Klausur zur Algebra I - Universität Hamburg

8. Sei R ein kommutativer Ring, I ein Ideal in R.
Ist dann die Menge √ I := {a ∈ R | ∃ n ∈ Z >0 so dass a n ∈ I} ein Ideal?
Lösung:
Ja.
Für alle r ∈ R, a ∈ √ I (mit a n ∈ I) ist ra ∈ √ I, denn (ra) n = r n a n (da R kommutativ
ist) und mit r n ∈ R ist r n a n ∈ I, da I Ideal ist.
Sei a ∈ √ I mit a n ∈ I und b ∈ √ I mit b m ∈ I, dann ist a + b ∈ √ I mit (a + b) n+m−1 ∈ I,
denn nach der binomischen Formel gilt: (a + b) n+m−1 = ∑ n+m−1
( n+m−1
)
i=0 i a n+m−1−i b i .
Für i < m − 1 ist a n+m−1−i = a n a m−1−i in I, somit ist für i ≤ m − 1 auch das Produkt
von a n+m−1−i mit b i ∈ R und die ( )
n+m−1
i -fache Summe in I (da I Ideal), für i ≥ m ist
b i in I und somit auch die ( )
n+m−1
i -fache Summe von a n+m−1−i b i .
9. Was ist der Körpergrad [Q( 5√ 3 e −2πi/5 ) : Q]?
Lösung:
5.
Denn α = 5√ 3 e −2πi/5 ist Nullstelle von f(X) = X 5 − 3. Nach dem Eisenstein-Kriterium,
angewandt auf die Primzahl 3, ist f irreduzibel.
10. Sei E/K Körpererweiterung vom Grad [E : K] = 2 k für ein k ≥ 1. Sei f ∈ K[X] ein
normiertes Polynom vom Grad 3, das in E eine Nullstelle besitzt. Hat dann f bereits in
K eine Nullstelle?
Lösung:
Ja.
Sei a ∈ E Nullstelle von f. Angenommen, f besitzt keine Nullstelle in K, dann ist f
irreduzibel über K, da ein reduzibles Polynom vom Grad drei immer in ein Produkt mit
wenigstens einem Linearfaktor zerfällt. Somit ist f Minimalpolynom von a über K und
[K(a) : K] = 3. Widerspruch zur Gradformel [E : K(a)][K(a) : K] = 2 k , da 3 kein Teiler
von 2 k ist.
11. Betrachten Sie die reellen Zahlen mit den Verknüpfungen a⊕b = max(a, b) und a◦b = a+b
(also mit der üblichen Addition +). Gilt das Distributivgesetz a ◦ (b ⊕ c) = a ◦ b ⊕ a ◦ c?
Lösung:
Ja.
Denn: a◦b⊕a◦c = max(a+b, a+c) = a+max(b, c). Letztere Gleichheit gilt, denn sei oBdA
a + b ≥ a + c, dann ist b ≥ c und somit max(a + b, a + c) = a + b und a + max(b, c) = a + b.
Die Menge der ganzen Zahlen mit den obigen Verknüpfungen nennt man die tropischen
Zahlen.
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