La topología de los espacios euclídeos

Taller de Cálculo Avanzado — Primer Cuatrimestre — 2013 Práctica 3
• ‖λx‖ = |λ|‖x‖ para todo x ∈ n y λ ∈ .
• ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ para todo x, y ∈ n .
(a) Muestre que las funciones ‖·‖ 1 , ‖·‖ 2 , ‖·‖ ∞ : n → dadas por
n∑
‖x‖ 1 = |x i |,
i=1
√
∑ n
‖x‖ 2 = x 2 i ,
i=1
‖x‖ ∞ = max{|x i | : 1 ≤ i ≤ n}
para cada x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ n , son normas.
(b) Muestre que hay constantes positivas c, c ′ , d, d ′ tales que
c‖x‖ 1 ≤ ‖x‖ 2 ≤ c ′ ‖x‖ 1 ,
d‖x‖ ∞ ≤ ‖x‖ 2 ≤ d ′ ‖x‖ ∞
(c)
para todo x ∈ n .
Si ‖·‖ : n → es una norma, para cada x ∈ n y cada ɛ > 0, llamamos bola centrada en x de
radio ɛ al conjunto
B ɛ (x) = { y : ‖x − y‖ < ɛ}.
Decimos que un conjunto A ⊆ n es un abierto con respecto a ‖·‖ si para todo x ∈ A existe ɛ > 0
tal que B ɛ (x) ⊆ A.
Muestre que un conjunto es abierto con respecto a ‖·‖ 1 sii es abierto con respecto a ‖·‖ 2 sii
es abierto con respecto a ‖·‖ ∞ .
(d) Si ‖·‖ : n → es una norma, decims que una sucesión (x k ) k≥1 en n converge con respecto a
‖·‖ a un punto x ∈ n si
lim
k→∞ ‖x k − x‖ = 0.
Muestre que una sucesión (x k ) k≥1 converge a un punto x ∈ n con respecto a la norma ‖·‖ 1 sii
lo hace con respecto a la norma ‖·‖ 2 sii lo hace con respecto a la norma ‖·‖ ∞ .
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