Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie Teil 1

KAPITEL 4. LEBESGUE-STIELTJES MASSE 28Ergebnis ein Maß ist, leichter machen), indem wir die Tatsache ausnutzen, dassfür a < b < c sowohl(a,b]∪(b,c] = (a,c]als auch(a,b]∩(b,c] = ∅.Für ein Lebesgue-Stieltjes Maß µ muss jetzt geltenund weil µ((a,b]) endlich ist,µ((a,c]) = µ((a,b])+µ((b,c]),µ((b,c]) = µ((a,c])−µ((a,b]).Wir werden jetzt kurz zusätzlich annehmen, dass das Maß µ endlich ist (aufB!). In diesem Fall dürfen wir nämlich oben für a den Wert −∞ einsetzen, unddie entsprechende Gleichung gilt dann für alle b < c. Wir setzenund erhaltenF(x) = µ((−∞,x])µ((b,c]) = F(c)−F(b).Zum Festlegen eines endlichen Maßes ist also nur noch die Funktion F voneiner reellen Variable anzugeben. Damit hat sich die Dimensionalität unseresProblems noch einmal halbiert, und wir sind endlich zufrieden, abgesehen davon,dass wir uns dasselbe für alle Lebesgue-Stieltjes Maßfunktionen wünschen,weshalb wir zunächst definieren:Definition 4.2 µ sei ein (eindimensionales) Lebesgue-Stieltjes Maß. Eine reelleFunktion F heißt Verteilungsfunktion von µ, wenn für alle a < bµ((a,b]) = F(b)−F(a).Diese Definition wirft natürlich eine Reihe von Fragen auf:1. Gibt es zu einer Lebesgue-Stieltjes Maßfunktion immer eine Verteilungsfunktion?2. Vorausgesetzt, die Antwort auf die vorige Frage ist “ja”, wie weit ist danndie Verteilungsfunktion eindeutig bestimmt (keine sehr wichtige Frage,zugegeben, aber nicht uninteressant, und wegen der Vollständigkeit...)?3. Kann man leicht feststellen, ob eine bestimmte Funktion eine Verteilungsfunktionist (diese Frage ist die wichtigste — schließlich wollen wir dieseVerteilungsfunktionen dazu verwenden, dass wir Maße definieren)?4. Schließlich: Ist durch eine Verteilungsfunktion das zugehörige Maß eindeutigbestimmt?