Higgs bundles over elliptic curves - ICMAT

5.1 probamos que la semiestabilidad (resp. poliestabilidad) de un fibrado de Higgs conalguno de estos grupos de estructura implica la semiestabilidad (resp. poliestabilidad) delfibrado de Higgs subyacente [Proposición 5.1.1] y la semiestabilidad (resp. poliestabilidad)del fibrado principal subyacente [Proposición 5.1.2]. Tras ello, describimos los fibrados deHiggs estables [Proposición 5.1.3 y Corolario 5.1.4] y poliestables [Proposición 5.1.6] conestos grupos de estructura.En la Sección 5.2 construimos una familia de Sp(2m, C)-fibrados de Higgs poliestablescon la propiedad universal local entre las familias localmente graduadas [Proposición5.2.3]. Con esta familia obtenemos que [Teorema 5.2.5]M(Sp(2m, C)) ∼ = Sym m (T ∗ X/Z 2 ).Usando esta descripción explícita estudiamos la proyección a M(Sp(2m, C)) [Proposición5.2.9], la aplicación de Hitchin [Lema 5.2.10] y sus fibras [Corolario 5.2.13]. Probamosla existencia de un morfismo biyectivo de M(Sp(2m, C)) en M(Sp(2m, C)) y vemos queM(Sp(2m, C)) es la normalización de M(Sp(2m, C)) [Proposición 5.2.14].En las Secciones 5.3 y 5.4 obtenemos descripciones análogas de los espacios de móduliM(O(n, C)) [Teorema 5.3.7] y M(SO(n, C)) [Teoremas 5.4.7 y 5.4.14], de sus proyeccionesal espacio de móduli de fibrados principales [Proposiciones 5.3.11 y 5.4.16], de lascorrespondientes aplicaciones de Hitchin [Lemas 5.3.14, 5.4.10 y 5.4.17] y de las fibrasde estas aplicaciones [Corolarios 5.3.15, 5.4.11 y 5.4.22]. Damos un morfismo biyectivode M(O(n, C)) en M(O(n, C)) y de M(SO(n, C)) en M(SO(n, C)) y observamos queM(O(n, C)) es la normalización de M(O(n, C)), y M(SO(n, C)) la de M(SO(n, C))[Proposiciones 5.3.16 y 5.4.23].Esquema de la Parte IILa Parte II está dedicada al estudio de fibrados de Higgs para formas reales de GL(n, C),concretamente U(p, q), GL(n, R) y U ∗ (2m) cuando n es par.En el Capítulo 6 estudiamos fibrados de Higgs con grupo de estructura U(p, q). Comenzamosrecordando la definición de U(p, q)-fibrados de Higgs y sus nociones de estabilidaden la Sección 6.1. También definimos la noción de familias de U(p, q)-fibrados de Higgslocalmente graduadas y planteamos el problema de móduli asociado a esta clase de familias[(6.2)].En la Sección 6.2 exponemos lo siguiente: un U(p, q)-fibrado de Higgs (V, W, β, γ) essemiestable si y sólo si V y W son fibrados vectoriales semiestables con igual pendiente.Es estable si V ∼ = W son fibrados vectoriales estables y β ◦ γ es no nulo [Proposición6.2.1]. Una consecuencia inmediata de lo anterior es que la semiestabilidad implica que elinvariante de Toledo es cero [Corolario 6.2.2].En la Sección 6.3 estudiamos el espacio de móduli M(U(p, q)) (a,b) asociado al functorde móduli definido en la Sección 6.1, donde (a, b) es el invariante topológico dado por losgrados de los fibrados vectoriales subyacentes. Como el invariante de Toledo de un U(p, q)-fibrado de Higgs semiestable se anula, vemos que M(U(p, q)) (a,b) es vacío si los invariantes(p, q, a, b) no son de la forma (nr, mr, nd, md), con gcd(r, d) = 1. Con la descripción delos U(p, q)-fibrados de Higgs estables podemos construir una familia de U(p, q)-fibrados19