Numerische Differentiation

Lösung:
(a) f ′ (2) = 4 , fR = 4,01 , δR = 0,0025
fL = 3,99 , δL = −0,0025
(b) f ′ π
3
(c) f ′ π
3
(d) f ′ π
3
fZ = 4,00 , δZ = 0
= 0,5 , fR = 0,4559 , δR = −0,0882
fL = 0,5424 , δL = 0,0849
fZ = 0,499167 , δZ = −0,00166
= 0,5 , fR = 0,4995669 , δR = −0,000866
fL = 0,5004329 , δL = 0,000866
fZ = 0,49999992 , δZ = −1,67·10 −7
= 0,5 , fR = 0,499995669 , δR = −8,66·10 −6
fL = 0,50000433 , δL = 8,66·10 −6
fZ = 0,499999999992 , δZ = −1,67·10 −11
(e) f ′ (1) = 1,386294361 , fR = 1,386342407 , δR = 3,47·10 −5
fL = 1,386246317 , δL = −3,47·10 −5
fZ = 1,386294362 , δZ = 8,00·10 −10
(f) f ′ (2) = −0,4068996821 , fR = −0,4070124656 , δR = 2,77·10 −4
fL = −0,4067869006 , δL = −2,77·10 −4
fZ = −0,4068996831 , δZ = 2,43·10 −9
(g) Wegen der beschränkten Genauigkeit des Rechners und der Differenz benachbarter
Werte im Zähler!
3. Berechnen Sie f ′
π für f(x) = cos3x einmal exakt und einmal numerisch mit
18
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?
Lösung: exakt: f ′ π
= −3·sin
18
π
6
= −1,5
Näherung: f ′ π
≈
18
cos3· π
18 +0,01 −cos 3· π
2·0,01
δrel = −0,00015 = −0,015%
18 −0,01
= −1,499775
4. Berechnen Sie f ′
π für f(x) = cos5x einmal exakt und einmal numerisch mit
30
dem zentralen Differenzenqotienten (h = 0,01).
Wie groß ist der relative Fehler des Näherungswertes?
Lösung: exakt: f ′ π
= −5·sin
30
π
6
= −2,5
Näherung: f ′ π
≈
30
cos5· π
30 +0,01 −cos 5· π
2·0,01
δrel = −0,00042 = −0,042%
30 −0,01
= −2,498958
5. Berechnen Sienumerisch sogenauwiemöglichdieAbleitungderFunktionf(x) = 2 x
an der Stelle x = 1.
Lösung: f ′ (1) ≈ f(1,001)−f(0,999)
0,002
= 1,386
2