Polynomial Regression on Riemannian Manifolds

N∑
((DΓ(u, v))w)i = (wi − wj) T (ui − uj)γ ′ (|xi − xj| 2 )(K −1 v)j
j=1
N∑
+ 2 (xi − xj) T (ui − uj)(xi − xj) T (wi − wj)γ ′′ (|xi − xj| 2 )(K −1 v)j
j=1
N∑
+ (xi − xj) T (ui − uj)γ ′ (|xi − xj| 2 )(( d dɛ K−1 )v)j
j=1
N∑
+ (wi − wj) T (vi − vj)γ ′ (|xi − xj| 2 )(K −1 u)j
j=1
N∑
+ 2 (xi − xj) T (vi − vj)(xi − xj) T (wi − wj)γ ′′ (|xi − xj| 2 )(K −1 u)j
j=1
N∑
+ (xi − xj) T (vi − vj)γ ′ (|xi − xj| 2 )(( d dɛ K−1 )u)j
j=1
N∑
N∑
− 2 (xi − xj) T (wi − wj)γ ′ (|xi − xj| 2 ) (xj − xk)γ ′ (|xj − xk| 2 )((K −1 u) T k (K−1 v)j + (K −1 u) T j (K −1 v)k)
j=1
k=1
N∑
N∑
− γ(|xi − xj| 2 ) (wj − wk)γ ′ (|xj − xk| 2 )((K −1 u) T k (K−1 v)j + (K −1 u) T j (K −1 v)k)
j=1
k=1
N∑
N∑
− 2 γ(|xi − xj| 2 ) (xj − xk)(xj − xk) T (wj − wk)γ ′′ (|xj − xk| 2 )((K −1 u) T k (K−1 v)j + (K −1 u) T j (K −1 v)k)
j=1
k=1
N∑
N∑
− γ(|xi − xj| 2 ) (xj − xk)γ ′ (|xj − xk| 2 )
j=1
k=1
× (( d dɛ K−1 u) T k (K−1 v)j + (K −1 u) T k ( d dɛ K−1 v)j + ( d dɛ K−1 u) T j (K −1 v)k + (K −1 u) T j ( d dɛ K−1 v)k)
(
( d )
dɛ K−1 )v = −(K −1 d
i dɛ KK−1 v)i
∑ N
= −2(K −1 (xk − xj) T (wk − wj)γ ′ (|xk − xj| 2 )(K −1 v)j
j=1
<strong>Polynomial</strong> <strong>Regression</strong> on Riemannian Manifolds 30