Verfahren der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

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Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung + kn ⋅ ( q1,n + q2,n + q3,n… + qn,n) + k1⋅ q2, 1 + k1⋅ q3,1 + k2 ⋅ q3,2 + k1⋅ q4,1 + k2 ⋅ q4,2 + k3 ⋅ q4,3 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + 1 n,1 2 n,2 3 n,3 n−1 n,n−1 Es ist zweckmäßig, in diesem Ausdruck die Klammern aufzulösen, sodass: n i n i−1 ∑ ∑ ∑∑ = k 1⋅ q1, 1 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅q 1 1,1 i j,i j i,j i= 2 j= 1 i= 2 j= 1 + k2 ⋅ q1,2 + k2 ⋅ q2,2 + k3 ⋅ q1,3 + k3 ⋅ q2,3 + k3 ⋅ q3,3 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + n−1 1,n−1 n−1 2,n−1 n−1 3,n−1 n−1 n−1,n−1 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + n 1,n n 2,n n 3,n n n,n + k1⋅ q2, 1 + k1⋅ q3,1 + k2 ⋅ q3,2 + k1⋅ q4,1 + k2 ⋅ q4,2 + k3 ⋅ q4,3 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + 1 n,1 2 n,2 3 n,3 n−1 n,n−1 Fasst man die Elemente dieses Ausdrucks nach k 1 , k 2 usw. zeilenweise zusammen, so erhält man n i n i−1 ∑ ∑ ∑∑ = k ⋅ 1 q + 1,1 k ⋅ 1 q + 2,1 k ⋅ 1 q3,1… + k ⋅ 1 qn,1 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅q 1 1,1 i j,i j i,j i= 2 j= 1 i= 2 j= 1 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + 2 1,2 2 2,2 2 3,2 2 n,2 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + 3 1,3 3 2,3 3 3,3 3 n,3 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + n−1 1,n−1 n−1 2,n−1 n−1 3,n−1 n−1 n,n−1 k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q … + k ⋅q + n 1,n n 2,n n 3,n n n,n Auf der rechten Seite lässt sich jeweils k i ausklammern: n i n i−1 ∑ ∑ ∑∑ = k 1 ⋅ ( q 1,1 + q 2,1 + q q 3,1… + n,1 ) k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅q 1 1,1 i j,i j i,j i= 2 j= 1 i= 2 j= 1 + k2 ⋅ ( q1,2 + q2,2 + q3,2 … + qn,2 ) + k3 ⋅ ( q1,3 + q2,3 + q3,3 … + qn,3 ) + kn− 1⋅ ( q1,n− 1+ q2,n− 1+ q3,n− 1… + qn,n− 1) + kn ⋅ ( q1,n + q2,n + q3,n… + qn,n) Die rechte Seite dieses Ausdrucks ist aber nichts anderes als ∑ki ⋅∑ qj,i , sodass gilt: i j - 6 - ibl01m.doc
Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung n i n i−1 ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ k ⋅ q + k ⋅ q + k ⋅ q = k ⋅ q 1 1,1 i j,i j i,j i j,i i= 2 j= 1 i= 2 j= 1 i j Das ist Gleichung (24), womit deren Richtigkeit bewiesen ist. Damit kann Gleichung (24) in Gleichung (21) eingesetzt werden: ∑ ∑ ∑ ∑ KP = k ⋅x − k q i i i i i i i j j,i Klammert man auf der rechten Seite dieser Gleichung ∑ ki aus und vertauscht die Seiten, erhält man i k ⎛ ⎞ ⋅⎜x − q ⎟ = KP ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ i i i j,i i j i Das ist Gleichung (15). Damit ist die Behauptung bewiesen. Auch beim Stufenleiterverfahren werden die primären Gemeinkosten der Hilfskostenstellen vollständig auf die Hauptkostenstellen übertragen. Für das Gleichungsverfahren folgt aus Gleichung (14): (25) KPi = ki ⋅xi − k j ⋅qi ,j j ∑ Die Summierung über alle Hilfskostenstellen ergibt: ∑ ∑ ∑∑ (26) i i i j i i i j KP = k ⋅x − k ⋅q i,j Die primären Gemeinkosten der Hilfskostenstellen müssen nun auch beim Gleichungsverfahren in voller Höhe als sekundäre Gemeinkosten auf die Hauptkostenstellen übertragen werden. Die sekundären Gemeinkosten der Hauptkostenstellen sind nach Gleichung (15) i ⎛ ⎞ ki ⋅⎜xi − qj,i⎟ ⎝ j ⎠ ∑ ∑ Diese Kosten müssen den primären Gemeinkosten gemäß Gleichung (26) entsprechen. Es ist also zu zeigen, dass gilt: k ⎛ ⎞ ⋅⎜x − q ⎟ = k ⋅x − k ⋅q ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑∑ j i i j,i i i j i, i j i i j Löst man in dieser zu beweisenden Gleichung die Klammer auf, so erhält man ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ k ⋅x − k ⋅ q = k ⋅x − k ⋅q i i i j,i i i j i,j i i j i i j Wieder stimmen die beiden Seiten des Ausdrucks in ∑ ki ⋅ xi überein, sodass nur noch zu untersuchen ist, ob die Gleichung ∑ ∑ ∑∑ (27) i j,i j i j i j gilt. k ⋅ q = k ⋅q i,j Der Ausdruck q j,i auf der linken Seite stellt die Lieferungen der Hilfskostenstelle i an die Hilfskostenstelle j dar. Summiert man dies für die Hilfskostenstelle i über alle j, so erhält man mit ∑ qj,i die Summe der Lieferungen von Hilfskostenstelle i an alle Hilfskostenstellen. Multipliziert mit dem Kosten- i - 7 - ibl01m.doc j
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