Metode numerice în ingineria electrică

9.7. Exemple 1879.6.4 Căutare de informaţii pe InternetCăutaţipeInternetinformaţiişicodurilegatederezolvareanumericăaecuaţiilorneliniare.Cuvinte cheie recomandate: solving nonlinear equations, solving nonlinear systems, secantmethod, etc.9.7 Exemple9.7.1 Exemple rezolvate1. Fie funcţia f : IR → IR, f(x) = x 2 −9. Se cer:(a) Să se calculeze primele două iteraţii ale metodei bisecţiei pentru rezolvareaecuaţiei f(x) = 0 în intervalul [a,b], unde a = 0, b = 8.(b) Să se calculeze primele trei iteraţii ale metodei Newton pentru rezolvareaecuaţiei f(x) = 0, pornind de la iniţializarea x 0 = 1, respectiv x 0 = −1.(c) Comentaţi comportarea metodei Newton pentru rezolvarea ecuaţiei f(x) = 0,dacă iniţializarea este x 0 = 0.(d) Să se calculeze primele două iteraţii ale metodei Newton-Kantorovici pentrurezolvarea ecuaţiei f(x) = 0, pornind de la iniţializarea x 0 = 2.(e) Să se calculeze primele două iteraţii ale metodei Newton discretă pentru rezolvareaecuaţiei f(x) = 0, pornind de la iniţializarea dublă x 0 = 0, x 1 = 1.Rezolvare:(a) Metoda bisecţiei (înjumătăţirii intervalului) este garantat convergentă dacăfuncţiaestecontinuă, soluţiaesteunică(problemaestebineformulatămatematic)şi funcţia îşi schimbă semnul în intervalul de căutare, [a,b] (f(a)f(b) < 0).Pentru funcţia dată avem: f(a) = f(0) = −9 şi f(b) = f(8) = 55, adicăf(a)f(b) = −9·55 < 0.La prima iteraţie, k = 1, mijlocul intervalului este: x m,1 = (a + b)/2 = 4,f(x m,1 ) = f(4) = 7. Deoarece f(a)f(x m,1 ) = −9 · 7 < 0, soluţia se află înprima jumătate a intervalului [a,b]. Valoarea lui b se modifică, b = x m,1 = 4.Noul interval de căutare este [0,4].La a doua iteraţie, k = 2, mijlocul intervalului este: x m,2 = (a + b)/2 = 2,f(x m,2 ) = f(2) = −5. Deoarece f(a)f(x m,2 ) = −9 · (−5) > 0, soluţia seaflă în a doua jumătate a intervalului [a,b]. Acum, valoarea lui a se modifică,a = x m,2 = 2. Noul interval de căutare este [2,4].Procedeul iterativ este ilustrat în figura 11.