Kapitel IV. Quadratische Formen über Qp und ... - Christian Semrau

Satz 6. Sei n > 1, d ∈ Q ∗ p/Q ∗ p2 , ε = ±1. Es existiert eine quadr. Form f vom Rang n mit
d(f) = d, ε(f) = ε genau dann, wenn n = 1, ε = 1 oder n = 2, d ≠ −1 oder n = 2, ε = 1
oder n ≥ 3.
Beweis. Der Fall n = 1 ist trivial (ε(f) = 1 und d(f) = d für f ∼ dX 2 ).
Ist n = 2, dann ist f ∼ aX 2 + bY 2 , und es gilt d(f) = −1 ⇒ ε(f) = (a, b) = (a, −ab) = 1,
also kann nicht gleichzeitig d(f) = −1 und ε(f) = −1 sein (das zeigt ”⇒”). Falls umgekehrt
d = −1, ε = 1, hat f = X 2 −Y 2 diese Invarianten, ist aber d ≠ −1, dann existiert ein a ∈ Q ∗ p
mit (a, −d) = ε und f = aX 2 + adY 2 leistet das Gewünschte.
Ist n = 3, dann sei −d ≠ a ∈ Q ∗ p/Q ∗ p2 . Wie eben gezeigt wurde, existiert eine quadr. Form g
vom Rang 2 mit d(g) = ad, ε(g) = ε(a, −d). Dann hat f = aZ 2 ∔ g die Invarianten d und ε.
Ist schliesslich n ≥ 4, dann gibt es ein g vom Rang 3 mit den vorgegebenen Invarianten und
f = g(X 1 , X 2 , X 3 ) + X4 2 + · · · + Xn 2 hat dieselben Invarianten.
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Korollar. Die Anzahl der Äquivalenzklassen quadr. Formen vom Rang n über Q p
für n falls p ≠ 2 falls p = 2
= 1 4 8
= 2 7 15
≥ 3 8 16
ist
Beweis. d(f) kann 4 Werte annehmen für p ≠ 2 und 8 Werte für p = 2, ε(f) kann 2 Werte
annehmen. Mit den Einschränkungen aus Satz 6 ergeben sich die Anzahlen.
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2.4. Der reelle Fall
Sei f eine quadr. Form vom Rang n über R. f ist äquivalent zu
X1 2 + · · · + Xr 2 − Y1 2 − · · · − Ys
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mit r, s ∈ N 0 und r + s = n. Das Paar (r, s) hängt nur von f ab, es heißt die Signatur von
f. f heißt definit, falls r = 0 oder s = 0, sonst indefinit (genau in diesem Fall repräsentiert
f die 0).
Die Invarianten ε(f) und d(f) sind definiert wie im Fall Q p , und wegen (−1, −1) = −1
ergeben sich die Formeln
{
ε(f) = (−1) s(s−1)/2 1 falls s ≡ 0, 1 (mod 4)
=
−1 falls s ≡ 2, 3 (mod 4)
{
d(f) = (−1) s 1 falls s ≡ 0 (mod 2)
=
−1 falls s ≡ 1 (mod 2)
Die Werte von d(f) und ε(f) bestimmen also den Wert von s mod 4, insbesondere ist f im
Fall n ≤ 3 bis auf Äquivalenz eindeutig durch d(f) und ε(f) bestimmt.
Man sieht leicht, dass die Teile i), ii), iii) von Theorem 6 und seinem Korollar auch für R
gelten (denn in den Beweisen wurde nur die Regularität des Hilbert-Symbols benutzt), und
dass Teil iv) nicht für R zutrifft.
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