ラフ集合による設計空間特徴抽出

ラフ 集 合 による 設 計 空 間 特 徴 抽 出
Feature Extraction from Design Space Using Rough Sets
大 林 茂 ( 東 北 大 流 体 研 )
Shigeru Obayashi, Institute of Fluid Science, Tohoku University, Katahira 2-1-1, Aobaku, Sendai, Japan
Data mining technique based on Rough Set theory has been applied to solutions obtained from three-objective
optimization for regional-jet wing design with engine nacelle. To reveal design tradeoffs, multiobjective optimization
was performed by using Evolutionary Algorithms coupled with the Kriging model. High dimensional data (design
parameters and the corresponding objective function values) are mapped onto the two-dimensional Self-Organizing
Map (SOM) where global tradeoffs are visualized. The rule sets are derived by Rough Set theory so as to determine the
importance of design parameters corresponding to the clusters obtained from SOM.
Key Words: Design, Evolutionary Computation, Data Mining, Rough Sets, CFD
1.はじめに
工 学 設 計 では, 最 適 化 の 結 果 そのものより, 最 適 化 のプロ
セスから 設 計 空 間 について 如 何 に 価 値 のある 情 報 を 引 き 出
すかが 重 要 である. 進 化 的 計 算 法 を 用 いた 多 目 的 最 適 化 では,
設 計 トレードオフの 検 討 を 通 じて, 設 計 空 間 の 特 徴 をつかむ
ことができる. 本 研 究 では,この 多 目 的 最 適 化 の 過 程 から 推
定 される 設 計 空 間 の 特 徴 を 導 き 出 すために,ラフ 集 合
1 によ
るデータマイニングの 適 用 を 検 討 する.
2.MDOシステム
本 研 究 で 用 いる MDO システムの 全 体 図 を 図 1 に 示 す 2 .
本 MDO は 格 子 生 成 モジュール,CFD&CSD モジュール,ク
リギングモデル& 最 適 化 モジュールの 大 きく 三 つのモ
ジュールから 成 り 立 っている.MDO システムはまずラテン
超 方 格 法 により 設 計 空 間 内 で 均 一 に 分 布 したサンプル 点 を
抽 出 する.そのサンプルに 対 して, 格 子 生 成 モジュールで 解
析 に 必 要 な 計 算 格 子 を 生 成 し, 次 に CFD&CSD モジュールで
解 析 を 行 う.CFD ではオイラー 解 析 を 行 う.ウィングボック
ス 形 状 の CSD モデルは 主 にスキン,スパー,リブを 表 すシェ
ル 要 素 から 構 成 されており,その 他 の 翼 の 要 素 は 集 中 質 量 要
素 としてモデル 化 されている.そして, 解 析 の 結 果 得 られた
サンプル 点 の 目 的 関 数 値 と 設 計 変 数 をもとにクリギングモ
デル& 最 適 化 モジュール 内 で 最 適 化 を 行 う.
進 化 的 計 算 法 を 用 いた 空 力 最 適 化 は 膨 大 な 計 算 時 間 と 大
規 模 な 計 算 機 環 境 を 必 要 とするため, 実 設 計 適 用 への 大 きな
障 壁 となっていた. 本 研 究 では,MDO 設 計 システムにおい
て 最 も 計 算 負 荷 の 高 い CFD による 空 力 特 性 評 価 をクリギン
グ 近 似 モデル 上 での 代 数 計 算 に 置 き 換 えることでパレート
解 の 探 索 に 要 する 計 算 時 間 の 大 幅 な 短 縮 を 試 みている 3 .ク
リギングとは 南 アフリカの 鉱 山 学 者 Kridge が 鉱 物 資 源 の 埋
蔵 量 推 定 のために 考 案 した 手 法 をフランス 人 数 学 者
Matheron が 統 計 的 手 法 として 確 立 したもので,サンプル 点 間
での 評 価 値 に 不 確 定 性 という 概 念 を 導 入 して 設 計 空 間 を 近
似 する 手 法 である.また,モデル 上 の 目 的 関 数 値 そのものを
最 適 化 するのではなく, 不 確 定 性 を 考 慮 した Expected
Improvement (EI) 値
4 の 最 大 化 することで 近 似 モデルの 精 度
向 上 と, 大 域 的 最 適 解 の 探 索 を 両 立 させることが 可 能 となる.
3. 最 適 化 問 題
本 MDOシステムの 有 用 性 を 検 証 するため,エンジンウィン
グマウントの 主 翼 に 対 して 空 力 ・ 構 造 の 複 合 最 適 化 を 行 った.
3.1 最 適 化 問 題 定 義
< 目 的 関 数 > 3 目 的 関 数 ( 最 小 化 )
1) 巡 航 抵 抗 (C D )
-Cp
Latin Hypercube Sampling
Pressure distribution
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
図 2 パイロン 取 付 け 部 付 近
の 圧 力 分 布
x/c
CFD (Euler)
Static analysis model
Flutter analysis model
Aerodynamic & structural
performances
START
NURBS airfoil
3D wing
Wing-body-nacelle
configuration
FLEXCFD
Design variables
Structural optimization
code + NASTRAN
Construction of initial
Kriging model
MOGA
(Maximization of EIs)
Selection of additional
sample points
Mesh generation
–C p,max
Mesh generation module
Load condition
Strength & flutter
requirements
CFD&CSD module
Yes
Continue ?
Update of
Kriging model
CFD&CSD
図 1 MDOの 全 体 図
END
図 3 設 計 翼 型 断 面
2) パイロン 取 付 け 部 付 近 の 衝 撃 波 強 さ (–C p,max ,
図 2 参 照 )
3) 主 翼 構 造 重 量 (Wing weight)
No
Data mining
η= 0.29 η= 0.12

設 計 変 数 > 30 変 数
・2 断 面 位 置 での 翼 型 ( 図 3 参 照 )
→ 13 変 数 (NURBS)× 2 断 面 = 26 変 数
・4 断 面 位 置 での 捩 り 角
< 拘 束 条 件 >
・ 翼 厚 > 規 定 値
・ 後 桁 高 さ > 規 定 値
・ 強 度 ・フラッタ 余 裕 > 要 求 値
XmaxTC
sparTC
maxTC
XmaxL
maxL
3.2 結 果
本 最 適 化 ではラテン 超 方 格 法 により 88 の 初 期 サンプル 点
抽 出 を 行 い,クリギングモデルの 更 新 は 6 回 行 った. 結 果 と
してクリギングモデル 構 築 には 合 計 149 点 のサンプル 点 を 用
いた(149 回 の 関 数 評 価 ). 図 4-6 はモデル 構 築 に 用 いたサン
プル 点 とベースライン 形 状 のオイラー 計 算 による 目 的 関 数
値 を 2 次 元 プロットしたものである. 追 加 サンプル 点 を 加 え
ていくことで 最 適 化 方 向 の 設 計 探 索 が 行 われベースライン
に 対 して 全 3 目 的 が 改 善 された 個 体 を 複 数 得 ることが 出 来 た.
追 加 サンプル 点 に 用 いたひとつの 個 体 ではベースライン 形
状 に 対 して,C D 値 6.7 カウント,−C p,max 値 0.61,Wing weight
に 関 して 12.2kg の 改 善 を 達 成 した.
図 7 翼 型 パラメータ
表 1 翼 型 パラメータ 対 応 表
Number Airfoil parameters
dv1 XmaxL @ η= 0.12
dv2 XmaxL @ η= 0.29
dv3 maxL @ η= 0.12
dv4 maxL @ η= 0.29
dv5 XmaxTC @ η= 0.12
dv6 XmaxTC @ η= 0.29
dv7 maxTC @ η= 0.12
dv8 maxTC @ η= 0.29
dv9 sparTC @ η= 0.12
dv10 sparTC @ η= 0.29
-Cpmax
CD
Initial points
1st update
2nd update
3rd update
4th update
5th update
6th update
Baseline
Wing weight [kg]
-Cpmax
Initial points
1st update
2nd update
3rd update
4th update
5th update
6th update
Baseline
図 4 サンプル 点 のC D , –C p,max 値 図 5 サンプル 点 の–C p,max ,
Wing weight 値
dv3-dv9
5%
dv10
6%
Others
24%
dv2-dv3
6%
dv9
7%
CD
dv7
8%
dv2-dv7
13%
dv2
12%
dv3-dv7
11%
dv2-dv9
8%
dv1
5%
dv4-dv10
7%
dv4
8%
dv2
9%
Others
14%
-Cpmax
dv4-dv6
9%
dv10
16%
dv6
32%
Wing weight [kg]
CD
Initial points
1st update
2nd update
3rd update
4th update
5th update
6th update
Baseline
図 6 サンプル 点 の C D ,
Wing weight 値
4.データマイニング
次 に 本 最 適 化 問 題 における 設 計 空 間 の 構 造 を 明 らかにす
るため, 分 散 分 析 (ANOVA)や 自 己 組 織 化 マップ(SOM) 5 によ
るデータマイニングを 行 う. 本 設 計 問 題 では 設 計 変 数 として
NURBS を 用 いている.しかしこの NURBS 制 御 点 の 座 標 値
自 体 の 情 報 は 設 計 者 としてあまり 役 に 立 つものではない.そ
のため,データマイニングに 当 たっては, 設 計 断 面 の 翼 型 を
図 7 に 示 すパラメータに 変 換 する.パラメータとして 次 の 5
つを 用 いる.XmaxL は 翼 下 面 最 大 厚 み 位 置 の 前 縁 からの 距
離 .maxL は 翼 下 面 最 大 厚 み.XmaxTC は 翼 型 最 大 厚 み 位 置
の 前 縁 からの 距 離 .maxTC は 翼 型 最 大 厚 み.sparTC は 前 桁
位 置 における 翼 の 厚 みをそれぞれ 示 している.また, 翼 のス
パン 方 向 2 断 面 における 翼 型 パラメータの 対 応 表 を 表 1 に 示
す.
4.1 ANOVA
翼 型 パラメータが 目 的 関 数 に 与 える 影 響 を 定 量 的 に 評 価
する 手 法 として ANOVA による 解 析 を 行 った. 図 8 の 円 グ
dv2
7%
dv6-dv8
7%
dv8
7%
Others
17%
dv6
10%
Wing weight
dv2-dv6
52%
図 8 ANOVA の 結 果
ラフがその 結 果 の 図 である.
この ANOVA の 結 果 から C D 値 に 関 しては,η= 0.29 での
XmaxL,η= 0.12 での maxTC, 及 びη= 0.12 での sparTC(そ
れぞれ dv2,7,9)が 特 に 影 響 を 与 えていることがわかる.
パイロン 取 り 付 け 部 の Cp,max 値 にはη= 0.29 の XmaxTC,
sparTC, 及 び maxL などのη= 0.29 における 翼 型 パラメータ
(dv6,10,4)が 影 響 を 与 えている.さらに 主 翼 重 量 ではη=
0.29 の XmaxTC,maxTC, 及 び XmaxL(dv6,8,2)が 影 響
を 与 えていることがわかる.
4.2 SOMを 用 いた 設 計 空 間 の 可 視 化
設 計 空 間 全 体 の 構 造 を 把 握 するため 設 計 空 間 上 において
ラテン 超 方 格 法 により 一 様 に 分 布 した 個 体 を 約 1000 サンプ
リングし,クリギングモデル 上 でのそれらの 個 体 に 対 する 目
的 関 数 値 から SOM を 作 成 した. 図 9 は 3 目 的 関 数 に 対 して
9 個 のクラスタに 分 類 した SOM を, 目 的 関 数 , 翼 型 パラメー

タごとに 色 付 けしたものである. 目 的 関 数 のカラーマップか
ら, 全 ての 目 的 関 数 が 改 善 する 設 計 空 間 内 のスイートスポッ
トは 右 下 角 のクラスタに 存 在 することがわかる.
obj1
obj2
obj3
ことを 表 している.
5.ラフ 集 合 によるルール 生 成
ラフ 集 合 によるデータマイニングの 流 れは 図 12 のように
まとめることができる 6 .
データの 準 備
数 値 データの 離 散 化
0.018 0.019 0.020 0.022
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.7
758 786 813 840 868 895
縮 約
dv1
dv2
dv3
ルールの 生 成
フィルタリング
ルールの 解 釈
13 19 26 32 38 44 50 56
dv4
19 24 30 35 40 46 51 56
dv5
8 8 9 9 10 11 11 12
dv6
図 12 ラフ 集 合 によるデータマイニングの 流 れ
-Cp
6.3 6.6 7.0 7.3 7.6 8.0 8.3
dv7
14 15 15 16 16 17 17 18
dv10
10 10 11 11 12 12 13 13
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
x/c
14 18 23 27 31 36 40 44
dv8
12 12 13 13 13 14 14 14
Lower wing shape
-Cp
-Cp
23 27 31 35 39 43 47 51
dv9
12 13 13 14 15 16 17 18
図 9 設 計 空 間 の SOM による
可 視 化
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
x/c
Lower wing shape
図 10 パイロン 付 近 の 翼 形 状 図 11 パイロン 付 近 の 翼 形 状
と 圧 力 分 布 (dv6: 小 ) と 圧 力 分 布 (dv6: 大 )
図 8 の ANOVA の 結 果 から−C p,max に 関 して dv6 の 影 響 が 大
きいことがわかる.そこで, 図 9 を 見 ると,dv6 の 値 が 大 き
いときは, 常 に−C p,max の 値 が 低 い.これは 図 10-11 に 示 した
圧 力 分 布 の 図 からわかるように,dv6 の 値 が 大 きいと 翼 とナ
セル 間 の 閉 塞 が 緩 和 され,その 結 果 衝 撃 波 が 弱 くなっている
-Cp
翼 型 パラメータや 目 的 関 数 が 連 続 値 であるのに 対 して,ラ
フ 集 合 で 扱 う 属 性 値 は 離 散 値 である.そこで,まずデータの
離 散 化 が 必 要 となる.そこで, 変 数 毎 に 領 域 を3 分 割 し, 各
区 間 でデータ 数 が 同 じになるように, 分 割 幅 を 自 動 的 に 定 め
た.これより 各 変 数 について,{ 小 }{ 中 }{ 大 }の3つの 属
性 値 を 与 える. 決 定 属 性 については, 各 目 的 関 数 が{ 小 }と
なることに 加 え、スイートスポットとなる 右 下 角 のクラスタ
に 属 することとした.
これらの 決 定 属 性 値 に 対 して,それぞれ 縮 約 とルールの 生
成 を 行 う.この 部 分 は Rosetta 7 によりほぼ 自 動 的 に 計 算 され
る. 問 題 は, 機 械 的 に 生 成 されるルールが 数 百 にも 及 ぶこと
である.そこから 意 味 のあるルールを 見 つけるべく,さらに
絞 り 込 みが 必 要 となる.このプロセスがフィルタリングであ
る.ルールの 当 てはまりを 見 るために 様 々な 指 標 が 提 案 され
ているが,ここでは 単 純 にルールが 当 てはまるデータ 数 で
フィルタリングした. 例 として,スイートスポット 決 定 属 性
に 対 して,ルールが 成 立 するようなデータが 7 つ 以 下 しかな
いようなルールは 自 動 的 に 切 り 捨 てると, 表 2( 末 尾 に 掲 載 )
に 示 すように 合 計 17 のルールが 得 られた.
これらのルールを 見 ても,まだ 条 件 部 が 複 雑 であり, 十 分
情 報 が 煮 詰 まっているとはいえない.そこで,さらにルール
の 条 件 部 の 傾 向 を 見 ることで,ルールを 解 釈 し, 設 計 指 針 を
得 ることを 考 えた. 具 体 的 には, 各 目 的 関 数 が{ 小 }となる
決 定 属 性 に 対 してルールを 生 成 し,それぞれが 10~20 程 度
となるように 当 てはまり 数 でフィルタリングする.こうして
得 られた 上 位 ルールの 中 では, 翼 型 パラメータがある 特 定 の
属 性 を 持 つことが 分 かった.そこで,スイートスポット 決 定
属 性 とあわせて, 各 翼 型 パラメータの 出 現 数 をまとめたのが,
表 3 である.また, 表 中 で 欄 の 背 景 色 が 赤 の 場 合 は 属 性 { 大 },
無 色 は 属 性 { 中 }, 青 は 属 性 { 小 }である.この 結 果 より,
dv2,6 は 大 きく 取 ること,すなわち 翼 厚 最 大 位 置 は, 下 面 に
注 目 しても, 全 体 としても,なるべく 後 方 に 取 ることがよい
ことが 分 かる.これは, 前 節 の 結 果 図 10,11 と 一 致 する.
一 方 ,dv9,10 についてはなるべく 小 さく 取 ると 良 い.すな
わち, 前 桁 は 低 い 方 がよいことが 分 かる.そこで, 図 9 を 見
直 してみると, 確 かにその 傾 向 が 見 て 取 れる.また,dv4( 下
面 の 翼 厚 )は 抵 抗 を 下 げるには 小 さい 方 がいいが, 全 体 とし
ては 大 きい 方 が 良 いことが 分 かる.
また, 図 9 の 9 つのクラスタに 対 して, 各 パラメータの 属

性 がどのように 分 布 しているかを 確 認 したところ,スイート
スポットのクラスタでは,dv10 のみ 決 して 属 性 { 大 }となる
ことがなかった.これは,「dv10(ナセル 付 近 の 前 桁 )は 決
して 大 きくしてはいけない」という 設 計 指 針 といえよう.
ANOVA では, 特 定 のパラメータの 影 響 が 大 であることが
分 かっても,その 値 が 大 きければいいのか, 小 さければいい
のかは 分 からない.SOM では, 色 のパターンを 一 つ 一 つ 比
較 して, 傾 向 を 見 分 けなければならない.ラフ 集 合 では,ルー
ルを 生 成 し,その 傾 向 をつかむことで, 比 較 的 容 易 に 設 計 空
間 の 特 徴 を 抽 出 することができた.
表 3 決 定 属 性 に 対 する 上 位 ルールの 属 性 値 の 傾 向
Sweet Cd Cp WW
dv1 11 1 1 5
dv2 9 2 6 3
dv3 8 5 6 4
dv4 10 3 5 11
dv5 13 8 1 7
dv6 7 6 3 3
dv7 9 5 6 5
dv8 2 4 3 2
dv9 9 2 2 3
dv10 14 9 8 8
赤 は 属 性 { 大 }, 無 色 は 属 性 { 中 }, 青 は 属 性 { 小 }
参 考 文 献
[1] 森 典 彦 , 田 中 英 夫 , 井 上 勝 雄 編 ,「ラフ 集 合 と 感 性 」,
海 文 堂 出 版 , 東 京 ,2004.
[2] T. Kumano, S. Jeong, S. Obayashi, Y. Ito, K. Hatanaka and
H. Morino, “Multidisciplinary Design Optimization of Wing
Shape with Nacelle and Pylon,” Proceedings of ECCOMAS
CFD 2006, CD-Rom (2006)
[3] Donald, R. J., Matthias S. and William J. W., “Efficient
Global Optimization of Expensive Black-Box Function,”
Journal of global optimization, Vol.13, 1998, pp. 455-492.
[4] Matthias, S., “Computer Experiments and Global
Optimization,” Ph.D Dissertation, Statistic and Actuarial
Science Dept., University of Waterloo, Waterloo, Ontario,
1997.
[5] Kohonen, T., Self-Organizing Maps, Springer, Berlin,
Heidelberg, 1995.
[6] 大 林 茂 ,「ラフ 集 合 による 多 目 的 最 適 化 データマイニン
グ」, 科 研 費 シンポ 原 稿 改 訂 版 (2006)
http://www.ifs.tohoku.ac.jp/edge/j_pdf.html
[7] A. Øhrn, ROSETTA Technical Reference Manual,
Department of Computer and Information Science,
Norwegian University of Science and Technology (NTNU),
Trondheim, Norway, 2000.
表 2 スイートスポット 決 定 属 性 に 対 するデータの 当 てはまり 数 が 8 までのルール
ルール
dv1([33.08, 39.30)) AND dv2([40.69, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 10
dv1([33.08, 39.30)) AND dv2([40.69, *)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 10
dv1([33.08, 39.30)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv6([39.25, *)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 10
dv1([33.08, 39.30)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv6([39.25, *)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 10
dv1([33.08, 39.30)) AND dv2([40.69, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv6([39.25, *)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10
10.58)) => Cluster(C6)
dv1([33.08, 39.30)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv4([7.54, *)) AND dv6([39.25, *)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 9
dv1([33.08, 39.30)) AND dv2([40.69, *)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv4([7.54, *)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 9
dv3([8.88, 9.57)) AND dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv6([39.25, *)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv2([40.69, *)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv8([12.82, 13.32)) AND dv9([*, 12.62)) => Cluster(C6) 8
dv2([40.69, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv8([12.82, 13.32)) AND dv9([*, 12.62)) => Cluster(C6) 8
dv1([33.08, 39.30)) AND dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv1([33.08, 39.30)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv1([33.08, 39.30)) AND dv4([7.54, *)) AND dv6([39.25, *)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv1([33.08, 39.30)) AND dv2([40.69, *)) AND dv4([7.54, *)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv9([*, 12.62)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv2([40.69, *)) AND dv3([8.88, 9.57)) AND dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv2([40.69, *)) AND dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv4([7.54, *)) AND dv5([29.65, 33.61)) AND dv6([39.25, *)) AND dv7([15.09, 15.83)) AND dv10([*, 10.58)) => Cluster(C6) 8
dv の 引 数 は 各 設 計 変 数 の 区 間 を 示 し,*は 上 下 限 値 を 示 す. 左 に*を 含 めば 属 性 { 小 }, 右 なら{ 大 }である.C6 はスイートスポットのクラスタを
示 す.
数
註 ) 本 論 文 のカラー 印 刷 が 可 能 な PDF ファイルを http://www.ifs.tohoku.ac.jp/edge/j_pdf.html に 掲 載 する.