Kontrollfragen und –aufgaben Grundlagen Grundlegende Begriffe ...

M. Gieding Kontrollfragen zur Vorlesung Elementargeometrie WS 09/10
Bewegungen als Werkzeug und didaktisches Hilfsmittel im Geometrieunterricht
(1) In den 60-ger Jahren des vorigen Jahrhunderts wurde der Geometrieunterricht einem
Paradigmenwechsel unterworfen: „Weg von Euklid, hin zu dynamischen
Betrachtungsweisen.“ Erläutern Sie, welche Intentionen diesem Wechsel zugrunde lagen,
und wie diese Intentionen letztlich in den 70-ger Jahren pervertiert wurden.
(2) Inwiefern wirken die Pervertierungen noch heute nach und wie werden sie gerade
aufgehoben? (Ein Blick in die gymnasialen Mathematikehrbücher der SI hilft.)
(3) Begründen Sie, warum der Begriff der Bewegung in seiner vollständigen Bedeutung den
Schülern verborgen bleiben muss (Hinweis: Figurkonzept). Erläutern Sie in diesem
Zusammenhang, wie weit das Verständnis der Schüler auf der SI für den Begriff der
Bewegung nur gehen kann.
(4) Setzen Sie sich mit der Aussage auseinander, dass abbildungsgeometrische Beweise
einfacher zu führen wären als Beweise, die nicht auf Abbildungen zurückgreifen.
Argumentieren Sie mit Hilfe von Beispielen. (z.B. Basiswinkelsatz)
(5) Erläutern Sie anhand von instruktiven Beispielen, wie Bewegungen helfen können,
Konstruktionsprobleme zu lösen.
Die Strahlensätze
(1) Es sei eine Ebene und eine Gerade in dieser Ebene. Definieren Sie den Begriff der
Parallelprojektion von auf .
(2) Definieren Sie den Begriff des inneren und des äußeren Teilverhältnisses.
(3) Beweisen Sie: Die Parallelität ist eine Invariante bei Parallelprojektionen.
(4) Beweisen Sie: Das Teilverhältnis ist eine Invariante bei Parallelprojektionen.
(5) Formulieren Sie den ersten Strahlensatz mithilfe des Begriffs der Parallelprojektion.
(6) Erläutern Sie warum Sie mit dem Beweis von (4) den Beweis des ersten Strahlensatzes
bereits geführt haben.
(7) Beweisen Sie den weiteren Teil des ersten Strahlensatzes.
(8) Erläutern Sie die Problematik der Inkommensurabilität bezüglich des Beweisen von (4) bzw.
bezüglich des Beweises des ersten Strahlensatzes.
(9) Beweisen Sie den ersten Strahlensatz mittels Flächeninhalten von Dreiecken.
(10) Das Problem der Inkommensurabilität ist im unter (9) geführten Beweis scheinbar
verschwunden. Wo ist es geblieben, bzw. wohin wurde es verlagert?
(11) Formulieren Sie den ersten und den zweiten Strahlensatz schuladäquat.
(12) Beweisen Sie den zweiten Strahlensatz.
(13) Bilden Sie die Umkehrungen der Strahlensätze und referieren Sie über die Gültigkeit dieser
Umkehrungen.
Die Strahlensätze als Hilfsmittel zum Konstruieren
(1) Was versteht man unter Konstruktionen mit Zirkel und Lineal?
(2) Konstruktionen mit Zirkel und Lineal hatten in der Mathematik der alten Griechen eine
Blütezeit. Inwiefern kann man die Existenz von irrationalen Zahlen hierfür verantwortlich
machen?
(3) Es seien und zwei verschiedene Punkte. Ferner sei . Die Strecke soll in
zueinander kongruente Teilstrecken unterteilt werden. Erstellen Sie für dieses Problem eine
Konstruktionsbeschreibung und begründen Sie deren Korrektheit.
(4) Es seien und zwei verschiedene Punkte. Konstruieren Sie einen Punkt auf derart,
dass
gilt.
(5) Was versteht man unter dem goldenen Schnitt? Beweisen Sie: Das Verhältnis des goldenen
Schnittes berechnet sich zu .
Zentrische Streckungen
(1) Definieren Sie den Begriff der zentrischen Streckung.
(2) Beweisen Sie: Die Menge der zentrischen Streckungen mit dem Streckzentrum ist
bezüglich der Nacheinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe.
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