Übung 3 - ACIN

3 Lösung von Optimalsteuerungsproblemen mit direkten Verfahren Seite 6
u (t)
u i−1 u i u i+1 u i+2
t i−1 t i t i+1 t i+2
t
Abbildung 3.1: Veranschaulichung der Parametrierung der Stellgröße u (t).
Vektor der Optimierungsvariablen
⎡
x 0 ⎤
u 0
x 1
y =
u 1
.
⎢
⎣x N−1 ⎥
⎦
u N−1
(3.4)
zusammengefasst. Damit kann das Optimalsteuerungsproblem (3.1) in ein statisches Optimierungsproblem
überführt werden. Der Wert des Kostenfunktionals (3.1a) wird mit
der Trapezregel in der Form
(
J d (y) = ϕ t N−1 , x N−1) N−2 ∑ 1 (
+ t i+1 − t i) [ (
l t i , x i , u i) (
+ l t i+1 , x i+1 , u i+1)] (3.5)
2
i=0
angenähert. Für die Ungleichungsbeschränkungen (3.1d) wird vereinfachend gefordert,
dass sie lediglich an den Gitterpunkten erfüllt sind. Damit folgt
(
h t i , x i , u i) ≤ 0, i = 0, 1, . . . , N − 1 (3.6)
und für die Endbedingungen (3.1c) erhält man
(
ψ t N−1 , x N−1) = 0. (3.7)
Eine Diskretisierung des Differenzialgleichungssystems (3.1b) mit der impliziten Trapezregel
liefert die algebraischen Gleichungsbedingungen
x i+1 − x i − ti+1 − t i
2
[ (
f t i , x i , u i) (
+ f t i+1 , x i+1 , u i+1)] = 0, i = 0, 1, . . . , N − 2
(3.8a)
Vorlesung und Übung Optimierung (WS 2013/2014)
© A. Kugi, Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien