Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme

Beispiel. y ′′ + y = 1 ⇒ f(x) = 1
λ 2 + 1 = 0, λ1,2 = ±i
W =
y1 = cos x, y2 = sin x
cos x sin x
− sin x cos x = cos2 x + sin 2 x = 1
yspez = − cos x sin x dx + sin x cos x dx = 1
yges = k1 cos x + k2 sin x + 1
1.1.5 Allgemeine homogene lineare DGL 2. Ordnung
y ′′ + f(x)y ′ + g(x)y = 0
Es existieren 2 l.u. Lösungen, aber es gibt kein allgemeines Verfahren zu deren Bestimmung.
Manchmal ist eine Lösung y1(x) bekannt (z.B. durch Erraten), dann kann man dazu eine l.u. Lösung
y2(x) bestimmen.
Betrachten zunächst W , leiten ab und setzen für y ′′ die DGL ein:
Trick:
Beispiel.
Durch Erraten: y1(x) = x
W = y1y ′ 2 − y2y ′ 1
W ′ = y ′ 1y ′ 2 + y1y ′′
2 − y ′ 2y ′ 1 − y2y ′′
1 = y1y ′′
2 − y2y ′′
1
= y1(−fy ′ 2 − gy2) − y2(fy ′ 1 − gy1) − f(y1y ′ 2 − y2y ′ 1)
dW
W
= −fW
= − fdx
ln W = − fdx
W = e − R fdx
′
y2
=
y1
y′ 2y1 − y2y ′ 1
y2 1
y2 W
=
y1 y2 dx
1
W
y2(x) = y1(x) dx
y 2 1
= W
y 2 1
y ′′ − 2x
1 − x2 y′ + 2
y = 0, |x| < 1
1 − x2 6