Lycée Thiers ∣∣y

Ex 7
FX 6 - ALGÈBRE GÉNÉRALE ET ARITHMÉTIQUE 2
Etant donnée une relation binaire R sur un ensemble X, on définit une relation R sur le même
ensemble par :
⎧
∀ ( x, y ) x = e
∈ X 2 , xRy ⇔ ∃n ∈ N ⋆ , ∃ (e 0 , · · · e n ) ∈ X n+1 ⎪⎨
0
; y = e n
⎪⎩ ∀i ∈ N n , e i−1 Re i
Montrer que R est transitive (R est appelée “fermeture transitive” de R). Que peut-on dire de R si
R est reflexive et symétrique ?
Ex 8
E est un ensemble non vide, R et S sont deux relations binaires sur E. On définit la relation S ◦ R
par :
∀ (x, z) ∈ E 2 , x (S ◦ R) z ⇔ ∃y ∈ E; xRy et ySz
1) Montrer que si R et S sont réflexives, alors S ◦ R est réflexive.
2) Montrer que si R et S sont symétriques et S ◦ R = R ◦ S, alors S ◦ R est symétrique.
3) Montrer que si R est antisymétrique et transitive alors R ◦ R est antisymétrique.
4) Montrer que si R est transitive, alors R ◦ R aussi.
5) Montrer que si R est réflexive et transitive, alors R ◦ R = R.
Fournée 2 : Divisibilité et Congruence, PGCD et PPCM
Ex 1
Ex 2
Ex 3
Ex 4
Ex 5
Soient a, b, c ∈ N. Montrer que ( 7|a 3 + b 3 + c 3) ⇒ (7|abc) .
Montrer que la somme de six carrés parfaits impairs n’est pas un carré parfait.
Soient n 1 , n 2 ∈ N ⋆ . Etablir : ∀n ∈ N ⋆ , n ∧ (n 1 n 2 ) = 1 ⇔ (n ∧ n 1 = 1 et n ∧ n 2 = 1) .
Soient a, b ∈ N ⋆ . On suppose que a ∧ b = 1. Montrer que : (a + b) ∧ (ab) = 1.
Montrer que si a ∈ N est premier avec 10, alors il existe un multiple de a dont l’écriture décimale
ne comporte que des 1.
Ex 6
Ex 7
Soient G un groupe fini de cardinal n et k un entier naturel tel que k ∧ n = 1.
Montrer que l’application ϕ : G → G, x ↦→ x k est une bijection.
Soient a, b, c des entiers impairs. On suppose que l’équation ax 2 +bx+c = 0 possède deux solutions
réelles. Montrer que celles-ci sont irrationnelles.
Ex 8
Déterminer le reste de la division par 9 de x 0 = 4444 4444 .
On note x i+1 la somme des chiffres décimaux de x i : calculer x 3 .