ ⎝ aN ⎠ N → 1 H M = H υ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ SaM ⎟ −⎜ ∧ ⎟ ⎜ S ⎟ ⎝ aN ⎠ N Das Logarithmieren und weitere Umformen von Gleichung ( 9 ) führt zum gesuchten Zusammenhang. Der „Überhöhungsfaktor“ der Kollektivhöchstwerte ŜaN / ŜaM steigt mit dem Verhältnis der logarithmierten Kollektivumfänge an. Erwartungsgemäß fällt die Überhöhung bei härteren Kollektiven geringer aus. υ 1 1 S ( ) υ ( ) υ aM SaN log H N log H N log( H M ) log( H N ) SaN SaM log( H M ) log( H M ) ⎟ aN aM ⎟ ∧ ∧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∧ ∧ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = ⋅ → = ⎜ ⎟ → = ⋅ ⎜ ⎜ ∧ ⎟ ∧ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ S ⎠ S ( 9 ) ( 10 )
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