Jordi Castro 9z i+z i+uz iuz iupl i−uz i(0,0)−upl iz i−−uz i−upl i(0,0)z i−upl i(a)(b)Figure 1: In grey, feasible set Ω i <strong>for</strong> y i = 1, when either upl i ≤ 0 (figure (a)) or upl i ≥ 0 (figure (b)).Let us consider the model (2), and let us introduce z + ,z − ∈R n such that z=z + − z −and |z|=z + + z − . Then, considering the table may be <strong>non</strong>-<strong>additive</strong>, (2) can be writtenasnminz + ,z ∑ w i (z + − i + z − i )i=1subject to A(z + − z − )=b−Aal z ≤ z + − z − ≤ u zz + i − z − i ≤−l pl i or z + i − z − i ≥ upl i i∈S(z + ,z − )≥0.(5)Introducing binary variables y∈{0,1} s , (5) can be recast as the following MILP model:n∑i=1minz + ,z − ,yw i (z + i + z − i )subject to (z + ,z − ,y)∈Ω=Ω A ∩(∩ i∈N Ω 0 i)∩(∩ i∈S Ω i ),(6)where Ω A , Ω 0 i and Ω i are defined asΩ A = { (z + ,z − ) : A(z + − z − )=b−Aa } , (7)Ω 0 i= { (z + i ,z − i ) : l zi ≤ z + i − z − i ≤ u zi ,(z + i ,z − i )≥0 } i∈N , (8)Ω i = { (z + i ,z − i ,y i ) : z + i − z − i ≥ upl i y i + l zi (1−y i ),z + i − z − i ≤−l pl i (1−y i )+u zi y i ,(z + i ,z − i )≥0,y i ∈{0,1} } i∈S. (9)