LEGENDRE THEOREM ON SPHERICAL TRIANGLES

50 years of the Research Institute of Z. NádeníkGeodesy, Topography and Cartography[4] Hauer F.: Zur Geschichte des Satzes von Legendre. Zeitschrift für Vermessungswesen 67 (1938), 577-595,641-653.[5] Helmert F.: Die mathematischen und physikalischen Teorien der höheren Geodäsie. Vol. I, Leipzig 1880.2nd ed. 1962.[6] Legendre A.M.: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure dela Terre. Histoire de l’Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.[7] Legendre A.M.: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observationsfaites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des trianglessphériques dont des côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère. J.B. Delembre: Méthodesanalytiques pour la détermination d’un arc du méridien, Paris 1798; 12-14.[8] Molodenskiĭ M.S., Eremeev V.F., Yurkina M.I.: Metody izucheniya vneshnego gravitatsionnogo polyai figury Zemli. Moscow 1960 (Молоденский, М.С., Еремеев, В.Ф., Юркина, М.И.: Методы изучениявнешнего гравитационного поля и фигуры Земли. Москва 1960). English transl. Washington 1962.[9] Nádeník Z.: Über Reduktion der sphärischen Dreiecke. Aplikace matematiky 16 (1971), 229-231.[10] Nell A.: Neue Herleitung des Legendreschen Satzes nebst einer Erweiterung desselben. Zeitschrift fürMathematik und Physik 19 (1874), 324-334.[11] Rozenfel’d B.A.: Mnogomernye prostranstva. Moscow 1966 (Розенфельд, Б.А.: Многомерные пространства.Москва 1966).[12] Tropfke J.: Geschichte der Elementar-Mathematik. Vol. II, Leipzig 1903 [in 2 vol.; 2nd ed. 1921-24 in7 vol.; 3rd ed. 1930-40 in 4 vol.; new elaboration of vol. I 1980].AbstraktLegendreova věta pro sférické trojúhelníkyAutor v letech 1954-1997 trvale vyučoval matematiku na geodetickém oboru ČVUT v Praze.Nejdříve stručně charakterizuje své vztahy k Výzkumnému ústavu geodetickému, topografickémua kartografickému.Pak přechází k Legendreově větě o redukci malých sférických trojúhelníků na rovinné. Tato větaz konce 18. stol. [podle E. Tropfke [12] str. 295 s ní pracoval už Ch.M. de La Condamine ve 30. letech18. století při zpracování výsledků stupňového měření v Peru (dnes Equadoru), které podnikla známáexpedice francouzské Akademie a které – spolu s analogickou expedicí do Laponska severně odBotnického zálivu – rozhodlo o tvaru Země] je příkladem úzkého sepětí geodézie s geometrií. I kdyžjejí význam pro geodézii dávno pominul, pro geometrii nabízí dodnes nerozřešené otázky.První důkaz pochází od A.M. Legendrea 1798: Označíme α , β ,γ úhly sférického trojúhelníkana jednotkové kulové ploše; ε = α + β + γ − π exces; a , b , c strany. Dále označíme α ′ , β ′ ,γ ′ úhlyrovinného trojúhelníka se stranami a , b , c . Pakε(L) α′ = α − + (4) , cycl.,3kde (4) znamená členy stupně alespoň 4 v a,b,c.Legendreův vzorec (L) prolongovali K. Buzengeiger 1818 ve vzorec (B) a A. Nell 1874 iF. Helmert 1880 ve vzorec (N–H).Z dlouhé řady důkazů, které pracují s nekonečnými řadami, se zcela vymyká finitní důkaz, kterýuveřejnil C.F. Gauss [2] 1841 ve formě (Ga).Autor 1971 v [9] odvodil formuli (N), která obsahuje parametr p a která pro jeho speciálníhodnoty poskytuje větu Legendreovu (L), větu Grunertovu (Gr) a větu sinovou ze sférickétrigonometrie.Autor formuluje 4 geometrické problémy o Legendreově větě. Zvláště upozorňuje, že zatím chybíjakékoliv její vícedimensionální zobecnění.48