Mathématiques 2 PSI - Concours Centrale-Supélec

V Cas général
Soit A ∈ M p (C) et n ∈ N ∗ . On note
P n (X) =
(
1 + X n
) n
∈ C[X]
et χ A le polynôme caractéristique de A défini par
χ A (X) = det(A − XI p )
V.A –
V.A.1)
Liens avec le polynôme caractéristique
Montrer qu’il existe un unique couple (Q n , R n ) ∈ C[X] × C p−1 [X] tel que
P n = Q n χ A + R n
V.A.2)
Montrer que E(A) existe si et seulement si lim
n→∞ R n(A) existe.
V.A.3) Soient k ∈ N ∗ et λ 1 , λ 2 , . . ., λ k les racines de χ A deux à deux distinctes, dont on note n 1 , n 2 , . . ., n k les
ordres de multiplicité respectifs.
Pour tout entier q compris entre 1 et p, on note J q la matrice de M q (C) dont tous les coefficients sont nuls sauf
ceux situés juste au-dessus de la diagonale qui valent 1.
Montrer que, pour tout x ∈ C, pour tout entier q compris entre 1et p, la famille {(xI q + J q ) i , 0 i q − 1}
est libre.
V.A.4)
Soit B = diag{λ 1 I n1 + J n1 , . . ., λ k I nk + J nk } la matrice diagonale par blocs définie par
⎛
⎞
λ 1 I n1 + J n1 0 . . . 0
0 λ 2 I n2 + J n2 . . . 0
B = ⎜ .
⎝
. .. . ⎟
.. 0 ⎠
0 . . . 0 λ k I nk + J nk
Montrer que χ B = χ A .
V.B –
Convergence de E(A)
V.B.1) Soit i un entier 1.
Montrer que
⎛
(λ 1 I n1 + J n1 ) i ⎞
0 . . . 0
B i 0 (λ 2 I n2 + J n2 ) i . . . 0
= ⎜ .
⎝
. .. . ⎟
.. 0 ⎠
0 . . . 0 (λ k I nk + J nk ) i
V.B.2) Soit P un polynôme annulateur non nul de la matrice B.
a) Montrer que le degré de P est p.
b) En déduire que la famille {B i , 0 i p − 1} est libre.
V.B.3)
V.B.4)
Montrer que lim
n→∞ P n(B) existe.
En déduire que E(A) existe.
• • • FIN • • •
2013-03-25 11:40:45 Page 4/4