On Intuitionistic Linear Logic - Microsoft Research

§1. Sequent Calculus 9
(tR)
Γ − t
Γ − A (IL)
Γ, I − A
Γ, A, B − C (⊗L)
Γ, A⊗B − C
Identity
A − A
Γ, A, B, ∆ − C Exchange
Γ, B, A, ∆ − C
Γ − B B, ∆ − C Cut
Γ, ∆ − C
Γ − A ∆, B − C (−◦L)
Γ, ∆, A−◦B − C
Γ, A − C (&L−1)
Γ, A&B − C
Γ − A Γ − B (&R)
Γ − A&B
Γ, A − C Γ, B − C (⊕L)
Γ, A ⊕ B − C
Γ − A (⊕R−1)
Γ − A ⊕ B
Γ − B Weakening
Γ, !A − B
Γ, A − B Dereliction
Γ, !A − B
(fL)
Γ,f − A
(IR)
− I
Γ − A ∆ − B (⊗R)
Γ, ∆ − A⊗B
Γ, A − B (−◦R)
Γ − A−◦B
Γ, B − C (&L−2)
Γ, A&B − C
Γ − B (⊕R−2)
Γ − A ⊕ B
Γ, !A, !A − B Contraction
Γ, !A − B
!Γ − A Promotion
!Γ − !A
Figure 2.1: Sequent Calculus Formulation of ILL