Aufgabe 4 zu 3.2.3.3 - Lösung -

Aufgabe 4 zu 3.2.3.3
- Lösung -
Z
d
A0 + Rn
= ⋅ i
2
Multipliziert man diesen Betrag mit der Lebensdauer, so erhält man die gesamten Zinsen:
A0 + Rn
Z = ⋅i⋅
n
2
Nach der Restwertmethode ergeben sich die jährlichen Zinsen aus der durchschnittlichen Kapitalbindung
des jeweiligen Jahres, berechnet als Durchschnitt aus dem Wert zu Beginn des Jahres und
aus dem Wert am Ende des Jahres. Dieser "Restwert" ist nicht zu verwechseln mit dem Restwert R n
am Ende der Lebensdauer.
Die Höhe der beiden Rechtecke in der folgenden Zeichnung ist die durchschnittliche Kapitalbindung
des ersten Jahres und die des letzten Jahres:
A 0
KB
0
0
A
A
+ A −
0 0
2
0 n
A
− R
n
A
− R
0 − 0 n
n
0
0
0
R
n
A
+
− R
n
0 n
R
n
A0 − Rn
+ + R
n
2
n
R n
0 1
n−1
n
t
Die durchschnittlichen Beträge der Kapitalbindung in den einzelnen Jahren unterscheiden sich
voneinander jeweils um den Betrag der konstanten Abschreibung. Sie bilden also eine arithmetische
Reihe.
Der durchschnittliche Wert aller jährlichen Kapitalbindungsbeträge ist nichts anderes als die durchschnittliche
Kapitalbindung KB d . Diese ergibt sich als durchschnittlicher Wert der arithmetischen
Reihe, indem das erste und das letzte Glied addiert und durch 2 geteilt werden:
KB
d
=
A −R A −R
A A R
n + n
2 2
2
0 n 0 n
0 + 0 − n + + Rn
Nach einigen Umformungen folgt hieraus:
- 2 -
l3233d04.doc