7) Quantentheorie identischer Teilchen Identische Teilchen ...

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Symmetrien Dirac-Glg. Vielteilchen
7) Quantentheorie identischer Teilchen Burgd. 10
Identische Teilchen: ununterscheidbar (gleiche m, S, q ...)
Klassische Mechanik: Trajektorien zweier Teilchen
r 1 (t) = r(t) , r 2 (t) = r ′ (t)
p 1 (t) = p(t) , p 2 (t) = p ′ (t) (1)
Newtonsche Bewegungsglg. invariant unter 1 ↔ 2
r 1 (t) = r ′ (t) , r 2 (t) = r(t)
p 1 (t) = p ′ (t) , p 2 (t) = p(t) (2)
Teilchen durch Anfangsbedingungen (r, p) unterscheidbar
Diese Möglichkeit haben wir in der QM nicht!
Ziel
Quantenmechanische Beschreibung identischer Teilchen

Darstellungstheorie Näherungsverfahren Messprozess Streutheorie Symmetrien Dirac-Glg. Vielteilchen
7.1) Fermionen und Bosonen
Vertauschungs-Symmetrie:
H = ∑ − 2 ∆ i
2m
+ ∑ i
i
V (⃗r i ) + 1 ∑
U(|⃗r i −⃗r j |) (3)
2
i≠j
Vertauschungs(Transpositions)-Operator für Teilchen i und j:
P ij Ψ(⃗r 1 , ...,⃗r i , ...⃗r j , ...⃗r N ) = Ψ(⃗r 1 , ...,⃗r j , ...⃗r i , ...⃗r N ) (4)
Symmetrie:
[P ij , H] = 0 ⇒ gemeinsames System von EF (5)
P ij 2 = 1 ⇒ EW±1 (6)

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Allgemeine Permutationssymmetrie
Betrachten Permutation P p z.B. 123 → 312: P 312 = P 213 P 132
Jede Permutation P p schreibbar als n p Vertauschungen
Idee
Der Eigenwert sollte gleich für alle Vertauschungen sein.
Zwei Möglichkeiten (EW ±1):
a) Total symmetrischer Fall: P p |Ψ S 〉 = (+1) np |Ψ S 〉
genannt: Bosonen
b) Total antisymmetrischer Fall: P p |Ψ A 〉 = (−1) np |Ψ
} {{ } A 〉
genannt: Fermionen
+1:gerade;−1:ungerade
Spin-Statistik-Theorem
(Lokale) relativistische Quantenfeldtheorie (4 Dimensionen):
ganzzahliger Spin: total symmetrisch (Bosonen)
halbzahliger Spin: total antisymmetrisch (Fermionen)

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7.2) Hartree-Fock-Approximation
Zusammenfassung
Ansatz:
Ψ(⃗r 1 , ...⃗r N ) = √ N! A
N∏
ϕ αi (⃗r i ) (7)
Energie-Minimierung nach Ritzschen Variationsverfahren
⇒ Hartree-Fock-Glg.
[ − 2 ∆
2m
]
+ V ( ⃗r) ϕ αi (⃗r) + ∑ j
∫
i=1
d 3 r ′ U ( |⃗r −⃗r ′ | ) |ϕ αj (⃗r ′ )| 2 ϕ αi (⃗r)
− ∑ ∫
d 3 r ′ U ( |⃗r −⃗r ′ | ) (
ϕ αj ⃗ r ) ϕ ∗ (
α j
⃗ r ′) (
ϕ αi ⃗ r ′) = ɛ i ϕ αi (⃗r)(8)
j
} {{ }
Austausch-Term

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7.3) Besetzungszahlformalismus und 2. Quantisierung
Gegeben: Basis B 1 = { |ϕ i 〉 } für 1-Teilchen Hilbertraum H 1
Gesucht: Basis B N für N-Teilchen Hilbertraum H N
Idee
⎧
⎫
⎪⎨ √
S N!
⎪⎬
B N = A √
n1 !n 2 !... |ϕ α 1
〉|ϕ α2 〉 · · · |ϕ αN 〉
} {{ }
⎪⎩
⎪⎭
≡|n 1 ,n 2···n i ··· 〉Besetzungszahldarst.
Da Teilchen ununterscheidbar, ist Zustand eindeitig durch
Besetzungen festgelegt!
Natürliche Darstellung, da es jetzt nicht mehr um Teilchen 1 in
Zustand α 1 etc. geht.
Bei Fermionen muss auf die Reihenfolge geachteten werden,
da A|ϕ 1 〉|ϕ 2 〉 = −A|ϕ 2 〉|ϕ 1 〉
(9)

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2. Quantisierung
Zusammenfassung
Definition (Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren):
a † i |n 1, n 2 · · · n i · · · 〉 = √ n i + 1 |n 1 , n 2 · · · (n i + 1) · · · 〉 (10)
a i |n 1 , n 2 · · · n i · · · 〉 = √ n i |n 1 , n 2 · · · (n i − 1) · · · 〉 (11)
⇒ (für Bosonen)
⇒ (Fermionen)
Hamiltonian:
H = ∑ α ′ α
[a i
, a † j ] = δ i,j ; [a i , a j ] = [a † i , a† j ] = 0 (12)
{a i
, a † j } = δ i,j ; {a i , a j } = {a † i , a† j } = 0 (13)
f (1)
α ′ α a† α ′ a α +
∑
α 1 α 2 α 3 α 4
f (2)
α 1 α 2 α 3 α 4
a † α 1
a † α 2
a α3
a α4
(14)