Statistische Krankheitstests

1STATISTISCHEKRANKHEITSTESTS18.11.2008Simon Schimpf und Nico Schmitt

Gliederung2 Hintergrund des Themas (worum geht es) Voraussetzungen Lernziele Die intuitive Herangehensweise ohne Satz von Bayes Baumdiagramm, umgedrehtes Baumdiagramm,Vierfeldertafel Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes Statistische Begriffe (Prävalenz, Sensitivität, Spezifität,u.a.) A-priori und a-posteriori Wahrscheinlichkeiten Ethische und moralische Fragestellungen

Worum geht es?3Aufgabentyp, welcher den Ausgang eines Tests, mit Hilfe desSatz von Bayes, hinterfragtAufgabenschema: Durchführung eines (medizinischen) Tests Test kann positiv oder negativ ausfallen (dies nicht aus der Sichtdes zu testenden Patienten oder Gegenstandes) Test positiv Test negativ Patient ist wahrscheinlich krankGegenstand ist wahrscheinlich defektPatient ist wahrscheinlich gesundGegenstand ist wahrscheinlich in Ordnung Frage: Welche Aussage liefert das Testergebnis über denZustand des Patienten oder des Gegenstandes?

Beispiel4Bei Infektionskrankheiten ist es wichtig, dass man schnelldie Art der Krankheit erkennt, damit man sie bekämpfenkann. Hierzu führt man Schnelltests durch, die allerdingsMängel haben: Manchmal wird eine Krankheit angezeigt,obwohl sie nicht vorliegt; gelegentlich wird eine Krankheitnicht angezeigt, obwohl sie vorhanden ist.129 von 15.748 untersuchten Personen haben eine selteneKrankheit. Bei 118 der 129 Personen, die tatsächlichkrank sind, wird die Krankheit mit dem Testverfahren aucherkannt. Bei 412 der restlichen 15619 Personen, die nichterkrankt sind, weist das Testverfahren fälschlicherweisedennoch auf das Vorliegen der Krankheit hin.

Voraussetzungen5 Typischen Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung,also (absolute Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten,etc.) Dazu gehören: Prozentwerte, Dezimalbrüche (30 %; 0,3) Bruchzahlen (3/10) Absolute Häufigkeiten (3 von 10) Chancenverhältnisse (3:7) Beherrschen von Baumdiagrammen

Lernziele6 Das Verstehen und Anwenden der bedingtenWahrscheinlichkeitsrechnung: Vierfeldertafel Satz von Bayes und Satz von der totalenWahrscheinlichkeit Fachbegriffe, wie z.B. Prävalenz, Sensitivität, Spezifität,positiver Vorhersagewert / positives Testergebnis Kritisches Hinterfragen der Aussagen vonTestergebnissen und Zeitungsschlagzeilen

Herangehensweisen7Zurück zum Beispiel:Bei Infektionskrankheiten ist es wichtig, dass man schnell dieArt der Krankheit erkennt, damit man sie bekämpfen kann.Hierzu führt man Schnelltests durch, die allerdings Mängelhaben: Manchmal wird eine Krankheit angezeigt, obwohl sienicht vorliegt; gelegentlich wird eine Krankheit nichtangezeigt, obwohl sie vorhanden ist.129 von 15748 untersuchten Personen haben eine selteneKrankheit. Bei 118 der 129 Personen, die tatsächlich kranksind, wird die Krankheit mit dem Testverfahren auch erkannt.Bei 412 der restlichen 15619 Personen, die nicht erkranktsind, weist das Testverfahren fälschlicherweise dennoch aufdas Vorliegen der Krankheit hin.

9Studie über Bayes-WahrscheinlichkeitenGelöste Aufgaben 9-Jährige 10-Jährige 11-Jährige ErwachseneAngaben in Prozent 0% 0% 0% 49%Angaben in absoluten Zahlen 18,7% 39% 53,5% 76,1%

Gruppe 211 Eine fiktive Geschichte, mit dennoch realen Vorbildern:Man findet bei einem Mordopfer DNA-Spuren des Tätersund führt daher ein Massenscreening (10 MillionenMänner) durch. Das verwendete Testverfahren gibt mit anSicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit keinefehlerhaften Ergebnisse aus (Fehler mit nur 0,001%).Einer der Männer weist ein DNA-Muster auf, das mit demvorgefundenen identisch ist. Ein Gutachter ergänzt undbehauptet, dass nur in 0,0001% der Fälle Personen eingleiches DNA-Muster habe. Wie würden Sie als Richterurteilen, wenn keine weiteren Indizien vorliegen?

Gruppe 312 Heftiger Streit um Legalisierung von Drogen:Vor einigen Jahren fand die bayrische Polizei in einerstatistischen Erhebung, dass 60 % derHeroinabhängigen Haschisch geraucht hatten, bevorsie heroinabhängig wurden. Der bayrischeInnenminister (Anm.: Edmund Stoiber) betrachtet dasals Beweis dafür, dass Haschisch eine„Einsteigerdroge“ ist. Wenn jemand Haschisch raucht,so argumentiert er, wird er später (ungefähr mit einerWahrscheinlichkeit von 60%) als Heroinabhängigerenden.

Gruppe 413 Drei Lokalzeitungen A, B, und C haben Marktanteilevon 45 %, 37 % und 18 %. Bei Zeitung A erfolgt10 % des Verkaufs an Abonnenten, bei Zeitung Bsind dieses 60 % und bei Zeitung C 75 %. Pro Tagwerden insgesamt 10.000 Exemplare ausgeliefert.An einem Kiosk wird gerade eine Lokalzeitungverkauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diesZeitung B?

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit14( ,P)sei ein Wahrscheinlichkeitsraum.A1,...,A m disjunkte Ereignisse.mi1P(A i) 1.P(B)mi1P(A ) P(B |iA i)

Satz von Bayes15( ,P) sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. sei in m disjunkte Teilmengen zerlegt, also mi1A imitAiAjfüri jDann gilt für jede Zahl j und jedes Ereignis B mit P(B) 0P(Ak|B) mP(Ai1k) P(B |P(A ) P(B |iAk)Ai)

Statistische Begriffe16Prävalenz P(K) - Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit innerhalb einer bestimmtenPersonengruppe auftritt.Krank und Positiver TestGesund und negativer TestSensitivität P(T+|K) Wahrscheinlichkeit, dass beieinem kranken Patienten der Testauch wirklich positiv ausfällt.Beide Werte sollten möglichst nahe bei 1 liegen.Spezifität P(T-|G) Wahrscheinlichkeit, dass beieinem gesunden Patienten derTest auch wirklich negativausfällt.Positives Testergebnis P(K|T+) Wahrscheinlichkeit, dass einPatient, der positiv getestetwurde, wirklich krank ist.Neg. Testergebnis P(G|T-) Wahrscheinlichkeit, dass einPatient, der negativ getestetwurde, wirklich gesund ist.

Prävalenz P(K)KGK=KrankG=GesundT+=Test positivT-=Test negativSensitivität P(T+|K)Spezifität P(T-|G)T+ T- T+T-T+ T-Pos. Testergebnis P(K|T+)Neg. Testergebnis P(G|T-)KGKG17

18Aufgabe: Zuordnen Aufgabenstellung –Statistischer BegriffSpezifität Sensitivität Pos. Testergebnis Neg. Testergebnis1234Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass derTest negativ ausfällt, wenn ein Patientgesund ist.Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,dass ein negativ getesteter Patientgesund ist?Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,dass bei einem kranken Patienten derTest positiv ausfällt?Gib die Wahrscheinlichkeit einerInfektion bei einem positiv getestetenPatienten an.P(T-|G)P(G|T-)P(T+|K)P(K|T+)

a-priori und a-posteriori19a-priori-Wahrscheinlichkeitena-posteriori-Wahrscheinlichkeiten Unkenntnis über genaueWahrscheinlichkeit Häufig Laplace-Wahrscheinlichkeitenoder statistische Werte Beispiel: Laplace-Würfel (p=1/6) Anteil an Erkrankten ineiner Bevölkerung(p=0,05 %)Präzisierung derWahrscheinlichkeit einesEreignisses auf Grundnäherer Informationen z.B.durch einendurchgeführten TestBeispiel: Würfel nach TestZahl 1 2 3 4 5 6p= 0,15 0,18 0,2 0,11 0,19 0,17 Akt. Testergebnisse;veränderter Anteil anErkrankten (p=0,1%)

a-priori und a-posteriori bei Bayes201. Test2. TestP(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) a-priori-WahrscheinlichkeitP(A 1 |B) P(A 2 |B) P(A 3 |B) a-posteriori-Wahrscheinlichkeit=P(A 1 ) =P(A 2 ) =P(A 3 ) A-priori-Wahrscheinlichkeit fürdas nächste ExperimentP(A 1 |B) P(A 2 |B) P(A 3 |B) Neue a-posteriori-Wahrscheinlichkeit1. TestP(K)PrävalenzP(K|T+)Pos. TestergebnisP(G)P(T+|G)a-priori-Wahrscheinlichkeita-posteriori-Wahrscheinlichkeit2. Test=P(K)Neue PrävalenzP(K|T+)Neues Pos. Testerg.=P(G)P(T+|G)A-priori-Wahrscheinlichkeit fürdas nächste ExperimentNeue a-posteriori-Wahrscheinlichkeit

Aufgabe: HIV-Test21Testet man eine Bezugsgruppe von 10.000 Personenaus der durchschnittlichen deutschen Bevölkerung, sowird man im Mittel 5 HIV-Infizierte finden. Der HIV-Testist sehr empfindlich: von 100 HIV-Infizierten werden 99gefunden. Er schlägt aber auch bei 100 Gesundenfälschlicherweise zweimal positiv an.a) Man bestimme Spezifität, Sensitivität und Prävalenz.b) Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten für ein positives und einnegatives Testergebnis?c) Um bei dem Testergebnis sicher zu gehen, wird unter den positivgetesteten Personen ein weiterer Test angeschlossen und zwari. mit den gleichen Werten für Spezifität und Sensitivität wie aus derAufgabenstellung,ii. mit Sensitivität = 0,99 und Spezifität = 0,999?

Wiederholung eines Tests22Wiederholung des Tests mit den Werten:Prävalenz 0,024 0,024Sensitivität 0,99 0,99Spezifität 0,98 0,999Positives Testergebnis 0,551 0,96

Spezialform Satz von Bayes als23Funktion mit drei UnbekanntenP(K| T )P(K) P(T | K)P(K) P(T | K) P(G) P(T | G)P(K) p PrävalenzP(T+|K) r SensitivitätP(T-|G) s Spezifitätf( p,r,s)p rp r(1 p)(1s)

Moralische und ethische24Fragestellungen In welchem Alter kann man Schüler/innen mitwelcher Krankheit konfrontieren? Wann könnte man diese Thematik im Unterrichtbehandeln? (Thüringer Lehrplan: 10. Klasse(Freiraum)) Gibt es evtl. persönlich Betroffene in der Klasse?Wie ist die Reaktion darauf?

Literatur25 Knechtl, Heiko: Rückwärtsschließen im Baumdiagramm Pinkernell, Guido: Test positiv, Diagnose negativ, in:mathematiklehren: Daten und Zufall. Heft 138, Oktober2006. Boer, Heinz: AIDS – Welche Aussagekraft hat ein„positives“ Test-Ergebnis?, in: Stochastik in der Schule.Jahrgang 13/93, Heft 2. Mathenetz. Jahrgangsstufe 9. Büchter, A. und H.-W. Henn: Elementare Stochastik.Berlin 2000. S. 218 ff.