Teil 3: Integralrechnung

Aufgaben
1. Berechnen Sie die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von y(x)=x 2 für das Intervall a) [0, 1] b)
[0, 3] c) [0, a] d) [6, 9] e) [–2, 3] f) [a, b]
(Bei d), e) und f) kann der Graph von y(x)=x 2 eine wertvolle Hilfe bieten)
2. Leiten Sie die Formeln her für
a) die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von y(x)=x für das Intervall [0, b]
b) die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von y(x)=x 3 für das Intervall [0, b]
3. Berechnen Sie mit Hilfe der bei 2. gefundenen Formeln
a) die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von y(x)=x für das Intervall [a, b]
b) die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von y(x)=x 3 für das Intervall [a, b]
3.1.2 Freier Fall
Ein Körper wird im luftleeren Raum zum Zeitpunkt t=0 fallengelassen. Aus der Physik wissen wir, dass für seine
Geschwindigkeit gilt v(t)= g⋅t mit g ≈ 9.81 m⋅s –2 . Welchen Weg s legt der Körper in b Sekunden zurück?
Wir lösen diese Aufgabe gemäss Verfahren 1. Das Auftreten von g ist kein Problem für das CAS.
g*t → v(t)
⇒ Done
b/n → deltat
⇒ b n
i*deltat → t(i)
⇒ Done
Σ( v(t(i))*deltat, i, 1, n) → o(n,b) ⇒ Done
Σ( v(t(i))*deltat, i, 0, n–1) → u(n,b) ⇒ Done
limit( o(n,b)–u(n,b), n, ∞) ⇒ 0
limit( o(n,b), n, ∞) ⇒ b 2
⋅ g , d. h. der Körper legt in b Sekunden s(b) = b 2
⋅ g
2
2
Meter zurück.
Wenn es um die Herleitung exakter Lösungen geht, ist das CAS nur für nicht zu komplizierte Funktionen f eine
Hilfe. Hingegen kann es bei konkreten Funktionen immer für die Berechnung von Näherungslösungen verwendet
werden.
3.2 Definition des bestimmten Integrals
Das bestimmte Integral wird unter Bezugnahme auf die obigen oder weitere Beispiele wie üblich definiert.
b
Die folgende TI-92-Funktion versucht, ∫ f( x)
dx durch Bilden des Grenzwertes der „Rechtssumme“ zu
bestimmen:
a
integral(ff, xv, aa, bb)
Func
Local i, n, summe
(bb – aa)/n * Σ( ff | xv = aa+i*(bb – aa)/n, i, 1, n) → summe
Return propfrac(limit(summe, n, ∞))
EndFunc
D
∆ [
E
[ [ [ [ Q
Dabei bedeuten:
ff: Funktionsterm
xv: Unabhängige Variable der Funktion („x-Variable“)
aa, bb: Unter- und Obergrenze des Intervalls
Der Befehl propfrac dient lediglich dazu, die Resultate in eine übersichtliche Form zu bringen.
Beispiel: integral (x^2, x, 0, b) ⇒ b3
3
6