Transversalen

Transversalen
Transversalen sind Geraden oder Strecken, die ein Dreieck schneiden.
Sie können folgende Lagen haben:
- parallel zu einer Seite
- senkrecht zu einer Seite
- durch einen Eckpunkt
- beliebig
Sie können auch mehrere dieser Eigenschaften zugleich haben.
Drei Transversalen können keinen, einen, zwei oder drei Schnittpunkte
haben.

Seitenhalbierende
Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende.
Jede Seitenhalbierende verläuft durch einen Eckpunkt und halbiert die
gegenüberliegende Seite des Dreiecks.
Die Seitenhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt.
Er liegt immer innerhalb des Dreiecks.
Der Schnittpunkt heißt auch Schwerpunkt des Dreiecks.
Der Schnittpunkt teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 1:2.

Winkelhalbierende
Jedes Dreieck hat drei Winkelhalbierende.
Jede Winkelhalbierende halbiert einen Innenwinkel des Dreiecks.
Die Winkelhalbierenden schneiden sich immer in einem Punkt.
Er liegt immer innerhalb des Dreiecks.
Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Inkreises.
Jedes Dreieck hat einen Inkreis.

Mittelsenkrechte
Jedes Dreieck hat drei Mittelsenkrechten.
Jede Mittelsenkrechte halbiert eine Seite des Dreiecks und steht senkrecht
darauf.
Die Mittelsekrechten schneiden sich immer in einem Punkt.
Er liegt immer innerhalb eines spitzwinkligen und außerhalb eines
stumpfwinkligen Dreiecks.
Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises.
Jedes Dreieck hat einen Umkreis.

Jedes Dreieck hat drei Höhen.
Höhe
Jede Höhe verläuft durch einen Eckpunkt und steht senkrecht auf der
gegenüberliegenden Seite des Dreiecks.
Die Höhen schneiden sich immer in einem Punkt.
Er liegt immer innerhalb eines spitzwinkligen und außerhalb eines
stumpfwinkligen Dreiecks.
Die Höhen zerlegen das Dreieck in paarweise ähnliche Teildreiecke.
Im gleichseitigen Dreieck sind die Teildreiecke kongruent.

Zusatzaufgaben
Im rechtwinkligen Dreieck fallen zwei Dreiecksseiten mit zwei Höhen
zusammen.
Im gleichschenkligen Dreieck fallen jeweils eine Mittelsenkrechte,
Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Höhe zusammen.
Im gleichseitigen Dreieck fallen alle Transversalen zusammen.
Die Eckpunkte des Mittendreiecks sind die Seitenmitten des äußeren
Dreiecks.
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks sind die Höhen des Mittendreiecks.
Der Schnittpunkt von Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden und Höhen
liegen auf einer Geraden, der Eulergeraden.
Im gleichschenkligen Dreieck liegt auch der
Winkelhalbierendenschnittpunkt auf der Eulergeraden.
Im gleichseitigen Dreieck gibt es keine Eulergerade, weil alle Schnittpunkte
zusammenfallen.