Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ចំនួនក ំផ្លិច<br />
១. និយមន័យ<br />
ក. ចំនួននិម្មិត<br />
ផលគុណរវាងចំនួនពិត c ខុសពីសូនយនឹង<br />
i<br />
ហៅថា ចំនួននិមិត្ត ។<br />
i<br />
ហៅថា “ ឯកតានិមិត្ត “ ដែល<br />
2<br />
i 1 ឬ<br />
i 1<br />
ឧទាហរណ៍ ទី ១ : ចំនួន<br />
3<br />
3 i , 2 i , 3 5 i , i 5<br />
ជាចំនួននិមិតត ។<br />
ខ. ឫស ការេ នន ចំនួន អវិជ្ជមាន<br />
លកខណៈ<br />
ហ ើ<br />
c 0<br />
ហនាោះ<br />
<br />
<br />
c c 1 c 1<br />
i c<br />
ឧទាហរណ៍ទី ២ : គណនា<br />
1.<br />
2<br />
4 41 4i 2i<br />
2<br />
2. 3 16 3 16i <br />
3.<br />
3<br />
4i<br />
2 2<br />
1 12 1 12i<br />
1 43i<br />
<br />
2<br />
4. 2 7 2 7i 2 7<br />
លកខណៈ<br />
i<br />
12i<br />
3<br />
ហ ើ<br />
2<br />
x<br />
a<br />
<br />
a 0<br />
<br />
ហនាោះ x<br />
i a ឬ x i a<br />
ឧទាហរណ៍ទី ៣ : គណនាតម្មៃ x ក្ន ុងក្រណី ខាងហរោម៖<br />
1.<br />
2.<br />
2<br />
x 9 <br />
2<br />
x <br />
18<br />
គ. និយម្ន័យចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧទាហរណ៍ៈ<br />
x <br />
9<br />
<br />
x 18<br />
<br />
3i<br />
3i<br />
2<br />
ចំនួនក ំផ្លិច ជាចំនួនដែលមានរាង z a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />
ហគតាងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិចហោយ C ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
1
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1 + 3i , −2 − 2i , 6 − 4i , −1 − 3i , 7i , −8i ហៅថាចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />
• ទរមង់ a ib ហៅថា “ ទរមង់សតង់ោ ឬ ទរមង់ពីជគណិ ត ” ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
a<br />
ហៅថា ដផនក្ពិត និង b ហៅថា ដផនក្និមិតត ។<br />
ហគក្ំណត់សរហសរ<br />
a Re z<br />
និង<br />
b<br />
Imz<br />
។<br />
• ក្រណី b 0 ហនាោះ<br />
a ib a 0i a<br />
ជាចំនួនពិត<br />
a 0 ហនាោះ 0<br />
a ib ib ib<br />
ជាចំនួននិមិតត<br />
• ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
a ib<br />
0<br />
ោលណា<br />
a b 0<br />
។<br />
ឧទាហរណ៍ៈ រក្ដផនក្ពិត និងដផនក្និមមិតម្ន z = 2 + 3i ។<br />
ដផនក្ពិតគឺ Re(z) = 2 និង ដផនក្និមមិត Im(z) = 3 ។<br />
២.ចំនួនក ំផ្លិចឆ្លល ស់<br />
ក. និយម្ន័យ<br />
<br />
ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរដែលមានសញ្ញានិមិត្តផ្ទុយគ្នា ហៅថាចំនួនក ំផ្លិចឆ្លាស់ ។<br />
ឧទាហរណ៍៖ចំនួនក្ុំផៃ ិច 23i<br />
នឹង 2 3i ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរឆ្លៃ ស់គ្នន ។<br />
<br />
ហយើងក្ំណត់ចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ហោយ z ។<br />
<br />
<br />
ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ<br />
។<br />
ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ហៅថា ចំនួនក ំផ្លិចផ្ទុយគ្នា ។<br />
ហ ើ z a bi<br />
ឧទាហរណ៍៖ចំនួនក្ុំផៃ ិច 2 3i នឹង<br />
ហយើងក្ំណត់ចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ហោយ<br />
ក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ<br />
ឧទាហរណ៍ ៖<br />
<br />
z abi<br />
(23 i) 23i<br />
<br />
z ។ ហ ើ z a bi<br />
z<br />
(a bi)<br />
abi<br />
z12i<br />
z12i<br />
w119i<br />
w119i<br />
។<br />
ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ z1<br />
2<br />
ហនាោះក្ុំផៃ ិចផទ ុយគឺ<br />
ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />
ហនាោះក្ុំផៃ ិចផទ ុយគឺ<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរផទ ុយគ្នន ។<br />
<br />
i<br />
ហនាោះ<br />
z<br />
(1 2 i) 1<br />
2<br />
w 119i<br />
w (11 9 i) 11<br />
9i<br />
បញ្ជាក់ ៖ ចំនួនក្ុំផៃ ិចគ្នម នលំោ ់ហទ មានន័យថា ហ ើហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ<br />
ហយើងមិនអាចនិយាយថា z<br />
ខ. លកខណៈ<br />
wឬ w<br />
z<br />
បានហទ ។<br />
i<br />
ិចពីរ z នឹង w<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
2
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
‣ z1 z2 z1 z រាយតាមវ<br />
2<br />
ិធី ូក្ែក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />
ឧទាហរណ៍ ៖ ហគឲ្យ<br />
z 1 =3+5i នឹង<br />
z<br />
i<br />
2<br />
86<br />
គណនា<br />
z<br />
z<br />
1<br />
<br />
2<br />
ចរម្ល ើយ ៖ ហយើងមាន z 1<br />
=3+5i នឹង<br />
2<br />
8 6 ហនាោះចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />
ហនាោះហយើងបាន ៖<br />
‣<br />
z z z z<br />
z<br />
z 1<br />
=3 5i ន ឹង z2 86i<br />
z z z z<br />
i<br />
ហរៀងគ្នន ។<br />
នឹង<br />
z<br />
z<br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
2 1<br />
<br />
2<br />
(3 5 i) (8 6 i) (3 8) i( 5 6) 11<br />
i<br />
1<br />
<br />
2 1<br />
<br />
2<br />
(3 5 i) (8 6 i) (3 8) i( 5 6) 5 11i<br />
z z z z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
‣<br />
1 2 1 2<br />
z<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
z<br />
1 1<br />
2 2<br />
ឧទាហរណ៍ ៖ ហគឲ្យ<br />
ចរម្ល ើយ ៖ ហយើងមាន<br />
ហនាោះហយើងបាន ៖<br />
z<br />
z<br />
រាយតាមវ ិធីគុណចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />
រាយតាមវ ិធីដចក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />
z 1<br />
= 1+ 2i នឹង<br />
z = 1<br />
1 + 2 i នឹង<br />
z<br />
z<br />
i<br />
2<br />
16<br />
i<br />
2<br />
16<br />
z = 1<br />
1 2 i<br />
z z z z <br />
នឹង<br />
z<br />
គណនា<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 2<br />
ហនាោះចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />
i<br />
2<br />
1<br />
6<br />
ហរៀងគ្នន ។<br />
z <br />
1<br />
នឹង ។<br />
z2<br />
<br />
– i – i – i i – i i<br />
2<br />
1 2 1 2<br />
(1 2 ) ( 1 6 ) 1 6 2 12 11 8<br />
<br />
1 1<br />
1– 2 i (1 – 2 i)( – 1– 6 i) – 1–<br />
6i 2i 12i<br />
<br />
z<br />
<br />
2<br />
z2<br />
– 1 6 i (– 1 6 i)( – 1–<br />
6 i) 1<br />
36<br />
<br />
គ. ករនោម្ផ្ផ្ែកពិត នឹងផ្ផ្ែកនិម្មិតជាអន គម្ន៍នន z នឹង z<br />
<br />
<br />
ឧ មាថាហគមាន z a bi<br />
ហគបាន<br />
ហហើយ<br />
ហនាោះ z<br />
z<br />
z a bi a bi 2a<br />
z<br />
z abi abi 2bi<br />
ហោយ Re(z) a នឹង Im(z) b<br />
<br />
Re(z) <br />
z z<br />
z<br />
2<br />
z<br />
a bi<br />
ដែល<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
a <br />
b <br />
a;bIR<br />
z z<br />
2<br />
ែូចហនោះហយើងបាន<br />
ហ ើ Re(z) 0 ហនាោះ z<br />
z z<br />
2i<br />
2<br />
។<br />
។<br />
– 13 – 4i<br />
13 4<br />
– – i<br />
37 37 37<br />
z នាំឲ្យ z ជាចំនូននិមមិត ។<br />
z នាំឲ្យ z ជាចំនូនពិត ។<br />
Im(z) ហ ើ Im(z) 0 ហនាោះ z<br />
2i<br />
3i x i<br />
ឧទាេហេណ៍ ៖ តាង x ជាចំនួនពិត ។ ក្ំណត់តដមៃ x ហែើមបីហអាយ W <br />
1i<br />
1i<br />
ក/ ជាចំនួនពិត ខ/ ជាចំនួននិមមិត<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
3
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ចរម្ល ើយ ៖ រក្តម្មៃ x<br />
ក/ ជាចំនួនពិត<br />
ហយើងមាន<br />
ហែើមបីហអាយ<br />
3i x i<br />
W <br />
1i<br />
1i<br />
3i x i<br />
W <br />
1i<br />
1i<br />
=<br />
(3 i)(1 i) (x i)(1 i)<br />
<br />
(1 i)(1 i) (1 i)(1 i)<br />
= 4 2 i x 1 xi i x 5 x <br />
<br />
3 i<br />
2 2 2 2<br />
ហែើមបីហអាយ W ជាចំនួនពិត លុោះរតាដត<br />
ែូចហនោះ<br />
x 3 នាំហអាយ<br />
ខ/ ជាចំនួននិមមិត<br />
ែូចហនោះ<br />
x 3 0<br />
2<br />
3 5 3 3<br />
W i 4<br />
2 2<br />
3<br />
W i x i<br />
4<br />
1 i<br />
<br />
1i<br />
<br />
3i x i<br />
W <br />
1i<br />
1i<br />
នាំហអាយ<br />
x 3<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
x5 x3<br />
ហយើងមាន<br />
i<br />
2 2<br />
5<br />
ហែើមបីហអាយ W ជាចំនួននិមមិត លុោះរតាដត<br />
x 0 នាំហអាយ<br />
2<br />
5 5 5 3<br />
W <br />
i 4i<br />
2 2<br />
x 5 នាំហអាយ<br />
៣. ប្រមាណវិធីល ើចំនួនក ំផ្លិច<br />
ក.វិធីបូក និងវិធីដកចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
3<br />
W i x i<br />
4i<br />
1 i<br />
<br />
1i<br />
<br />
ជាចំនួននិមមិត<br />
x 5<br />
ហែើមបី ូក្ ឬែក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច ហគរតូវយក្ដផនក្ពិត ូក្ ឬែក្ដផនក្ពិត<br />
ដផនក្និមមិត ូក្ ឬែក្ដផនក្និមមិត ោច់ហោយដែក្ពីគ្នន ។<br />
• ផល ូក្ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
• ផលែក្ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
a ib c id a c ib d <br />
<br />
a ib c id a c i b d<br />
ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= − 5 + 3i និង z 2 = 7 + 6i ។ គណនា z 1 + z 2 ។<br />
ហគបាន z 1 + z 2 = (−5 + 3i) + (7 + 6i) = (−5 + 7) + (3 + 6)i<br />
ែូចហនោះ z 1 + z 2 = 2 + 9i ។<br />
ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= − 5 + 3i និង z 2 = 7 + 6i ។ គណនា z 1 − z 2 ។<br />
ហគបាន z 1 − z 2 = (−5 + 3i) − (7 + 6i) = (−5 − 7) + (3 − 6)i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
4
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. វិធីគ ណ និង វិធីផ្ចកចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
វិធីគ ណចំនួនក ំផ្លិច<br />
ែូចហនោះ z 1 + z 2 = −12 − 3i ។<br />
ឧ មាថាហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 = a + bi និង z 2 = c + di ដែល a, b , c, d<br />
ជាចំនួនពិត ហគបាន<br />
z 1 × z 2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci − bd<br />
z 1 × z 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i ។<br />
ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= 2 − i និង z 2 = 3 + 2i ។ គណនា z 1 × z 2 ។<br />
ហគបាន z 1 × z 2 = (2 − i)(3 + 2i) = 6 + 4i − 3i − 2i 2 = 4 + i<br />
ែូចហនោះ z 1 × z 2 = 4 + i ។<br />
វិធីចចកចំនួនក ំផ្លិច<br />
ហែើមបីដចក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច ហគរតូវគុណភាគយក្និងភាគដ ង និងចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្នភាគដ ង។<br />
ឧ មាថា ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 = a + bi និង z 2 = c + di ដែល a, b , c, d ជាចំនួនពិត<br />
គេបាន z 1<br />
= a+bi<br />
= (a+bi)(c−di)<br />
= (ac−bd)+(ad+bc)i<br />
z 2 c+di (c+di)(c−di) c 2 +d 2<br />
គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច z 1= 2 + 3i និង z 2 = 4 − 2i ។ គណនា z 1<br />
z 2<br />
ែូចហនោះ<br />
z 1 2 + 3i (2 + 3i)(4 + 2i) 8 + 4i + 12i − 6<br />
= = =<br />
z 2 4 − 2i (4 − 2i)(4 + 2i) 4 2 − (2i) 2 =<br />
= 2<br />
20 + 16i<br />
20 = 1<br />
10 + 4 5 i<br />
z 1<br />
z 2<br />
= 1 10 + 4 5 i<br />
។<br />
2 + 16i<br />
16 + 4<br />
=<br />
2 + 16i<br />
20<br />
គ.ចំនួនក ំផ្ល ិ ចរសមើគ្នែ<br />
និយមន័យៈ ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z a ib និង w c id ហសម ើគ្នន<br />
លុោះរតាដត a c និង b d ។<br />
ក្រណី a + bi = 0 ពិតលុោះរតាដត a = b = 0 ។<br />
ឧទាហរណ៍ : សមភាព a ib 2 i 3<br />
ពិត លុោះរតាដត a 2 , b<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
5
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
៤.ចំនួនក ំផ្លិចកន ងរលង់<br />
ក. កាេតាងចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែងប្លង់<br />
ហគអាចតាងចំនួនក្ុំផៃ<br />
P(a,b) ែូចក្ន<br />
ុងរូ ។<br />
<br />
<br />
ិច z a bi<br />
ដែល<br />
អ័ក្ស(x'ox) ឬអ័ក្សហែក្ ហគហៅថា អ័កាសពិត្<br />
a;b<br />
អ័ក្ស(y'oy) ឬអ័ក្សឈរ ហគហៅថា អ័កាសនិ មិត្<br />
IR<br />
ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហមបានហោយចំណុ ច<br />
ភាពស ីមមទ្ទីមៅមលើបលង់(ឆលុុះ) ៖<br />
ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />
ក្ុំផៃ ិចផទ ុយ រ ស់វាគឺ<br />
ហយើង ញ្ជា ក្់ zzនឹង<br />
នឹង z<br />
<br />
<br />
z<br />
z<br />
z<br />
នឹង<br />
z<br />
នឹង z<br />
សិនហ ើ z<br />
,<br />
<br />
<br />
ិច z a bi<br />
z<br />
a bi<br />
z<br />
។<br />
ហនាោះក្ុំផៃ<br />
ក្ន ុង ៃង់ែូចខាងាដ ំហនោះ<br />
សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងអ័ក្សពិត<br />
សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងគល់អ័ក្ស<br />
សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងអ័ក្សនិមមិត<br />
សថ<br />
រ សិនហ ើ z<br />
ិតហលើអ័ក្សពិតហនាោះ z z<br />
សថ ិតហលើអ័ក្សពិតហនាោះ<br />
<br />
zz<br />
<br />
<br />
ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ z a bi<br />
នឹង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
6
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. វ ិចទ័េេូបភាពផ្នផ្លបូក នឹងផ្លដកផ្នចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងប្លង់<br />
កាេតាងេូបភាពននផ្លបូកក ំផ្ល ិ ចកែ ងប្លង់ ៖<br />
ហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />
z1 abi<br />
នឹង<br />
z2 c di ហហ ើយហយើងបានែឹងហហើយថា<br />
z1z2 ( a c) i( b<br />
d)<br />
ក្ន ុង ៃង់ែូចរូ ខាងាដ ំ<br />
៥. ម ៉ូឌ ននចំនួនក ំផ្លិច<br />
ក.និយម្ន័យ<br />
។ តាង<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 2<br />
ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហម (xoy) ហគយក្ M(a, b) ជារូ ភាពម្ន z = a + ib ។<br />
រង្វា ស់ MO ហៅថាម ូឌុលម្ន z = a + ib ។ ហគក្ំណត់ម ូឌុលម្ន z = a + ib<br />
ហោយ |z| ឬ r ដែល |z| = r = OM = √a 2 + b 2 ។<br />
កនងត្តីគោណដកង OMP គេមាន OM 2 = MP 2 + OP 2<br />
គោយ OP = a , MP = b<br />
គេបាន OM 2 = a 2 + b 2 ឬ OM = √a 2 + b 2 ។<br />
ែូចគនេះ |z| = r = OM = √a 2 + b 2 ។<br />
ឧទាហរណ៍ : ម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃ<br />
ិច z1 2i<br />
គឺ<br />
2 2<br />
z 1 2 5<br />
ម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
w<br />
6i<br />
គឺ<br />
2 2<br />
w 0 6 6<br />
ខ.លកខណៈ<br />
ហ ើ z និង w<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ហនាោះហគបាន ៖<br />
1. z z 2.<br />
w w<br />
5.<br />
z z<br />
4. z<br />
0<br />
zz<br />
<br />
z<br />
2<br />
w z w z<br />
3. w z w z<br />
6. |z n | = |z| n<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
7
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
៦. អាគ យម ង់ននចំនួនក ំផ្លិច<br />
ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហម (xoy) ហគយក្ M(a, b) ជារូ ភាព z = a + ib ។<br />
មុំដែលផ្ ុំហោយ (Ox ⃗⃗⃗⃗⃗ , OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ហៅថាអាគុយម ង់ម្ន z = a + ib ។<br />
ហគតាង φ ឬ Arg(z) ជាអាគុយម ងម្ន z = a + ib។<br />
ក្ន ុងរតីហោណដក្ង OMP ហគមានៈ<br />
r 2 = OM 2 = a 2 + b 2 ឬ r = √a 2 + b 2 (តាមរទឹសត ីពីតាគ័រ)<br />
cos φ = OP<br />
OM = a r ន ិង sin φ = MP<br />
OM = b r ។<br />
ហែើមបីរក្អាគុយម ង់ម្ន z = a + ib ហគហោោះរាយសមីោរៈ<br />
cos φ = a r ន ិង sin φ = b r<br />
ហគបាន Arg(z) = φ + 2kπ , k ∈ Z ។<br />
ឧទាហរណ៌១ រក្អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z = 2√3 + 2i ។<br />
តាមរូ មនត r = |z| = √(2√3) 2 + 2 2 = 4<br />
cos φ = a r = 2√3<br />
4<br />
= √3<br />
2<br />
និង sin φ = b r = 2 4 = 1 2<br />
ែូចហនោះ អាគុយម ង់ម្ន z គឺ Arg(z) = π + 2kπ , kεZ ។<br />
6<br />
ឧទាហរណ៌២ រក្អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z = √2 − i√2<br />
តាមរូ មនត r = |z| = √2 + 2 = 2<br />
cos φ = a r = √2<br />
2<br />
និង sin φ = b r = − √2<br />
2<br />
ែូចហនោះអាគុយម ង់ម្ន z គឺ Arg(z) = − π + 2kπ , kεZ ។<br />
4<br />
៧. ទប្មង់ប្រីលោណមាប្រននចំនួនក ំផ្លិច<br />
ចំនួនក្ុំផៃ ិច z = a + ib ហៅថាទរមង់ពីជគណិ ត។ ហគអាចសរហសរថ្ម ីមួយហទៀតែូចខាងហរោមៈ<br />
ហគបាន<br />
r z a b<br />
2 2<br />
ហៅថាម ូឌុលម្ន z = a + ib<br />
a<br />
cos និង sin<br />
r<br />
<br />
b<br />
r<br />
ដែល φ ហៅថាអាគុយម ង់ម្ន z ។<br />
ហគបាន z = a + ib = r ( a + i b ) = r(cos φ + i sin φ)<br />
r r<br />
ែូចហនោះ z = r(cos φ + i sin φ) ហៅថាទរមង់រតីហោណមារត មារត(ទរមង់<br />
ូដលរ)<br />
ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z a ib<br />
ឧទាហរណ៍ទី១ : សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 i ជាទំរង់រតីហោណមារត ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
8
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
r z <br />
2 2<br />
1 1 2<br />
a 1 2<br />
cos <br />
r 2 2<br />
b 1 2<br />
sin <br />
r 2 2<br />
<br />
<br />
និង<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
z r cos isin 2 cos isin<br />
4 4<br />
ឧទាហរណ៍ទី២ ៖ ចូរសរហសរ z = −2√3 + 2i ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />
ហគមាន r = √(−2√3 ) 2 + 2 2 = 4<br />
z = 4 (− √3<br />
2 + i 1 2 ) = 4(− cos π 6 + i sin π 6 )<br />
z = 4(cos(π − π 6 ) + i sin(π − π 6 )<br />
z = 4(cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) ។<br />
៨.ប្រមាណវិធីចំនួនក ំផ្លិចកន ងទប្មង់ប្រីលោណមាប្រ<br />
ក.ផ្លគ ណននចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងទម្ម្ង់ម្តីរកាណមាម្ត<br />
<br />
ហ ើហយើងមាន z 1 = r 1 (cosφ 1 + isinφ 1 ) និង z 2 = r 2 (cosφ 2 + isinφ 2 )<br />
ហនាោះហយើងបាន z 1 ∙ z 2 = z 1 = r 1 ∙ r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + isin(φ 1 + φ 2 )]<br />
- |z 1 ∙ z 2 | = |z 1 | ∙ |z 2 |<br />
- Arg(z 1 ∙ z 2 ) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 )<br />
ឧទាហរណ៍៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z 1 = √2 (cos π 3 + isin π 3 ) ន ិង z 2 = 1 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />
ចមមលើយ<br />
ចូរគណនា z 1 ∙ z 2 រពមទាំងក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />
- គណនា z 1 ∙ z 2<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ហគមាន z 1 = √2 (cos π 3 + isin π 3 ) , z 2 = 1 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />
ហគបាន z 1 ∙ z 2 = √2 × 1 [cos 2 (π + π ) + isin 3 6 (π + π √2<br />
)] = (cos 3π + isin 3π )<br />
3 6 2 6 6<br />
= √2<br />
(cos π + isin π )<br />
2 2 2<br />
ែូហចនោះ z 1 ∙ z 2 = √2<br />
(cos π + isin π )<br />
2 2 2<br />
- ក្ំណត់ម ូឌុល - អាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
ហោយ z 1 ∙ z 2 = √2<br />
2 (cos π 2 + isin π 2 )<br />
ហនាោះហគបាន |z 1 ∙ z 2 | = √2<br />
ន 2<br />
ិង Arg(z 1 ∙ z 2 ) = π 2<br />
ែូហចនោះ ម ូឌុល |r| = |z 1 ∙ z 2 | = √2<br />
ន 2<br />
ិងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = π 2<br />
9
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧទាហរណ៍ទី៣ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z 1 = 1 − √3i និង z 2 = 1 + i ។<br />
ចូរគណនាម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2 រពមទាំងក្ំណត់ z 1 ∙ z 2 ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ចមមលើយ គណនាម ូឌុល - អាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />
ហយើងមាន z 1 = 1 − √3i<br />
នាឱ្យ z 1 = 2 ( 1 2 − √3<br />
2 i) = 2 (cos π 3 − isin π 3 ) = 2 [cos (− π 3 ) + isin (− π 3 )]<br />
និង z 2 = 1 + i = √2 ( 1 √2 + i 1 √2<br />
) = √2 (√2 + i<br />
√2 2 2 ) = √2 (cos π 4 + isin π 4 )<br />
ហនាោះហគបាន<br />
ម ូឌុល |z 1 ∙ z 2 | = |z 1 | ∙ |z 2 | = 2√2<br />
និងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 )<br />
នាំឱ្យ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 3 + π 4 = −4π+3π<br />
12<br />
= − π 12<br />
ែូហចនោះ ម ូឌុល |z 1 ∙ z 2 | = 2√2 និងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 12<br />
- ក្ំណត់ទរមង់រតីហោណមារតម្ន z 1 ∙ z 2<br />
ហោយ |z 1 ∙ z 2 | = 2√2 និង Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 12<br />
ហគបាន z 1 ∙ z 2 = 2√2 [cos (− π 12 ) + isin (− π 12 )]<br />
ែូហចនោះ z 1 ∙ z 2 = 2√2 [cos (− π 12 ) + isin (− π 12 )]<br />
ឧទាហរណ៍ទី៤ ៖ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z = 1 − i និង w = √3 + i<br />
។<br />
ក្.ចូរគណនា z ∙ w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ខ.ចូរគណនាតម្មៃម្ន cos 23π<br />
12<br />
និង sin 23π<br />
12<br />
ចមមលើយ ហគមាន z = 1 − i និង w = √3 + i<br />
ក្. គណនា z ∙ w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z = 1 − i = √2 ( 1 − i 1 √2<br />
) = √2 (√2 − i ) = √2 (cos π − isin π )<br />
√2 √2 2 2 4 4<br />
= √2 [cos (2π − π 4 ) + isin (2π − π 4 )] = √2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )<br />
ហហើយ w = √3 + i = 2 ( √3<br />
2 + 1 2 i) = 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />
ហគបាន z ∙ w = 2√2 [cos ( 7π + π ) + isin 4 6 (7π + π )] = 2√2 [cos (21π+2π) + isin ( 21π+2π<br />
)]<br />
4 6 12<br />
12<br />
z ∙ w = 2√2 (cos 23π 23π<br />
+ isin<br />
12 12 )<br />
ែូហចនោះ<br />
z ∙ w = 2√2 (cos 23π<br />
12<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃម្ន cos 23π<br />
12<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
+ isin<br />
23π<br />
12 )<br />
និង sin 23π<br />
12<br />
10
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហគមាន z = 1 − i និង w = √3 + i<br />
ហគបាន z ∙ w = (1 − i)(√3 + i) = √3 + i − i√3 − i 2<br />
ដត z ∙ w = 2√2 (cos 23π<br />
12<br />
= (1 + √3) + i(1 − √3) ( 1 )<br />
23π<br />
+ isin ) ( 2 )<br />
12<br />
តាមចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />
aib<br />
cid<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
c<br />
b<br />
d<br />
23π<br />
2√2cos = 1 + √3<br />
12<br />
(1)និង(២)ហគបាន {<br />
2√2sin 23π<br />
12<br />
23π<br />
12<br />
⟺ {cos<br />
= 1 − √3<br />
sin 23π<br />
12<br />
= 1+√3<br />
2√2<br />
=<br />
1−√3<br />
2√2<br />
23π<br />
cos<br />
12<br />
⟺ { = √2+√6<br />
4<br />
sin 23π<br />
12<br />
= √2−√6<br />
4<br />
ែូហចនោះ<br />
តម្មៃ cos 23π<br />
12<br />
ខ.សវ័យគ ណទី n ននចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
= √2+√6<br />
4<br />
និង sin 23π<br />
12<br />
= √2−√6<br />
4<br />
ជាទូម<br />
ៈ ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = r(cosφ + isinφ)<br />
ហនាោះហគបាន z n = |r| n [cos(nφ) + isin(nφ)] រគ ់ n ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី វ ិជាមាន ។<br />
ឧទាហរណ៍៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = √2 (cos π + isin π ) ។ គណនា z12<br />
6 6<br />
ហយើងមាន z = √2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />
ហគបាន z 12 = [√2 (cos π + isin π 6 6 )]12 = (√2) 12 (cos 12π<br />
12π<br />
+ isin )<br />
6<br />
6<br />
= 2 6 (cos2π + isin2π) = 64(cos2π + isin2π) = 64<br />
ែូហចនោះ<br />
z 12 = 64<br />
ឧទាហរណ៍៖ គណនា (√2 − i√2) 24<br />
តាង z = √2 − i√2 ⇔ z 24 = (√2 − i√2) 24<br />
ហោយ z = 2 ( √2<br />
2<br />
។<br />
− i<br />
√2<br />
2 ) = 2 (cos π 4 − isin π 4 )<br />
= 2 [cos (2π − π 4 ) + isin (2π − π 4 )] = 2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )<br />
ហគបាន z 24 = [2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )]24 = 2 24 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )24<br />
= 2 24 7π × 24 7π × 24<br />
(cos + isin ) = 2 24 (cos42π + isin42π)<br />
4<br />
4<br />
= 2 24 (cos2 ∙ 21π + isin2 ∙ 21π) = 2 24 (1 + 0i) = 2 24 = 16, 777, 216<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
11
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ែូហចនោះ z 24 = 16, 777, 216<br />
ឧទាហរណ៍៖ គណនា ( 1+i<br />
1−i )2n<br />
ដែល n ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី វ ិជាមាន ។<br />
តាង z = 1+i<br />
= (1+i)(1+i)<br />
= 1+2i+i2<br />
= 1+2i−1<br />
= i = 0 + i<br />
1−i (1−i)(1+i) 1−i 2 1−(−1)<br />
z = cos π 2 + isin π 2<br />
ហររោះ cos π 2 = 0<br />
ន ិង sin π 2 = 1<br />
ហគបាន z 2n = (cos π + isin π 2 2 )2n = cos (2n × π ) + isin (2n × π ) = cosnπ + isinnπ<br />
2 2<br />
= (cosπ + isinπ) n = (−1 + 0i) n = (−1) n<br />
ើ<br />
ើ<br />
ែូហចនោះ , ហគបាន z 2n = { 1 ហ n គូ<br />
−1 ហ n ហសស<br />
គ.េូបម្នតដឺម្័េ (De Moivre )<br />
ជាទូហ<br />
ៈ ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = r(cosφ + isinφ) ហហើយ |r| = 1<br />
ហនាោះហគបាន z n = (cosφ + isinφ) n = [cos(nφ) + isin(nφ)]<br />
ឧទាហរណ៍៖.ចូរគណនា sin 2α , cos 2α ជាអនុគមន៏ម្ន sin α , cos α ។<br />
តាមរូ មនតែឺម័រ (cosα + isinα) 2 = cos 2α + isin 2α (1)<br />
ដត (cosα + isinα) 2 = cos 2 α + 2isinαcosα + (isinα) 2<br />
= (cos 2 α − sin 2 α) + 2isinαcosα (2)<br />
តាម (1) និង (2) ហនាោះហគបាន<br />
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α<br />
sin 2α = 2sinαcosα<br />
ែូហចនោះ cos 2α = cos 2 α − sin 2 α , sin 2α = 2sinαcosα<br />
ឧទាហរណ៍៖ ចូរគណនា sin 4x , cos 4x ជាអនុគមន៏ម្ន sin x , cos x ។<br />
ហយើងមាន(cosx + isinx) 4<br />
= cos 4 x + 4icos 3 xsinx + 6cos 2 x(isinx) 2 + 4cosx(isinx) 3 + (isinx) 4<br />
= (cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x) + i(4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x) (1)<br />
តាមរូ មនតែឺម័រ (cosx + isinx) 4 = cos 4α + isin 4α (2)<br />
តាម (1) និង (2) ហនាោះហគបាន<br />
cos 4x = cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x<br />
sin 4x = 4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x<br />
ែូហចនោះ cos 4x = cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
12
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
sin 4x = 4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x<br />
ឃ.ឬសទី n ននចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងទម្ម្ង់ម្តីរកាណមាម្ត<br />
ជាទូម<br />
ៈ ហ ើហគមាន z = r(cosφ + isinφ) ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចមិនសូនយ<br />
ហហើយ n ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហនាោះ z មានឬសទី n ក្ំណត់ហោយៈ<br />
n<br />
w k = √r<br />
[cos ( φ+2kπ<br />
n<br />
) + isin ( φ+2kπ<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1<br />
n<br />
ក្.<br />
ឧទាហរណ៍ ៖ ចូរគណនាឬសទី 4 ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមៈ<br />
ក្. z = 1 + i ខ. z = −1 + i√3 គ. z = −√3 − i ឃ. z = 1<br />
ង. z = −I ច. z = 8 + i8√3 ឆ. z = −√2 − i√6<br />
ចមមលើយ គណនាឬសទី 4 ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមៈ<br />
z = 1 + i = √2 ( 1 + i 1 √2<br />
) = √2 (√2 + i ) = √2 (cos π + isin π )<br />
√2 √2 2 2 4 4<br />
នាំឱ្យ<br />
4<br />
w k = √√2<br />
π<br />
[cos (<br />
4 +2kπ<br />
4<br />
) + isin (<br />
π<br />
4 +2kπ<br />
4<br />
8 π + 8kπ π + 8kπ<br />
= √2 [cos ( ) + isin ( )]<br />
16<br />
16<br />
8<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos π + isin π )<br />
16 16<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
8 π + 8π<br />
+ 8π<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin (π )] = 8<br />
√2<br />
16<br />
16<br />
8 π + 16π π + 16π 8<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />
16<br />
16<br />
8 π + 24π π + 24π 8<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />
16<br />
16<br />
(cos 9π 9π<br />
+ isin<br />
16 16 )<br />
(cos 17π<br />
16<br />
(cos 25π<br />
16<br />
+ isin<br />
17π<br />
16 )<br />
+ isin<br />
25π<br />
16 )<br />
ខ. z = −1 + i√3 = 2 (− 1 2<br />
4<br />
នាំឱ្យ w k = √2<br />
2π<br />
[cos (<br />
+ i<br />
√3<br />
2 ) = 2 (cos 2π 3 + isin 2π 3 )<br />
3 +2kπ<br />
4<br />
) + isin (<br />
2π<br />
3 +2kπ<br />
4<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
4 2π + 6kπ 2π + 6kπ 4 π + 3kπ π + 3kπ<br />
= √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 [cos ( ) + isin ( )]<br />
12<br />
12<br />
6<br />
6<br />
4<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos π + isin π )<br />
6 6<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
13
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4 π + 3π π + 3π 4<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 (cos 2π 6<br />
6<br />
3 + isin 2π 3 )<br />
4<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = √2<br />
[cos ( π+6π<br />
) + isin (π+6π)] = 4<br />
√2 (cos 7π + isin 7π )<br />
6 6<br />
6<br />
6<br />
4 π + 9π π + 9π 4<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 (cos 5π 6<br />
6<br />
3 + isin 5π 3 )<br />
គ. z = −√3 − i = 2 (− √3<br />
2 − i 1 2 ) = 2 (cos 7π 6 + isin 7π 6 )<br />
នាំឱ្យ<br />
4<br />
w k = √2 [cos (<br />
4<br />
= √2<br />
7π<br />
6 + 2kπ<br />
) + isin (<br />
4<br />
[cos ( 7π+12kπ<br />
24<br />
7π<br />
) + isin ( 7π+12kπ<br />
)]<br />
4<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos 7π<br />
7π<br />
+ isin )<br />
24 24<br />
6 + 2kπ<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
4<br />
4 7π + 12π 7π + 12π 4<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />
24<br />
24<br />
4 7π + 24π 7π + 24π 4<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />
24<br />
24<br />
4 7π + 36π 7π + 36π 4<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />
24<br />
24<br />
24<br />
(cos 19π<br />
24<br />
(cos 31π<br />
24<br />
(cos 43π<br />
24<br />
ឃ. z = 1 = 1 + 0i = cos2π + isin2π ហររោះ cos2π = 1 និង sin2π = 0<br />
4<br />
នាំឱ្យ w k = √1<br />
[cos ( 2π+2kπ<br />
4<br />
= cos ( π+kπ<br />
) + isin (π+kπ<br />
2<br />
) + isin ( 2π+2kπ<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
2 )<br />
4<br />
+ isin<br />
19π<br />
24 )<br />
+ isin<br />
31π<br />
24 )<br />
+ isin<br />
43π<br />
24 )<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = cos π 2 + isin π 2<br />
π + π<br />
+ π<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = cos ( ) + isin (π ) = cos π + isinπ<br />
2<br />
2<br />
π + 2π π + 2π<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = cos ( ) + isin ( ) = cos 3π 2<br />
2<br />
2 + isin 3π 2<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = cos ( π+3π<br />
) + isin (π+3π) = cos 2π + isin2π<br />
2<br />
2<br />
ង. z = −i = 0 − i = cos 3π 2 + isin 3π 2<br />
ហររោះ cos 3π 2 = 0<br />
ន ិង sin 3π 2 = −1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
14
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
នាំឱ្យ<br />
4<br />
w k = √1 [cos (<br />
3π<br />
2 + 2kπ<br />
) + isin (<br />
4<br />
3π<br />
2 + 2kπ<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
4<br />
3π + 4kπ 3π + 4kπ<br />
= cos ( ) + isin ( )<br />
8<br />
8<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = cos 3π 8 + isin 3π 8<br />
3π + 4π 3π + 4π<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = cos ( ) + isin ( ) = cos 7π 8<br />
8<br />
8 + isin 7π 8<br />
3π + 8π 3π + 8π<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = cos ( ) + isin ( ) = cos 11π 11π<br />
+ isin<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
3π + 12π 3π + 12π<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = cos ( ) + isin ( ) = cos 15π 15π<br />
+ isin<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
ច. z = 8 + i8√3 = 16 ( 1 2<br />
នាំឱ្យ<br />
4<br />
w k = √16<br />
+ i<br />
√3<br />
2 ) = 2 (cos π 3 + isin π 3 )<br />
π<br />
[cos (<br />
3 +2kπ<br />
4<br />
) + isin (<br />
π<br />
3 +2kπ<br />
4<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
π + 6kπ π + 6kπ<br />
= 2 [cos ( ) + isin ( )]<br />
12<br />
12<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = 2 (cos π 12 + isin π 12 )<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = 2 [cos ( π+6π<br />
) + isin (π+6π)] = 2<br />
12<br />
12<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = 2 [cos ( π+12π<br />
13π<br />
13π<br />
) + isin (π+12π)] = 2 (cos + isin )<br />
12<br />
12<br />
12<br />
12<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = 2 [cos ( π+18π<br />
19π<br />
19π<br />
) + isin (π+18π)] = 2 (cos + isin )<br />
12<br />
12<br />
12<br />
12<br />
ឆ. z = −√2 − i√6 = 2√2 (− 1 2<br />
នាំឱ្យ<br />
4π<br />
4<br />
w k = √2√2 [cos (<br />
− i<br />
√3<br />
2 ) = 2√2 (cos 4π 3 + isin 4π 3 )<br />
3 + 2kπ<br />
) + isin (<br />
4<br />
4π<br />
3 + 2kπ<br />
)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />
4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
15
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4π + 6kπ 4π + 6kπ<br />
= √8 [cos ( ) + isin ( )]<br />
12<br />
12<br />
2π + 3kπ 2π + 3kπ<br />
= √8 [cos ( ) + isin ( )]<br />
6<br />
6<br />
ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √8 (cos π + isin π )<br />
3 3<br />
k = 1 ហគបាន w 1 = √8<br />
k = 2 ហគបាន w 2 = √8<br />
k = 3 ហគបាន w 3 = √8<br />
[cos ( 2π+3π<br />
6<br />
[cos ( 2π+6π<br />
6<br />
[cos ( 2π+9π<br />
6<br />
) + isin ( 2π+3π<br />
)] = √8 (cos 5π + isin 5π )<br />
6 6<br />
6<br />
) + isin ( 2π+6π<br />
)] = √8 (cos 4π + isin 4π )<br />
3 3<br />
) + isin ( 2π+9π<br />
)] = √8<br />
៩.អន វរតន៍ក ំផ្លិច កន ងោរល ោះប្ាយសមីោរដឺលប្កទី២<br />
6<br />
6<br />
(cos 11π<br />
6<br />
11π<br />
+ isin ) 6<br />
ហគមសីោរែឺហរក្ទី២<br />
2<br />
ax bx c<br />
0<br />
(*) ដែល a ≠ 0 ។<br />
ហគបានឫសម្នសមីោរ −b± √b 2 −4ac<br />
2a<br />
ហ ើ α និង β ជាឫសម្នសមីោរ (*)<br />
មគបាន៖<br />
ជាទូម<br />
y<br />
<br />
b<br />
a<br />
និង<br />
(*) អាចសរហសរជារាង<br />
សមីោរ<br />
ករណី<br />
<br />
<br />
<br />
មគតាង<br />
c<br />
<br />
a<br />
x<br />
2<br />
a , b , c ∈ C<br />
( ) x<br />
0<br />
n<br />
a x a x ... a x a 0<br />
n<br />
b<br />
2<br />
4ac<br />
u iv<br />
r u r <br />
sign v i<br />
u <br />
<br />
<br />
2 2 <br />
1,2 <br />
()<br />
នាំឲ្យ<br />
z<br />
1,2<br />
n1<br />
n1 1 0<br />
,<br />
មិនរបាក្ែ<br />
2 2<br />
r y u v<br />
b<br />
y<br />
<br />
2a<br />
1,2<br />
(a ≠ 0) មានឫសក្ន ុង C យាងតិចមួយ។<br />
ហនាោះ<br />
( sign(v): សញ្ញារបស់ v)<br />
2<br />
y u iv<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
16
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧទាហរណ៍៖ ហោោះរាយសមីោរ<br />
<br />
2<br />
' ( 4(1 i)) (63 16 i)<br />
2 2<br />
r 63 16 65<br />
2<br />
z i i<br />
8(1 )z 63 16 0<br />
16 32i16 63 16i<br />
63 16i<br />
<br />
<br />
65 63 65 63 <br />
y1,2<br />
i 1<br />
8i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
z<br />
1,2<br />
<br />
4 1 i 1<br />
8i<br />
<br />
1<br />
z 4 4i 1<br />
8i<br />
1<br />
<br />
<br />
១០.រំល ងជ ំវិញគ ់រប្មុយននរលង់ក ំផ្លិច<br />
z2<br />
4 4i 1 8i<br />
=><br />
z<br />
5 12i<br />
1<br />
<br />
z2<br />
<br />
<br />
3 4i<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
wcos<br />
isin<br />
ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិល ផច ិត O និងម ំ θ ម ុះ<br />
ហគបាន<br />
<br />
z' w z cos<br />
isin<br />
z<br />
ឧទាហរណ៍១៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)<br />
<br />
ហគឲ្យចំណុ ច M ជាចំណុ ចរូភាពម្ន<br />
z <br />
3 i<br />
។<br />
ចូរក្ំណត់<br />
z ' ហោយែឹងថា M′(z′)<br />
ជារូ ភាពម្ន M តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = π 12 ។<br />
ចហមៃើយៈ ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = π 12<br />
ហនាោះហគបាន<br />
<br />
z ' cos isin<br />
z<br />
12 12 <br />
ហោយ<br />
3 1<br />
z 3 i 2( i ) 2(cos <br />
isin )<br />
2 2 6 6<br />
ហគបាន<br />
<br />
z' 2cos( ) isin( ) <br />
12 6 12 6 <br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z' 2cos isin<br />
<br />
4 4<br />
ឧទាហរណ៍១៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)ហគឲ្យចំណុ ច M ជាចំណុ ចរូភាពម្ន<br />
z 1i<br />
3<br />
។<br />
ចូរក្ំណត់<br />
z ' ហោយែឹងថា M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M តាម ំដលងវ ិលផច ិតO និងមុំ θ = 2π 3<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
17
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ចមមលើយៈ ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = 2π 3<br />
ហនាោះហគបាន<br />
ហោយ<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
2<br />
<br />
z ' cos isin<br />
z<br />
3 3 <br />
1 3 <br />
z 1 i 3 2( i ) 2cos( ) isin( ) <br />
2 2 3 3 <br />
2 2 <br />
z' 2cos( ) isin( ) <br />
3 3 3 3 <br />
<br />
z' 2cos isin<br />
<br />
3 3<br />
១១.ទប្មង់អិចស្ ៉ូណង់លសែ<br />
ក. េូបម្នតអឹផ្ល (Euler’s formula)<br />
ននចំនួនក ំផ្លិច<br />
ទរមង់អឹដល<br />
e ix<br />
cos x i sin x<br />
ដែល x ជាមុំហហើយ<br />
e 2,7182...ជាហគ្នលហោោរ ីតហនដព<br />
-សរមាយ ញ្ជា ក្់ហោយហរ ើសមីោរឌីហផរ ង់ដសយលលំោ ់ទីមួយៈ<br />
ហគតាងអនុគមន៍<br />
g( x)<br />
cos x i sin x<br />
ហគមាន g'<br />
( x)<br />
sin<br />
x i cos x<br />
គុណអង្ទាំពីរនិង<br />
ហគបាន<br />
g( x)<br />
ig'(<br />
x)<br />
0<br />
ig'<br />
( x)<br />
i<br />
sin x cos<br />
i ហគបានx<br />
ជាសមីោរឌីហផរ ងដសយលលំោ ់មួយ<br />
ចហមៃើយទូហ<br />
ម្នសមីោរគឹ<br />
g(<br />
x)<br />
<br />
ix<br />
ke<br />
ហ ើ<br />
x 0<br />
ហនាោះ<br />
g(0)<br />
k<br />
ដត<br />
g( 0) cos0 isin 0 1<br />
ហនាោះ<br />
k 1<br />
ហគបាន<br />
g(<br />
x)<br />
e<br />
ix<br />
។<br />
ែូចហនោះ<br />
e ix<br />
cos x isin<br />
x<br />
ខ. ទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />
រគ ់ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z a bi<br />
ទរមង់រតីហោណមារតគឹ<br />
ដែល<br />
r <br />
a<br />
ទរមង់ z re<br />
2<br />
i<br />
b<br />
2<br />
ដែល<br />
a, b ជាចំនួនពិតអាចសរហសរជា<br />
z r(cosx<br />
isin<br />
x)<br />
<br />
a<br />
,cos<br />
, sin<br />
<br />
r<br />
b<br />
r<br />
។<br />
i<br />
re<br />
ហៅថាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយលម្ន z a bi ។<br />
គ. ទំ ក់ទនងអន គមន៍ទ្ត្ីមោណមាទ្ត្<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
18
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងមាន<br />
e ix<br />
cos x isinx<br />
ជំនួស x ហោយ<br />
x<br />
ហគបាន<br />
<br />
e ix<br />
cos( x)<br />
isin(<br />
x)<br />
cos x isin<br />
x<br />
( 2)<br />
ូក្សមីោរ<br />
ហគទាញបាន<br />
(1) និង<br />
e<br />
cos x <br />
(2)<br />
ix<br />
ហគបាន<br />
e<br />
2<br />
ix<br />
ែក្សមីោរ ( 1)<br />
និង ( 2)<br />
ហគបាន<br />
ហគទាញបាន<br />
ដូចមនុះ<br />
ឃ.ទំ<br />
e<br />
sin x <br />
e<br />
cos x <br />
ix<br />
ix<br />
e<br />
2<br />
e<br />
2i<br />
ix<br />
;<br />
ix<br />
។<br />
e<br />
។<br />
e<br />
ix ix<br />
<br />
e<br />
e<br />
ix ix<br />
<br />
e<br />
sin x <br />
ix<br />
e<br />
2i<br />
2cos x<br />
2i<br />
sin x<br />
ix<br />
រូ មនតហនោះពិតដតចំហរោះ x ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ។<br />
ហយើងមាន<br />
ក់ទំនងជាមួយអន គមន៍អីចពបូលិក<br />
e<br />
cos x <br />
ជំនួស x ហោយ ix<br />
e<br />
sin( ix)<br />
<br />
មយ ងវ ិញហទៀត<br />
<br />
e<br />
cosh x <br />
x<br />
ix<br />
e<br />
2<br />
ix<br />
e<br />
sin x <br />
ix<br />
e<br />
ហគបាន cos( ix)<br />
<br />
x<br />
e<br />
2i<br />
x<br />
e<br />
cosh x <br />
e<br />
2<br />
x<br />
e<br />
i<br />
x<br />
cos x<br />
e<br />
2<br />
x<br />
x<br />
និង<br />
e<br />
2<br />
x<br />
និង<br />
x<br />
e<br />
2i<br />
e<br />
2<br />
ix<br />
x<br />
isinh<br />
x<br />
e<br />
sin x <br />
e<br />
sinh x <br />
x<br />
cosh x និង<br />
x<br />
e<br />
2<br />
e<br />
2<br />
x<br />
x<br />
isin<br />
x<br />
ឧទាហរណ៍ ៖ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមជាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយល<br />
ក<br />
ក<br />
z 1 3i<br />
;<br />
ខ<br />
2016<br />
1i<br />
<br />
z 1 cos i sin ; គ z ; ឃ<br />
3 3 1<br />
i <br />
ចមមលើយ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមជាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយល<br />
z 1<br />
1<br />
3i<br />
2<br />
<br />
2<br />
3 <br />
i<br />
2cos<br />
sin <br />
2 6 6 <br />
<br />
2 i<br />
e<br />
<br />
6<br />
<br />
z sin i cos<br />
6 6<br />
ខ<br />
<br />
z 1 cos i sin<br />
3 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
19
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ<br />
ឃ<br />
ហោយ<br />
<br />
<br />
1<br />
cos 2cos<br />
3<br />
2cos<br />
<br />
,sin 2sin cos<br />
6 3 6 6<br />
2 <br />
<br />
i2sin<br />
cos 2cos cos<br />
isin<br />
<br />
6 6 6 6 6 6 <br />
2 <br />
6<br />
z<br />
<br />
z <br />
<br />
<br />
7<br />
7<br />
<br />
2cos<br />
isin<br />
<br />
<br />
2016 7<br />
2016<br />
i<br />
4<br />
1<br />
i <br />
<br />
4 4<br />
<br />
e<br />
i3024<br />
<br />
<br />
e<br />
2016 <br />
1<br />
i <br />
i<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2cos<br />
isin<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
z sin icos<br />
cos isin cos isin<br />
6 6 2 6 2 6 3 3<br />
ឧទាហរណ៍ ៖ ហោោះរាយសមីោរខាងហរោមក្ន ុងចំនួនក្ុំផៃ ិច ។<br />
ក<br />
cos x 2<br />
ខ<br />
sin x 3<br />
<br />
<br />
<br />
2016<br />
ចមមលើយ ហោោះរាយសមីោរខាងហរោមក្ន ុងចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ix ix<br />
e e<br />
ក cos x 2 តាមរូ មនតអឺដល cos x <br />
2<br />
ខ<br />
ហគបាន<br />
e ix e<br />
ix<br />
2<br />
ហគបានសមីោរ<br />
ចំហរោះ<br />
ចំហរោះ<br />
t<br />
2<br />
2<br />
'<br />
4 1<br />
3<br />
t<br />
t<br />
sin x 3<br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
ហគបាន<br />
3<br />
ឬ<br />
e ix e<br />
ix<br />
4t<br />
1<br />
0<br />
3<br />
ហគបាន ញស<br />
ហគបាន<br />
e ix<br />
4 0<br />
t<br />
2<br />
1<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
e<br />
3 i<br />
2ix<br />
ix<br />
ឬ e 4e<br />
1<br />
0 តាង<br />
3<br />
;<br />
t<br />
2<br />
2<br />
<br />
3<br />
e<br />
<br />
i3024<br />
<br />
i<br />
3<br />
e<br />
ix<br />
t e<br />
2 3 ix ln(2 3) x i<br />
ln(2 <br />
ហគបាន e ix 2 3 ix ln(2 3) x i<br />
ln(2 3)<br />
តាមរូ មនតអឺដល<br />
e<br />
ix<br />
ix<br />
e<br />
2i<br />
2<br />
ហគបានសមីោរ t 6t<br />
1<br />
0<br />
3<br />
e<br />
e<br />
sin x <br />
2ix<br />
ix<br />
6e<br />
ix<br />
e<br />
2i<br />
ix<br />
1<br />
0<br />
តាង<br />
ix<br />
t e<br />
' 9 1<br />
10<br />
ហគបាន ញស t 3<br />
10 (3<br />
10)<br />
; 3 10<br />
1 t <br />
2<br />
ចំហរោះ<br />
ចំហរោះ<br />
t<br />
t<br />
(3<br />
1<br />
<br />
10)<br />
ហគបាន<br />
e (3 10) (3 10) e e<br />
ix i iln(3<br />
10)<br />
ix i<br />
ln(3 10) x iln(3 10)<br />
3<br />
2<br />
<br />
10<br />
ហគបាន e (3 10) (3 10) e e<br />
ix i iln(3<br />
10)<br />
ix i<br />
ln(3 10) x iln(3 10)<br />
១២. ប្រមាណវិធីចំនួនក ំផ្លិចតាមទប្មង់អិចស្ ៉ូណង់លសែ<br />
ក. ទ្បមាណវិធីគ ណចំនួនក ំផ្លិចតាមទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />
3)<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
20
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z re<br />
i<br />
i<br />
និង w pe ដែល r 0;<br />
p 0 ហហើយ; ជាចំនួនពិត ។<br />
ហគបាន<br />
i<br />
z.<br />
w re<br />
<br />
i<br />
. pe<br />
<br />
rpe<br />
i(<br />
<br />
)<br />
។<br />
ខ. ទ្បមាណវិធីចចកចំនួនក ំផ្លិចតាមទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z re<br />
i<br />
និង<br />
w <br />
pe<br />
i<br />
ដែល<br />
r 0;<br />
p 0<br />
ហហើយ<br />
; ជាចំនួនពិត ។<br />
ហគបាន<br />
z<br />
w<br />
<br />
r i<br />
e<br />
p<br />
( )<br />
១៣.អន វរតន៍ចំន៉ូនក ំផ្លិចកន ងប្រីលោណមាប្រ<br />
ក. េូបម្នតម្ ំឌ ប<br />
ហគទាញ<br />
ហហើយ<br />
ែូចហនោះ<br />
ខ.េូបម្នតម្ ំម្ទីប<br />
ហគមាន<br />
ចំហរោះរគ ់់ចំនួនពិតx ហគមាន cos<br />
ហគបាន<br />
2<br />
cos<br />
e<br />
x <br />
ix<br />
e<br />
2<br />
ix ix 2<br />
2ix 2ix<br />
e e e e<br />
x <br />
<br />
2 4<br />
2<br />
cos2x2cos x<br />
1<br />
e e e e e e<br />
sin 2x<br />
2 <br />
2i<br />
2i<br />
2<br />
2ix 2ix ix ix ix ix<br />
sin 2x 2sin xcos<br />
x<br />
3<br />
cos<br />
ហនាោះហគបាន<br />
ហគទាញបាន<br />
ហហើយ<br />
e<br />
x <br />
<br />
ix<br />
e<br />
2<br />
ix<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
ix<br />
; sin<br />
e<br />
x <br />
ix<br />
e<br />
2i<br />
ix<br />
2ix<br />
2ix<br />
1 e e 1 1 1<br />
cos 2x<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
3ix 3ix ix ix<br />
( e e ) 6( e e<br />
)<br />
3ix 3ix ix ix<br />
2 <br />
e e 3( e e )<br />
<br />
2 2<br />
8 8<br />
2cos3x 6cos x cos3x 3cos<br />
x<br />
<br />
<br />
8 4<br />
3<br />
4 cos cos 3 3cos<br />
x x x<br />
2<br />
cos3 4cos 3cos<br />
3<br />
sin<br />
x x x<br />
e<br />
x <br />
<br />
ix<br />
e<br />
2i<br />
ix<br />
ហគទាញបាន sin3x = 3sinx − 4sin 3 x ។<br />
គ.េូបម្នតផ្លបូក និង ផ្លដកននម្ ំពីេ<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3ix 3ix ix ix<br />
( ) 3( ) 2 sin 3 6 sin<br />
e e e e i x i x<br />
<br />
8i<br />
4<br />
ហគមាន<br />
i( ab)<br />
ai bi<br />
e e e រគ ់ចំនួនពិត a និង b ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
21
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហោយ<br />
ហហើយ<br />
ែូនហនោះ<br />
ai bi<br />
e e (cosa isin a)(cosb<br />
isinb)<br />
ai bi<br />
e e (cosa cos a isina sin b) i(sina cosb sinbcos a)<br />
i( ab)<br />
e a b i a b<br />
cos( ) sin( )<br />
cos( a b) cos acosb sin asinb<br />
sin( a b) sin acosb sinbcos<br />
a<br />
i<br />
មយ ងហទៀត ( ab ) ai bi<br />
e e e រគ ់ចំនួនពិត a និង b ។<br />
ហោយ<br />
ai bi<br />
e e (cosa isin a)(cosb<br />
isinb)<br />
ai bi<br />
e e (cosa cos a isina sin b) i(sina cosb sinbcos a)<br />
ហហើយ<br />
i( ab)<br />
e a b i a b<br />
cos( ) sin( )<br />
a b a b a b<br />
ែូនហនោះ cos( ) cos cos sin sin<br />
sin( a b) sin acosb sinbcos<br />
a<br />
ឃ. េូបម្នតបំផ្លងពីផ្លគ ណ រៅផ្លបូក<br />
<br />
e e e e<br />
cosacosb<br />
<br />
2 2<br />
ែូនហនោះ<br />
ia ia ib ib<br />
e e e e<br />
<br />
4<br />
i( ab) i( ab) i( ab) i( ab)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
i( ab) i( ab) i( ab) i( ab)<br />
1 e e e e<br />
1 [cos( a b ) cos( a b )]<br />
1<br />
sin asin b [cos( a b) cos( a b)]<br />
2<br />
១៤.អន វរតន៍ចំនួនក ំផ្លិចកន ងស្ ីរននចំនួនពិរ<br />
<br />
ចំហរោះសា ុីតម្នចំនួនពិត (<br />
ដែល<br />
a,<br />
bIR<br />
សមីោរសមា្ ល់ម្នសា ុីត<br />
ក្ន ុងក្រណី<br />
ឬ<br />
r2 a' b'<br />
i<br />
ហែើមបីគណនា(<br />
តាងសា ុីតជំនួយ<br />
<br />
u au bu<br />
u n ) ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ទំនាក្់ទំនងក្ំហណើ ន<br />
2 1 n<br />
2<br />
r ar b<br />
2<br />
( a) 4b<br />
0<br />
n<br />
2<br />
ឬ r ar b<br />
0<br />
ហនាោះសមីោរមានឬសជាចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ r 1<br />
a' b'<br />
i<br />
ដែល<br />
។<br />
a', b'<br />
IR<br />
u n ) ហគរតូវអនុវតតន៍ែូចតហ ៖<br />
z a ra<br />
n<br />
n1<br />
1<br />
n<br />
n<br />
<br />
<br />
នាទ ់រាយថា z n ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនូនក្ុំផៃ ិច<br />
ចុងហរោយគណនា z n នឹងទាញរក្ ( u n ) ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
22
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧទាហេណ៍ ១ ៖ ហគមានសា ុីតម្នចំនួនពិត (<br />
u1 1<br />
ចរម្លើយ ៖ គណនា<br />
ដែល<br />
u n<br />
u n ) ក្ំណត់ហោយ<br />
n {0,1,2, } ។ ចូរគណនា<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />
u n<br />
u u u<br />
n2 n1 n<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />
។<br />
ដែល<br />
u0 0<br />
នឹង<br />
ហយើងមាន<br />
ហនាោះហយើងបាន<br />
តាងសា ុីតជំនួយ<br />
u u u<br />
n2 n1 n<br />
1<br />
3 i <br />
ហនាោះ zn<br />
1<br />
<br />
. z<br />
2 <br />
<br />
ហោយ<br />
ហគបាន<br />
នឹង<br />
ហនាោះសមីោរសមា្ ល់<br />
1<br />
3i<br />
1<br />
3i<br />
r1 ; r2<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
3i<br />
<br />
z u ru u <br />
u<br />
2 <br />
<br />
n n1 1 n n1<br />
n<br />
r<br />
2<br />
r1<br />
ឬ<br />
r<br />
2<br />
r1<br />
0<br />
2<br />
( 1) 4 3<br />
1 3i 1 3i 1<br />
3i<br />
<br />
z u u u u u u u<br />
2 2 2 <br />
<br />
n1 n2 n1 n1 n u1 n1<br />
n<br />
1 3i <br />
2 1 3i 1 3i 1<br />
3 i <br />
u u u u . z<br />
2 <br />
<br />
1<br />
3i<br />
<br />
2 2 2 <br />
<br />
n<br />
,<br />
z n<br />
1<br />
3i<br />
<br />
q cos isin<br />
2 3 3<br />
n1 n n1<br />
n n<br />
ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />
ហនាោះ<br />
1<br />
3i<br />
<br />
z0 u1 <br />
u0<br />
1<br />
2 <br />
<br />
n n n<br />
zn<br />
z0 q cos isin cos isin<br />
3 3 3 3<br />
1<br />
3 <br />
zn u n1<br />
i un<br />
2 2 <br />
<br />
តាម(១)នឹង(២) ហគបាន<br />
ហផទៀងផ្ទទ ត់ ៖<br />
ែូចហនោះ<br />
u<br />
n<br />
u<br />
0<br />
<br />
(២)<br />
n<br />
3 n<br />
2 n<br />
un<br />
sin un<br />
sin<br />
2 3 3 3<br />
2 0<br />
sin 0<br />
3 3<br />
ពិត នឹង<br />
2 n<br />
sin , n<br />
0,1,2,...<br />
3 3<br />
u<br />
1<br />
<br />
2 sin 1<br />
3 3<br />
ឧទាហេណ៍ ២ ៖ ហគពិនិតយសា ុីតម្នចំនួនពិត( u n<br />
) ក្ំណត់ហោយ u 1<br />
0, u 2<br />
1 នឹង<br />
u 2u 2u<br />
n2 n1<br />
n<br />
n<br />
IN<br />
n <br />
។ ចូរគណនា<br />
ចំរលើយ ៖ គណនា u ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />
u n<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន n ។<br />
ហយើងមាន un2 un<br />
1 un<br />
នឹង u 1<br />
0, u 2<br />
1; n<br />
IN<br />
(១)<br />
ពិត<br />
1<br />
3i<br />
q <br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
23
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
សមីោរសមា្ ល់<br />
មាន<br />
តាងសា ុីតជំនួយ<br />
ហោយ<br />
ហនាោះ<br />
z n<br />
ហគបាន<br />
ហនាោះ<br />
ដត<br />
r<br />
2<br />
2r 2 ឬ<br />
2 2<br />
8 4 0<br />
r<br />
2<br />
ហនាោះ<br />
2r 2 0<br />
z u ru u i u<br />
2<br />
2i<br />
r1<br />
1 i<br />
2 <br />
2<br />
2i<br />
r2<br />
1 i<br />
2<br />
n n1 1 n n1 1 n<br />
<br />
<br />
<br />
z 2u 2u 1 i u (1 i) u 1 i u <br />
<br />
<br />
1 i z<br />
n1 n1 n n1 n1<br />
n n<br />
ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច មានហរសុង<br />
2 2 <br />
q 1 i 2 <br />
i 2 cos i sin<br />
2 2 <br />
4 4 <br />
n<br />
z<br />
n<br />
n1<br />
n1<br />
n1 <br />
2<br />
q1i<br />
និង <br />
z u 1i u 1<br />
1 2 1<br />
<br />
n1 n1<br />
<br />
zn<br />
z1<br />
q 2 cos isin 2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
n<br />
n1<br />
n1<br />
n<br />
1 1 <br />
2 2<br />
2 cos i2 sin <br />
4 4 <br />
z u iu<br />
n1 1<br />
n<br />
(២)<br />
តាម(១)នឹង(២) ទាញបាន<br />
ែូហចនោះ<br />
u<br />
n<br />
<br />
u n<br />
n 1<br />
n 1 <br />
2<br />
2 sin<br />
<br />
<br />
<br />
4 <br />
<br />
n1<br />
(n 1)<br />
2<br />
<br />
2 sin <br />
4 <br />
n<br />
IN<br />
, ហផទៀងផ្ទទ ត់<br />
(១)<br />
u1 0<br />
ពិត<br />
u2 1<br />
ពិត<br />
១៥.អន វរតន៍ចំនួនក ំផ្លិចកន ងរលងធរណី មាប្រ<br />
ក.ចមាា យេវាងពីេចំណច<br />
z x y i នឹង<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />
1 1 1<br />
z x y i<br />
2 2 2<br />
តាង A នឹង B ជាចំណុ ចម្ន z 1<br />
នឹង z<br />
2<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ( xoy )។<br />
2 2<br />
ហគបាន AB = x x y y <br />
2 1 2 1<br />
ហហើយ z z x x i y y <br />
2 1 2 1 2 1<br />
y 1<br />
A<br />
x 1<br />
B<br />
2 2<br />
ហនាោះ z z x x y y <br />
2 1 2 1 2 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
24
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2 2<br />
ែូហចនោះ AB z z x x y y <br />
, x,<br />
y IR ។<br />
2 1 2 1 2 1<br />
ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />
ចរម្លើយ ៖ រក្រ ដវង AB<br />
z1 12i<br />
A, B ជាចំណុ ចរូ ហរៀងគ្នន ម្ន<br />
ហគបាន AB<br />
<br />
z<br />
z<br />
2 1<br />
2<br />
6i<br />
<br />
<br />
z1,<br />
z2<br />
នឹង<br />
z2 z1 1 2i 3<br />
4i<br />
2 2<br />
z2 z1 3 4 5<br />
ែូហចនោះ AB = 5 ឯក្តារ ដវង<br />
ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />
z a i<br />
1<br />
1<br />
ក្ន ុង ៃង់ចំនួនក្ុំផៃ ិច <br />
xoy<br />
z2 2<br />
6i<br />
។ រក្រ ដវង AB។<br />
និង<br />
ហគតាង A នឹង B ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />
1<br />
នឹង<br />
ចូរក្ំណត់តម្មៃ<br />
ចរម្លើយ ៖ ក្ំណត់តម្មៃ a<br />
ហោយ AB<br />
ហនាោះ<br />
<br />
2 1<br />
z<br />
a<br />
ហែើមបីឲ្យចមាា យABខៃ ី ំផុត។<br />
z<br />
2 1<br />
ហហើយ<br />
<br />
<br />
ហហើយ<br />
z2 3 i 6 a , a IR<br />
z 2<br />
។<br />
<br />
<br />
z2 z1 3 i 6 a 2 a i 1 a i(5 a)<br />
2 2 2 2<br />
z z 1 a 5 a 1 2a a 25 10a a<br />
2<br />
2<br />
2a 12a 26 2 a 3 8<br />
<br />
ហែើមបីបាន AB ខៃ<br />
ែូចហនោះ ចំនួនពិត<br />
ី ំផុតោលឲ្យ 2<br />
<br />
<br />
a 3 0<br />
a 3 ហនាោះរ ដវងABខៃ<br />
ហនាោះ<br />
ី ំផុត<br />
a 3<br />
ខ.ចំណចផ្ចកកែ ងអងកត់តាម្ផ្លរធៀបម្ួយ<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច xoy ហគតាងA នឹង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ជាចំណុ ចមានអាហាិច<br />
ចំណុ ចដចក្ក្ន<br />
z p<br />
ជា<br />
ុងម្នអងកត់AB<br />
ហ ើ Q ជាចំណុ ចហរៅម្នអងកត់<br />
ហគមាន<br />
<br />
QA z<br />
A<br />
z<br />
Q<br />
<br />
នឹង<br />
ហគបាន <br />
តាមផលហធៀ មួយ nn , 0<br />
<br />
<br />
AB តាមផលហធៀ<br />
<br />
QB z<br />
B<br />
z<br />
z z n z z nz nz<br />
A Q B Q B Q<br />
Q<br />
<br />
n<br />
z A<br />
នឹង<br />
ហនាោះQA nQB<br />
z B<br />
យក្ P<br />
zQ nzQ nzB zA<br />
zA<br />
nzB<br />
ែូចហនោះ zQ<br />
, n0<br />
1<br />
n<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
25
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
សមាគាល់ ៖ ក្រណី<br />
ហគបាន<br />
n 1 ហនាោះ P ជាចំណុ ចក្ណាត លម្នអងកត់<br />
z<br />
p<br />
z<br />
<br />
A<br />
z<br />
2<br />
គ.ចំណចផ្ចករម្ៅអងកត់តាម្ផ្លរធៀបម្ួយ<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />
xoy<br />
យក្ Q ជាចំណុ ចមានអាហាិច<br />
តាមផលហធៀ<br />
nn , 0<br />
។<br />
B<br />
។<br />
ហគតាង A នឹង B ជាចំណុ ចរូ ភាពម្ន<br />
AB<br />
z Q<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្ន <br />
AB<br />
ហ ើ Q ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់ តាមផលហធៀ<br />
ហគមាន<br />
ហគបាន<br />
ហនាោះ<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
QA z z , QB z z<br />
A Q B Q<br />
<br />
z z n z z nz nz<br />
A Q B Q B Q<br />
zQ nzQ nzB zA<br />
z<br />
Q<br />
zA<br />
nz<br />
<br />
1<br />
n<br />
B<br />
<br />
, n0<br />
n<br />
<br />
AB<br />
z A<br />
<br />
<br />
នឹង<br />
ហនាោះ QA nQB<br />
ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានពីរចំណុ ច A នឹង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
P ជារូ ភាពម្ន<br />
z P<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្ន <br />
ចរម្ល ើយ ៖ ក្ំណត់<br />
ហយើងមាន<br />
zA<br />
ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្ន <br />
AB<br />
z P<br />
នឹង<br />
27i<br />
តាមផលហធៀ<br />
z Q<br />
នឹង<br />
zB<br />
AB<br />
1<br />
i<br />
ហោយ P ជារួ ភាពម្ន z P<br />
ជាចំណុ ចដចក្ក្ន<br />
ហនាោះ<br />
z<br />
p<br />
តាមផលហធៀ<br />
2<br />
m <br />
3<br />
ុង <br />
1<br />
2 7i 1<br />
i<br />
z<br />
<br />
A<br />
nzB<br />
3 5 22i<br />
<br />
1<br />
n<br />
1<br />
1<br />
4<br />
3<br />
។ ចូរក្ំណត់<br />
1<br />
n <br />
3<br />
AB តាមផលហធៀ<br />
zA<br />
z P<br />
នឹង<br />
z B<br />
27i<br />
នឹង<br />
zB<br />
នឹង Q ជារូ ភាពម្ន<br />
z Q<br />
។<br />
1<br />
n <br />
3<br />
1<br />
i<br />
z Q<br />
។<br />
ហោយ Q ជារួ ភាពម្ន z Q<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅ AB តាមផលហធៀ<br />
ហនាោះ<br />
z<br />
Q<br />
2<br />
2 i 1<br />
i<br />
z<br />
<br />
A<br />
mzB<br />
3 8 19i<br />
1<br />
m<br />
2<br />
1<br />
3<br />
<br />
1<br />
m <br />
3<br />
ែូហចនោះ<br />
zP<br />
5 11<br />
i នឹង zQ<br />
8<br />
19i<br />
4 2<br />
ឃ. ផ្លរធៀបម្ជ្ុងនឹង ម្ ំននម្តីរកាណកែ ងប្លង់<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
26
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />
សង់វុ ិចទ័រ<br />
ABC<br />
ហគបាន<br />
ហគមាន<br />
OB '<br />
xoy<br />
AB<br />
ហគមាន ីចំណុ ច A, B, C ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
នឹង<br />
ជារតីហោណ ុនគ្នន ហនាោះ<br />
OB AB z z<br />
<br />
B<br />
A<br />
<br />
OC '<br />
AC<br />
ហនាោះហគបាន<br />
BAC B 'OC'<br />
នឹង<br />
B 'OC' xOC xOB<br />
'<br />
zC z <br />
A<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
<br />
ែូចហនោះ ហ ើ<br />
<br />
។<br />
OC AC z z<br />
' <br />
C<br />
<br />
A<br />
ឬ<br />
ហហើយផលហធៀ រជុង<br />
, ,C <br />
A z B z z<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
AB z z<br />
A B C<br />
B<br />
A<br />
A<br />
នឹង<br />
<br />
OB ' C '<br />
នឹង<br />
<br />
BAC arg z z arg z z<br />
AC z z z z<br />
<br />
AB z z z z<br />
C A B A<br />
C A C A<br />
B A B A<br />
ហងក ើតបានជារតីហោណ ABC ហនាោះហគបាន ៖<br />
zC z <br />
A<br />
BAC<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
<br />
។<br />
zA, zB,<br />
zC<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
27
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧទាហេណ៍ ទី ៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />
xoy<br />
ហគហអាយ ីចំណុ ច A ,B ,C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />
zA<br />
2<br />
i<br />
z 34i<br />
B<br />
នឹង<br />
zC<br />
2<br />
9i<br />
ចរម្លើយ ៖ គណនាផលហធៀ រជុង<br />
ហោយ<br />
ហយើងមាន<br />
ែូហចនោះ<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
AB z z<br />
z<br />
z<br />
C<br />
B<br />
B<br />
A<br />
A<br />
នឹង<br />
។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង<br />
AC<br />
AB<br />
នឹង<br />
BAC<br />
zC z <br />
A<br />
BAC<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
AC<br />
AB<br />
នឹង<br />
BAC<br />
z 2 9 2 4 8 1 3<br />
C<br />
z i i i i<br />
A<br />
20 20i<br />
2 2 <br />
2 2i 2 2<br />
i<br />
zB<br />
zA<br />
3 4i 2 i 1 3i 1 3i<br />
10 2 2 <br />
<br />
zA<br />
<br />
2 2 cos isin<br />
<br />
z 4 4<br />
A<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
AB z z<br />
ង. សំណំ ចំណចកែ ងប្លង់ក ំផ្ល ិ ច<br />
B<br />
A<br />
A<br />
2 2<br />
នឹង<br />
zC<br />
z <br />
A<br />
<br />
BAC<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
4<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិចរ ក្ ហោយតរមុយអរតូណមាល់<br />
ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z x iy<br />
<br />
0, i,<br />
j<br />
<br />
។<br />
ហគតាងចំណុ ច<br />
<br />
P x,<br />
y<br />
។ សំណុំ ម្នរូ ភាព P<br />
ទាំងអស់ដែលអាចមានហ តាមលក្ខណឌ ដែលរតូវ ំហពញ ម្ន z ហងក ើតបានជាសំណុំ ចំណុ ចម្ន P<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច។<br />
ឧទាហេណ៍ ទី១ ៖ ហគហអាយចំនួនក្ុំផៃ ិច z ហផទៀងផ្ទទ ត់<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ<br />
x0y<br />
ិច <br />
ចរម្លើយ ៖ រក្សំណុំ ចំណុ ចម្ន P<br />
តាង z x iy នឹង<br />
z x iy<br />
។ រក្សំណុំ ចំណុ ចម្ន P ។<br />
ហនាោះ1 i z 1 i<br />
z 4<br />
i x iy i x iy<br />
1 1 4<br />
x iy ix y x iy ix y 4<br />
2x 2y 4 ហនាោះ y x<br />
2<br />
<br />
1 i z 1 i z 4<br />
ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន P គឺជា នាទ ត់ដែលមានសមីោរ : y x 2<br />
<br />
ដែល P ជារូ ភាពម្នចំនួន z<br />
ឧទាហេណ៍ ទី២ ៖ ហគហអាយចំនួនក្ុំផៃ ិច z ហផទៀងផ្ទទ ត់ z 2 i 3 ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច xoy ។ រក្សំណុំ ចំណុ ច P ។<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
28
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ និងចំលោទ ល<br />
ើចំនួនក ំផ្លិច<br />
១. ំដលងចំនួនខាងហរោមជាចំនួននិមមិត<br />
1. √−9 2. √−64 3. √−121 4. √− 9 25<br />
5. − √−28<br />
២. ំដលងចំនួនខាងហរោមជាចំនួនក្ុំផៃិចដែលមានទរមង់ពិជគណិ ត<br />
1. 4 − √−100 2. − 5 + √−9 3. 2 − √−8 4. − 5 + √−18 6. 1 + √−50<br />
៣.គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />
1.<br />
4.<br />
7.<br />
5 3i 2<br />
i<br />
<br />
9 2i 4 4i<br />
<br />
2<br />
12i<br />
3i<br />
<br />
2.<br />
5.<br />
<br />
1 5i 3<br />
2i<br />
<br />
<br />
6 4i 3 6i<br />
8. 2<br />
2 3i 1 i 2 i<br />
៤.គណនា និងសរមួលលទធផល ជាទរមង់សតង់ោ ៖<br />
<br />
i<br />
1.<br />
13 2i<br />
4.<br />
7.<br />
10.<br />
៥. គណនា<br />
12i 2<br />
i<br />
1<br />
2i<br />
<br />
54i<br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
2<br />
2.<br />
5.<br />
9.<br />
<br />
2 i 2<br />
2 i 2<br />
1<br />
i<br />
<br />
i 3<br />
2i<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
20<br />
2 3 20<br />
1 i 1 i 1 i . . . 1<br />
i<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
105 23 20 34<br />
i i i i<br />
<br />
3.<br />
6.<br />
3.<br />
6.<br />
<br />
20 20<br />
1 i 1<br />
i<br />
2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />
i i i i i i i<br />
8.<br />
<br />
4 2i 5 7i<br />
<br />
<br />
7 3i 3<br />
5i<br />
9. <br />
2<br />
3i<br />
2<br />
1<br />
2i<br />
2 15 3<br />
3i<br />
3i<br />
<br />
2i<br />
1<br />
i 3 <br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
2<br />
1 2i i 4 2i<br />
2<br />
51<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
គ.<br />
ឃ.<br />
2 3 n<br />
En<br />
1 i i i ...<br />
i<br />
2 3 4 n<br />
i i i i ...<br />
i<br />
ចំហរោះ n ≥ 1<br />
ង.<br />
i ( i) ( i) i ( i)<br />
5 7 13 100 94<br />
៦. ក្ំណត់តម្មៃ a និង b ហែើមបីឱ្យសមភាពនីមួយៗខាងហរោមពិត៖<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
29
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1.<br />
5.<br />
8.<br />
a ib 8<br />
6i<br />
<br />
2. 3 4 1<br />
a <br />
a ib 3ia 4b 5 i<br />
<br />
a ib 1i 3<br />
i<br />
ib <br />
6.<br />
9.<br />
៧.ក្ំណត់តម្មៃ x x ហែើមបីឱ្យ 3 i x i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
៨.គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
a3i<br />
ចូរកំណត់តម្លល x និង y គែើលបីឲ្យ<br />
,<br />
3.<br />
<br />
a ib 2 3i 4 i<br />
2 i<br />
a b a b i <br />
1 i<br />
3 <br />
a ib 5 10<br />
i<br />
4 3i<br />
25 25<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
u ( x 1) i( y 2)<br />
au b<br />
0<br />
៩.កំណត់ពីរចំនួនពិត a និង b គ ើគេែឹងថា<br />
១០.គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
z12i<br />
ក. ង្ហា ញថា w z w z<br />
េ. គេឱ្យ<br />
១១. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
ក. ង្ហា ញថា<br />
ខ. ង្ហា ញថា<br />
១២.គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
ក. ង្ហា ញថា<br />
ខ. េណនា<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
និង<br />
ខ.<br />
M i x i y<br />
z23i<br />
z w z w<br />
zw z w<br />
z3i<br />
<br />
។<br />
w53i<br />
និង<br />
b2 16i<br />
4.<br />
<br />
a 2 3b 1 i 7 4i<br />
7. <br />
10.<br />
2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />
a ib 1i<br />
0<br />
1i<br />
1i<br />
ដែល x និង y ជាពីរចំនួនពិត។<br />
2(7 9 i)<br />
(3 i)(1 ia)(1 3 i)(3 2 bi)<br />
<br />
1<br />
i<br />
។<br />
z w z w<br />
។ កំណត់តម្ ល x<br />
និង w5 i ។<br />
និង<br />
និង<br />
n!<br />
! !<br />
z 2<br />
z 1 r n r<br />
w z z 1<br />
និង z w z w<br />
<br />
។ សង់<br />
េ. គេឱ្យ 1 3<br />
១៣. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
ក. ង្ហា ញថា<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
w<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
w<br />
z1 86i<br />
។<br />
w, z,<br />
z<br />
1<br />
។<br />
។<br />
w x y i ។ កំណត់តម្លល<br />
2<br />
z<br />
z2i<br />
w<br />
។<br />
និង<br />
w34i<br />
និង<br />
។<br />
y<br />
គែើលបីឱ្យ<br />
គៅកនង លង់ក ំផ្ល ិច ។<br />
។<br />
x<br />
និង<br />
ខ. ង្ហា ញថា z w z w ។ សង់ w, z, z,<br />
w គៅកនង លង់ក ំផ្ល ិច ។<br />
េ. គេឱ្យ M x y x yi<br />
។ កំណត់តម្ ល<br />
១៤. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច z1 2i<br />
និង<br />
ក. េណនា z w ។<br />
ខ. គេមាន<br />
<br />
z1 1i x 1i y<br />
េ. ង្ហា ញថា z w z w ។<br />
១៥. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />
ក. េណនា<br />
w23i<br />
z 23 i , z 2 i ។<br />
1 2<br />
2<br />
x , y<br />
។<br />
y<br />
។<br />
គែើលបីឱ្យ M z i ។<br />
។ កំណត់តម្ ល x,<br />
yគែើលបីឱ្យ<br />
z , z , z , z z , z z និង z 1<br />
z 2<br />
1 1 2 2 2 1 2<br />
។<br />
។<br />
2<br />
M z w3i<br />
z1<br />
z w<br />
។<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
30
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. គត្ ៀ គ ៀ<br />
េ. ង្ហា ញថា<br />
z<br />
z<br />
1<br />
z 1<br />
<br />
ជាលួយ<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2 2<br />
និង<br />
z 1<br />
និង<br />
2<br />
z 2<br />
z1 z2 z1 z2<br />
ជាលួយ<br />
។<br />
z<br />
z<br />
2 2<br />
គ<br />
ើយ<br />
z<br />
z<br />
1 2<br />
ជាលួយ<br />
z<br />
z<br />
1 2<br />
។<br />
១៦. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្.<br />
z<br />
ដែល<br />
ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន<br />
១៧. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
z<br />
និង<br />
z<br />
z 0 និង<br />
ហសម ើនឹង<br />
z ដែល<br />
<br />
z<br />
1<br />
2 z<br />
z<br />
zz , 0<br />
ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />
<br />
។ ខ.<br />
។<br />
z<br />
។<br />
ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន<br />
z<br />
ហសម ើនឹង<br />
1<br />
2 z <br />
i<br />
z<br />
<br />
<br />
។<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
z z<br />
<br />
z z<br />
និង<br />
2<br />
z<br />
z z<br />
។<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
z<br />
z<br />
<br />
z<br />
z<br />
និង<br />
z z<br />
z z<br />
។<br />
១៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិចមិនសូនយ<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
z1 , z2 , z3 , z4<br />
, . . . , zn<br />
z z z z z z z z<br />
n<br />
។<br />
។<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
z z z . . . z z z z . . . z<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
n<br />
។<br />
១៩. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />
ូដលរ) ។<br />
1.<br />
4.<br />
7.<br />
z 1i<br />
3<br />
z22i<br />
z 3<br />
3i<br />
2.<br />
5.<br />
8.<br />
z 2 3 2i<br />
z <br />
z <br />
5 i 15<br />
6<br />
i 2<br />
3.<br />
6.<br />
9.<br />
z <br />
z <br />
33i<br />
2 i 2<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
២០. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />
1.<br />
5.<br />
10.<br />
6 2 <br />
z 3<br />
i<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
<br />
z <br />
7 i<br />
21<br />
<br />
z 1<br />
2 3 i<br />
<br />
2.<br />
<br />
z 1 3 1<br />
3 i<br />
6. z 3 3 3 3 i<br />
7.<br />
២១. ដមៃងចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់<br />
ូដលរ ៖<br />
3.<br />
ូដលរ) ។<br />
z 5 5 3 i<br />
z 2 2 i 2<br />
4. z 2 3 2 3 <br />
8. z 1 2 i 9.<br />
i<br />
z 2 3<br />
i<br />
<br />
1. z icos sin<br />
2.<br />
3 3<br />
4.<br />
<br />
z 2i sin i<br />
cos<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2sin icos<br />
7 7<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5. z 2i sin i cos<br />
5 5<br />
<br />
<br />
<br />
3.<br />
6.<br />
<br />
z 2 sin icos<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 1<br />
cos isin<br />
7 7<br />
២២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />
<br />
ិច z cos isin<br />
5 5<br />
w x iy ។<br />
និង 4 2<br />
ក្. សរហសរ 1 z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង y ហែើមបីឱ្យ w4 i 3 ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
31
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
២៣. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />
ិច z1 r1 cos1 isin<br />
<br />
1<br />
និង z2 r2 cos2 isin<br />
2<br />
ដែល r1 , 1 , r2 , <br />
2 <br />
ជាគូម្នម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />
ក្.<br />
z , z<br />
1 2<br />
sin <br />
z z r r cos<br />
i <br />
<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
២៤. ក្.ចូររាយ ញ្ជា ក្់ថារូ មនតែឺម័រ <br />
ហរៀងគ្នន ។ចូររាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតខាងហរោម៖<br />
<br />
<br />
n<br />
z r<br />
cos<br />
1 2<br />
sin<br />
1 2<br />
, z2<br />
0<br />
z r <br />
<br />
<br />
1 1<br />
ខ. i <br />
2 2<br />
cos isin cos n isin<br />
n ពិតចំហរោះរគ ់ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />
n<br />
។<br />
ខ.ហោយហរ ើរូ មនតដែលមានរាយរួចខាងហលើ ង្វា ញថាសមភាពខាងហរោមពិត៖<br />
១.<br />
1<br />
cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
២.<br />
<br />
n <br />
sin i cos<br />
cos n isin<br />
n <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
២៥. សរមួលក្ហនោមខាងហរោម៖<br />
1.<br />
4.<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos isin<br />
<br />
cos5 isin5 cos2 isin 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin i cos<br />
២៦. រាយ ញ្ជា ក្់ថាៈ<br />
3<br />
4<br />
7 5<br />
២៧. គណនាតម្មៃម្នក្ហនោមខាងហរោម៖<br />
5.<br />
<br />
<br />
2.<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
4<br />
cos2 isin 2<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin icos<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos 2 isin<br />
<br />
9 9<br />
cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />
4<br />
5<br />
1<br />
3 5<br />
3.<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
icos<br />
<br />
4<br />
1.<br />
1i 14<br />
2.<br />
60<br />
1<br />
i<br />
២៨. គណនា រួចសរហសរជារាង<br />
1.<br />
3 1<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
213<br />
២៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
2.<br />
3.<br />
a ib<br />
3 3<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
z <br />
1<br />
i<br />
។<br />
1 i 3 2014<br />
1969<br />
។<br />
3.<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
4.<br />
154<br />
1<br />
1 i 3 619<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
4.<br />
5 3i<br />
3 <br />
<br />
1<br />
2i<br />
3 <br />
<br />
21<br />
5.<br />
5.<br />
5<br />
i<br />
<br />
<br />
2<br />
3i<br />
<br />
<br />
<br />
2016<br />
<br />
1i<br />
3 <br />
cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ a<br />
និង b<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
<br />
2z 1 i a 1<br />
i b<br />
។<br />
៣០. ហគមាន z1 2 , z2 1 i , z3<br />
1 i 3 ។<br />
ក្. សរហសរ z1 , z2 , z<br />
3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ<br />
គ. សរហសរ<br />
w<br />
z<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
w z z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
2<br />
1 2<br />
32
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឃ. ហគឱ្យ<br />
៣១. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
ខ. សរហសរ<br />
<br />
U x 1 i y 1i<br />
u<br />
និង v<br />
u<br />
w v<br />
u 1i<br />
3<br />
។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />
និង<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos 12<br />
<br />
v1i<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
x,<br />
y<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
w<br />
U z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
និង sin 12<br />
<br />
។<br />
3<br />
។<br />
៣២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
ខ. សរហសរ<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
z<br />
និង w<br />
w<br />
u <br />
z<br />
1200<br />
u<br />
w1i<br />
3<br />
និង<br />
z1i<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ជាចំនួនពិត ។ ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />
7<br />
cos 12<br />
<br />
និង<br />
7<br />
sin 12<br />
<br />
។<br />
៣៣. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
z23i<br />
និង<br />
w5i<br />
។<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
z w<br />
z w<br />
និង<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
ខ. ហគឱ្យ M 3x y 2x yi<br />
។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />
។<br />
xy ,<br />
ហែើមបីឱ្យ M z w<br />
<br />
<br />
គ. សរហសរ<br />
z<br />
M <br />
1<br />
3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចសរហសរ<br />
2014<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
៣៤. ហគឱ្យ<br />
z 1i<br />
3<br />
និង<br />
w22i<br />
។<br />
ក្. សរហសរ z និង w<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. ហគឱ្យ M x 3y x 2yi<br />
។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />
គ. សរហសរ<br />
2012<br />
z<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
x,<br />
y<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
w<br />
M ។<br />
1 i<br />
៣៥. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
និង<br />
<br />
w i cos<br />
i<br />
sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ក្. សរហសរ z និង w<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ<br />
2011<br />
z និង<br />
2012<br />
w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. សរហសរ<br />
2011 2012<br />
P z w ជាទរមង់<br />
ូដលរ ។<br />
៣៦. w និង<br />
z ជាចំនួនក្ុំផៃិច ក្ំណត់ហោយ<br />
w2 2i<br />
3<br />
<br />
និង z 4i cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ U w z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. សរហសរ<br />
2014<br />
w និង<br />
៣៧. ហគមាន z 2 3 2i<br />
2014<br />
z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
និង w 1 3 1 3 <br />
i ។<br />
z<br />
ក្. សរហសរ u ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ ខ. សរហសរ u , z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
w<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
33
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន cos 12<br />
<br />
និង sin 12<br />
<br />
។<br />
៣៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
z 1i<br />
3<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. គណនា<br />
w 1 z z z . . . z<br />
2 3 20<br />
។<br />
៣៩. ហោោះរាយសមីោរខាងហរោម ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច ៖<br />
1.<br />
5.<br />
2<br />
x 2x 2 0 2. x<br />
z<br />
2<br />
3iz<br />
10<br />
6.<br />
2<br />
x 3 0 3. t 1 2<br />
8 0 4.<br />
2<br />
3iz z 2i<br />
0<br />
៤០. ហោោះរាយសមីោរក្ន ុងសំណុំ ក្ុំផៃិច ។<br />
7.<br />
2<br />
z z i<br />
3 3 0<br />
8.<br />
2x 2 2<br />
32 0<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
<br />
5 3 7 4 0<br />
1.<br />
4.<br />
7.<br />
4<br />
x 5x 6 0<br />
2.<br />
<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
4 5 5 0<br />
<br />
3 2<br />
z i z i z i<br />
5.<br />
1 3 6 5 0<br />
3 2<br />
x x x<br />
2<br />
2 3 6 0 3. z 5 2i<br />
z 9 7i<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
7 3 22 7 0<br />
6.<br />
3 2<br />
z z z<br />
(សមីោរមានឫសមួយជាចំនួននិមិតតសុទធ)<br />
3 2<br />
8. z 8 i z 19 11i z 14 18i<br />
0 (មានឫសមួយជាចំនួនពិតសុទធ)<br />
៤១. ហោោះរាយសមីោរ៖<br />
4 6 3 0<br />
1.<br />
2<br />
iz 3 iz 3<br />
3 4 0<br />
z 2i <br />
z 2i<br />
<br />
<br />
2.<br />
3 2<br />
3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />
1 0<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
។<br />
៤២ . ហគមានសមីោរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
2<br />
3 2 7 ។<br />
z i z z i<br />
1. ចូរហោោះរាយសមីោរខាងហលើ ហោយយក្ z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ជាឫសម្នសមីោរដែល<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 2<br />
។<br />
2. សរហសរ<br />
3. គណនា<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
w z z z z ... z<br />
2 3 4 2015<br />
2 1 1 1 1<br />
។<br />
៤៣. ចូរក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />
a<br />
0, a 1<br />
0 1<br />
<br />
an2 an1an<br />
ក្. ត្េ ់ n ខ. ត្េ ់<br />
<br />
a0 0 ; a1<br />
1<br />
េ. ត្េ ់<br />
an2 an<br />
1<br />
an<br />
n <br />
a1 0 ; a2<br />
2<br />
<br />
a 2a 2a<br />
n2 n1<br />
n<br />
n <br />
៤៤. គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម៖<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
34
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
z 1 i , z 2 2i<br />
ក្. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
1 2<br />
z 2 2 i , z 2 3i<br />
ខ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
1 2<br />
z 3 2 i , z 1<br />
i<br />
គ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
1 2<br />
៤៥. ក. ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។ P ជារូ ភាពម្ន<br />
z p<br />
ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។ ចូររក្ និង ។<br />
ខ. ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។ P ជា<br />
z p<br />
រូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
27i<br />
1<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។ ចូររក្ និង ។<br />
3<br />
4<br />
z<br />
p<br />
<br />
z<br />
A<br />
1<br />
4<br />
A<br />
z<br />
p<br />
z<br />
Q<br />
z<br />
B<br />
i<br />
2 2i<br />
3 2<br />
p<br />
<br />
3<br />
Q<br />
p<br />
4<br />
z<br />
2<br />
3<br />
z<br />
B<br />
<br />
ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />
z<br />
Q<br />
z<br />
<br />
Q<br />
i<br />
z<br />
Q<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
35
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ធ្លល រ់លចញប្រឡងឆមាស និង បាក់ឌ រ<br />
១. ក្. ហគឱ្យ<br />
ខ. ហគឱ្យ<br />
២. ក្. ង្វា ញថា<br />
z 1i<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
។ សរហសរ<br />
u x iy , z a ib<br />
ចូរគណនា x និង<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
y<br />
2<br />
z<br />
។<br />
និង<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
3 1 i<br />
4 2 3<br />
<br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ <br />
គ. សរហសរ<br />
z 1<br />
និង<br />
៣. ក្. ក្ំណត់តម្មៃ a និង b<br />
ខ. សរហសរ<br />
៤. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
ខ. សរហសរ<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
z 2<br />
2 1 i<br />
z <br />
3<br />
1<br />
i 3<br />
z<br />
៥. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. រក្ចំនួនពិត<br />
ខ. សរហសរ<br />
៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
ខ. សរហសរ<br />
2002<br />
z<br />
។<br />
E z z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
និង b ហ ើហគែឹងថា<br />
2<br />
: 1 3 2 3 0<br />
ដែលជាឫសម្ន<br />
<br />
E<br />
<br />
u z iz <br />
2<br />
1 1<br />
ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ហែើមបីឱ្យ 2 i ជាឫសម្នសមីោរ<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
<br />
។<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
z 1i<br />
z<br />
ax<br />
2<br />
1<br />
2<br />
bx 20 0<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />
z x iy , a 3i<br />
x និង<br />
y<br />
ហែើមបីឱ្យបាន<br />
z <br />
និង b2 2i<br />
3 ។<br />
a<br />
។<br />
b<br />
ក្រណី ហនោះទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
3 1 i 3 1<br />
z <br />
2<br />
z<br />
2<br />
z<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />
៧. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង y ហែើមបីឱ្យ<br />
។<br />
a<br />
4z<br />
3 i<br />
4<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />
5<br />
cos 12<br />
ន ិង<br />
2xi<br />
y <br />
5<br />
sin 12<br />
។<br />
32i1<br />
i<br />
i1<br />
2i<br />
។<br />
z<br />
។<br />
។<br />
។<br />
។<br />
។<br />
z<br />
z<br />
។<br />
36
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. ហគមាន<br />
៨. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ដែល<br />
xy ,<br />
ក្. សរហសរ<br />
គ. គណនា<br />
៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
១០. ក្. ហគឱ្យ<br />
2<br />
2<br />
zcos<br />
isin<br />
9 9<br />
z<br />
z<br />
x<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
សរហសរ<br />
និង w<br />
។<br />
។ សរហសរ 4<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ដែល<br />
1<br />
z<br />
z 2<br />
2i<br />
3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />
និង<br />
3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ z ជារាង a ib<br />
និង<br />
y<br />
ហ ើ<br />
w<br />
z 3<br />
។<br />
<br />
2cos isin<br />
<br />
12 12<br />
z <br />
<br />
1<br />
<br />
1i<br />
3<br />
2<br />
និង<br />
<br />
z2 1i x 1 y 1<br />
i<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
x<br />
z a ib<br />
zz<br />
A <br />
z<br />
និង<br />
y<br />
ដែល a<br />
2<br />
ហ ើហគែឹងថា<br />
និង b<br />
<br />
2z z y 1 0<br />
1 2<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ជាចំនួនពិតខុសពីសូនយ ។<br />
<br />
(<br />
<br />
w x x i y y i<br />
<br />
z 1<br />
ជាក្ុំផៃ<br />
2<br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ C នូវសមីោរ x 2 3x 4 0 ។<br />
សរហសរ<br />
x 1<br />
និង<br />
x 2<br />
១១. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i<br />
ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />
១២. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />
ខ. រក្ឫស<br />
១៣. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
ខ. គណនា<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
និង b<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
1 i <br />
<br />
។<br />
ិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />
2<br />
ជាឫសម្នសមីោរ x ax b<br />
0 ។<br />
10<br />
x1i<br />
3<br />
x 2<br />
មួយហទៀតម្នសមីោរ ។ សរហសរ<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
2<br />
z<br />
w<br />
2<br />
A z z i<br />
20<br />
A<br />
និង<br />
រួចគណនា<br />
1 3<br />
w i<br />
2 2<br />
z<br />
។ សរហសរ<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
z<br />
2<br />
1<br />
A<br />
។<br />
ជាឫសមួយម្នសមីោរ<br />
x <br />
1<br />
z <br />
x2<br />
<br />
។<br />
។<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
2<br />
x ax b<br />
z 1<br />
)<br />
0<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
។<br />
១៤. ក្. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z<br />
មានម ូឌុលហសម ើនឹង 2<br />
និងអាគុយម ង់ហសម ើនឹង<br />
3<br />
។<br />
សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />
ខ. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
5<br />
5<br />
y2cos isin<br />
។<br />
3 3<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
37
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គណនា z<br />
yហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
១៥. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ<br />
ក្. សរហសរ<br />
ខ. សរហសរ<br />
រក្ x<br />
និង<br />
y z<br />
។<br />
ិចក្ំណត់ហោយ A 3 1 i 3 1<br />
y<br />
A 2<br />
B<br />
និង<br />
x iy<br />
B ដែល<br />
1 i<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ហហើយជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ហោយែឹងថា<br />
១៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច Z a ib និង<br />
១៧. ហគឱ្យ<br />
ក្. គណនា<br />
A<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
<br />
<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
a និង b<br />
គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
រួចគណនា<br />
z<br />
ក្. សរហសរ<br />
w 4<br />
2<br />
2B<br />
A 0<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
<br />
( B<br />
A i 1Z<br />
1 1<br />
w i<br />
2 2<br />
និង b<br />
A<br />
Z<br />
<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន B ) ។<br />
។<br />
រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចដែល<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 i 2 cos isin<br />
6 6<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ ខ. សរហសរ<br />
5<br />
cos 12<br />
<br />
១៨. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z x iy និង<br />
ហហើយ <br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង<br />
ខ. ក្ន ុងលក្ខណឌ<br />
១៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. គណនា<br />
wz <br />
z w<br />
z1i<br />
និង<br />
z<br />
w<br />
x<br />
និង<br />
<br />
5<br />
sin 12<br />
<br />
។<br />
w cosisin<br />
និង<br />
y<br />
ចូរ ង្វា ញថា<br />
និង<br />
w<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
3 i<br />
1<br />
z z<br />
។<br />
។ ខ. សរហសរ<br />
w<br />
z<br />
zw <br />
z 2<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
។<br />
។ គ. រក្<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
x<br />
x និង<br />
និង<br />
y<br />
y<br />
x<br />
និង y ជាចំនួនពិត ។<br />
ជាចំនួនពិត ខុសពីសូនយ<br />
រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ<br />
និង z w ជាទរមង់រត ីហោណមារត ។<br />
z1 , w1<br />
។<br />
២០. សរហសរ<br />
i 2<br />
21<br />
A ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
1 i 3<br />
២១. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
n!<br />
z a ib r ! n r !<br />
<br />
<br />
ដែល ab , ជាចំនួនពិត ។<br />
ក្. រក្តម្មៃ a និង b ហោយែឹងថា 1 1 3 1 3<br />
a ib i i ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
38
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គណនា z<br />
4<br />
ចំហរោះតម្មៃ ab , ដែលរក្ហឃើញ ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
88i<br />
3<br />
w 2 2i<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
1 3<br />
1 3<br />
២២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z i និង w i ។<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
ក្. គណនាក្ហនោម A 1 z z ។ ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. គណនា<br />
z<br />
w<br />
2010 2010<br />
២៣. ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />
។<br />
2<br />
z 2 2 z 4 0<br />
1<br />
ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច C ។<br />
រក្ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្នឫសនីមួយៗរ ស់សមីោរ <br />
ខ. សរហសរ<br />
២៤. ក្. រក្ឫស<br />
ខ. សរហសរ<br />
t , t<br />
1 2<br />
<br />
w <br />
<br />
2<br />
i 2 <br />
2<br />
i 2 <br />
<br />
ម្នសមីោរ<br />
4t<br />
z <br />
t<br />
2<br />
3<br />
1<br />
២៥. ក្. ចូរក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត a<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
2<br />
t<br />
t <br />
2 4 0<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
។ហោយយក្<br />
ហែើមបីឱ្យសមីោរែឺហរក្ទីពីរ<br />
1<br />
។<br />
t 1<br />
ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ។<br />
<br />
<br />
2<br />
x i x a i<br />
1 2 12 0<br />
មានឫសមួយជាចំនួនពិត និងឫសមួយហទៀតជាចំនួនក្ុំផៃ ិច រួចរក្ឫសម្នសមីោរហនោះផង ។<br />
ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ<br />
២៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. គណនា<br />
ខ. សរហសរ<br />
ិច z 1 i 3<br />
1 3<br />
x i<br />
2 2<br />
A x y 2<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />
និង<br />
1 3<br />
y i<br />
2 2<br />
2<br />
និង B x x 1 ។<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />
x<br />
y<br />
2013 2013<br />
2013<br />
z<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
២៧. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
a2 3 2i<br />
និង b 2 i 2 ។<br />
2 2<br />
ក្. សរហសរ z a b 4ai 2b<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. សរហសរ ab , និង ab ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
២៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1<br />
1 i 3 និង z2 1 i 3 ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
39
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្. គណនា<br />
ខ. សរហសរ<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
z z , z z<br />
1 2 1 2<br />
z 1<br />
z 1<br />
២៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
គណនា<br />
និង<br />
និង<br />
z 2<br />
z 2<br />
និង<br />
zz<br />
1 2<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />
z 2 , z i 2 , z i<br />
2<br />
1 2 3<br />
<br />
z z , z z , z z z z<br />
1 2 1 3 1 2 1 3<br />
3<br />
z 80<br />
។<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
40
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
លផ្នកដំលោោះប្ាយ<br />
ំហារ់ទី ១<br />
គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />
1. √−9 2. √−64 3. √−121 4. √− 9 25<br />
5. − √−28<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2<br />
1. 9 9 ( 1) (3 i) 3<br />
2<br />
2. 64 64 ( 1) (8 i) 8<br />
i<br />
i<br />
3.<br />
4.<br />
<br />
2<br />
121 121 ( 1) (11 i) 11<br />
9 9 3 3<br />
( 1)<br />
i<br />
i<br />
25 25 5 5<br />
2<br />
i<br />
2<br />
5. 28 47 ( 1) (2 i) 7 2i<br />
7<br />
ំហារ់ទី ២ ំដ ៃងចំនួនខាងហរោមជាចំនួនក្ុំផៃិចដែលមានទរមង់ពីជគណិ ត<br />
4 100<br />
5 9<br />
2 8<br />
5 18<br />
1. 2. 3. 4 .<br />
<br />
<br />
ចលមលើយ<br />
1.<br />
i 2<br />
4 10 4 100 1 4 10 410i<br />
2. 2<br />
5 9 5 9 1 5 3i<br />
5 3i<br />
3.<br />
4.<br />
i<br />
2 2<br />
2 8 2 24 1 2 2 2 2 2i<br />
2<br />
i<br />
2 2<br />
5 18 5 9 1 2 5 3 2 5 3i<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
41
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1. <br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
5 3i<br />
2 i 5 3 2<br />
<br />
<br />
1 5i 3 2i<br />
1 5 3 2<br />
<br />
<br />
i i<br />
5 2 3i i<br />
<br />
<br />
7 2i<br />
i i 1 3 5 2<br />
4 2i 5 7i<br />
4 2 5 7<br />
<br />
<br />
9 2i 4 4i<br />
9 2 4 4<br />
<br />
i i 4 3i<br />
i i 452i 7i<br />
1 9i<br />
<br />
<br />
<br />
i i 942i 4i<br />
5 2i<br />
<br />
6 4i 3 6i<br />
6 4 3 6<br />
<br />
<br />
i i 6 3 4 6<br />
7 3i 3 5i<br />
7 3 3 5<br />
7. <br />
<br />
<br />
i i 9 2i<br />
i i 7 33i 5i<br />
4 2i<br />
2<br />
i i<br />
<br />
1 2 3<br />
ំហារ់ទី៣<br />
<br />
<br />
<br />
1 4i 4 3<br />
i<br />
2<br />
1 4i 4i 3 i <br />
<br />
8. 2 3i 1 i 2<br />
i 2<br />
គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />
5 3i 2<br />
i<br />
<br />
1. 2. 3.<br />
4. 5. 6.<br />
7. 8. 9.<br />
2<br />
3 4i<br />
3 i<br />
9 3i 12i 4i<br />
2 2i 3i 3i 4 4i i<br />
2i<br />
2<br />
4 i<br />
9. <br />
2<br />
1 5i<br />
3 2i<br />
i i<br />
<br />
9 2 4 4<br />
1 2i i 4 2i<br />
<br />
6 4i<br />
3 6i<br />
2 2<br />
<br />
9 15i<br />
4<br />
2 i<br />
2i<br />
1 4i 4i 4i 2i<br />
2 2<br />
4 2i 5 7i<br />
7 3i 3<br />
5i<br />
<br />
2<br />
12i 3i<br />
2<br />
2 3i 1 i 2 i<br />
<br />
2<br />
1 2i i 4 2i<br />
5 15i<br />
2<br />
<br />
<br />
i<br />
1<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
ំហារ់ទី៤ គណនា និងសរមួលលទធផល ជាទរមង់សតង់ោ ៖<br />
i<br />
13 2i 2 2<br />
i<br />
1. 2. 3. 4. 5. 6.<br />
2 i 2<br />
2<br />
2<br />
3i<br />
1<br />
2i<br />
2<br />
12i<br />
1<br />
i 3 <br />
7. 8. <br />
9. 10.<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
2i<br />
<br />
54i<br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
20<br />
i<br />
1 i 1<br />
i<br />
20 20<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
i 3<br />
2i<br />
2 15 3<br />
3i<br />
3i<br />
<br />
2i<br />
51<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 3 20<br />
1 i 1 i 1 i . . . 1<br />
i<br />
1.<br />
2.<br />
13 2i<br />
i<br />
2 i 2<br />
2 i 2<br />
2<br />
3i<br />
3. 2<br />
1<br />
2i<br />
2<br />
13 2i i<br />
<br />
i i<br />
<br />
13i2i<br />
<br />
2<br />
i<br />
2 i<br />
2 2 i<br />
2<br />
<br />
2 i<br />
2 2 i<br />
2<br />
4 12i9i<br />
<br />
1<br />
2i<br />
2<br />
<br />
5 12i<br />
1<br />
2i<br />
<br />
1 2i<br />
1 2i<br />
13i<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
2 i 2<br />
2<br />
<br />
2 i 2<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2 13i<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
1 2i<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2i<br />
2 2i<br />
<br />
2<br />
2<br />
5 10i 12i 24i<br />
<br />
2<br />
2<br />
i<br />
2<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
4i<br />
4<br />
29 2i<br />
<br />
5<br />
<br />
i<br />
29 2<br />
5 5 i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
42
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4.<br />
12i 2<br />
i<br />
14i4i<br />
<br />
i<br />
2<br />
34i i<br />
<br />
i<br />
i<br />
3i4i<br />
<br />
2<br />
i<br />
2<br />
4<br />
3i<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
ហររោះ<br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
i 3<br />
2i<br />
2 15 3<br />
3i<br />
3i<br />
<br />
2i<br />
3i<br />
2i<br />
<br />
1<br />
i<br />
51<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2i<br />
<br />
54i<br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i 3 <br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
<br />
20<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 3i<br />
1<br />
i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
2 3<br />
3i<br />
<br />
3i<br />
2<br />
2<br />
2 2i 3i<br />
3i<br />
<br />
2 2<br />
1 i<br />
<br />
2 3 <br />
3i<br />
<br />
3i<br />
2 i<br />
<br />
<br />
433<br />
<br />
4123<br />
i<br />
<br />
<br />
12i1<br />
i<br />
1i1i<br />
<br />
<br />
5 4i<br />
<br />
<br />
<br />
13i<br />
<br />
5 4i<br />
<br />
2 <br />
<br />
1i<br />
31i<br />
1i1i<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 i 3<br />
<br />
2<br />
<br />
6i<br />
6<br />
<br />
3i<br />
6i<br />
2<br />
1 i<br />
2i<br />
2i<br />
<br />
5 4i<br />
2 2 <br />
1 i <br />
16i9i<br />
5 4i<br />
<br />
4<br />
1 i<br />
i 3 3 <br />
<br />
2 <br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
1 3 2 1 3 i 1<br />
3<br />
<br />
4<br />
20 20<br />
9. 1 i 1<br />
i<br />
<br />
<br />
10<br />
2<br />
12ii<br />
<br />
<br />
2 <br />
12ii<br />
<br />
10.<br />
<br />
KU<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
1 2i i 1 2i i <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
5 1<br />
2 2 i<br />
86i<br />
5 4i<br />
<br />
4<br />
1 3 1<br />
3<br />
2<br />
4 2 3 4i<br />
4<br />
4<br />
10<br />
2 <br />
10 10<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1i<br />
<br />
<br />
1 i 1 i<br />
1 i <br />
<br />
<br />
10 10<br />
<br />
2 3 20<br />
1i 1i 1 i . . . 1i<br />
ហសម<br />
1 i<br />
ើនឹង <br />
និងហរសុង<br />
q <br />
2<br />
1<br />
i<br />
1<br />
i<br />
<br />
10<br />
2i<br />
<br />
<br />
2i<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
2i 2i<br />
10 10<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
13i<br />
2<br />
<br />
5 4i<br />
<br />
11<br />
<br />
<br />
3<br />
5 4i 2 i 2<br />
i <br />
<br />
<br />
2<br />
2 3 4 4 3<br />
2<br />
<br />
5<br />
3 i 2<br />
i <br />
3 i<br />
4<br />
<br />
<br />
10 10 10 10 10<br />
1 2 i<br />
2 i<br />
1<br />
ជាផល ូក្សា ុីតធរណី មារតមានចំនួន 20 តួ ដែលតួទី 1<br />
។ តាមរូ មនតៈ<br />
S<br />
20<br />
q 1<br />
u<br />
<br />
q 1<br />
20 1<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
q 1<br />
<br />
Sn<br />
u1<br />
q<br />
1<br />
q 1<br />
<br />
<br />
<br />
20<br />
1 i 1 i 1<br />
<br />
<br />
1i<br />
1<br />
<br />
10<br />
1 i2 1<br />
i<br />
1025 1025i<br />
៥. គណនា<br />
ក.<br />
105 23 20 34<br />
i i i i<br />
ខ.<br />
2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />
i i i i i i i<br />
គ.<br />
2 3 n<br />
En<br />
1 i i i ... i<br />
ចំហរោះ n ≥ 1<br />
2 3 4<br />
ឃ. i i i i ...<br />
i<br />
n<br />
ង.<br />
i ( i) ( i) i ( i)<br />
5 7 13 100 94<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
43
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
105 23 20 34 4261 45 3 45 0 48<br />
2<br />
i i i i i i i i i i<br />
( ) 1 ( 1) 2<br />
2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />
i i i i i i i<br />
i i i i i i i<br />
4 504 0 4 503 3 4 500 0 4 499 3 4 50 1 4 20 2 4 11 3<br />
1 ( i) 1 ( i) i ( 1) ( i) 1 i 1 i i 1 i 1<br />
2i<br />
គ.<br />
2 3 n<br />
En<br />
1 i i i ...<br />
i<br />
ចំម<br />
ុះ n ≥ 1<br />
ហោយ E n ជាផល ូក្សា ុីតធរណី មារតដែលមានតួទី១<br />
គនាេះ<br />
n 1<br />
n<br />
q 1 i 1 ( i 1)( i 1)<br />
En<br />
Sn<br />
U1<br />
<br />
q 1 i 1 ( i 1)( i 1)<br />
+ករណី n = 4k គេបាន<br />
+ករណី n = 4k + 1គេបាន<br />
+ករណី n = 4k + 2 គេបាន<br />
+ករណី n = 4k + 3 គេបាន<br />
U1 1<br />
, q i<br />
<br />
1 (<br />
n1<br />
n<br />
i i i 1)<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
S4k<br />
i i i i i <br />
2 2<br />
ែូចគនេះ ចំគ<br />
4k1 4k<br />
( 1) ( 1 1) 0<br />
1 1 1<br />
S 4k<br />
1<br />
i i i i i<br />
2 2 2<br />
<br />
4k2 4k1<br />
( 1) ( 1 1) ( 2) 1<br />
1 1<br />
S i i i i i<br />
2 2<br />
<br />
4k3 4k2<br />
4k<br />
2<br />
( 1) ( 1 1)<br />
1 i<br />
1 1<br />
S4k<br />
3<br />
i i i i i <br />
2 2<br />
E 0<br />
1<br />
En<br />
n<br />
1i<br />
4( k1) 4k3<br />
( 1) (1 1)<br />
េះ ∀n ≥ 1 និង k ជាចំនួនេត់វិជ្ជមាន<br />
គ ើ n = 4k , គ ើ n = 4k + 1<br />
គ ើ n = 4k + 2 ,<br />
E <br />
n<br />
En<br />
i<br />
គ ើ n = 4k + 3<br />
1<br />
( 2 i ) i<br />
2<br />
ឃ.<br />
ង.<br />
n(1 n)<br />
2 3 4 n 1234 ... n<br />
2<br />
ii i i ...<br />
i i i<br />
i ( i) ( i) i ( i) i ( i ) ( i ) i ( i )<br />
5 7 13 100 94 5 3 7 3 13 100 3 94<br />
i i i i i i i i i i<br />
i i i 11 3i<br />
5 21 39 100 282 4( 2) 3 4( 6) 3 49 3 4( 25)<br />
470<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
44
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី៥ ក្ំណត់តម្មៃ និង b ហែើមបីឱ្យសមភាពខាងហរោមពិត៖<br />
1. 2. 3.<br />
a ib 8 6i<br />
3 4 1<br />
<br />
4. 5.<br />
a 2 3b 1 i 7 4i<br />
6. 7.<br />
8. 9. 10.<br />
a<br />
a <br />
ib <br />
<br />
2 i<br />
1 i<br />
2 3 4<br />
<br />
a ib i i<br />
a ib 3ia 4b 5 i<br />
a b 3a bi<br />
<br />
<br />
<br />
a ib 1i 3<br />
i<br />
2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />
a ib 5 10<br />
i<br />
4 3i<br />
25 25<br />
a ib 1i<br />
0<br />
1i<br />
1i<br />
1.<br />
a ib8<br />
6i<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ចំោ ំៈ ចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ហសម ើគ្នន<br />
ោលណា<br />
Re<br />
<br />
Im<br />
សមភាពខាងហលើពិត ោលណា<br />
z<br />
z Rew<br />
z Im w<br />
w<br />
a 8, b<br />
6<br />
។<br />
2. 3 4 1<br />
3.<br />
a <br />
ib <br />
<br />
<br />
3a<br />
1<br />
4b<br />
0<br />
អាចសរហសរជា<br />
, ែូចហនោះ<br />
2 3 4<br />
<br />
a ib i i<br />
អង្ទី២ អាចសរហសរជា<br />
3a 4bi 10i<br />
1<br />
a<br />
, b<br />
0<br />
3<br />
។<br />
8 2i 12i 3i<br />
<br />
ហនាោះ ហគបាន<br />
<br />
2<br />
11 10i<br />
ែូចហនោះ<br />
a11, b10<br />
a 2 3b 1 i 7 4i<br />
4. <br />
។<br />
ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហគបានរ ព័នធសមីោរៈ<br />
a ib 3ia 4b 5<br />
i<br />
5. <br />
a<br />
27<br />
<br />
3b<br />
1 4<br />
នាំឱ្យ<br />
a 9, b1<br />
។<br />
សមីោរអាចសរហសរជា<br />
<br />
a 4b 3a b i 5<br />
i<br />
ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
45
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
<br />
a4b5<br />
3ab1<br />
2i<br />
a b 3a b i <br />
1 i<br />
6. <br />
នាទ ់ពីហោោះរាយ ហយើងបាន<br />
សរហសរអង្ទី ២ ជារាង a ib ហយើងបាន<br />
ផទ ឹមហមគុណរតួវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />
នាទ ់ពីហោោះរាយ ហគបាន<br />
2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />
7. <br />
<br />
1 ab<br />
2<br />
3<br />
3a b <br />
2<br />
ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />
8. <br />
នាទ ់ពីហោោះរាយ ហយើងបាន<br />
a ib 1i 3i<br />
ពនាៃ ត និងសរមួលអង្ទី ១ ហយើងបាន<br />
9.<br />
`<br />
10.<br />
ផទ ឹមហមគុណរតួវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />
<br />
<br />
1<br />
a , b<br />
0<br />
2<br />
9 14<br />
a<br />
, b <br />
13 13<br />
3 <br />
។<br />
1 3<br />
a b a b i i<br />
2 2<br />
2a 3b 3b a i 4 7i<br />
សមីោរអាចសរហសរជា <br />
2a<br />
3b<br />
4<br />
<br />
a 3b<br />
7<br />
10<br />
a3,<br />
b<br />
3<br />
3<br />
។<br />
a b b a i i<br />
<br />
<br />
ab3<br />
ab 1<br />
នាទ ់ពីហោោះរាយហយើងបាន a2 , b 1 ។<br />
a ib<br />
5 10<br />
i<br />
43i<br />
25 25<br />
a ib i<br />
<br />
4 3i4 3i<br />
<br />
4 3 5 10<br />
i<br />
25 25<br />
4a 3b 3a 4b i 5 10<br />
i នាំឱ្យ<br />
169 25 25<br />
ហោោះរាយ ហយើងបាន a2 , b 1 ។<br />
a ib 1i<br />
0<br />
1i<br />
1i<br />
ហនាោះ<br />
2<br />
a ai bi bi 2i<br />
2<br />
a ib 1i 1i<br />
1i<br />
0<br />
0i<br />
2<br />
a b a b2<br />
i 0 0i<br />
នាំឱ្យ<br />
2 2<br />
2<br />
ab<br />
0<br />
<br />
a<br />
b 2 0<br />
4a3b5<br />
<br />
3a4b10<br />
00i<br />
a1, b<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
46
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី៦ ក្ំណត់តម្មៃ x ∈ R ហែើមបីឱ្យ ជាចំនួនពិត ។<br />
x<br />
3i x i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហយើងមាន<br />
3i x i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
<br />
<br />
<br />
3i 1i x i 1i<br />
1i<br />
1i<br />
x 5<br />
xi 3i<br />
<br />
2<br />
x5 x3<br />
i<br />
2 2<br />
លុោះរតាដត ដផនក្និមិតតរ ស់វាហសម ើនឹងសូនយ គឺ<br />
33i i i x xi i i<br />
<br />
2<br />
1i<br />
ជាចំនួនពិត<br />
2 2<br />
x 3 0 មានន័យថា<br />
2<br />
x 3<br />
។<br />
ំហារ់ទី៧ គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច , u ( x 1) i( y 2) និង ដែល<br />
a3i<br />
x និង y ជាពីរចំនួនពិត។ចូរកំណត់តម្លល x និង y គែើលបីឲ្យ<br />
b2 16i<br />
au b<br />
0<br />
។<br />
ហគបាន<br />
គេបាន<br />
កំណត់តម្ ល x និង y<br />
គយើងមាន<br />
ដត<br />
au b<br />
0<br />
a3i<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហនាោះ<br />
au<br />
b<br />
u ( x i) i( y 2)<br />
(2 16 i)<br />
( x1) ( y 2) <br />
3<br />
i<br />
x<br />
11<br />
<br />
y<br />
2 5<br />
ែូគចនេះ x = 2 , y = 3<br />
<br />
និង<br />
នាំហអាយ<br />
b2 16i<br />
b<br />
u <br />
a<br />
2<br />
2(1 8 i)(3 i) 2(3 i 24i 8 i )<br />
<br />
3 i<br />
10<br />
2 2 2<br />
2( 5 25 i) 10(1 5 i)<br />
1<br />
5i<br />
10 10<br />
នាំឲ្យ x = 2 y = 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
47
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2(7 9 i)<br />
ំហារ់ទី៨ កំណត់ពីរចំនួនពិត a និង b គ ើគេែឹងថា (3 i)(1 ia)(1 3 i)(3 2 bi)<br />
។<br />
1<br />
i<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
មគមាន<br />
ក្ំណត់ពីរចំនួន a និង b<br />
2(7 9 i)<br />
(3 i)(1 ia) (1 3 i)(3 2 ib)<br />
<br />
1<br />
i<br />
2 2 2(7 9 i)(1 i)<br />
(3 3 ia i i a) (3 2ib 9i 6 bi ) <br />
(1 i)(1 i)<br />
a 3ia i 3 3 2ib 9i 6b<br />
<br />
( a 6b 6) (3a 2b 8) i 16 2i<br />
ហគបាន<br />
a 6b 6 16<br />
<br />
3a 2b8 2<br />
ែូចគនេះ a = 2 b = 2<br />
ឬ<br />
2<br />
2(7 7i 9i 9 i )<br />
1<br />
i<br />
2 2<br />
a<br />
6 10<br />
<br />
3a2b10<br />
ទាញបាន a = 2 b = 2<br />
ំហារ់ទី៩<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
w<br />
z12i<br />
5 3<br />
<br />
i<br />
ក្. ង្វា ញថា ខ.<br />
ក្. ង្វា ញថា w z w z<br />
ហយើងមាន<br />
z12i<br />
, w5 3i<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z 12i<br />
, w5 3i<br />
ហយើងបាន z w 1 2i 53i 6 i w z 6 i<br />
ហហើយ<br />
តាម <br />
w z w z<br />
z w z w<br />
<br />
2<br />
គ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ x និង ហែើមបីឱ្យ M z w 3i<br />
។<br />
M 1i x 1<br />
i y<br />
1 <br />
w z 1 2i 53i 6i<br />
* និង <br />
* នាំឱ្យ<br />
2<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
*<br />
w z w z<br />
2 <br />
។<br />
y<br />
1<br />
ខ. ង្វា ញថា z w z w<br />
ហយើងបាន <br />
z w 1 2i 5 3i 4 5i<br />
ហហើយ z w 1 2i 5 3i 4 5i<br />
*<br />
<br />
តាម <br />
1 <br />
* និង <br />
* នាំឱ្យ z w z w<br />
2<br />
។<br />
<br />
2<br />
z w 4<br />
5i<br />
<br />
1 <br />
*<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
48
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
x<br />
និង y ហែើមបីឱ្យ<br />
2<br />
M z w 3i<br />
ហយើងមាន<br />
1 1 <br />
M i x i y<br />
x y x y i<br />
2<br />
ហហើយ 2<br />
z w 3i 1 2i 5 3i 3i<br />
2<br />
1 4i 4i 5 6i<br />
22i<br />
នាំឱ្យ<br />
ហគបាន<br />
x y x yi 2<br />
2i<br />
x<br />
y 2<br />
<br />
x y 2<br />
នាំឱ្យ x 0 , y 2<br />
ហោយផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន<br />
។<br />
ំហារ់ទី១០ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ។<br />
z23i<br />
5<br />
ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />
z w z w<br />
z w z w<br />
ខ. ង្វា ញថា និង ។<br />
z w z w<br />
<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
w<br />
i<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
ហយើងមាន<br />
z w z w<br />
និង<br />
z w z w<br />
z 2 3 i , w 5 i<br />
<br />
z w 2 3i 5 i 7 2i<br />
ហហើយ<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
តាម<br />
<br />
* 1<br />
ម យងហទៀត<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z 2 3 i , w 5 i<br />
<br />
<br />
z w 2 3i 5 i 7 2i<br />
<br />
និង<br />
<br />
* 2<br />
<br />
នាំឱ្យ<br />
<br />
z w 7<br />
2i<br />
z w z w<br />
z w 2 3i 5 i 3 4i<br />
<br />
z w 2 3i 5 i 3<br />
4i<br />
តាម<br />
<br />
ហយើងមាន<br />
** 1<br />
<br />
z w z w<br />
និង <br />
និង<br />
** 2<br />
នាំឱ្យ<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
<br />
** 2<br />
<br />
<br />
* 2<br />
<br />
<br />
z w z w<br />
<br />
2<br />
។<br />
<br />
* 1<br />
<br />
z w 3<br />
4i<br />
z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3i 13 13i<br />
z w 13 13i z w 13 13i<br />
2<br />
ហហើយ z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3i 13 13i<br />
1 <br />
តាម * និង<br />
ម យងហទៀត<br />
<br />
1 <br />
*<br />
*<br />
<br />
<br />
* 2<br />
<br />
នាំឱ្យ z w z w ។<br />
2 3i5<br />
i<br />
5<br />
5<br />
<br />
z 2 3i 10 2i 15i 3i<br />
<br />
w 5i i i 251<br />
z 7 17i z 7 17i<br />
<br />
w 26 w 26<br />
**<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
។<br />
2<br />
2<br />
** 1<br />
7 17i<br />
<br />
26<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
49
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2 3i5<br />
i<br />
5<br />
5<br />
<br />
z 2 3i 10 2i 15i 3i<br />
<br />
w 5i i i 251<br />
2<br />
7 17i<br />
26<br />
** 2<br />
<br />
ក្.<br />
តាម<br />
<br />
** 1<br />
<br />
ំហារ់ទី១១<br />
ង្វា ញថា<br />
ហគមាន<br />
និង <br />
** 2<br />
2<br />
z z 1<br />
នាំឱ្យ<br />
2<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2 2<br />
z 3i z 3i 9 6i i 8 6i z1<br />
2<br />
ែូចហនោះ z z 1<br />
។<br />
ខ. គណនា<br />
ែូចហនោះ<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
<br />
w z z 11 7i<br />
w117i<br />
2<br />
z z 1<br />
ក្. ង្វា ញថា ។<br />
1<br />
3 i 8 6i<br />
។<br />
z 3<br />
i<br />
1<br />
8 6<br />
w, z,<br />
z<br />
w z z 1<br />
1<br />
ខ. គណនា ។ សង់ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ។<br />
គ. ហគឱ្យ w x 1 y 3i<br />
។ ក្ំណត់តម្មៃ និង ។<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
x<br />
<br />
i<br />
y<br />
• សង់<br />
w , z , z<br />
1<br />
ក្ន ុង ៃង់ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
គ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង y<br />
ហគមាន<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
w x 1 y 3 i<br />
<br />
x 1 y 3 i 11<br />
7i<br />
x 10 , y 4<br />
។<br />
និង w11<br />
7i<br />
x 111<br />
<br />
y 3 7<br />
<br />
x 10 , y 4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
50
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី១២<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
w<br />
z2i<br />
3 4<br />
<br />
i<br />
ក្. ង្វា ញថា ។<br />
z<br />
2<br />
w<br />
ខ. ង្វា ញថា z w z w ។ សង់ w, z, z,<br />
w ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ។<br />
<br />
គ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ ។<br />
M x y x y i<br />
,<br />
x y M z i<br />
<br />
<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
ហគមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
ហគមាន<br />
តាម<br />
2<br />
z<br />
w<br />
z2i<br />
2<br />
z<br />
w<br />
<br />
។<br />
z w z w<br />
z 2 i , w 3 4i<br />
<br />
2<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2 2<br />
z 2i 4 4i i 3<br />
4i<br />
<br />
z w 2 i 3 4i 5 5i<br />
<br />
<br />
z w 2 i 3 4i 5 5i<br />
<br />
• សង់<br />
* 1<br />
<br />
និង<br />
<br />
* 2<br />
w , z , z , w ហៅក្ន<br />
<br />
z 2 i , w 3<br />
4i<br />
<br />
* 2<br />
នាំឱ្យ z w z w ។<br />
ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច<br />
<br />
z w 5<br />
5i<br />
<br />
1 <br />
*<br />
គ. រក្តម្មៃ<br />
x,<br />
y<br />
ហយើងមាន M z i<br />
2i i 2 2i<br />
និង<br />
នាំឱ្យ x y x yi 2 2i<br />
<br />
x<br />
y 2<br />
<br />
x<br />
y 2<br />
<br />
M x y x y i<br />
<br />
x2 , y 0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
51
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី១៣<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
w<br />
z12i<br />
2 3<br />
<br />
i<br />
ក្. គណនា<br />
z<br />
w<br />
។<br />
<br />
ខ. ហគមាន ។ ក្ំណត់តម្មៃ x,<br />
yហែើមបីឱ្យ z1<br />
z w<br />
។<br />
z1 1 i x 1i y<br />
គ. ង្វា ញថា ។<br />
z w z w<br />
ក្. គណនា<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
z<br />
w<br />
<br />
z w 1 2i 2 3i 3<br />
5i<br />
x,<br />
y ហែើមបីឱ្យ<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
z z w<br />
1<br />
<br />
z1 1 i x 1 i y<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
<br />
x yi x yi 35i<br />
z w z w<br />
x xi y yi x y x<br />
y i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xy3<br />
xy5<br />
x<br />
y <br />
4 , 1<br />
ហហើយ<br />
z w 3<br />
5i<br />
ហយើងមាន z 1 2 i , w 2 3i<br />
<br />
ហហើយ<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z w 1 2i 2 3i 15i<br />
<br />
z w 1 2i 2 3i 15i<br />
z w z w<br />
។<br />
z 1 2 i , w 2<br />
3i<br />
z w 15i<br />
ំហារ់ទី១៤<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z 2 3 i , z 2<br />
i<br />
1 2<br />
។<br />
ក្. គណនា និង ។<br />
2<br />
z , z , z , z z , z z<br />
1 2<br />
1 1 2 2 2 1 2<br />
2<br />
ខ. ហរ ៀ ហធៀ ជាមួយ z និង ជាមួយ ហហើយ ជាមួយ z z ។<br />
z<br />
z<br />
z1<br />
1<br />
គ. ង្វា ញថា និង z z z z ។<br />
1<br />
<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2 2<br />
z 2<br />
1 2 1 2<br />
z<br />
z<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z<br />
2 z2<br />
1 2<br />
z<br />
z<br />
1 2<br />
ក្. គណនា<br />
2<br />
z , z , z , z z , z z និង z1 z2<br />
1 1 2 2 2 1 2<br />
ហគមាន z1 23 i , z2<br />
2 i ហនាោះ z1 23 i , z2<br />
2<br />
i<br />
ហគបាន<br />
2 2<br />
z1 2 3 4 9 13<br />
2 2<br />
z1 2 3 13<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
52
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
z 2<br />
2 1 4 1<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
z2 z2 2i 2i<br />
2 1 5<br />
<br />
z1 z2 23i 2<br />
i<br />
2<br />
4 2i 6i 3i 18i<br />
<br />
2 2<br />
z1 z2 1 8 65<br />
z1 z2 13 5 135 65<br />
ខ. ហរ ៀ ហធៀ ចំនួន<br />
i<br />
ហោយ<br />
z1 13<br />
និង<br />
z1 13<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 1<br />
។<br />
<br />
ii<br />
ហោយ<br />
z<br />
2<br />
2<br />
5<br />
និង<br />
z<br />
z<br />
<br />
2 2<br />
5<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
iii ហោយ<br />
z<br />
2<br />
z z z ។<br />
2 2 2<br />
z<br />
<br />
1 2<br />
65<br />
និង<br />
z<br />
z<br />
<br />
1 2<br />
65<br />
ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2<br />
។<br />
គ. ង្វា ញៈ<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
i<br />
2<br />
z<br />
z<br />
1<br />
<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2 2<br />
2 3i 2i<br />
2 2 <br />
z<br />
2<br />
1 23i 4 2i 6i 3i<br />
7 4<br />
i<br />
z 2 i i i<br />
5 5 5<br />
ហនាោះ<br />
ហហើយ<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
7 4 65<br />
<br />
5<br />
<br />
5<br />
<br />
5<br />
z<br />
z<br />
1<br />
2<br />
<br />
ii<br />
ហយើងមាន<br />
13 13 5 65<br />
<br />
5 5 5<br />
z1 z2 z1 z2<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z1 z2 23i 2i 2i<br />
z1 z2 13 5<br />
<br />
z<br />
z<br />
1<br />
z<br />
z1<br />
។<br />
z<br />
2 2<br />
2<br />
1 z2 2 2<br />
ហោយ 2 5 2 5 13 ។ ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
53
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី១៥ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z ដែល z 0 និង ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ។<br />
z<br />
1<br />
ក្. ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន ហសម ើនឹង <br />
2 z<br />
z<br />
ខ. ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន ហសម ើនឹង<br />
z<br />
<br />
1<br />
2 z <br />
i<br />
z<br />
។<br />
z <br />
។<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន<br />
តាង<br />
z<br />
ហសម ើនឹង<br />
z a ib z a ib<br />
z z a ib a ib 2a<br />
ែូចហនោះ ដផនក្ពិតម្ន<br />
ខ. ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
z<br />
ហសម ើនឹង<br />
z<br />
ហសម ើនឹង<br />
1<br />
2 z<br />
z<br />
<br />
<br />
( a<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
<br />
1<br />
2 z<br />
z<br />
<br />
តាងដផនក្ពិត និង b<br />
<br />
1<br />
<br />
2 z <br />
i<br />
z<br />
1<br />
a z z<br />
2<br />
។<br />
2<br />
z z a ib a ib a ib a ib bi<br />
1<br />
b z z<br />
2i<br />
<br />
។ ែូចហនោះ<br />
<br />
<br />
ដផនក្និមិតតម្ន<br />
z<br />
<br />
។<br />
ហសម ើនឹង<br />
តាងដផនក្និមិតត )<br />
1<br />
<br />
2 z <br />
i<br />
z<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី១៦ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ដែល ។<br />
ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />
z z<br />
z z<br />
z<br />
<br />
z<br />
z<br />
ខ. ង្វា ញថា និង ។<br />
z<br />
z z , 0<br />
z<br />
2<br />
z z<br />
z z<br />
z z<br />
zz <br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថាៈ i<br />
<br />
z z<br />
z z<br />
តាង z a ib z a ib<br />
និង z aib<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
2<br />
z z a ib aib aa abi abi i bb<br />
<br />
2 2<br />
z z aabb ab<br />
ab<br />
aabb ab<br />
a<br />
b i<br />
2<br />
z z aabb 2 ab<br />
ab<br />
2 2<br />
aa 2aabb bb ab 2abab ab<br />
2<br />
aa bb ab a b<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
a a b b a b a<br />
b<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a b <br />
<br />
a b<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a a b b b a<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
54
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
មយ ងហទៀត<br />
2 2<br />
z a ib z a b<br />
2 2 2<br />
z a b<br />
តាម<br />
*<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
ii<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
<br />
z a ib z a b<br />
និង <br />
**<br />
z z<br />
z z<br />
2 2 2<br />
z a b<br />
ែូចហនោះ<br />
i<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
z a b<br />
ហយើងបាន<br />
និង<br />
2<br />
z<br />
z<br />
z<br />
។<br />
<br />
**<br />
2 2 2<br />
2<br />
z z z z<br />
<br />
<br />
z z<br />
2 2 2 2 2<br />
z z a iba ib a i b a b<br />
z z<br />
z<br />
<br />
z<br />
។<br />
<br />
<br />
z a ib<br />
a ib aib<br />
<br />
z aib a ib a ib<br />
<br />
<br />
aaiab iab bb<br />
<br />
a<br />
2<br />
b<br />
2<br />
<br />
aabb i ab ab<br />
<br />
aabb ab ab<br />
<br />
2 2 2 2 i<br />
a b a b<br />
a 2<br />
b 2<br />
<br />
2 2<br />
z aa bb ab ab<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
z <br />
a b <br />
<br />
<br />
a b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
aa bb ab ab<br />
<br />
a b a b<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2 2 2<br />
<br />
តាម ំណក្រាយសំណួ រ ក្ ហគបាន ៖<br />
z<br />
z<br />
<br />
<br />
a b a<br />
b<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
និង<br />
<br />
a b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
aa bb ab ab<br />
a<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
<br />
a<br />
2 2<br />
b<br />
2 2 2 2<br />
z a b a b<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
z a b<br />
តាម * និង ** ែូចហនោះ<br />
<br />
ii<br />
<br />
z z<br />
z z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
<br />
z<br />
។<br />
2 2<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
**<br />
<br />
<br />
aa bb ab ab<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
a b<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
ហយើងមាន <br />
2<br />
2<br />
z z a ib a ib a a b b i<br />
z z a a b b<br />
z z 2<br />
a a 2<br />
b b 2 2<br />
2 2<br />
a 2aa a b 2bb b<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
55
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a a b b 2 aa bb<br />
តាមវ ិសមភាព ូនីញក្ុ ស្ ី ចំហរោះ<br />
ដត<br />
aa<br />
bb<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
aa bb a b a 2<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ហគបាន<br />
2 2 2 2<br />
2 2 2 2<br />
a b a b 2 aabb a b a b<br />
<br />
2 <br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
a b a b a b a b<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2 2 2<br />
<br />
a b a b 2 a b a b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
2 a b a b<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
a b a<br />
b<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រតង់ចំណុ ចហនោះ អនក្រតូវហចោះសននិោា នហោយយក្<br />
A a b<br />
2 2<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
B a b<br />
ហគបាន<br />
មយ ងហទៀត<br />
រួចហរ ើរូ មនត<br />
2 <br />
2 2 2<br />
z z a b a b<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a b z<br />
2<br />
និង<br />
2<br />
z z<br />
z z<br />
ែូចហនោះ z z<br />
z z<br />
។<br />
2 2<br />
A 2AB B A<br />
B<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a b z<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
56
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី១៧ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចមិនសូនយ<br />
z1 , z2 , z3 , z4<br />
, . . . , zn<br />
។<br />
z z z z z z z z<br />
ក្. ង្វា ញថា ។<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
z z z . . . z z z z . . . z<br />
ខ. ង្វា ញថា ។<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
n<br />
n<br />
ក្. ង្វា ញថា z1 z2 z3 zn z1 z2 z3<br />
z<br />
តាង<br />
z1 a1 ib1 z1 a1 ib1<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z a ib z a ib<br />
2 2 2 2 2 2<br />
n<br />
តាមវ ិចារហោយក្ំហណើ នហ ើ<br />
ហហើយ<br />
តាម <br />
z a ib z a ib<br />
n n n n n n<br />
z z a ib a ib<br />
n 2 <br />
1 2 1 1 2 2<br />
<br />
a a ia b ia b b b a a b b a b a b i<br />
1<br />
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
<br />
<br />
z z a a b b a b a b i<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
a a ia b ia b b b <br />
z1 z2 a1 ib1 a2 ib2<br />
1 2 1 2 2 1 1 2<br />
និង <br />
2<br />
ឧ មាថាវាពិតែល់ n k<br />
តាង<br />
z z z z<br />
<br />
1 2 1 2<br />
គឺ<br />
ហយើង ង្វា ញថាវាពិតែល់<br />
1 2 3 k<br />
(ពិត)<br />
1 2 3 k 1 2 3<br />
1<br />
z z z z z z z z<br />
nk1<br />
គឺ<br />
z z z z z z z z z z<br />
1 2 3 k k1 1 2 3 k k1<br />
Z z z z z AiB Z AiB<br />
k1 k1 k1<br />
<br />
Aak 1 Bbk 1 i Abk 1 Bak<br />
1<br />
<br />
Z z AiB a ib<br />
<br />
<br />
Aa iAb iBa Bb<br />
k1 k1 k1 k1<br />
1 1 1 1<br />
Z Z Aa Bb i Ab Ba<br />
<br />
ហហើយ Z Z AiBa ib <br />
k 1<br />
k k k k<br />
k 1 k1 k1<br />
Aa iAb iBa Bb<br />
តាម * និង <br />
k1 k1 k1 k1<br />
** Z zk<br />
1<br />
Z zk<br />
1<br />
ែូចហនោះ<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
(ពិត)<br />
z z z z z z z z ។<br />
n<br />
a a b b a b a b i<br />
k<br />
1 2 1 2 1 2 2 1<br />
*<br />
<br />
Aak 1 Bbk 1 i Abk 1 Bak<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
**<br />
<br />
<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
57
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
z z z . . . z z z z . . . z<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
z z z z a ib a ib a ib a ib<br />
1 2 3 n 1 1 2 2 3 3<br />
n n<br />
z z z z a a a a ib ib ib ib<br />
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />
<br />
z z z z a a a a b b b b i<br />
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />
z z z z a i b<br />
1 2 3<br />
n<br />
<br />
n k k<br />
k1 k1<br />
n<br />
<br />
z z z z a a a a ib ib ib ib<br />
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3<br />
n<br />
<br />
<br />
z z z z a a a a b b b b i<br />
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />
ែូចហនោះ<br />
z z z . . . z z z z . . . z<br />
1 2 3 n 1 2 3<br />
1<br />
n<br />
n<br />
។<br />
<br />
n<br />
n<br />
ak<br />
i<br />
bk<br />
k1 k1<br />
<br />
n<br />
n<br />
ak<br />
ibk<br />
<br />
k1 k1<br />
2<br />
ំហារ់ទី១៨ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />
ូដលរ)<br />
1. 2. 3.<br />
z 1i<br />
3<br />
2 3 2<br />
z i<br />
3 3<br />
4. z22i<br />
5. 6.<br />
z <br />
7. 8. 9.<br />
z <br />
5 i 15<br />
i<br />
z 3 3i<br />
6 2<br />
z <br />
i<br />
z 2 i 2<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
ដំម<br />
ុះទ្ាយ<br />
1.<br />
z 1i<br />
3<br />
***<br />
វិធីទី <br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
2<br />
2<br />
1 3<br />
<br />
r 1 3 4 2<br />
ហគបាន<br />
cos <br />
sin <br />
a<br />
r<br />
b<br />
r<br />
1<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z r cos isin<br />
2 cos sin<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
3 3<br />
<br />
<br />
។<br />
***<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
វ ិធីហនោះ ហយើងរតូវរក្ r ហៅខាងហរៅជាមុនសិន រួចហតាងតម្មៃ r ជាក្តាត ។<br />
z a ib<br />
a<br />
b<br />
r<br />
<br />
i<br />
r r<br />
<br />
a<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
រក្តម្មៃម្នមុំ ដែល cos ។ តម្មៃម្ន រតូវយក្គឺ 0<br />
<br />
។<br />
2<br />
a b<br />
<br />
r r<br />
<br />
<br />
តម្មៃម្នអាគុយម ង់ អារស័យហលើសញ្ជា ម្នគូ ,<br />
ែូចខាងហរោម៖<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
58
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងបាន<br />
• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />
,<br />
• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />
,<br />
• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />
,<br />
• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />
z1i<br />
3<br />
,<br />
1 3 <br />
2 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ហនាោះ <br />
ហនាោះ <br />
ហនាោះ <br />
ហនាោះ <br />
សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />
សថ ិតហៅោរែង់ទី ២ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />
សថ ិតហៅោរែង់ទី ៣ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />
សថ ិតហៅោរែង់ទី ៤ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />
1 <br />
cos <br />
2 3<br />
ឬ 2<br />
។<br />
2.<br />
***<br />
***<br />
z 2 3 2i<br />
វិធីទី <br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
a 2 3 3<br />
cos <br />
r 4 2 <br />
<br />
b 2 1<br />
6<br />
sin <br />
r 4 2<br />
<br />
ែូចហនោះ z 4cos sin<br />
6 6<br />
។<br />
<br />
<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
ហយើងបាន<br />
3 1 <br />
z 2 3 2i 4<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
4cos i<br />
sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
r 2 3 2 12 4 16 4<br />
3 <br />
cos <br />
2 6<br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI1<br />
<br />
3.<br />
z 33i<br />
1 3 <br />
2 3 <br />
<br />
2 2 <br />
<br />
3 3 <br />
2 3 i<br />
<br />
2 3 2 3 <br />
<br />
<br />
<br />
2 3 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
cos <br />
2 3<br />
<br />
r 2 3 <br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
59
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4. z2<br />
2i<br />
***<br />
វិធីទី <br />
i<br />
2<br />
ហយើងមាន 2<br />
r 2 2 4 4 2 2<br />
***<br />
a 2 1 2<br />
cos <br />
r 2 2 2 2<br />
b 2 1 2<br />
sin <br />
r 2 2 2 2<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
ហយើងបាន<br />
2 2<br />
z 2 2i 2 2 <br />
<br />
i <br />
2 2 2 2 <br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z 2 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
r 2 2 <br />
<br />
2 <br />
cos <br />
2 4<br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI4<br />
<br />
។<br />
5.<br />
z 5 i 15<br />
***<br />
***<br />
វិធីទី <br />
i<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
2 2<br />
r 5 15 5 15 20 2 5<br />
a 5 1<br />
cos <br />
r 2 5 2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
b 15 3<br />
3 3<br />
sin <br />
r 2 5 2<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
5 15 <br />
z 5 i 15 2 5 <br />
<br />
2 5 2 5 <br />
<br />
<br />
1 3 <br />
2 5<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 5 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 5 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
r 2 5<br />
<br />
1 1 <br />
cos <br />
2 2 3<br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI2<br />
<br />
2<br />
2<br />
z 2 5 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
60
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
6.<br />
***<br />
z <br />
2 i 2<br />
វិធីទី <br />
2 2<br />
i ហយើងមាន <br />
r 2 2 2 2 2<br />
***<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
cos <br />
a<br />
r<br />
b<br />
sin <br />
r<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
ហយើងបាន<br />
2<br />
2<br />
3<br />
<br />
4 4<br />
<br />
2 cos i sin <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
2cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2 <br />
z 2 i 2 2<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
cos <br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
z 2cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
2 4<br />
enAkaRdg;TI2<br />
<br />
r 2<br />
<br />
។<br />
7.<br />
z 3<br />
3i<br />
( អនក្អាន ហោោះរាយហោយខៃ ួនឯង )ចលមលើយ ៖<br />
3<br />
3<br />
z 3 2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
8.<br />
z <br />
6<br />
i 2<br />
( អនក្អាន ហោោះរាយហោយខៃ ួនឯង )ចលមលើយ ៖<br />
5<br />
5<br />
z 2 2 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
9.<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
1 <br />
cos <br />
2 3<br />
4<br />
4<br />
cos<br />
i sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI3<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
61
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី១៩ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />
ូដលរ)<br />
6 2 <br />
z 3<br />
i<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
<br />
<br />
1. 2. 3.<br />
2 3 2 3 <br />
z 1 3 1 3 i<br />
5 5 3<br />
4. 5. z 7 i<br />
21<br />
6.<br />
z <br />
z <br />
7. 8. 9. 10.<br />
z 2 2 i 2<br />
1 2<br />
i<br />
z i 2 3<br />
z <br />
<br />
i<br />
3 3 3 3 i<br />
z i<br />
<br />
z 1<br />
2 3 i<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
1.<br />
6 2 <br />
z 3<br />
i<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
<br />
ចំោ ំ ៖<br />
3<br />
ជាហមគុណ ហយើងគុណចូលក្ន ុងក្តាត ក្៏បាន មិនគុណ ញ្ច ូ លក្៏បាន ។<br />
ស៉ូមលមើ ដំលោោះប្ាយលព មិនគ ណ !!!<br />
***<br />
វិធីទី <br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
2 2<br />
6 2 6 2 1 2<br />
r <br />
4 4 <br />
16 16 2 2<br />
ហនាោះ<br />
6<br />
<br />
a 4 2 6 3<br />
cos <br />
r 2 4 2 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
b 4 2 2 1<br />
sin <br />
r 2 4 2 2<br />
2<br />
***<br />
វិធីទី ii ហយើងបាន<br />
7<br />
<br />
6 6<br />
នាំឱ្យ<br />
2 7<br />
7<br />
z 3 cos isin<br />
2<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 7<br />
7<br />
z cos isin<br />
2<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
6 2 <br />
z 3<br />
i<br />
<br />
4 4 <br />
<br />
<br />
2 3 1 <br />
3 i<br />
2 <br />
2 2 <br />
<br />
2 3 2 1<br />
3<br />
2 2 2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
cos <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r <br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
3 <br />
<br />
2 6<br />
enAkaRdg;TI3<br />
<br />
3 2 7<br />
7<br />
cos isin<br />
2<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
2. z 1 3 1<br />
3 <br />
i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
62
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
*** វិធីទី <br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
2 2 2 2<br />
1 3 1 3 1 3 1 3<br />
r <br />
<br />
cos<br />
sin<br />
នាំឱ្យ<br />
1<br />
3<br />
a<br />
<br />
<br />
r 1<br />
3 <br />
1<br />
3<br />
b<br />
<br />
<br />
r 1<br />
3 <br />
ែូចហនោះ<br />
***<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
5<br />
<br />
4 4<br />
5<br />
5<br />
z 1 3 2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
z 2 6 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
1 3 1 3 <br />
z i <br />
<br />
<br />
2 2<br />
1 3 2<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 6 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2 6 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3 2<br />
5<br />
5<br />
2 6 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
2 2<br />
1 3 2 1 3 2<br />
2 2 i<br />
r <br />
1<br />
3 2 <br />
<br />
<br />
cos <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
2 4<br />
enAkaRdg;TI3<br />
<br />
3. z 5 5 3 i( អនក្អានហោោះរាយ យក្គរមូតាមហលខ 2 )ចលមលើយ ៖<br />
4.<br />
***<br />
2 3 2 3 <br />
z <br />
វិធីទី <br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
a 2 3 2<br />
cos <br />
r 2 3 2 2<br />
b 2<br />
3 2<br />
sin <br />
r 2 3 2 2<br />
នាំឱ្យ z <br />
<br />
<br />
<br />
2 3 2<br />
2 3 2<br />
r <br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
2 3 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
*** វិធីទី ii<br />
<br />
<br />
2 3 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 2 6 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
4<br />
4<br />
z 10cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
63
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
2 2<br />
2 3 2 2 3 2<br />
2 2 i<br />
z 2 3 2 3 i <br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 3 2<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 6 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos <br />
2 4<br />
<br />
<br />
enAkaRdg;TI4<br />
<br />
<br />
<br />
r <br />
<br />
<br />
2 3 2<br />
<br />
<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
***<br />
z <br />
z <br />
7 i<br />
21<br />
<br />
3 3 3 3 i<br />
z 2 2 i 2<br />
វិធីទី <br />
i<br />
( អនក្អានហោោះរាយ តាមគរមូហលខ 4 )ចលមលើយ ៖<br />
<br />
( អនក្អានហោោះរាយខៃ ួនឯង )ចហមៃើយ ៖<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
<br />
a b<br />
cos , sin <br />
r r<br />
<br />
tan <br />
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1<br />
tan 2 1<br />
2 2 2 2 2 2 4 2 2<br />
តាមរូ មនត<br />
ហគបាន<br />
ហោយ<br />
ដត<br />
z<br />
tan 2<br />
tan 2<br />
2tan <br />
2<br />
1 tan <br />
<br />
<br />
2 2 1 2 2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2 1<br />
<br />
tan 2 1 2 <br />
4 k <br />
1 2 2 2 1<br />
k<br />
<br />
8 2<br />
សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ នាំឱ្យ យក្<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 7 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
z 6 3 cos sin <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
b<br />
a<br />
2 2 2<br />
1<br />
1 3 2 2<br />
<br />
8<br />
<br />
k <br />
ហហើយ 2 2<br />
r 2 2 2 4 4 2 2 2 8 4 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ z 2 2 2 cos isin<br />
8 8<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
64
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
***<br />
ហយើងបាន<br />
តាមរូ មនត<br />
នាំឱ្យ<br />
វិធីទី <br />
ii<br />
z 2 2 2 i<br />
2 2<br />
21<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
21 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />
<br />
<br />
2<br />
z 2 2cos 4 2isin 4 cos 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2cos cos i sin<br />
8<br />
<br />
8 8<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8 8 8<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2cos 2i<br />
sin cos<br />
<br />
4cos cos i sin<br />
8<br />
<br />
8 8<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
2<br />
2<br />
cos 8 2<br />
។<br />
2 2 2<br />
4cos 8<br />
<br />
ចំោ ំ ៖ ចំនួន និង មានតម្មៃហសម ើគ្នន ។ ហយើងសរហសរចំនួនណាមួយក្៏បានដែរ ។<br />
សូមហមើលែំហណាោះរាយ ញ្ជា ក្់ខាងហរោម ។<br />
សប្មាយរញ្ជា ក់<br />
តាមរូ មនត<br />
2<br />
2cos 1<br />
cos 2<br />
<br />
យក្<br />
<br />
<br />
8<br />
ហគបាន<br />
2<br />
<br />
2cos 1<br />
cos 2<br />
8 8<br />
2<br />
1<br />
cos 1<br />
4 2<br />
2 2<br />
2<br />
2cos 8 2<br />
នាំឱ្យ<br />
2<br />
2<br />
cos 8 4<br />
<br />
cos 0<br />
8<br />
8.<br />
នាំឱ្យ<br />
z 1<br />
2<br />
i<br />
***<br />
2 2 2 2<br />
4cos 4 2 4 2 2 2<br />
8 4 4<br />
វិធីទី <br />
i<br />
(ពិត) ។<br />
ហយើងបាន<br />
2tan <br />
1 tan <br />
តាមរូ មនត tan 2<br />
2<br />
ហគបាន<br />
b 1 2 1 2 1<br />
tan 2 1<br />
a 1 2 2 1 2 1<br />
21<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 1 2 2 2 2 2 2<br />
tan 2 1<br />
2<br />
1<br />
2 1<br />
1<br />
3 2 2 2 2 2<br />
តាមែំហណាោះរាយលំហាត់ហលខ 7<br />
ខាងហលើ នាំឱ្យ<br />
ហហើយ 2 2<br />
1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2<br />
*** វិធីទី ii<br />
<br />
<br />
<br />
8<br />
<br />
8 8<br />
<br />
<br />
r ែូចហនោះ z 4 2 2 cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
65
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងបាន z 1<br />
2<br />
i<br />
2 2 <br />
2 1 i 2 1 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
2 1 cos i sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
9.<br />
***<br />
<br />
z 2 3<br />
i<br />
វិធីទី <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8 8 8<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2cos 2i<br />
sin cos<br />
i<br />
<br />
2 2 cos cos i sin<br />
8<br />
<br />
8 8<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
2<br />
2<br />
cos 8 2<br />
ហយើងមាន<br />
ហយើងបាន<br />
b 1 2 3<br />
tan 2 3<br />
2<br />
a 2<br />
3 2 3<br />
<br />
2<br />
17 4 3<br />
និងតាមរូ មនត<br />
2 2 3 4 2 3 4 2 3<br />
tan 2 <br />
1<br />
2 3<br />
6 4 3<br />
24 16 3 12 3 24<br />
<br />
6 2<br />
4 3 2<br />
tan 2<br />
2tan <br />
2<br />
1 tan <br />
4 2 3 6 4 3 <br />
6 4 3 6 4 3 <br />
<br />
<br />
4 3 4 3 3<br />
<br />
36 48 12 3<br />
ហោយ<br />
ដត<br />
***<br />
z<br />
ហហើយ<br />
ែូចហនោះ<br />
3 k<br />
tan 2 2 k <br />
3 6 12 2<br />
សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ នាំឱ្យ យក្<br />
2 2<br />
<br />
<br />
12<br />
r 2 3 1 7 4 3 1 8 4 3 6 2<br />
វិធីទី <br />
<br />
<br />
<br />
z 6 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ii<br />
។<br />
?<br />
<br />
ហយើងបាន z 2 3<br />
i<br />
នាំឱ្យ<br />
ែូចហនោះ<br />
3 1<br />
21<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
21 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
z <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2cos 2isin cos<br />
តាមរូ មនត<br />
<br />
12 12 12<br />
<br />
<br />
z 4cos <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
12<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />
<br />
2 2cos cos isin<br />
12<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
2<br />
6<br />
cos 12 2<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
66
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
10.<br />
***<br />
<br />
z 1<br />
2 3 i<br />
វិធីទី <br />
i<br />
<br />
ហយើងមាន<br />
b<br />
tan <br />
a<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
តាមែំហណាោះរាយលំហាត់ហលខ 9 ខាងហលើ<br />
ហោយ<br />
ហយើងយក្<br />
***<br />
ែូចហនោះ<br />
ហយើងបាន<br />
តាមរូ មនត<br />
k<br />
tan 2 3 <br />
12 2<br />
<br />
<br />
12<br />
វិធីទី <br />
ហយើងបាន<br />
ហហើយ<br />
ដត<br />
2<br />
z<br />
សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ ហររោះ 2 3 0<br />
r <br />
<br />
z 2 2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ii<br />
<br />
z 1<br />
2 3 i<br />
<br />
2<br />
1 2 3 1 7 4 3 8 4 3 2 2 2<br />
1 2 3 <br />
2 <br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
។<br />
2 <br />
sin 2sin cos , 1 cos 2sin<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
6 6<br />
<br />
2<br />
z 2 2sin cos 2sin<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 <br />
2<br />
1<br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2<br />
2 2sin cos 2i<br />
sin<br />
<br />
<br />
<br />
12 12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 sin 1 cos<br />
6 6 i <br />
<br />
<br />
នាំឱ្យ<br />
<br />
2 2sin cos i sin<br />
12<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ z 4sin <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
12<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
2<br />
3<br />
sin 12 2<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២០ ដមៃងចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់ ូដលរ ៖<br />
<br />
1. z icos<br />
sin<br />
2. 3.<br />
3 3<br />
<br />
z 2sin icos<br />
7 7<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4. z 2i sin i<br />
cos 5. 6.<br />
3 3<br />
z 2i sin i cos<br />
<br />
<br />
5 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 sin icos<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 1<br />
cos isin<br />
7 7<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
1.<br />
<br />
z icos<br />
sin<br />
sin cos<br />
3 3<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
i <br />
2 3<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
<br />
z cos<br />
isin<br />
6 6<br />
។<br />
3 2<br />
3 2<br />
isin<br />
cos<br />
6 6<br />
<br />
isin<br />
cos<br />
6 6<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
67
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
2. z 2sin icos<br />
7 7<br />
<br />
<br />
<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
ែូចហនោះ<br />
z <br />
គួរចងចំ៖<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
2 7<br />
<br />
2 7<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
z 2cos isin<br />
14 14<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 sin icos<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
2 sin i cos<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z <br />
<br />
z 2i sin i<br />
cos<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin icos cos isin<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
7 2<br />
7 2<br />
<br />
2 cos i<br />
sin <br />
14<br />
<br />
14<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
2 4<br />
<br />
2 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2<br />
2 isin i<br />
cos<br />
<br />
2 cos i sin <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
2<br />
z 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2i sin i cos<br />
5 5<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
3 3 <br />
2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
។<br />
2 <br />
2isin i cos<br />
5 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 cos isin<br />
<br />
5<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
z 1<br />
cos isin<br />
7 7<br />
ហយើងបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
តាមរូ មនត<br />
<br />
2<br />
z 2cos<br />
7<br />
2isin 7<br />
cos<br />
7<br />
2 2 2<br />
z 2cos <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
14<br />
<br />
14 14<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
2cos isin<br />
5 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
5<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
2 <br />
2cos 2i<br />
sin cos 2cos <br />
cos i sin<br />
<br />
<br />
14 14 14 14<br />
<br />
14 14<br />
<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ២១ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
1<br />
z<br />
។<br />
<br />
z cos<br />
isin<br />
5 5<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
x y w4i<br />
3<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ ។<br />
w 4x 2iy<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
68
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
1<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងបាន<br />
តាមរូ មនត<br />
នាំឱ្យ 1<br />
z<br />
<br />
1 z 1 cos isin<br />
5 5<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />
<br />
2<br />
2cos<br />
5<br />
2i<br />
sin<br />
5<br />
cos<br />
5<br />
2 2 2<br />
2 <br />
2cos 2i<br />
sin cos 2cos cos sin<br />
10 10 10<br />
<br />
i<br />
<br />
10<br />
<br />
10 10<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
1 z 2cos cos isin<br />
10<br />
<br />
10 10<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
w4i<br />
3<br />
ហោយ<br />
w 4x 2iy<br />
<br />
w 4 i 3<br />
4x 2iy 4 i 3<br />
តាមចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />
4x<br />
4<br />
<br />
2y<br />
3<br />
x<br />
1<br />
<br />
3<br />
y <br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
3<br />
x1,<br />
y <br />
2<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២២ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ដែល<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
<br />
ជាគូម្នម ូឌុលនិងអាគុយម ង់ម្ន<br />
<br />
1 1 1 1<br />
r1 , 1 , r2 , 2<br />
1 2<br />
<br />
z r cos isin<br />
<br />
sin <br />
z z r r <br />
cos<br />
i <br />
z<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
z , z<br />
r<br />
cos sin , 0<br />
i <br />
1 1<br />
1 2 1 2<br />
z2<br />
z2 r <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
z r cos isin<br />
<br />
2 2 2 2<br />
ហរៀងគ្នន ។ ចូររាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតខាងហរោម៖<br />
សប្មាយរញ្ជា ក់<br />
ក្. z z r r cos<br />
isin<br />
<br />
<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
cos sin cos sin <br />
z1 z2 <br />
r1 1 i <br />
1 r2 2 i <br />
2 <br />
r r cos isin cos isin<br />
<br />
1 2 1 1 2 2<br />
<br />
r r cos cos i cos sin isin cos i sin sin <br />
2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
69
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ.<br />
z<br />
r r <br />
cos cos sin sin i cos sin sin cos <br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
<br />
r r <br />
cos<br />
isin<br />
<br />
1 2 1 2 1 2<br />
i <br />
1 1<br />
1 2 1 2<br />
z2<br />
z2 r <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
( ពិត )<br />
r<br />
cos sin , 0<br />
ហយើងបាន<br />
ហររោះ<br />
<br />
<br />
z r<br />
1 1<br />
cos 1 isin<br />
1<br />
<br />
z r cos i sin <br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos sin cos sin <br />
cos sin cos sin <br />
r i i<br />
<br />
r i i<br />
1 1 1 2 2<br />
2 2 2 2 2<br />
r cos cos i cos sin i sin cos i sin sin <br />
<br />
r<br />
2<br />
1 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
cos 2 sin 2<br />
r cos cos sin sin i sin cos cos sin <br />
<br />
r<br />
1 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
2 2<br />
2<br />
cos 2 sin 2<br />
r<br />
cos <br />
1<br />
r <br />
2<br />
i sin <br />
1 2 1 2<br />
<br />
<br />
(ពិត)<br />
cos cos sin sin cos <br />
1 2 1 2 1 2<br />
sin cos cos sin sin <br />
1 2 2 1 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
និង<br />
cos sin 1<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២៣<br />
<br />
ក្. ចូររាយ ញ្ជា ក្់ថារូ មនតែឺម័រ ពិត ចំហរោះរគ ់ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី ។<br />
ខ. ហោយហរ ើរូ មនតដែលបានរាយរួចខាងហលើ ង្វា ញថាសមភាពខាងហរោមពិត ។<br />
<br />
n<br />
cos isin cos n isin<br />
n n<br />
១.<br />
២.<br />
1<br />
cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
n <br />
sin i cos<br />
cos n isin<br />
n <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. រាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតែឺម័រ<br />
ហយើងនឹង ង្វា ញថារូ មនតហនោះ ពិត តាមក្រណី នីមួយៗខាងហរោម៖<br />
• ក្រណី ទី ១ ៖ ចំហរោះ<br />
n 0 ហគបាន<br />
n<br />
i i 0<br />
cos sin cos sin 1<br />
ហហើយ cos n i sin n cos 0 isin 0 1 នាំឱ្យរូ មនតពិត ។<br />
• ក្រណី ទី ២ ៖ ចំហរោះ n ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហយើងបាន<br />
ចំហរោះ 1<br />
n ហគបាន 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
cos isin cos1 isin1 cos isin<br />
ពិត<br />
70
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឧ មាថារូមនតពិតចំហរោះ n k<br />
ហយើងនឹងរាយថាវាពិតចំហរោះ n k 1<br />
k <br />
ហយើងបាន cos<br />
isin<br />
1<br />
តាម<br />
*<br />
<br />
<br />
គឺ<br />
<br />
<br />
k<br />
cos isin cos k isin<br />
k<br />
k 1<br />
គឺ cos isin cos k 1 isin k<br />
1<br />
*<br />
<br />
<br />
cos isin k<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
cos kcos i cos ksin isin kcos<br />
<br />
<br />
<br />
cos k isin k cos isin<br />
<br />
i<br />
2 sin ksin<br />
<br />
cos k isin<br />
k <br />
cos kcos sin ksin i sin kcos cos ksin<br />
<br />
k i k<br />
<br />
cos 1 sin 1<br />
<br />
តាមវ ិចារអនុមានរួមគណិ តវ ិទយ <br />
n<br />
cos isin cos n isin<br />
n<br />
ពិត ចំហរោះ<br />
n 1,2,3,4,<br />
<br />
• ក្រណី ទី ៣ ៖ ចំហរោះ n<br />
ជាចំនួនគត់អវ ិជាមាន<br />
យក្ n m<br />
<br />
ដែល m ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហយើងបាន<br />
cos isin n<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
m<br />
cos isin<br />
<br />
1<br />
<br />
cos m isin<br />
m<br />
<br />
m<br />
cos0 isin 0<br />
<br />
cos m isin<br />
m<br />
m isin<br />
m <br />
cos <br />
cos n i sin n<br />
a<br />
m<br />
1<br />
<br />
m<br />
a<br />
(តាមសរមាយខាងហលើ)<br />
m i m <br />
cos 0 sin 0 <br />
(ពិត)<br />
mn<br />
n<br />
តាមក្រណី ទី ១, ២, ៣ នាំឱ្យរូ មនត cos isin <br />
cos n isin<br />
n ពិត<br />
ចំហរោះរគ ់<br />
n<br />
ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី ។<br />
ខ. ហោយហរ ើសំណួ រ ក្ រាយថា ៖<br />
១. ហយើងមាន<br />
1 cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហយើងបាន<br />
1<br />
ហររោះ cos <br />
cos និង sin <br />
<br />
1<br />
cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin<br />
។<br />
<br />
cos i sin <br />
( ពិត )<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
71
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
២. ហយើងមាន<br />
<br />
sin icos cos isin<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហយើងបាន <br />
<br />
cos n i sin n <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
n <br />
sin icos cos isin<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
ពិត<br />
n<br />
ំហារ់ទី ២៤ សរមួលក្ហនោមខាងហរោម ៖<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos isin<br />
<br />
cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />
1. 2. 3.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
4. 5.<br />
sin i cos <br />
3<br />
4<br />
7 5<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
4<br />
cos 2 isin 2<br />
<br />
<br />
3 5<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin i cos<br />
4<br />
5<br />
cos<br />
i sin <br />
<br />
sin i cos <br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
<br />
<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos isin<br />
<br />
7 5<br />
cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />
អនុវតតរូ មនតែឺម័រ និង រូ មនតផលគុណ ផលដចក្ ហយើងបាន<br />
<br />
<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos isin<br />
<br />
7 5<br />
cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />
<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
15 3<br />
35 10<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
4<br />
cos 2 isin 2<br />
cos<br />
i sin <br />
<br />
sin i cos <br />
<br />
<br />
<br />
3 5<br />
cos10 isin10<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin i cos <br />
<br />
<br />
គួរយ ់ដឹង ៖ <br />
<br />
<br />
cos 4 i sin 4<br />
<br />
cos 4 isin 4<br />
4<br />
4<br />
5 3<br />
3 1<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7 5<br />
5 2<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
12<br />
25<br />
<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
13<br />
<br />
3 5<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin cos n isin<br />
n<br />
cos13 isin13<br />
cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
2<br />
8<br />
10<br />
cos isin<br />
<br />
cos 4 isin 4<br />
cos 4 i sin 4<br />
<br />
<br />
cos 2 4 isin 2 4<br />
cos 4 isin 4 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
i <br />
<br />
cos 4 4 sin 4 4 cos8 isin8<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
72
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
sin i cos <br />
5. <br />
4<br />
cos isin<br />
<br />
5<br />
sin i cos<br />
3<br />
4<br />
cos3 isin 3<br />
cos3 isin 3<br />
<br />
<br />
cos 2 4 isin 2 4<br />
cos 4 isin 4 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
cos3 i sin 3<br />
<br />
cos 4 sin 4<br />
i <br />
cos 4 isin 4<br />
<br />
<br />
cos5 isin 5 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
cos7 isin 7<br />
5<br />
5<br />
<br />
cos 4 5 isin 4 5<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
cos 4 5 isin 4 5 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
sin 4 5 i cos 4 5<br />
<br />
<br />
cos 4 5 isin 4 5 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
cos 4 5 2 isin 4 5 2<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
cos 4 5 i sin 4 5<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
គួរចងច ំ ៖<br />
<br />
cos 2 cos , sin 2 sin <br />
ំហារ់ទី ២៥ រាយថាៈ<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos 2 isin<br />
<br />
9 9<br />
cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />
1<br />
អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហលើអង្ទី ១ ហយើងបាន<br />
<br />
<br />
<br />
cos15 isin15 <br />
cos 6 isin 6<br />
<br />
cos 36 isin 36 cos 45 isin 45 <br />
<br />
សប្មាយរញ្ជា ក់<br />
5 3<br />
cos3 isin3 cos 2 isin<br />
<br />
9 9<br />
cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />
i <br />
i <br />
cos 15 6 sin 15 6<br />
<br />
cos 36 45 sin 36 45<br />
i <br />
i <br />
cos 9 sin 9<br />
<br />
cos 9 sin 9<br />
1<br />
ំហារ់ទី ២៦ គណនាតម្មៃម្នក្ហនោមខាងហរោម៖<br />
1i 14<br />
60<br />
1 i<br />
1 i 3<br />
2014<br />
1. 2. 3. 4. 5.<br />
1<br />
1 i 3 619<br />
5<br />
i<br />
<br />
<br />
2<br />
3i<br />
<br />
<br />
2016<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
73
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1.<br />
14<br />
1i<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
2.<br />
14<br />
1i<br />
ែូចហនោះ<br />
60<br />
1<br />
i<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2 <br />
1 i 2<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
2 cos isin<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2 2<br />
128 cos10 i sin 10 <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
i 14<br />
1 128i<br />
2 2 <br />
1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
60 <br />
1 i<br />
2 cos isin<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
60<br />
14<br />
i <br />
30<br />
2 cos 15 sin 15<br />
60 30<br />
1<br />
i 2<br />
។<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
14 143<br />
143<br />
<br />
2 cos i<br />
sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
128cos isin<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
60 60<br />
60<br />
2 cos i<br />
sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
30<br />
2 1<br />
0i<br />
<br />
30<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2 cos i<br />
sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
7 42<br />
42<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
128 0 i<br />
<br />
3.<br />
1 i 3 2014<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
k<br />
<br />
sin 0<br />
1 3 <br />
1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
1 i 3 2014<br />
cos<br />
k <br />
គួរចងច ំ ៖ និង ចំហរោះរគ ់<br />
1 k<br />
<br />
2cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2014<br />
2014<br />
2014 2014<br />
2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2014<br />
4 4<br />
2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
k <br />
2014<br />
2014 2014<br />
2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2014<br />
4 4<br />
2 cos 670 isin 670 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2014 1 3 <br />
2<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
1 i 3 2 2 i 3 ។<br />
ែូចហនោះ 2014 2013 2013<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
74
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4.<br />
1<br />
1 i 3 619<br />
ហយើងមាន<br />
619 1 3 <br />
1 i 3 2 i<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
619<br />
<br />
2cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
619<br />
619 619<br />
619<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
5.<br />
នាំឱ្យ<br />
5<br />
i<br />
<br />
<br />
2<br />
3i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
619<br />
2 cos 206 isin 206 <br />
1<br />
1 i 3 619<br />
2016<br />
<br />
619<br />
1<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
619<br />
2 cos isin<br />
1 1<br />
<br />
619<br />
2 <br />
cos i sin<br />
3 3<br />
1<br />
<br />
2<br />
619<br />
<br />
cos<br />
i<br />
sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
1 3<br />
i<br />
612 612<br />
2 2<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
<br />
5<br />
i<br />
5 i 2 3i<br />
<br />
2 3i 2 3i 2 3i<br />
10 15i 2i 3i<br />
<br />
2 2<br />
2 3<br />
2<br />
1<br />
i<br />
នាំឱ្យ<br />
ែូចហនោះ<br />
5<br />
i<br />
<br />
<br />
2<br />
3i<br />
<br />
<br />
2016<br />
2016<br />
1<br />
i<br />
1008 5<br />
5<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
2<br />
i<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2016<br />
i <br />
1008<br />
2 cos 2520 sin 2520<br />
5<br />
i<br />
<br />
<br />
2<br />
3i<br />
<br />
<br />
2016<br />
2<br />
1008<br />
2016<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
1008<br />
2 cos isin<br />
<br />
1008 20165<br />
20165<br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
1008<br />
2 cos0 sin 0<br />
<br />
<br />
<br />
1008<br />
2 10i<br />
<br />
2016<br />
1008<br />
2<br />
ំហារ់ទី ២៧ គណនា រួចសរហសរជារាង<br />
213<br />
1969<br />
a ib<br />
3 1<br />
1. 2. 3. 4. 5.<br />
2 2 i<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 i<br />
<br />
5 3i<br />
3 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2i<br />
3 <br />
<br />
។<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
154<br />
21<br />
<br />
<br />
1i<br />
3 <br />
cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
75
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1.<br />
3 1<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
2.<br />
តាង<br />
<br />
213<br />
3 1 <br />
i cos isin<br />
2 2 6 6<br />
3 1<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
213<br />
<br />
cos<br />
i<br />
sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
213<br />
<br />
cos32 isin 32 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3 3<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
1969<br />
3 3<br />
z i<br />
2 2<br />
1969<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
2 2 i 3 1<br />
<br />
3 cos isin<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1969<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
213<br />
213<br />
cos<br />
isin<br />
6 6<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
1969 1969<br />
1969<br />
3 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
cos33 i sin 33 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
0 i<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1969 <br />
3 cos328 isin 328 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
1969 <br />
3 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1969 3 1<br />
3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1969<br />
985<br />
3 3<br />
<br />
2 2<br />
i<br />
ែូចហនោះ<br />
1969 1969<br />
985<br />
3 3 3 3<br />
i <br />
<br />
2 2 <br />
2 2<br />
i<br />
។<br />
3.<br />
តាង<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
154<br />
<br />
cos isin<br />
i<br />
z <br />
2 2<br />
1 i <br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
154<br />
នាំឱ្យ z<br />
1 <br />
cos<br />
isin<br />
<br />
2 4 4<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
cos i sin <br />
2 2 4<br />
<br />
2 4<br />
<br />
<br />
154<br />
1 2 2<br />
cos 38 isin 38<br />
77 <br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
1 154<br />
154<br />
cos i sin<br />
154 <br />
2 4 4<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
77<br />
<br />
1 <br />
cos<br />
isin<br />
2 4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
2 2<br />
1 77<br />
0 i<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
0 <br />
77<br />
2 i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
76
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
4.<br />
តាង<br />
5 3i<br />
3 <br />
<br />
1<br />
2i<br />
3 <br />
<br />
21<br />
5 3i<br />
3<br />
z 1 3<br />
1 2i<br />
3<br />
i<br />
2<br />
2<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
21 2<br />
2<br />
z 2cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
21<br />
21 21 2<br />
21 2<br />
<br />
2 cos i<br />
sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
21<br />
2 cos14 isin14<br />
<br />
<br />
21<br />
2 0i<br />
ែូចហនោះ<br />
5 3i<br />
3 <br />
<br />
1<br />
2i<br />
3 <br />
<br />
21<br />
<br />
21<br />
2 0<br />
i<br />
។<br />
5.<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
1i<br />
3 <br />
cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
1 3 <br />
<br />
2 <br />
i<br />
cos isin<br />
2 2<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
2<br />
<br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 cos isin cos isin<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
3 12 4<br />
<br />
3 12 4<br />
<br />
<br />
2 cos0 isin 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 10i<br />
2 0i<br />
<br />
1i<br />
3 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
2 0i<br />
1<br />
i<br />
<br />
2 cos isin<br />
3 12<br />
<br />
3 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
4 3<br />
4 3<br />
<br />
2 cos i<br />
sin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២៨ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
1<br />
i 3<br />
z <br />
1<br />
i<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ ។<br />
2z 1 i a 1<br />
i b<br />
a b <br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
77
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត<br />
1<br />
i 3<br />
z <br />
1<br />
i<br />
1 3 <br />
2 <br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 2 <br />
2<br />
<br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 cos i<br />
sin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos i sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos i sin <br />
2 3 4<br />
<br />
3 4<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i 3 1i<br />
3 1i<br />
z <br />
1 i 1 i 1<br />
i<br />
។<br />
ហហើយ ។<br />
<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ<br />
<br />
2<br />
1i i 3 i<br />
3<br />
11<br />
2z 1 i a 1<br />
i b<br />
a b <br />
<br />
3 1 3 1<br />
2<br />
i<br />
<br />
3 1 3 1<br />
i<br />
2 2<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
2z 1 i a 1<br />
i b<br />
<br />
2 <br />
<br />
3 1 3 1<br />
<br />
i<br />
a ai b bi<br />
2 2 <br />
3 1 3 1i a b a bi<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />
<br />
a b 31<br />
<br />
a b 3 1<br />
<br />
2b<br />
2<br />
<br />
នាំឱ្យ ។ យក្ ជំនួសចូលសមីោរ<br />
b 1 b 1<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
a <br />
a 1 3 1<br />
3<br />
ែូចហនោះ<br />
a<br />
3 , b1<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
78
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ២៩ ហគមាន ។<br />
z 2 , z 1 i , z 1<br />
i 3<br />
1 2 3<br />
ក្. សរហសរ<br />
z1 , z2 , z3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
w z z<br />
w<br />
z<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
3<br />
2<br />
1 2<br />
w<br />
ឃ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ x,<br />
y ហែើមបីឱ្យ U ។ z<br />
1 1<br />
<br />
U x i y i<br />
3<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
z1 , z2 , z3<br />
z <br />
1<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
2 10i<br />
<br />
2 cos0 isin 0<br />
2 2 <br />
z2<br />
1 i 2<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
1 3 <br />
z3<br />
1 i 3 2 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
w z z<br />
2<br />
1 2<br />
2<br />
1 2<br />
2 1<br />
2<br />
w z z i 2 1 2 1<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
i 2 2i<br />
រលរៀរទី ១<br />
21i<br />
2 2 cos sin<br />
<br />
<br />
i<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
w2 2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
w z z<br />
2<br />
<br />
1 2 <br />
រលរៀរទី ២<br />
<br />
2 cos0 isin 0 2 cos isin<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos0 isin 0 cos isin<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
p q p q<br />
តាមរូ មនត cos pcos q2cos cos<br />
2 2<br />
p q p q<br />
sin psin q2sin cos<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2cos isin 0<br />
2cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos0 cos i sin 0 sin <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
79
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងបាន<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
0 0 0 0 <br />
w 2 2cos<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
2isin 2<br />
cos<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2cos cos 2i<br />
sin cos<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2 <br />
4 cos isin<br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
w<br />
z<br />
3<br />
<br />
2 2 cos i sin<br />
w<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z3<br />
<br />
<br />
2 cos i sin <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
w 7<br />
7<br />
2 cos isin<br />
z<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
2 2 cos i<br />
sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos i sin <br />
4 3<br />
<br />
4 3<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
4cos cos isin<br />
4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
7<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
សរហសរ<br />
w<br />
z<br />
3<br />
w<br />
z<br />
3<br />
2<br />
2i<br />
<br />
1 i 3<br />
<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
2 2i1i<br />
3<br />
1i<br />
3 1i<br />
3 <br />
<br />
2<br />
2 2i 3 2i 2i<br />
3<br />
2<br />
2<br />
1 3<br />
2 2 3 2 2 3 i<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2 1 3 2 1 3 i<br />
<br />
4 4<br />
ែូចហនោះ<br />
w<br />
z<br />
3<br />
1<br />
3 1<br />
3<br />
i<br />
2 2<br />
។<br />
ឃ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />
x,<br />
y<br />
1 1<br />
<br />
w<br />
U z<br />
U x i y i<br />
x xi y yi<br />
w<br />
z<br />
<br />
3<br />
ហោយ ហយើងបាន ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />
U<br />
<br />
3<br />
1 3 1 3<br />
x y x y i <br />
i<br />
2 2<br />
1<br />
3<br />
x<br />
y 2<br />
1<br />
3<br />
<br />
x y <br />
2<br />
1<br />
2<br />
ូក្អង្ និងអង្ម្ន 1<br />
និង 2<br />
ហយើងបាន<br />
1<br />
3 1<br />
3 2<br />
2x<br />
1<br />
2 2 2<br />
<br />
x <br />
1<br />
2<br />
យក្តម្មៃ x ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
1<br />
ហយើងបាន<br />
1 1<br />
3<br />
y <br />
2 2<br />
1<br />
3 1 3<br />
y <br />
2 2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
1 3<br />
x<br />
, y <br />
2 2<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
80
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣០ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច u 1i<br />
3 និង ។<br />
u<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
u<br />
w v<br />
v<br />
ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos និង sin ។<br />
12 12<br />
v1i<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
និង<br />
u<br />
ខ. សរហសរ w ជាទរមង់រតីហោណមារតនិងជាទរមង់ពិជគណិ ត<br />
v<br />
<br />
<br />
u<br />
1 3 <br />
u 1 i 3 2 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
v<br />
u 1<br />
i 3<br />
w v 1<br />
i<br />
<br />
2cos i<br />
sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
u ru<br />
w cos u v isin<br />
u v <br />
v r <br />
v<br />
2 2 4 3<br />
4 3<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
2<br />
<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1i<br />
3 1i<br />
<br />
1i<br />
1i<br />
ហនាោះ<br />
<br />
2 cos i<br />
sin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
4 4<br />
<br />
<br />
v1i 2 cos sin<br />
2<br />
1i i 3 i<br />
3<br />
11<br />
2 <br />
w cos isin<br />
<br />
2 3 4<br />
<br />
3 4<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
3 1 3 1<br />
w<br />
i<br />
2 2<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន និង<br />
cos 12<br />
<br />
។<br />
sin 12<br />
<br />
w<br />
w<br />
<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
3 1 3 1<br />
2 cos isin<br />
i<br />
3 1 3 1<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
i<br />
2 2<br />
សមមូល<br />
31<br />
31<br />
2 cos <br />
cos <br />
3 1 3 1<br />
12 2 12 2 2<br />
2 cos i 2 sin i <br />
<br />
12 12 2 2 31<br />
31<br />
<br />
2 sin <br />
sin<br />
12 2<br />
<br />
<br />
12 2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
6 2 6 2<br />
cos<br />
<br />
, sin<br />
<br />
<br />
12 4 12 4<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
81
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣១<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
w1i<br />
3 1<br />
z i<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
z<br />
w<br />
u <br />
z<br />
ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត ។<br />
u<br />
1200<br />
w<br />
7 7<br />
cos 12<br />
ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន និង ។<br />
sin 12<br />
<br />
ក្. សរហសរ z និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
w<br />
<br />
w 1 i 3 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2 2 <br />
z 1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
w<br />
u <br />
z<br />
ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារតនិងជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
w<br />
u <br />
z<br />
<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos isin<br />
<br />
2 3 4<br />
<br />
3 4<br />
<br />
<br />
4 3<br />
4 3<br />
<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
1i<br />
31i<br />
w 1<br />
i 3<br />
u <br />
z 1 i 1 i 1<br />
i<br />
<br />
គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត<br />
u<br />
1200<br />
<br />
7<br />
7<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 i i 3 i 3<br />
11<br />
1<br />
3 1<br />
3<br />
i<br />
2 2<br />
ហយើងមាន<br />
u <br />
7<br />
7<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ហយើងបាន<br />
1200 7<br />
7<br />
u 2 cos isin<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
1200<br />
600<br />
2 cos700 isin 700<br />
<br />
<br />
600<br />
2 10i<br />
<br />
600<br />
2<br />
1200 12007<br />
12007<br />
<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ជាចំនួនពិតសុទធ<br />
cos700 1 ,sin 700 0<br />
ែូចហនោះ<br />
1200<br />
u<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
7 7<br />
ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos និង sin 12 12<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
82
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងមាន<br />
u <br />
7<br />
7<br />
2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
និង<br />
1<br />
3 1<br />
3<br />
u i<br />
2 2<br />
ហយើងបាន<br />
7 7 1 3 1<br />
3<br />
2 cos isin<br />
i<br />
12 12<br />
<br />
<br />
2 2<br />
7 7 1 3 1<br />
3<br />
2 cos i 2 sin i<br />
12 12 2 2<br />
<br />
cos <br />
12 2 2<br />
<br />
7<br />
1<br />
3<br />
<br />
sin <br />
12 2 2<br />
7 1<br />
3 7 1 3<br />
2 cos <br />
12 2<br />
<br />
7<br />
1<br />
3<br />
<br />
2 sin <br />
12 2<br />
ែូចហនោះ<br />
7 2 6 7 2 6<br />
cos<br />
<br />
, sin<br />
<br />
<br />
12 4 12 4<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣២<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
w<br />
z23i<br />
5<br />
i<br />
ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />
ខ. ហគឱ្យ M 3x y 2x yi<br />
។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ ។<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចសរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
z<br />
z w z w<br />
M <br />
1<br />
3<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
xy ,<br />
M z w<br />
2014<br />
z 1<br />
<br />
<br />
ក្. ង្វា ញថា និង<br />
z w z w<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
ហយើងមាន<br />
z 2 3 i , w 5 i 2 3 , 5<br />
z i w i<br />
ហហើយ<br />
<br />
z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3 7 17i<br />
z w 7 17i<br />
1<br />
និង<br />
<br />
z w 2 3i 5 i 10 2i 15i<br />
3<br />
7 17i<br />
2<br />
<br />
តាម 1<br />
និង 2<br />
ហនាោះ z w z w ។<br />
និង<br />
ហហើយ<br />
2 3i5<br />
i<br />
<br />
z 2<br />
3i<br />
<br />
w 5 i 5 i 5 i<br />
2 3i5<br />
i<br />
<br />
z 2<br />
3i<br />
<br />
w 5 i 5 i 5 i<br />
10 2i15i<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
5 1<br />
10 2i15i<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
5 1<br />
13 13<br />
26 26 i<br />
13 13<br />
26 26 i<br />
1 1<br />
2 2 i<br />
z<br />
w<br />
<br />
1 1<br />
2 2<br />
z 1 1<br />
i<br />
w<br />
<br />
2 2<br />
i 2 <br />
1<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
z z<br />
<br />
w<br />
<br />
w<br />
តាម 1<br />
និង 2<br />
ហនាោះ ។ ែូចហនោះ z w z w និង ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
83
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />
ហយើងមាន និង M z w 2 3i 5 i 7 4i 7 4i<br />
ហយើងបាន<br />
យក្<br />
3<br />
x <br />
5<br />
<br />
xy ,<br />
M z w<br />
ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
3<br />
<br />
2<br />
y 4<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
<br />
M x y x y i<br />
<br />
3x y 2x y i 7 4i<br />
y <br />
26<br />
5<br />
<br />
2<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហនាោះ<br />
ហយើងបាន<br />
3x<br />
y 7 (1)<br />
<br />
2x<br />
y 4 2<br />
<br />
3<br />
5x<br />
3 x<br />
5<br />
ែូចហនោះ<br />
3 26<br />
x<br />
, y <br />
5 5<br />
។<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z<br />
M <br />
1<br />
3<br />
ហយើងមាន<br />
z1 M 3 7 4i 3 4 4i<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
z1<br />
4 2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
• សរហសរ<br />
2014<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហោយ<br />
z<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z1 4 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
i <br />
4 4<br />
2014<br />
1<br />
4 2 cos( ) sin( )<br />
<br />
<br />
<br />
2014<br />
2014 2014 2014<br />
ហនាោះ<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2014<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
2014<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2104<br />
1<br />
4 2 cos sin<br />
2014 2014 2014<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
។<br />
2014<br />
<br />
4 2 cos504 isin 504 <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2014<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
84
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣៣ ហគឱ្យ និង ។<br />
ក្. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
<br />
z 1i<br />
3 2 2<br />
ខ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />
2012<br />
គ. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
w<br />
M x 3y x 2y i<br />
,<br />
<br />
i<br />
x y<br />
w<br />
M <br />
1 i<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z<br />
w<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
1 3 <br />
z 1 i 3 2 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
w 2 2i 2 2 i 2 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />
ហយើងមាន<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />
យក្<br />
ែូចហនោះ<br />
ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
។<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ហោយ<br />
ែូចហនោះ<br />
x,<br />
y<br />
w<br />
M <br />
1 i<br />
3 2 <br />
M x y x y i<br />
w 2<br />
2i<br />
21<br />
i<br />
M 2<br />
1 i 1 i 1<br />
i<br />
x 3y x 2y i 2 0i<br />
<br />
y 2<br />
x 4 , y 2<br />
z<br />
2012<br />
<br />
z 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
។<br />
និង<br />
ហនាោះ<br />
<br />
<br />
<br />
x3y2 1<br />
<br />
x 2y<br />
0 2<br />
y<br />
2<br />
1<br />
<br />
z<br />
2012<br />
2012<br />
2 2<br />
2 cos 670 isin 670 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
z <br />
2011 2011<br />
2 2 i 3<br />
x 3 2 2<br />
4<br />
x <br />
<br />
2cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2012<br />
2012 2<br />
2<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2012 2012<br />
2012<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2012 1 3<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
85
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣៤ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
<br />
, w i cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
z<br />
2012<br />
ខ. សរហសរ និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
z<br />
2011<br />
w<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់<br />
P z w<br />
2011 2012<br />
ូដលរ ។<br />
ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z<br />
w<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
z cos<br />
isin<br />
cos sin<br />
3 3<br />
<br />
i <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
cos i<br />
sin<br />
3 3<br />
និង<br />
<br />
w i cos<br />
i<br />
sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
cos i sin<br />
6 6<br />
<br />
i<br />
2 3<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
i cos cos sin<br />
3 3<br />
3 2<br />
3 2<br />
cos<br />
isin<br />
6 6<br />
អនក្អាចហោោះរាយតាមវ ិធីខាងហរោម៖<br />
<br />
w i cos i sin <br />
1 0i cos i sin<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
<br />
isin<br />
<br />
<br />
2 3<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហោយ<br />
ហហើយ<br />
2011<br />
2012<br />
z<br />
<br />
w<br />
2<br />
2<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
2011 2<br />
2<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
2011<br />
5<br />
5<br />
cos isin<br />
6 6<br />
4022<br />
4022<br />
cos<br />
isin<br />
3 3<br />
ហនាោះ<br />
<br />
cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
cos1340 isin 1340 <br />
3<br />
<br />
3<br />
cos isin<br />
3 3<br />
5<br />
5<br />
wcos<br />
isin<br />
6 6<br />
2012 5<br />
5<br />
w cos<br />
isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
cos isin<br />
3 3<br />
2012<br />
10060<br />
10060<br />
cos<br />
isin<br />
6 6<br />
4 4<br />
cos1676 isin 1676 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
86
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ. សរហសរ ជាទរមង់<br />
P z w<br />
2011 2012<br />
ូដលរ ដែល<br />
2011 2<br />
2<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
និង<br />
2012 2<br />
2<br />
w cos<br />
isin<br />
3 3<br />
ហយើងបាន<br />
2011 2012 2 2 2 2<br />
P z w cos i sin <br />
cos i sin<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
2<br />
P 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣៥<br />
w z 2 2 3<br />
និង<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ក្ំណត់ហោយ<br />
w z U w z<br />
និង<br />
ក្. សរហសរ , និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
w<br />
2014<br />
z<br />
2014<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
<br />
w i<br />
4 cos sin<br />
<br />
<br />
z i i<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ក្. សរហសរ និង z ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
w<br />
w2 2i<br />
3<br />
1 3 <br />
4 i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
z 4i cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 1 0i<br />
cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
<br />
4 cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
4 cos isin<br />
<br />
2 3<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
4cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហោយ<br />
ហយើងបាន<br />
U wz<br />
5 5<br />
U w z 4 cos i sin <br />
4 cos isin<br />
<br />
5 5<br />
<br />
3 3<br />
<br />
6 6<br />
4 cos isin cos isin<br />
<br />
<br />
3 3 6 6<br />
<br />
<br />
<br />
5 5<br />
<br />
4 cos cos i sin sin<br />
3 6<br />
<br />
3 6<br />
<br />
<br />
5 2 5<br />
<br />
3 6 6 7<br />
<br />
2 2 12<br />
និង<br />
5 2 5<br />
<br />
3 6 6 3<br />
<br />
<br />
2 2 12 4<br />
7 7 <br />
U 4 2cos cos 2sin cos<br />
12<br />
<br />
4<br />
<br />
12<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
7 7<br />
<br />
4 2cos cos i sin<br />
4<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
7 7<br />
<br />
8cos cos isin<br />
4<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
7<br />
7<br />
U 4 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
cos 4 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
87
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
w<br />
2014<br />
z<br />
2014<br />
ហោយ<br />
<br />
w<br />
4cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
w<br />
ែូចហនោះ<br />
2014<br />
<br />
4cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2014<br />
2014 2014<br />
2014<br />
4 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2014<br />
4 4<br />
4 cos 670 isin 670 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2014 2014 4<br />
4<br />
w 4 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
2014 4<br />
4<br />
4 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
និង<br />
5<br />
5<br />
z 4cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
2014 5<br />
5<br />
z 4cos isin<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2014<br />
2014<br />
4 cos 1678 isin 1678 <br />
2014 20145<br />
20145<br />
<br />
4 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2014<br />
4 cos isin<br />
2014 10070<br />
10070<br />
4 cos i<br />
sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
<br />
4 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2014 2014<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣៦ ហគមាន និង ។<br />
z 2 3 2i<br />
<br />
w 1 3 1<br />
3 i<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
u <br />
w<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
u , z w<br />
គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន និង ។<br />
cos 12<br />
<br />
sin 12<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
88
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
u <br />
w<br />
<br />
z<br />
u <br />
w<br />
2 3 2i<br />
1 3 1<br />
3<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
i<br />
<br />
<br />
2 3 2i<br />
1 3 1<br />
3 i<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 1 3 i 1 3 1<br />
3 i <br />
<br />
<br />
<br />
2 3 2i 1 3 2 3 2i 1<br />
3 i<br />
2 2<br />
1 3 1<br />
3<br />
2 3 6 2i 2i 3 2i 3 6i<br />
2 2 3<br />
<br />
8<br />
u , z w<br />
2 3 6 2i 2i 3 2 3 6 2i 2i 3 i<br />
<br />
1 2 3 3 1 2 3 3<br />
88i<br />
1<br />
i<br />
8<br />
<br />
<br />
u1i<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
3 1 <br />
z 2 3 2i 4 i 4 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 cos i sin<br />
z z<br />
<br />
6 6<br />
<br />
u w <br />
<br />
<br />
w u <br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
4 <br />
cos i sin <br />
2 6 4<br />
<br />
6 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន និង<br />
cos 12<br />
<br />
។<br />
sin 12<br />
<br />
ហនាោះ<br />
1 3 1 3 <br />
និង<br />
<br />
w i <br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
w i 2 2 cos sin<br />
<br />
<br />
1 3 1 3 i 2 2 cos 2 2 isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 1 3 i 2 2 cos 2 2 isin<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 cos 1<br />
3<br />
12<br />
<br />
2 2 sin 1 3<br />
12<br />
1<br />
3<br />
cos <br />
12 2 2<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
sin <br />
12 2 2<br />
2 6<br />
cos <br />
12 4<br />
<br />
2 6<br />
<br />
sin <br />
12 4<br />
ែូចហនោះ<br />
2 6 2 6<br />
cos<br />
<br />
, sin<br />
<br />
<br />
12 4 12 4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
89
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣៧<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z 1i<br />
3<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
2 3 20<br />
ខ. គណនា w 1 z z z . . . z ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
ហយើងមាន<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
z 1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. គណនា<br />
តាម<br />
w 1 z z z . . . z<br />
2 3 20<br />
<br />
21 20 19 2<br />
z z z z z z<br />
1 1 . . . 1<br />
ហោយ<br />
ដត<br />
z 1<br />
ហនាោះ<br />
z 1 1<br />
i 3 1 i 3<br />
z <br />
z z . . . z z 1<br />
<br />
z 1<br />
21<br />
20 19 2 1<br />
1<br />
z<br />
តាម<br />
21<br />
<br />
1 2cos isin 1<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
ហគបាន<br />
21<br />
21<br />
21<br />
2 cos7 isin 7<br />
1<br />
i<br />
2 1 0 1<br />
<br />
21<br />
2 1 2097153<br />
20 19 2 2097153<br />
z z . . . z z 1<br />
699051 3 i<br />
i 3<br />
ែូចហនោះ<br />
w<br />
699051 3 i<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣៨<br />
ហោោះរាយសមីោរខាងហរោម ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
1. 2. 3.<br />
2<br />
x 2x 2 0<br />
2<br />
x x 3<br />
0<br />
4. 2<br />
2<br />
2 x 2 32 0 5. z 3iz<br />
10<br />
6.<br />
2<br />
2<br />
7. z 3z 3 i 0 8. z 5 3i z 7i<br />
4 0<br />
t 1 2<br />
8 0<br />
2<br />
3iz z 2i<br />
0<br />
៖<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
90
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1. មាន<br />
2<br />
x 2x 2 0<br />
1, 2, 2<br />
a b c <br />
ហយើងបាន<br />
x<br />
1, 2<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
2 2<br />
b ac <br />
4 2 4 1 2 4 8 4 0<br />
b i 2<br />
i 4 2<br />
2i<br />
1<br />
i<br />
2a<br />
21 2<br />
x 1 i , x 1<br />
i<br />
1 2<br />
<br />
<br />
។<br />
ហនាោះ<br />
2. មាន<br />
2<br />
x x 3 0<br />
1 , 1, 3<br />
a b c <br />
ហយើងបាន<br />
x<br />
1, 2<br />
<br />
2 2<br />
b ac <br />
4 1 4 1 3 1 12 11 0<br />
b i 1<br />
11 1<br />
11<br />
<br />
2a<br />
21 2<br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
3.<br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
t 2<br />
1 8 0<br />
1<br />
i 11 1<br />
i 11<br />
x1 , x2<br />
<br />
2 2<br />
។<br />
t <br />
t 1 8<br />
1 8<br />
t 1<br />
2i<br />
2<br />
ែូចហនោះ t 1 2 2 i ; t 1 2 2i<br />
។<br />
4.<br />
2x 2 2<br />
32 0 x<br />
2<br />
x 2 16<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
x 2<br />
4i<br />
2 16<br />
x 2 4 i , x 2 4i<br />
1 2<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
91
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
5. សមមូលនឹង<br />
z<br />
2<br />
3iz<br />
10<br />
z<br />
2<br />
3iz<br />
10 0<br />
ហយើងបាន<br />
ហនាោះ<br />
z<br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
b ac i i <br />
4 3 4 1 10 9 40 9 40 49<br />
i i <br />
b 3 49 3i 7i<br />
z1<br />
5i<br />
2a<br />
21 2<br />
i i <br />
b 3 49 3i 7i<br />
2i<br />
2a<br />
21 2<br />
z 5 i , z 2i<br />
1 2<br />
។<br />
6. មាន<br />
7.<br />
2<br />
3iz z 2i<br />
0<br />
<br />
ហយើងបាន<br />
z<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2<br />
2<br />
b 4ac 1 4 3i 2i 1 24i<br />
25<br />
<br />
<br />
b 1 25 1<br />
5 1 i i<br />
z1 i<br />
2<br />
2a 23i 6i i i 1<br />
1 25 2 i<br />
<br />
b 1<br />
5 2i<br />
2<br />
i<br />
2a 23i 6i 3i i 3i<br />
3<br />
2 2<br />
2<br />
z z i<br />
3 3 0<br />
2<br />
z1 i , z2<br />
i<br />
3<br />
។<br />
មាន<br />
យក្<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
b 4ac 3 4 3 i 9 12 4i 3 4i<br />
3 4 i a ib , a,<br />
b <br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />
2<br />
3 4i a ib<br />
3 4i a 2abi i b<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
3 4i a b 2abi<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 a b 1<br />
<br />
4 2ab<br />
2<br />
តាមសមីោរ 2<br />
ហគបាន យក្ជំនួសចូលក្ន ុង<br />
ហគបាន<br />
2 4<br />
a <br />
2<br />
a<br />
3<br />
4 2<br />
a 3a<br />
4 0<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
a 3<br />
a<br />
<br />
<br />
តាង<br />
2<br />
2ab<br />
4 b <br />
a<br />
<br />
2<br />
y a y<br />
0<br />
<br />
ហគបាន<br />
1<br />
2<br />
2<br />
y 3y 4 0 មាន 3 44<br />
9 16 25<br />
3 25 3 5<br />
ហនាោះ y1<br />
4<br />
( មិនយក្ )<br />
21<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
92
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
8.<br />
y<br />
2<br />
ហោយ<br />
ហ ើ<br />
ហ ើ<br />
ហយើងបាន<br />
ហនាោះ<br />
z<br />
2<br />
3 25 3 5<br />
1<br />
21 2<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
a 1<br />
y 1<br />
<br />
y a<br />
a 1<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
( យក្ )<br />
2<br />
a a <br />
2<br />
1 1<br />
2 2<br />
b 2<br />
a 1<br />
2<br />
b 2<br />
1<br />
1<br />
2i<br />
3<br />
4i<br />
<br />
1 2i<br />
3 3 4i<br />
3 1<br />
2i<br />
4 2i<br />
z1<br />
2<br />
i<br />
21 2 2<br />
<br />
<br />
3 1 2i<br />
22i<br />
1<br />
i<br />
21 2<br />
2<br />
z i z i<br />
<br />
z 2 i , z 1<br />
i<br />
1 2<br />
5 3 7 4 0<br />
<br />
។<br />
<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
2<br />
<br />
5 3i<br />
<br />
4 7i<br />
4 25 30 9 28 16 2<br />
i i i<br />
តាង<br />
2i a ib<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
a b 2abi 0 2i<br />
2<br />
2i a ib<br />
ហនាោះ<br />
2 2<br />
a b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a 2abi b 2i<br />
<br />
<br />
0 1<br />
2ab<br />
2 2<br />
1<br />
2ab<br />
2 b <br />
a<br />
តាម ហគបាន យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
1<br />
ហគបាន<br />
a<br />
2 1<br />
2<br />
<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
4<br />
a 1<br />
0<br />
a 4<br />
1 1<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
ហគបាន<br />
z<br />
2<br />
a 1<br />
a 1<br />
2i<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
1<br />
i<br />
<br />
1 i<br />
1<br />
b 1<br />
1<br />
1<br />
b 1<br />
1<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />
<br />
ហហតុហនោះ<br />
5 3i 2i 5 3i 1<br />
i 6 4i<br />
3<br />
2i<br />
2 2 2<br />
<br />
5 3i 2i 5 3i 1<br />
i 4 2i<br />
z1<br />
2 i<br />
2 2 2<br />
z 2 i , z 3<br />
2i<br />
1 2<br />
។<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
93
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣៩<br />
ហោោះរាយសមីោរក្ន ុងសំណុំ ក្ុំផៃ ិច<br />
1. 2. 3.<br />
2<br />
2<br />
4. z 4 i<br />
z 5 5i<br />
0 5. z 7 3i z 22 7i<br />
0 6.<br />
7. 8.<br />
9.<br />
4<br />
x 5x 6 0<br />
<br />
3 2<br />
z i z i z i<br />
3 2<br />
x x x<br />
2 3 6 0 <br />
1 3 6 5 0<br />
<br />
z 3z 2 5<br />
4i<br />
2<br />
z i z i<br />
5 2 9 7 0<br />
3 2<br />
z z z<br />
3 2<br />
z i z i z i<br />
4 6 3 0<br />
8 19 11 14 18 0<br />
1.<br />
4<br />
x 5x 6 0 <br />
*<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
សមីោរមាន<br />
x1 1<br />
ជាឫសង្វយម្នសមីោរ<br />
យក្អង្ខាងហឆាងដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />
សមីោរខាងហលើហ<br />
ជា<br />
ផលគុណម្នពីរក្តាត ហសម ើនឹងសូនយ ោលណា ក្តាត នីមួយៗហសម ើនឹងសូនយ<br />
ហយើងបាន<br />
ឬ<br />
3 2<br />
សមីោរ x x x 6 0 មាន x2 2 ជាឫសង្វយ<br />
យក្អង្ខាងឆាងដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />
សមីោរ<br />
ោៃ យជា<br />
x 1<br />
1 0 0 5<br />
1 1<br />
1<br />
1 1<br />
6<br />
1<br />
1 6<br />
0<br />
x 10<br />
3 2<br />
x x x<br />
6<br />
Synthetic<br />
x x 3 x 2 x <br />
1 6 0<br />
**<br />
6 0 <br />
x 2<br />
1 1<br />
1 6<br />
2<br />
2 2 6<br />
1 1 3 0<br />
** <br />
<br />
x x x <br />
2<br />
2 3 0<br />
Synthetic<br />
ហនាោះ<br />
x 20<br />
ឬ<br />
2<br />
x x 3<br />
0<br />
ចំហរោះសមីោរ<br />
ហគបាន<br />
តាម<br />
<br />
2<br />
1 4 3 11 0<br />
2<br />
x x 3 0<br />
<br />
1<br />
i 11 1<br />
i 11<br />
x3 , x4<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
i 11 1<br />
i 11<br />
ែូចហនោះ សមីោរ * មានចហមៃើយ x1 1 , x2 2 , x3 , x4<br />
<br />
។<br />
2 2<br />
2.<br />
2 3 6 0 *<br />
<br />
3 2<br />
x x x<br />
សមីោរមាន<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
x1 1<br />
ជាឫសង្វយម្នសមីោរ<br />
94
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />
សមីោរ<br />
ោៃ យជា<br />
<br />
1 2 3 6<br />
1 3 6<br />
1 3 6 0<br />
<br />
* 1<br />
1<br />
* <br />
x x x <br />
ផលគុណម្នពីរក្តាត ហសម ើនឹងសូនយ ោលណា ក្តាត នីមួយៗហសម ើនឹងសូនយ<br />
x <br />
2<br />
1 3 6 0<br />
Synthetic<br />
ហគបាន<br />
x 10<br />
ឬ<br />
2<br />
x 3x 6 0<br />
ចំហរោះសមីោរ<br />
2<br />
2<br />
x 3x 6 0 តាម 3 46<br />
15 0<br />
ហនាោះ<br />
3.<br />
ហគមាន<br />
3 i 15 3 i 15<br />
x2 , x3<br />
<br />
2 2<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
<br />
5 2 9 7 0<br />
<br />
2<br />
។<br />
3 i<br />
15 3 i 15<br />
x1 1 , x2 , x3<br />
<br />
2 2<br />
<br />
5 2i <br />
4 9 7i 25 20i 4 36 28i 15 8i<br />
។<br />
តាង<br />
2<br />
15 8i a ib<br />
15 8i a ib<br />
<br />
2 2<br />
a b 2abi 15 8i<br />
ហគបាន<br />
2 2<br />
a b <br />
<br />
<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />
<br />
<br />
15 1<br />
2ab<br />
8 2<br />
តាមសមីោរ<br />
4<br />
2 : 2ab<br />
8<br />
b <br />
a<br />
<br />
យក្ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
1<br />
ហគបាន<br />
a<br />
2 4<br />
<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
2<br />
15<br />
តាង<br />
a 16 15a<br />
4 2<br />
4 2<br />
a 15a<br />
16 0<br />
<br />
2<br />
t a t<br />
0<br />
ហគបានសមីោរោៃ យជា<br />
t<br />
2<br />
មានរាង<br />
15t16 0<br />
0<br />
a b c <br />
c 16<br />
t1 1 , t2<br />
16<br />
2<br />
0<br />
a 1<br />
ហនាោះ ( មិនយក្ ហររោះ )<br />
t <br />
t 0<br />
ចំហរោះ<br />
t 1<br />
ហគបាន<br />
a<br />
2<br />
1 a 1<br />
• ហ ើ ហនាោះ<br />
a 1<br />
4<br />
b 4<br />
1<br />
4<br />
• ហ ើ a 1 ហនាោះ b 4<br />
1<br />
1<br />
4i<br />
ហហតុហនោះ 15 8i<br />
<br />
1 4i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
95
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />
4.<br />
តាង<br />
ហយើងមាន<br />
។<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />
ហគបាន តាមសមីោរ យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
ហគបាន<br />
តាង<br />
t<br />
2<br />
មាន<br />
ហគបាន សមីោរខាងហលើោៃ យជា<br />
ហគបាន ( មិនយក្ ហររោះ )<br />
ចំហរោះ<br />
<br />
z<br />
ហហតុែូចហនោះ<br />
5 2i 15 8i 5 2i 1<br />
4i<br />
4 6i<br />
z1<br />
2<br />
3i<br />
2 2 2<br />
2<br />
5 2i 15 8i 5 2i 1<br />
4i<br />
6 2i<br />
3<br />
i<br />
2 2 2<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
4 5 5 0<br />
t<br />
5 12i a ib<br />
2 2<br />
a b <br />
<br />
<br />
<br />
ហគបាន<br />
• ហ ើ ហនាោះ<br />
• ហ ើ ហនាោះ<br />
ហគបាន ,<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
<br />
<br />
z 2 3 i , z 3 i<br />
1 2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 i 4 1 5 5i 16 8i 1 20 20i 5 12i<br />
<br />
<br />
5 1<br />
2ab<br />
12 2<br />
a<br />
2 6<br />
2<br />
<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
t 0<br />
2<br />
a <br />
5<br />
<br />
5 12i a ib 2<br />
a 36 5a<br />
5t 36 0<br />
<br />
<br />
2<br />
4 2<br />
<br />
2<br />
5 4 36 25 144 169<br />
2 2<br />
5 12i a b 2abi<br />
6<br />
: 2ab<br />
12<br />
a <br />
b<br />
4 2<br />
a a <br />
5 36 0<br />
5 169 5 13<br />
t1<br />
9<br />
0<br />
2 2<br />
5 169 5 13<br />
t2<br />
4<br />
2 2<br />
t 4<br />
a 2<br />
a 2<br />
a<br />
5 12i<br />
2<br />
4 a 2<br />
6 6<br />
b 3<br />
a 2<br />
2<br />
3i<br />
<br />
2 3i<br />
6 6<br />
b 3<br />
a 2<br />
4 i 5 12i 4 i 2 3i 6 2i<br />
z1<br />
3<br />
i<br />
2 2 2<br />
z 3 i , z 1<br />
2i<br />
1 2<br />
z<br />
2<br />
t <br />
4 i 5 12i 4 i<br />
2 3i<br />
2 4i<br />
1<br />
2i<br />
2 2 2<br />
។<br />
<br />
<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
96
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
5.<br />
<br />
យក្<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
7 3 22 7 0<br />
<br />
2<br />
<br />
7 3i <br />
4 1 22 7i 49 42i 9 88 28i 48 14i<br />
48 14i a ib<br />
2<br />
48 14i a ib<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
2 2<br />
48 14i a b 2abi<br />
2 2<br />
a b <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
48 1<br />
2ab<br />
14 2<br />
តាម<br />
7<br />
2 : 2ab<br />
14<br />
a <br />
b<br />
<br />
យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
1<br />
ហគបាន<br />
តាង<br />
a<br />
2 7<br />
2<br />
<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t a t<br />
0<br />
<br />
48<br />
a 49 48a<br />
4 2<br />
ហគបាន សមីោរោៃ យជា<br />
4 2<br />
a a <br />
48 49 0<br />
t<br />
2<br />
មានរាង<br />
48t 49 0<br />
0<br />
a b c <br />
c 49<br />
t1 1 , t2<br />
49<br />
a 1<br />
ហនាោះ ( មិនយក្ )<br />
ចំហរោះ<br />
t 1<br />
ហគបាន<br />
a<br />
2<br />
1 a 1<br />
6.<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
ហហតុហនោះ<br />
ហគបាន z<br />
z<br />
2<br />
1<br />
a 1<br />
a 1<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
1<br />
7i<br />
48 14i<br />
<br />
1 7i<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
3 2<br />
z z z<br />
7 7<br />
b 7<br />
a 1<br />
7 7<br />
b 7<br />
a 1<br />
7 3i 48 14i 7 3i 1<br />
7i<br />
4<br />
5i<br />
2 2<br />
7 3i 48 14i 7 3i 1<br />
7i<br />
6 4i<br />
3<br />
2i<br />
2 2 2<br />
*<br />
4 6 3 0 <br />
<br />
<br />
z 4 5 i , z 3<br />
2i<br />
1 2<br />
។<br />
សមីោរមានទរមង់ ហគបាន z ជាឫសម្នសមីោរ<br />
a c b d<br />
1<br />
1<br />
យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ *<br />
ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ Synthetic ហគបាន<br />
1 4 6 3 1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
z 1<br />
1 3 3 0<br />
សមីោរ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
* ោៃ យជា z z 2 z <br />
1 3 3 0<br />
97
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហនាោះ<br />
z 10<br />
ឬ<br />
z<br />
2<br />
3z 3 0<br />
ចំហរោះសមីោរ<br />
z<br />
2<br />
មាន<br />
<br />
3z 3 0<br />
<br />
2<br />
3 4 1 3 9 12 3<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
7.<br />
z<br />
3 i 3 3 i 3<br />
, z <br />
2 2<br />
2 3<br />
<br />
3 2<br />
z i z i z i<br />
1 3 6 5 0<br />
3 i 3 3 i<br />
3<br />
z1 1 , z2 , z3<br />
<br />
2 2<br />
។<br />
ហគែឹងថា សមីោរមានឫសមួយ ជាចំនួននិមិតតសុទធ<br />
តាង<br />
z1<br />
ib<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
ជាឫសនិមិតតសុទធម្នសមីោរខាងហលើ ហគបាន<br />
3 2<br />
<br />
ib 1i ib 3 6i ib 5i<br />
0<br />
<br />
<br />
3 3 2 2 2<br />
i b i i b ib i b i<br />
1 3 6 5 0<br />
3 2 2<br />
ib b ib ib b i <br />
2 3 2<br />
b b ib ib ib i<br />
<br />
3 6 5 0<br />
6 5 3 0<br />
2 3 2<br />
b b b b b i<br />
1<br />
6 5 3 1 0<br />
2<br />
b b <br />
<br />
3 2<br />
b b b <br />
<br />
តាមសមីោរ ហគបាន មានទរមង់<br />
<br />
<br />
<br />
6 5 0 1<br />
3 1 0 2<br />
2<br />
b 6b 5 0<br />
0<br />
a b c <br />
ហនាោះ ។ យក្តម្មៃ ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
b 1 , b 5<br />
b <br />
1 2<br />
• ហ ើ<br />
b 1<br />
3 3 0<br />
ហគបាន<br />
Bti<br />
0<br />
0 ( )<br />
<br />
3 2<br />
1 1 3 1 1 0<br />
• ហ ើ ហគបាន ហនាោះ<br />
b 5<br />
<br />
3 2<br />
5 5 3 5 1 0<br />
2<br />
ហគបាន ៖<br />
ហនាោះ ( មិនពិត )<br />
125 25 15 1 0 136 0<br />
នាំឱ្យ ។ ែូចហនោះ z i ជាឫសនិមិតតសុទធម្នសមីោរ ។<br />
យក្សមីោរខាងហលើ ដចក្នឹង zi<br />
តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន<br />
សមីោរខាងហលើ ោៃ យជា<br />
ហគបាន<br />
b 1<br />
1 1 i<br />
1 1 2i<br />
3 6i 5 i<br />
i 2 i<br />
1<br />
zi0<br />
ឬ z 2 1 2i z 1 5i<br />
0<br />
<br />
<br />
5 i<br />
<br />
15i<br />
0<br />
i<br />
Synthetic<br />
z iz 2<br />
i z i<br />
<br />
<br />
1 2 1 5 <br />
<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
98
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ចំហរោះ<br />
1 2 1 5 0<br />
<br />
2<br />
z i z i<br />
មាន<br />
2<br />
1 2i<br />
4 1 5i<br />
7 24i<br />
<br />
យក្<br />
2<br />
7 24i a bi<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
7 24i a bi<br />
2 2<br />
a b <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7 1<br />
2ab<br />
24 2<br />
2 2<br />
7 24i a b 2abi<br />
<br />
តាមសមីោរ ហគបាន b យក្ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
2<br />
12<br />
a<br />
1<br />
ហគបាន<br />
តាង ហគបានសមីោរោៃ យជា មាន<br />
ហគបាន<br />
ចំហរោះ<br />
ហហតុហនោះ<br />
ហគបាន<br />
2 12<br />
<br />
a <br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t a t<br />
<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
0<br />
ហគបាន<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />
<br />
<br />
2<br />
7<br />
7 4 144 49 576 625 25<br />
a 144 7a<br />
2 2<br />
t<br />
2<br />
7 625 7 25<br />
t1<br />
9<br />
2 2<br />
4 2<br />
4 2<br />
a a <br />
t<br />
2<br />
7 144 0<br />
7t144 0<br />
7 625 7 25<br />
16<br />
0<br />
2 2<br />
t 9<br />
a 3<br />
a 3<br />
a<br />
3<br />
4i<br />
7 24i<br />
<br />
3 4i<br />
2<br />
9 a 9 3<br />
12<br />
b 4<br />
3<br />
12<br />
b 4<br />
3<br />
<br />
( មិនយក្ ហររោះ )<br />
1 2i 7 24i 1 2i 3<br />
4i<br />
2 2i<br />
z2<br />
1<br />
i<br />
2 2 2<br />
1 2i 7 24i 1 2i 3 4i 4 6i<br />
z3<br />
2<br />
3i<br />
2 2 2<br />
1 2 3<br />
<br />
z i , z 1 i , z 2 3i<br />
t <br />
។<br />
8.<br />
8 19 11 14 18 0 <br />
3 2<br />
z i z i z i<br />
*<br />
ហគែឹងថា សមីោរមានឫសមួយជាចំនួនពិតសុទធ<br />
តាង<br />
z1<br />
a<br />
<br />
ជាឫសពិតខាងហលើ ហគបាន<br />
3 2<br />
a i a i a i<br />
8 19 11 14 18 0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
99
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
3 2 2<br />
<br />
a 8a 19a 14 a 11a 18 i 0<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
3 2<br />
a a a <br />
<br />
2<br />
a a <br />
<br />
<br />
<br />
8 19 14 0 1<br />
11 18 0 2<br />
តាម<br />
2<br />
2 : a 11a 18 0<br />
<br />
មាន<br />
2<br />
11 4 18 121 72 49<br />
ហគបាន<br />
117 117<br />
a1 2 , a2<br />
9<br />
2 2<br />
ចំហរោះ ជំនួសចូលសមីោរ ហគបាន<br />
<br />
a 2<br />
<br />
3 2<br />
2 8 2 19 2 14 0<br />
8 32 38 14 0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
( ពិត )<br />
ចំហរោះ<br />
a 9<br />
ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
1<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
9 19 9 19 9 14 0<br />
729 648 17114 0<br />
238 0<br />
(មិនពិត)<br />
ែូចហនោះ យក្ ។ ហគបាន ។<br />
a 2<br />
1<br />
2<br />
<br />
z <br />
យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន<br />
<br />
1 8 i<br />
19 11i<br />
2 12 2i<br />
* 2<br />
z <br />
14 18i<br />
1 6 i<br />
79i<br />
0<br />
14 18i<br />
2<br />
<br />
Synthetic<br />
ហគបាន សមីោរ<br />
ហនាោះ<br />
*<br />
<br />
ោៃ យជា<br />
<br />
z <br />
<br />
z i z i<br />
<br />
<br />
2<br />
2 1 6 7 9 0<br />
2<br />
2<br />
z 6 i<br />
z 7 9i<br />
0 មាន <br />
6 i 4 7 9i 36 12i 1 28 36i 7 24i<br />
យក្<br />
7 24i a ib<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
2 2<br />
7 24i a b 2abi<br />
2 2<br />
a b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7 1<br />
2ab<br />
24 2<br />
2<br />
12<br />
a<br />
តាមសមីោរ ហគមាន b យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
<br />
1<br />
ហគបាន<br />
តាង<br />
2<br />
2 12<br />
<br />
4 2<br />
a 7 a 144 7a<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t a t<br />
0<br />
<br />
4 2<br />
a a <br />
7 144 0<br />
2<br />
ហគបានសមីោរោៃ យជា t 7t144 0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
100
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
មាន<br />
<br />
2 2<br />
7 4 144 49 576 625 25<br />
ហគបាន ( មិនយក្ )<br />
t<br />
2<br />
ចំហរោះ<br />
7 625 7 25<br />
t1<br />
9<br />
2 2<br />
7 625 7 25 16<br />
2 2<br />
t 16<br />
ហគបាន<br />
a<br />
2<br />
16 a 16 4<br />
ហហតុហនោះ<br />
ហគបាន<br />
9.<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
z<br />
2<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
តាង<br />
a 4<br />
a 4<br />
4<br />
3i<br />
7 24i<br />
<br />
4 3i<br />
ហនាោះ<br />
12<br />
b 3<br />
4<br />
12<br />
b 3<br />
4<br />
6 i 7 24i 6 i<br />
4 3i<br />
2 4i<br />
1<br />
2i<br />
2 2 2<br />
6 i 7 24i 6 i 4 3i 10 2i<br />
z3<br />
5<br />
i<br />
2 2 2<br />
z 3z 2 5<br />
4i<br />
z a ib<br />
z a ib<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 , z 1 2 i , z 5 i<br />
1 2 3<br />
<br />
។<br />
ហគបានសមីោរោៃ យជា<br />
a ib 3a 3ib 2 5 4i<br />
4a 2 2ib 5 4i<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
<br />
a ib 3 a ib 2 5<br />
4i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4a<br />
2 5 1<br />
<br />
2b<br />
4 2<br />
តាម<br />
តាម<br />
1<br />
2<br />
ហគបាន<br />
ហគបាន<br />
7<br />
4a 5 2 a<br />
4<br />
4<br />
b 2<br />
2<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
7<br />
z 2 i<br />
4<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
101
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ៣៦ ហោោះរាយសមីោរ៖<br />
1.<br />
2.<br />
2<br />
iz 3 iz 3<br />
3 4 0<br />
z 2i <br />
z 2i<br />
<br />
<br />
3 2<br />
3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />
1 0<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
1.<br />
តាង<br />
2<br />
iz 3 iz 3<br />
3 4 0<br />
z 2i <br />
z 2i<br />
<br />
<br />
w iz 3<br />
z 2 i<br />
សមីោរមានរាង<br />
ហគបានសមីោរហ<br />
a c b<br />
• ចំហរោះ w 1 ហគបាន<br />
• ចំហរោះ<br />
w 4 ហគបាន<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
ហនាោះ<br />
ជា<br />
iz 3 1<br />
z<br />
2i<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2<br />
w 3w 4 0<br />
c 4<br />
w1 1 , w2<br />
4<br />
a 1<br />
iz 3 z 2i<br />
z iz 3 2i 1 i z 3<br />
2i<br />
3 2i<br />
1 5<br />
z i<br />
1<br />
i 2 2<br />
iz 3 4<br />
z<br />
2i<br />
<br />
<br />
iz 3 4 z 2i<br />
iz 4z 3 8i i 4 z 3<br />
8i<br />
3 8i<br />
4 35<br />
z i<br />
i 4 17 17<br />
1 5 4 35<br />
z1 i , z2<br />
i<br />
2 2 17 17<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
102
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2.<br />
តាង<br />
3 2<br />
3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />
1 0<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
<br />
z i<br />
3z<br />
2i<br />
w <br />
z i<br />
ហនាោះ<br />
w10<br />
ហគបានសមីោរហ<br />
ឬ<br />
2<br />
w <br />
ជា<br />
3 2<br />
w w w<br />
1<br />
0<br />
<br />
2<br />
w w w<br />
1 1 0<br />
2<br />
w<br />
w<br />
<br />
1 0<br />
1 1 0<br />
ហគបាន<br />
w 1 , w i , w i<br />
1 2 3<br />
• ចំហរោះ<br />
តាង<br />
<br />
z x iy<br />
<br />
w 1 ហគបាន<br />
3 x yi 2i<br />
1<br />
x yi i<br />
z x yi<br />
3x 3yi 2i x yi i 0<br />
4x<br />
0<br />
<br />
2y<br />
1 0<br />
• ចំហរោះ<br />
wi<br />
<br />
3z<br />
2i<br />
1<br />
z i<br />
ហគបាន<br />
*<br />
<br />
*<br />
<br />
ហ<br />
ជា<br />
3x 3yi 2i x yi i<br />
x 0 <br />
1<br />
y <br />
2<br />
ហគបាន<br />
<br />
4x 2y 1 i 0<br />
ហគបាន<br />
3z<br />
2i<br />
i<br />
z i<br />
<br />
1<br />
z1<br />
i<br />
2<br />
<br />
3 x yi 2i<br />
<br />
i<br />
x yi i<br />
<br />
3x 3yi 2i xi yi i<br />
2 2<br />
3x 3yi 2i xi y 1<br />
3x 3yi 2i xi y 1 0<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
<br />
3x y x 3y i 1<br />
2i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3x y 1 1 3<br />
<br />
x 3y<br />
2 2<br />
1<br />
8x<br />
1<br />
x <br />
8<br />
យក្តម្មៃ x ជំនួសក្ន ុងសមីោរ 2 ហគបាន<br />
ហហតុហនោះ<br />
• ចំហរោះ<br />
z<br />
2<br />
1 5<br />
i<br />
8 8<br />
3z<br />
2i<br />
3 x yi 2i<br />
w i i i<br />
z i x yi i<br />
<br />
<br />
1<br />
3 y 2<br />
8<br />
5<br />
y <br />
8<br />
3x 3yi 2i xi yi i<br />
<br />
2 2<br />
3x y x 3y i 1<br />
2i<br />
<br />
3x 3yi 2i xi y 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
103
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
យក្តម្មៃ<br />
ហហតុហនោះ<br />
x<br />
ជំនួសចូលសមីោរ<br />
1 5<br />
z3<br />
i<br />
8 8<br />
<br />
<br />
<br />
3x y 1 1 3<br />
<br />
x 3y<br />
2 2<br />
។<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />
1<br />
8x<br />
1 x <br />
8<br />
2<br />
ហគបាន<br />
1<br />
3 y 2<br />
8<br />
5<br />
y <br />
8<br />
1 1 5 1 5<br />
z1 i , z2 i , z3<br />
i<br />
2 8 8 8 8<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣៧<br />
ហគមានសមីោរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
2<br />
z 3i 2z z 7 i<br />
។<br />
ក្. ចូរហោោះរាយសមីោរខាងហលើ ហោយយក្<br />
z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ជាឫសម្នសមីោរដែល<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 2<br />
។<br />
ខ. សរហសរ z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. គណនា<br />
w z z z z ... z<br />
2 3 4 2015<br />
2 1 1 1 1<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />
ហយើងមាន<br />
2<br />
z 3i 2z z 7 i<br />
យក្<br />
z x yi<br />
2<br />
ហគបាន <br />
x yi 3i 2 x yi x yi 7 i<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
<br />
<br />
<br />
យក្ y 1 ជំនួសក្ន ុង 1 ហគបាន<br />
x<br />
<br />
2 2<br />
3 11 3x<br />
7<br />
2<br />
x x x<br />
6 9 3 7<br />
2<br />
x 3 y 1 i 2x 2yi x yi 7 i<br />
2 2<br />
x 3 y 1 3x yi 7 i<br />
2 2<br />
x 3 y 1 3x<br />
7 1<br />
y 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x 3x 2 0<br />
ហោយសមីោរមានរាង a b c 0 ហគបាន x 1<br />
x 2<br />
1 , 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
104
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ដត<br />
z<br />
<br />
z<br />
1 2<br />
ហយើងយក្<br />
1 2<br />
z 1 i , z 2 i ។<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
z 1 i , z 2 i<br />
1 2<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2 <br />
z1<br />
1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z1 2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
គ. គណនា<br />
w z z z z ... z<br />
2 3 4 2015<br />
2 1 1 1 1<br />
ហគមាន<br />
z 2 i 11 i 1<br />
z<br />
2 1<br />
ហនាោះហគបាន<br />
w 1 z z z z . . . z<br />
2 3 4 2015<br />
1 1 1 1 1<br />
ហសម ើនឹង 1 និង ផលហធៀ រួម<br />
q z 1<br />
ជាផល ូក្ 2016<br />
តួែំ ូងម្នសា ុីតធរណី មារតដែលមានតួទី១<br />
ហគបាន<br />
n<br />
2016<br />
q 1 z1<br />
1<br />
w u1<br />
1 <br />
q1 z 1<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1008<br />
2 cos504 isin 504 1<br />
1008<br />
ែូចហនោះ w 1 2 <br />
i ។<br />
i<br />
<br />
2016<br />
<br />
2 cos isin 1<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1i<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1008<br />
2 10i<br />
1<br />
i<br />
<br />
1008<br />
2 1i<br />
2016 2016<br />
2016<br />
2 cos isin 1<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
1<br />
2<br />
2<br />
i<br />
<br />
1008<br />
<br />
i<br />
លំហាត់ទី៤០៖ ចូរក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />
a0 0, a1<br />
1<br />
a1 0 ; a2<br />
2<br />
ក្. ត្េ ់ ខ. <br />
ត្េ ់<br />
an2 an1an<br />
an2 2an12an<br />
a0 0 ; a1<br />
1<br />
េ. ត្េ ់<br />
an2 an<br />
1<br />
an<br />
n <br />
n <br />
n <br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
105
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ចហមៃើយ<br />
ក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />
a<br />
0, a 1<br />
0 1<br />
<br />
an2 an1an<br />
ក. រគ ់ n ∈ N<br />
<br />
សមីោរសំគ្នល់<br />
r<br />
2<br />
r1<br />
ឬ<br />
r<br />
2<br />
r<br />
1<br />
0<br />
នាំឲ្យ<br />
តាងសា ុីតជំនួយ<br />
1 3 1 3 1 3 <br />
z a <br />
i a a a i a i a a<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
n1 n2 n1 n1 n n1 n1<br />
n<br />
1 3 1 3 <br />
zn<br />
1<br />
<br />
i an1 i an<br />
<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
<br />
ហនាោះ<br />
និងតួែំ ូង<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
2<br />
( 1) 4(1)(1) 3 0<br />
3i<br />
( 1) 3i<br />
1 3<br />
r1<br />
i<br />
2 2 2<br />
1 3<br />
r2<br />
i<br />
2 2<br />
z<br />
n1<br />
1 3<br />
z a ra a i a<br />
2 2 <br />
n n1 1 n n1<br />
n<br />
1 3 <br />
<br />
i z<br />
2 2 <br />
z n<br />
n<br />
ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />
1 3<br />
q i cos<br />
<br />
isin<br />
2 2 3 3<br />
z0 a1 ra<br />
1 0<br />
1 0 1<br />
n n n<br />
zn<br />
z0 q cos isin cos isin (1)<br />
3 3 3 3<br />
1 3 1 3<br />
មយ ងហទៀត zn an 1<br />
ra<br />
1 n<br />
an 1<br />
i an an<br />
1<br />
an ani<br />
2 2 2 2<br />
n<br />
(2)<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
106
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
តាម(1) និង (2)ទាញបាន<br />
ែូនហនោះ តួទីn ម្នសា ុីត ក្ំណត់ហោយ ∀n ∈ N ។<br />
a1 0 ; a2<br />
2<br />
ខ. <br />
ត្េ ់<br />
an2 2an12an<br />
សមីោរសំគ្នល់<br />
( )<br />
a n<br />
2<br />
r 2r r<br />
ឬ<br />
r<br />
3 n<br />
an<br />
sin<br />
2 3<br />
2 n<br />
an<br />
sin<br />
3 3<br />
n <br />
2<br />
a<br />
n<br />
<br />
2r 2 0<br />
2 n<br />
sin<br />
3 3<br />
នាំឲ្យ<br />
2<br />
2i<br />
r1<br />
<br />
2<br />
1<br />
i<br />
<br />
2<br />
( 2) 4(1)(2) 4 0<br />
2i<br />
r<br />
i<br />
2<br />
1<br />
តាងសា ុីតជំនួយ<br />
ហនាោះ<br />
<br />
និងតួែំ ូង<br />
z a ra a i a<br />
n<br />
<br />
n1 <br />
1 n<br />
<br />
n1 1<br />
n<br />
z a 1<br />
i a<br />
n1 n2 n1<br />
<br />
<br />
z 2a 2a 1<br />
i a<br />
n1 n1 n n1<br />
1 i a 2a<br />
<br />
<br />
n1<br />
2 <br />
z<br />
1<br />
1<br />
n <br />
i<br />
<br />
a n 1<br />
a<br />
1<br />
i<br />
n <br />
<br />
1 (1 ) <br />
z i a i a<br />
n1 n1<br />
n<br />
z n<br />
<br />
<br />
<br />
ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />
z1 a2 ra<br />
1 1<br />
2<br />
n<br />
2 2 <br />
q 1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 4 4 <br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
107
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
មយ ងហទៀត<br />
ហគបាន<br />
តាម(1) និង (2)ទាញបាន<br />
ែូនហនោះ តួទីn ម្នសា ុីត ក្ំណត់ហោយ , ∀n ∈ N ។<br />
គ. លំនាំែូចខាងហលើ។<br />
n1<br />
zn<br />
z1<br />
q i<br />
n1<br />
2<br />
<br />
2<br />
2(cos sin ) <br />
4 4 <br />
n1 n1<br />
n<br />
<br />
2 2<br />
លំហាត់ទី៤១. គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម៖<br />
ក្. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
ខ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
គ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />
ចមមលើយ<br />
គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
n1<br />
( n1) ( n1)<br />
<br />
2 (2 ) cos isin<br />
<br />
4 4 <br />
( 1) ( n1)<br />
<br />
2 cos 2 sin i (1)<br />
4 4<br />
<br />
z a ra a 1 i a a a a i (2)<br />
n n1 1 n n1 n n1<br />
n n<br />
( )<br />
a n<br />
a<br />
n<br />
<br />
n1<br />
( n 1)<br />
<br />
2<br />
2 sin<br />
4<br />
a<br />
n<br />
n1<br />
( n 1)<br />
<br />
2<br />
2 sin<br />
4<br />
z 1 i , z 2 2i<br />
1 2<br />
z 2 2 i , z 2 3i<br />
1 2<br />
z 3 2 i , z 1<br />
i<br />
1 2<br />
ក.<br />
ខ.<br />
AB z z i i <br />
2 2<br />
1 2<br />
1 2 2 1 3 ( 1) 3 10<br />
ែូចហនោះ AB = √10 ឯក្តារ ដវង។<br />
<br />
2 2<br />
AB z1 z2 2 2i 2 3i<br />
2 2 2 3<br />
4 2 4 2 4 3 4 3 13 4 2 3<br />
<br />
<br />
ដូចមនុះ AB = 13 4( 2 3) ឯក្តារ ដវង។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
108
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ.<br />
AB z z i i i <br />
2 2<br />
1 2<br />
3 2 1 2 3 2 ( 3) 13<br />
ែូចហនោះ AB =<br />
13 ឯក្តារ ដវង។<br />
លំហាត់ទី៤២. 1.ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
z p<br />
P ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។<br />
z<br />
ចូររក្ និង ។<br />
p<br />
z Q<br />
z Q<br />
2 2<br />
z<br />
A<br />
z<br />
27i<br />
1<br />
p<br />
<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
B<br />
i<br />
2.ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />
z p<br />
P ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។<br />
z<br />
ចូររក្ និង ។<br />
p<br />
z<br />
Q<br />
z Q<br />
ចគ ើយ ល<br />
z<br />
A<br />
i 3 2<br />
z<br />
B<br />
<br />
p<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
3<br />
Q<br />
<br />
4<br />
i<br />
z<br />
1. ចូររក និង<br />
p<br />
ហោយP ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
ហគបាន<br />
ែូនហនោះ<br />
ហោយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />
ហគបាន<br />
z Q<br />
z<br />
z<br />
p<br />
P<br />
zP<br />
z<br />
Q<br />
z p<br />
1<br />
2 7 i (1 i)<br />
zA PzB<br />
4 8 28i 1<br />
i<br />
<br />
1<br />
P<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
9 29i<br />
9 29<br />
i<br />
5 5 5<br />
9 29<br />
i<br />
5 5<br />
z Q<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ<br />
3<br />
z 2 7 (1 )<br />
A<br />
Q z i i<br />
B 4 8 28i 3 3i<br />
<br />
1<br />
Q<br />
3<br />
1<br />
1<br />
4<br />
p<br />
<br />
Q<br />
<br />
1<br />
4<br />
3<br />
4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
109
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
zQ<br />
5 25i<br />
ែូនហនោះ<br />
zQ<br />
525i<br />
z<br />
2. ចូររក និង<br />
p<br />
ហោយP ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />
ហគបាន<br />
ែូនហនោះ<br />
ហោយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />
ហគបាន<br />
ែូនហនោះ<br />
z Q<br />
z<br />
z<br />
p<br />
P<br />
zP<br />
z<br />
z<br />
Q<br />
Q<br />
zQ<br />
z p<br />
p<br />
<br />
2<br />
2 2 i ( 3 2 i)<br />
zA PzB<br />
3 6 3 2i 2 3 2 2i<br />
<br />
1<br />
P<br />
2<br />
1<br />
5<br />
3<br />
<br />
6 2 3 i 2 2 3 2 i 6 2 3 2 i<br />
<br />
<br />
5 5<br />
6 2 3 2<br />
i<br />
5 5<br />
z Q<br />
<br />
ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ<br />
1<br />
z<br />
2 2 ( 3 2 )<br />
A<br />
Q z<br />
i i<br />
B<br />
3 6 3 2i 3 2i<br />
<br />
1<br />
Q<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<br />
6 3 2 3 2 i<br />
<br />
2<br />
6<br />
3<br />
2<br />
2i<br />
2<br />
<br />
2<br />
3<br />
1<br />
Q<br />
<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
110
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
លំហាត់ទី៤៣៖<br />
1.ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />
z 3 8 i , z 3 7 i , z 4 9i<br />
A B C<br />
AC<br />
AB<br />
BAC<br />
។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />
2. ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />
z 3 12 i , z 6 11 3 i , z 4 3i<br />
A B C<br />
AC<br />
AB<br />
BAC<br />
។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />
3. ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />
z 2 2 i , z 3 i , z 1<br />
i<br />
A B C<br />
AC<br />
AB<br />
BAC<br />
។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />
៤.ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />
z 2 2 3 i , z 4 8 3 i , z 1<br />
3i<br />
A B C<br />
ចមមលើយ<br />
1. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />
តាមរូ មនត ហហើយ<br />
ែូចហនោះ<br />
AC<br />
AB<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
AB z z<br />
AC<br />
2. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />
AB<br />
B<br />
A<br />
A<br />
BAC<br />
zc<br />
zA<br />
(4 9 i) (3 8 i) 1<br />
i<br />
1<br />
i<br />
z z (3 7 i) (3 8i) i<br />
B<br />
z<br />
z<br />
c<br />
B<br />
A<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
A<br />
zc z <br />
A<br />
តាមរូ មនត <br />
ហហើយ BAC<br />
arg <br />
AB zB<br />
zA<br />
zB<br />
zA<br />
<br />
AC<br />
AB<br />
BAC<br />
។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />
zc z <br />
A<br />
BAC<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
<br />
z<br />
2 2 <br />
A<br />
3<br />
3<br />
<br />
i i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
zA<br />
2 2 4 4 <br />
AC<br />
3<br />
2 , BAC<br />
<br />
AB<br />
4<br />
BAC<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
111
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
<br />
z 4 3 3 12<br />
C<br />
z i i<br />
A<br />
4 3i 3 2 3i 1<br />
3i<br />
<br />
z z 6 11 3i<br />
3<br />
12i<br />
6 11 3i 3 12i 9 9 3i<br />
B<br />
z<br />
z<br />
C<br />
B<br />
A<br />
z<br />
z<br />
A<br />
A<br />
1<br />
3i<br />
1<br />
3i<br />
1<br />
<br />
9 9 3i<br />
9(1 3 i)<br />
9<br />
1 1<br />
1 0i<br />
cos<br />
isin<br />
9 9<br />
<br />
AC 1<br />
ែូចហនោះ , BAC<br />
<br />
AB 9<br />
3. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />
តាមរូ មនត ហហើយ<br />
ែូចហនោះ<br />
AC<br />
AB<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
AB z z<br />
4. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />
B<br />
A<br />
A<br />
BAC<br />
zc z <br />
A<br />
BAC<br />
arg <br />
zB<br />
zA<br />
<br />
zc<br />
zA<br />
(1 i) (2 2 i) 1 i (1 i)(1 i)<br />
<br />
z z (3 i) (2 2i) 1 i (1 i)(1 i)<br />
B<br />
z<br />
z<br />
c<br />
B<br />
z<br />
z<br />
A<br />
A<br />
A<br />
2<br />
(1 i 2 i)<br />
i<br />
0 i<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1(cos isin )<br />
2 2<br />
AC<br />
3<br />
1 , BAC<br />
<br />
AB<br />
2<br />
AC<br />
AB<br />
AC zC<br />
z<br />
<br />
A<br />
zc z <br />
A<br />
តាមរូ មនត <br />
ហហើយ BAC<br />
arg <br />
AB zB<br />
zA<br />
zB<br />
zA<br />
<br />
។<br />
BAC<br />
zc<br />
zA<br />
(1 3 i) (2 2 3 i) 1 3i 1<br />
3i<br />
<br />
z z ( 4 8 4 i) (2 2 3i) 6 6 3i 6(1 3 i)<br />
B<br />
A<br />
( 1 3 i)(1 3 i) 1 3i 3i 3 2 2 3i<br />
<br />
6(1 3 i)(1 3 i)<br />
6(4) 24<br />
zc<br />
z 1 1 <br />
A<br />
1 3i<br />
1 4<br />
4<br />
( 1 3i) (cos isin )<br />
zB<br />
zA<br />
12 6 2 2 6 3 3<br />
AC 1 4<br />
ែូចហនោះ , BAC<br />
។<br />
AB 6 3<br />
លំហាត់ទី៤៤៖<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
112
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
1. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ z i z 2 i z 4 ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />
2. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />
3. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ហហើយ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />
ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ ចូរក្ំណត់សំណុំ ម្នចំណុ ចP ហែើមបី Pជាចំនួននិមមិតសុទធ។<br />
4. ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)ហគឲ្យចំណុ ច P ជារូ ភាពម្ន z ដែល ំហពញលក្ខណឌ<br />
z1i<br />
1 <br />
z<br />
i 3<br />
1.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP<br />
ហយើងមាន<br />
z1i<br />
w z 1 i<br />
។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />
<br />
z i z 2 i z 4<br />
ចមមលើយ<br />
2 i x iy 2 i x iy 4<br />
ហគបាន <br />
2x 2yi xi y 2x 2yi xi y 4<br />
4x 2y 4 , y 2x<br />
2<br />
<br />
z1 i 4<br />
ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជា នាទ ត់(d) មានសមីោរ<br />
y 2x2<br />
។<br />
z x iy x,y<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
113
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ច P<br />
ហយើងមាន<br />
z1 i 4<br />
ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z x iy x,y<br />
ហគបាន<br />
x iy 1 i 4<br />
x <br />
x <br />
នាំឲ្យ<br />
1 1 y i 4<br />
1 1 y i 4<br />
x<br />
y <br />
x y <br />
2 2<br />
1 1 4<br />
2 2 2<br />
1 1 4<br />
2 2 2<br />
x1 y1 4<br />
ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជារងាង់(S): <br />
3.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ច P<br />
ហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
x iy 1<br />
i x 1 1<br />
y i<br />
w <br />
<br />
x yi 1 i x 1 y 1<br />
i<br />
ហែើមបីបាន w<br />
ហគទាញបាន w w<br />
ហគបាន<br />
<br />
z x iy , x, y 1, 1 x,<br />
y <br />
w<br />
w<br />
<br />
2<br />
ជាចំនួននិមមិតសុទធោលណា Re( ) 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 1 y i x 1 1<br />
y i<br />
<br />
x 1 y 1 i x 1 y 1<br />
i<br />
w<br />
មានផចិត I( 1 , −1) និងោំR = 4។<br />
1 1 1 1 1 1 1 1<br />
x y i x y i x y i x y i<br />
<br />
x 1 x 1 y 1 i x 1 y 1 i 1<br />
y i<br />
2 2<br />
x 11 y x 11<br />
y<br />
1 1 1 11 1<br />
<br />
x x y i x y i y i<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
2x<br />
2y<br />
4<br />
x<br />
y<br />
2 2<br />
2<br />
z1i<br />
w z 1 i<br />
2 2 2<br />
ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជារងាង់(S):<br />
x<br />
y 2<br />
មានផចិត I( 0 , 0) និងោំ R = √2 ។<br />
2 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
114
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ១ (ប្រឡងបាក់ឌ រឆ្លន ំ ២០០២)<br />
ក្. ហគឱ្យ<br />
z 1i<br />
3<br />
2002<br />
។ សរហសរ z និង z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. ហគឱ្យ<br />
u x iy , z a ib<br />
1<br />
។ ចូរគណនា<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
និង b<br />
ហ ើហគែឹងថា<br />
u z iz <br />
2<br />
1 1<br />
1<br />
2<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
និង<br />
2002<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងមាន<br />
z 1i<br />
3<br />
1 3 <br />
2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហយើងបាន<br />
2002 2002<br />
2002 2002<br />
z 2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2002 2<br />
2<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z 2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
និង<br />
2002<br />
2 2<br />
2 cos 668 isin 668 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2002 2002 2<br />
2<br />
z 2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. គណនា<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
និង b<br />
ហោយ<br />
z a ib<br />
1<br />
<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
2<br />
z1 iz1 a ib i a ib <br />
2 2<br />
2 2<br />
a 2abi b ai b <br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
a b b 2ab a i<br />
ហយើងបាន<br />
2<br />
សមមូល<br />
នាំឱ្យ<br />
u z iz <br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
x yi a b b 2ab a i<br />
2<br />
2 2 1<br />
<br />
x a b b <br />
2<br />
y 2ab a<br />
2 2 1<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2 1<br />
x a b b , y 2 ab a ។<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
115
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ២ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />
ក្. ង្វា ញថា <br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ<br />
<br />
2<br />
3 1 i<br />
4 2 3<br />
<br />
<br />
។<br />
E z z<br />
2<br />
: 1 3 2 3 0<br />
ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />
គ. សរហសរ<br />
z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ដែលជាឫសម្ន<br />
<br />
E<br />
<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ក្. ង្វា ញថា<br />
ហគមាន<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3 1 i<br />
4 2 3<br />
<br />
3 1i<br />
3 1<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
i<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ<br />
ហគមាន<br />
ហនាោះ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3 1 i<br />
4 2 3<br />
<br />
<br />
E z z<br />
4 2 3 4 2 3<br />
3 2 3 1 1<br />
<br />
។<br />
2<br />
: 1 3 2 3 0<br />
<br />
2<br />
1 3 4 1 2 3 1 2 3 3 8 4 3 4 2 3<br />
2<br />
i<br />
<br />
4 2 3 3 1 3 1<br />
i<br />
<br />
<br />
(ពិត)<br />
ហគបាន សមីោរ<br />
<br />
E<br />
<br />
មានឫស<br />
3 1 3 1<br />
b<br />
<br />
z1<br />
<br />
2a<br />
2<br />
z<br />
2<br />
គ. សរហសរ<br />
3 1 3 1<br />
b<br />
<br />
<br />
2a<br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
z 1<br />
និង<br />
i<br />
i<br />
<br />
3 1 3 1 i 3 1 3 1<br />
i<br />
z1 <br />
, z2<br />
<br />
2 2<br />
z 2<br />
ដែលជាឫសម្ន <br />
<br />
3 1 3 1 i 31<br />
z1<br />
1<br />
i<br />
2 2<br />
3 1 2 2 <br />
2<br />
i<br />
2 <br />
2 2 <br />
<br />
<br />
6 2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6 2 5 5<br />
<br />
<br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
E ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
116
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
3 1 3 1 i 31<br />
z2<br />
1<br />
i<br />
2 2<br />
3 1 2 2 <br />
2<br />
i<br />
2 <br />
2 2 <br />
<br />
<br />
6 2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6 2 3 3<br />
<br />
<br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ៣ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />
ក្. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
a<br />
និង b<br />
ហែើមបីឱ្យ 2 i<br />
<br />
ជាឫសម្នសមីោរ<br />
2<br />
ax bx 20 0<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
3<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
a<br />
និង b<br />
ហ ើ<br />
2i<br />
ជាឫសម្នសមីោរ<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
ax bx 20 0<br />
a 2 i b 2 i 20 0<br />
a i i b bi<br />
2<br />
4 4 2 20 0<br />
a 4 4i 1 2b bi 20 0<br />
a 3 4i 2b bi 20 0<br />
3a 4ai 2b bi 20 0<br />
3a 2b 20 b 4a i 0<br />
ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />
<br />
<br />
<br />
3a 2b 20 0 1<br />
<br />
b 4a<br />
0 2<br />
ហនាោះ ហគបាន<br />
យក្សមីោរ <br />
2<br />
គុណនឹង 2<br />
រួច ូក្នឹងសមីោរ <br />
1<br />
ហគបាន<br />
យក្<br />
5a<br />
20 0<br />
a 4<br />
20<br />
a 4<br />
5<br />
ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ 2 ហគបាន<br />
<br />
<br />
b<br />
4 4 0<br />
b 16<br />
ែូចហនោះ a 4 , b 16<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
3<br />
1<br />
i <br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
117
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
<br />
1 i 1i<br />
1i<br />
1 2i 1 2i<br />
i<br />
1 i 1 i 1 i 11 2<br />
ហគបាន<br />
1 i<br />
0 i cos isin<br />
<br />
1i<br />
2 2<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
3 3<br />
1 i 3 3<br />
cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
1 i<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
3<br />
1 i 3 3<br />
cos<br />
isin<br />
<br />
1 i<br />
<br />
2 2<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៤ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
<br />
2 1i<br />
3<br />
z <br />
1<br />
i 3<br />
<br />
។<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
z 1i<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន ចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z<br />
z<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ែូចហនោះ<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត<br />
<br />
2 1i<br />
3<br />
z <br />
1<br />
i 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
i 3 1<br />
i 3<br />
<br />
1i<br />
3 1i<br />
3<br />
2<br />
i i i i <br />
2 1 3 3 3 2 1 2 3 3<br />
<br />
<br />
1<br />
3 4<br />
<br />
2 2 2i<br />
3<br />
<br />
4<br />
z 1i<br />
3<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
។<br />
• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហគបាន<br />
1 3 <br />
z 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ z 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
118
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ z 1 i ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
2 2 <br />
z 1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z <br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
• ទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
2 cos i sin<br />
z <br />
4 4<br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
i sin<br />
z<br />
2<br />
<br />
4 3<br />
<br />
4 3<br />
<br />
2 cos i sin <br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
។<br />
z<br />
z<br />
z 2 z<br />
<br />
, arg 2 k k<br />
z 2<br />
<br />
z<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៥ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z x iy , a 3 i និង<br />
b2 2i<br />
3<br />
។<br />
ក្. រក្ចំនួនពិត<br />
ខ. សរហសរ<br />
z<br />
ក្. រក្ចំនួនពិត x និង y<br />
ហយើងមាន<br />
ហយើងបាន<br />
x និង<br />
z x iy , a 3i<br />
និង<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
b2 2i<br />
3<br />
3 i2 2i<br />
3<br />
<br />
i<br />
<br />
a 3 i<br />
<br />
b 2 2i 3 2 2i 3 2 2i<br />
3<br />
<br />
4 3 4i 4 3 3 i 3 i<br />
<br />
4 12 16 4 4 4<br />
ហោយ<br />
y<br />
ែូចហនោះ<br />
ហែើមបីឱ្យបាន<br />
a<br />
z <br />
b<br />
x<br />
a<br />
z <br />
b<br />
សមមូល<br />
3 1<br />
, y <br />
4 4<br />
។ ក្រណី ហនោះទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
3 i<br />
x yi <br />
4 4<br />
។<br />
2 3 6i2i2 3<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 2 3<br />
នាំឱ្យ<br />
a<br />
4z<br />
3 i<br />
4<br />
x<br />
។<br />
។<br />
3 1<br />
, y <br />
4 4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
119
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
• ទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />
ហយើងបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
a<br />
4z<br />
3 i <br />
a 3 i 4 4z<br />
<br />
4 4<br />
<br />
a<br />
4z<br />
។<br />
ហររោះ<br />
z <br />
3 i<br />
<br />
4 4<br />
ខ. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
3 i 1 3 1 1 <br />
z i cos i sin<br />
4 4 2 <br />
2 2 2<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
• រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
តាមសរមាយខាងហលើ<br />
ហយើងបាន ឫសោហរម្ន<br />
w<br />
k<br />
<br />
3 i<br />
4<br />
3 i 1<br />
z<br />
cos i<br />
<br />
sin<br />
4 2<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
3 i<br />
4<br />
ក្ំណត់ហោយ<br />
<br />
<br />
2 2<br />
1 k k<br />
cos<br />
6<br />
isin<br />
6 <br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 <br />
<br />
<br />
2 <br />
cos k i sin k<br />
2<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
k 0,1<br />
• ហ ើ<br />
k 0 ហនាោះ<br />
w<br />
0<br />
<br />
2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
• ហ ើ<br />
k 1 ហនាោះ<br />
2 <br />
w1<br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
<br />
2 13<br />
13<br />
cos isin<br />
2<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ៦ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
2<br />
z<br />
<br />
z 3 1 i 3 1<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
2<br />
z ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z ។<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />
5<br />
cos 12<br />
ន ិង<br />
5<br />
sin 12<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
120
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
2<br />
2<br />
z<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ហោយ z 3 1 i 3 1<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហនាោះ ហគបាន<br />
3 1 3 1<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
2<br />
3 1 2 3 1 3 1i<br />
3 1<br />
2 2<br />
<br />
<br />
3 2 3 1 2i<br />
3 1 3 2 3 1<br />
4 2 3 4i<br />
4 2 3 4 3 4i<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
2<br />
4 3 4i<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
2<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z<br />
2<br />
4 3 4i<br />
ែូចហនោះ<br />
3 1<br />
8<br />
2 2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 5<br />
5<br />
z 8cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8cos i sin <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
។<br />
5<br />
5<br />
8cos i<br />
sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
• ទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />
2<br />
ហោយ z ជាឫសោហរម្ន z ហនាោះ ហគបាន<br />
z<br />
z<br />
k<br />
<br />
- ហ ើ<br />
5<br />
5<br />
<br />
2k 2k<br />
8 cos<br />
6<br />
isin<br />
6 <br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
k 0 ហនាោះ<br />
z<br />
0<br />
5<br />
5<br />
2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
<br />
2 2 cos k i sin k<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
k 0,1<br />
ហោយ<br />
- ហ ើ<br />
z<br />
k 1 ហនាោះ<br />
1<br />
5<br />
5<br />
<br />
z 2 2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ ហនាោះ ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />
ហយើងមាន<br />
5<br />
z 2 2 , arg z 2k k <br />
12<br />
<br />
5<br />
cos 12<br />
<br />
និង<br />
3 1 3 1<br />
z<br />
i<br />
5 5<br />
z<br />
2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
sin 12<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2 2 cos isin 3 1 3 1<br />
i<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2 2 cos i2 2 sin 3 1 3 1 i<br />
12 12<br />
17<br />
17<br />
2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
z z0<br />
2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
121
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
5<br />
2 2 cos 3 1<br />
12<br />
<br />
5<br />
2 2 sin 3 1<br />
12<br />
5 3 1 6 2<br />
cos <br />
12 2 2 4<br />
<br />
5 3 1 6 2<br />
<br />
sin <br />
12 2 2 4<br />
ែូចហនោះ<br />
5 6 2 5 6 2<br />
cos<br />
, sin<br />
។<br />
12 4 12 4<br />
ំហារ់ទី ៧ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង<br />
ខ. ហគមាន<br />
y<br />
2<br />
2<br />
z cos<br />
isin<br />
9 9<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
2xi<br />
y <br />
។ សរហសរ 4<br />
1<br />
z<br />
32i1<br />
i<br />
i1<br />
2i<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង y<br />
ហយើងមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
3 2i 1i 3 3i 2i 2 5 i<br />
<br />
<br />
i 1<br />
2i i<br />
2i<br />
2<br />
i<br />
ហយើងបាន<br />
សមមូល<br />
នាំឱ្យ<br />
2xi<br />
y <br />
32i1<br />
i<br />
i1<br />
2i<br />
9 7<br />
y 2xi i<br />
5 5<br />
9 y <br />
5 <br />
7<br />
2x<br />
<br />
5<br />
7 9<br />
x , y <br />
10 5<br />
នាំឱ្យ<br />
។<br />
9<br />
y <br />
5 <br />
7<br />
x <br />
10<br />
<br />
<br />
2 2<br />
5 i 2 i 10 5i 2i1<br />
<br />
2 i 2 i 2 1<br />
9 7i<br />
9 7<br />
i<br />
5 5 5<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
122
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ 4<br />
1<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងមាន<br />
2<br />
2<br />
1 z 1 cos isin<br />
9 9<br />
2 <br />
2cos 2isin cos 2cos cos isin<br />
9 9 9 9<br />
<br />
9 9<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
4 4<br />
4 <br />
1 z<br />
2cos cos isin<br />
9<br />
<br />
9 9<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
1 z 16cos cos isin<br />
9<br />
<br />
9 9<br />
<br />
<br />
<br />
4 4 4 4<br />
4 4 4<br />
<br />
16cos cos i sin<br />
9<br />
<br />
9 9<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៨ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៥)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />
z<br />
និង w<br />
ជាចំនួនក្ុំផៃិច ដែល<br />
z 2 2i<br />
3<br />
និង<br />
w xx i y y i<br />
ដែល<br />
xy ,<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
3<br />
z<br />
ជារាង a ib<br />
<br />
។<br />
គ. គណនា<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ហ ើ<br />
w<br />
z<br />
3<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ខ. សរហសរ<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងមាន<br />
3<br />
z<br />
z 2 2i<br />
3<br />
ែូចហនោះ<br />
ជារាង a ib<br />
រលរៀរទី ១ ៖ ហយើងមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
1 3 <br />
4<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
2<br />
2<br />
z 4cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 2i<br />
3<br />
តាមរូ មនត 3 3 2 2 3<br />
<br />
4 cos i sin <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
។<br />
a b a 3a b 3ab b<br />
3<br />
ហយើងបាន z 2 2i<br />
3 3<br />
3 2<br />
2 3 2 2i 3 3 22i 3 2i<br />
3 <br />
<br />
2 3<br />
<br />
z<br />
2 3<br />
8 24i 3 72i 24 3i 8 24i 3 72 24i<br />
3 64<br />
3<br />
64 0i<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
123
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
រលរៀរទី ២ ៖ ហយើងមាន<br />
2<br />
2<br />
z 4cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
6<br />
6<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន z 4 cos isin<br />
ែូចហនោះ<br />
គ. គណនា<br />
ហយើងបាន<br />
តាម<br />
2<br />
x<br />
ែូចហនោះ<br />
x<br />
ហយើងមាន<br />
នាំឱ្យ<br />
x<br />
2 2<br />
- ហ ើ<br />
- ហ ើ<br />
<br />
z<br />
និង<br />
w<br />
z<br />
x<br />
y<br />
64<br />
3<br />
3<br />
64 0i<br />
y<br />
ហ ើ<br />
w<br />
z<br />
។<br />
3<br />
<br />
<br />
w xx i y y i<br />
សមមូល<br />
2 2<br />
x<br />
y <br />
<br />
<br />
64 1<br />
<br />
x y 0 2<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
64cos 2 isin 2<br />
<br />
2 2<br />
x xi y yi <br />
2 2<br />
x y x y i 64 0i<br />
យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ <br />
x 4 2<br />
x 4 2<br />
2<br />
សមមូល x 32 នាំឱ្យ<br />
ហនាោះ<br />
ហនាោះ<br />
x 4 2 , y 4 2<br />
<br />
y x4 2<br />
y x 4 2<br />
ឬ<br />
<br />
<br />
1<br />
x <br />
ហគបាន<br />
x 4 2 , y 4 2<br />
<br />
2 2<br />
x y x y i<br />
32 4 2<br />
<br />
។<br />
64 10i<br />
ំហារ់ទី ៩ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៥)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. សរហសរ<br />
<br />
2cos isin<br />
12 12<br />
<br />
z1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
2<br />
និង<br />
<br />
z2 1i x 1 y 1<br />
i<br />
z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង<br />
y<br />
ហ ើហគែឹងថា z z y <br />
2 1 0 (<br />
1 2<br />
z 1<br />
ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />
z 1<br />
)<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
<br />
2cos isin<br />
12 12<br />
<br />
z1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2cos i sin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 <br />
2 <br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2cos i sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2cos i sin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
<br />
i sin<br />
<br />
<br />
6 3<br />
<br />
6 3<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
cos i<br />
sin<br />
6<br />
<br />
6<br />
cos i sin <br />
6<br />
<br />
6<br />
ែូចហនោះ z cos isin<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
124
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
• សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
z cos isin<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
3 1<br />
cos isin<br />
i<br />
6 6 2 2<br />
3 1<br />
ែូចហនោះ z i ។<br />
2 2<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
z2 1i x 1 y 1 i 1<br />
x xi i y yi <br />
x y 1 x y 1<br />
i<br />
ហហើយ<br />
ហយើងបាន<br />
ហោយ<br />
3 1<br />
z1<br />
i<br />
2 2<br />
3 1<br />
z1<br />
i<br />
2 2<br />
3 1 <br />
2z1 z2<br />
y 1 2 i x y 1 x y 1i y 1<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
3 i x x y 1i<br />
<br />
<br />
2z z y 1 0<br />
1 2<br />
<br />
3 x x y i<br />
សមមូល<br />
<br />
3 x x y i 0<br />
<br />
3 i <br />
x x y 1<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
នាំឱ្យ<br />
3x<br />
0<br />
<br />
x y 0<br />
នាំឱ្យ<br />
x 3<br />
<br />
y x <br />
3<br />
ែូចហនោះ x 3 , y 3<br />
។<br />
ំហារ់ទី ១០ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />
ក្. ហគឱ្យ<br />
z a ib<br />
ដែល a<br />
និង b<br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ<br />
សរហសរ<br />
x 1<br />
និង<br />
x 2<br />
ជាចំនួនពិតខុសពីសូនយ ។ សរហសរ<br />
នូវសមីោរ<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
2<br />
x 2 3x 4 0<br />
។<br />
zz<br />
A <br />
z<br />
2<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
A<br />
ហយើងមាន<br />
ហយើងបាន<br />
zz<br />
z<br />
2<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
z a ib z a ib<br />
A <br />
2 2<br />
a iba b<br />
<br />
a ib<br />
<br />
a 2 b 2 a 2 2abi b<br />
2<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហហើយ<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
z a b a b<br />
<br />
a 2 b 2<br />
a ib a ib<br />
a iba ib<br />
2 2<br />
A a b 2abi<br />
2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
a<br />
b<br />
2 2<br />
A a b 2abi<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
125
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ<br />
តាម<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
នូវសមីោរ<br />
2<br />
<br />
2<br />
x 2 3x 4 0<br />
2<br />
b ac <br />
3 1 4 3 4 1<br />
<br />
b <br />
3 1<br />
x1<br />
3 i<br />
a<br />
1<br />
<br />
b <br />
3 1<br />
x2<br />
3 i<br />
a<br />
1<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
<br />
<br />
x 3 i , x 3 i<br />
1 2<br />
។<br />
• សរហសរ<br />
x 1<br />
និង<br />
x 2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
3 1 <br />
x1<br />
3 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
3 1 <br />
x2<br />
3 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ១១ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i ជាឫសម្នសមីោរ x 2 ax b 0 ។<br />
ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />
1<br />
i 3 <br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
10<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />
និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i<br />
<br />
ជាឫសម្នសមីោរ<br />
2<br />
x ax b<br />
0<br />
ហោយ<br />
23i<br />
ជាឫសម្នសមីោរ x 2 ax b 0 ហនាោះ ហគបាន<br />
2<br />
<br />
2 3i a 2 3i b 0<br />
2<br />
4 12i 9i 2a 3ai b 0<br />
នាំឱ្យ<br />
<br />
4 9 2a b 12 3a i 0<br />
<br />
2a b 5 12 3a i 0<br />
<br />
<br />
<br />
2a b 5 0 1<br />
<br />
3a<br />
12 0 2<br />
<br />
តាម<br />
12<br />
2 : 3a12 0 a 4<br />
3<br />
<br />
យក្<br />
a 4<br />
ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
<br />
1<br />
ហគបាន <br />
2 4 b 5 0<br />
b 5 8 13<br />
ែូចហនោះ a 4 , b 13<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
126
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងបាន<br />
ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />
1<br />
i 3 <br />
<br />
1<br />
i <br />
<br />
1 3 <br />
2 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos i sin<br />
1 i 3<br />
2 2 <br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 i 2 2 <br />
2<br />
i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 4 4<br />
<br />
<br />
<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
cos isin 2 cos isin<br />
<br />
2<br />
3 4 3 4 12 12<br />
10 10<br />
10<br />
5<br />
2 cos isin 2 cos isin<br />
1 i 3 10 10<br />
<br />
<br />
1 i <br />
12 12<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
10 10<br />
1 i 3 1 i 3 <br />
5<br />
1 i 1 i <br />
6<br />
<br />
ែូចហនោះ 32 , arg 2k k<br />
<br />
10<br />
5<br />
5<br />
32cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ១២ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a និង b ហែើមបីឱ្យ<br />
x1i<br />
3<br />
ជាឫសមួយម្នសមីោរ<br />
2<br />
x ax b<br />
0<br />
។<br />
ខ. រក្ឫស<br />
x 2<br />
មួយហទៀតម្នសមីោរ ។ សរហសរ<br />
x <br />
1<br />
z <br />
x2<br />
<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />
ហោយ<br />
x1i<br />
3<br />
និង b<br />
ជាឫសម្នសមីោរ<br />
2<br />
<br />
1 i 3 a 1 i 3 b 0<br />
1 2i 3 3 a ia 3 b 0<br />
<br />
a b 2 a 3 2 3 i 0<br />
<br />
<br />
<br />
a b 2 0 1<br />
<br />
a 3 2 3 0 2<br />
តាមសមីោរ <br />
<br />
2<br />
x ax b<br />
2 a 3 2 3 0 a 2<br />
យក្ a 2 ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />
2 b 2 0 b<br />
4<br />
ែូចហនោះ a 2 , b 4<br />
ខ. រក្ឫស x2<br />
មួយហទៀតម្នសមីោរ<br />
<br />
1<br />
។<br />
0<br />
ហគបាន<br />
ហនាោះ ហគបាន<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
2<br />
ចំហរោះ a 2 , b 4 ហគបាន សមីោរគឺ x 2x 4 0<br />
127
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ហយើងបាន<br />
• សរហសរ<br />
z<br />
ហយើងមាន ផល ូក្ឫស<br />
S <br />
ហនាោះ <br />
ែូចហនោះ<br />
b 2<br />
2<br />
a 1<br />
x2 S x1 2 1 i 3 2 1 i 3 1<br />
i 3<br />
x <br />
1<br />
z <br />
x2<br />
<br />
x2 1i<br />
3<br />
2<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
2<br />
2 2 i<br />
<br />
x 1 i 3 2 2 <br />
<br />
1<br />
<br />
x 2 1 i 3 <br />
<br />
1 3 <br />
<br />
2 i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 4 4<br />
cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
3 3<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
4<br />
4<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
2<br />
2<br />
<br />
cos i sin <br />
3 3 <br />
<br />
cos isin<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
cos i sin <br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
។<br />
2<br />
ំហារ់ទី ១៣ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
2<br />
z<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
និង<br />
w រួចគណនា<br />
1 3<br />
w i<br />
2 2<br />
z<br />
2<br />
z<br />
1<br />
។<br />
។<br />
ខ. គណនា<br />
2<br />
A z z i<br />
។ សរហសរ<br />
គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត ។<br />
A<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្.<br />
ង្វា ញថា<br />
2<br />
z<br />
w<br />
រួចគណនា<br />
z<br />
2<br />
z<br />
1<br />
ហគបាន<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
2 1 3 1 1 3 3 <br />
z i 2 i i<br />
2 2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
1 3 3 2 3 1 3<br />
i i i w<br />
4 2 4 4 2 2 2<br />
2<br />
z<br />
w<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
128
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
2<br />
• គណនា z<br />
z<br />
1<br />
ហោយ<br />
1 3<br />
z i ហហើយ<br />
2 2<br />
2 1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
2<br />
z<br />
z<br />
2<br />
z<br />
1<br />
1 3 1 3<br />
i i 1 1 1 0<br />
2 2 2 2<br />
1<br />
0<br />
។<br />
ខ. គណនា<br />
2<br />
A z z i<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
1 3 1 3<br />
A i i i 1<br />
i<br />
2 2 2 2<br />
A 1<br />
i<br />
។<br />
• សរហសរ<br />
A<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
2 2 <br />
A 1 i 2 i 2 cos i sin <br />
<br />
2 2 <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
A<br />
20<br />
គ. ង្វា ញថា A ជាចំនួនពិត<br />
3<br />
3<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ហោយ<br />
A<br />
3<br />
3<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
<br />
2 cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
20<br />
20 20 3 20 3<br />
<br />
<br />
10<br />
2 cos15 isin15<br />
<br />
<br />
1024 cos isin<br />
<br />
<br />
1024 ជាចំនួនពិត<br />
ែូចហនោះ<br />
20<br />
A<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ំហារ់ទី ១៤ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />
ក្. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z មានម ូឌុលហសម ើនឹង 2 និងអាគុយម ង់ហសម ើនឹង<br />
សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />
<br />
3<br />
។<br />
ខ. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />
5<br />
5<br />
y 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
។ គណនា z<br />
yហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
គ. ង្វា ញថា y z ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
129
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib<br />
<br />
ហោយ<br />
ហគបាន<br />
z<br />
មាន<br />
z 2<br />
និង<br />
<br />
arg z<br />
<br />
3<br />
<br />
1 3 <br />
z 2cos isin 2 i 1 i 3<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ខ. គណនា<br />
ែូចហនោះ z 1 i 3<br />
z<br />
y<br />
។<br />
ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ហយើងមាន<br />
<br />
z 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
និង<br />
5<br />
5<br />
y 2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ហគបាន<br />
5 5<br />
<br />
z y 4 cos isin 4cos 2 isin 2<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4 1 0i<br />
4 0i<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z y 4<br />
0i<br />
។<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
y<br />
z<br />
ហយើងមាន<br />
5<br />
5<br />
1 3 <br />
y 2cos isin 2 i 1 i 3<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
នាំឱ្យ y 1 i 3 z<br />
ែូចហនោះ<br />
y<br />
z<br />
។<br />
ំហារ់ទី ១៥ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិចក្ំណត់ហោយ<br />
<br />
A 3 1 i 3 1<br />
និង<br />
B <br />
x iy<br />
1<br />
i<br />
ដែល<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
2<br />
A<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ហហើយជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ខ. សរហសរ B ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ រក្<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ហោយែឹងថា<br />
2<br />
2B<br />
A 0<br />
( B ជាចំនួនក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន B ) ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
2<br />
A<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ហគមាន A 3 1 3 1i<br />
2<br />
2<br />
A 3 1 3 1i<br />
<br />
<br />
3 1 2 3 1 3 1 i<br />
3 1 <br />
3 2 3 1 2i<br />
3 1 3 2 3 1<br />
4 2 3 4i<br />
4 2 3 <br />
2 2 2<br />
i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
130
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ែូចហនោះ<br />
4 2 3 4i<br />
4 2 3<br />
4 3 4i<br />
A<br />
2<br />
4 3 4i<br />
• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
។<br />
<br />
2 3 1 <br />
A 4 3 4i 8<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
ខ. សរហសរ<br />
B<br />
2 5<br />
5<br />
A 8cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
x yi1i<br />
<br />
<br />
8cos i sin <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
x yi x xi yi y x y y x<br />
B i<br />
1 i 1 i 1 i 11 2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
• រក្<br />
x<br />
ហោយ<br />
ហគបាន<br />
និង<br />
សមមូល<br />
សមមូល<br />
x y y x<br />
B i<br />
2 2<br />
y<br />
ហោយែឹងថា<br />
x y y x<br />
B i<br />
2 2<br />
2<br />
2B<br />
A 0<br />
នាំឱ្យ<br />
។<br />
។<br />
2<br />
2B<br />
A 0<br />
x y y x<br />
B i<br />
2 2<br />
x y y x <br />
សមមូល <br />
i i <br />
x y y xi 4 3 4i<br />
0<br />
x y y xi 4 3 4i<br />
2 4 3 4 0<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y 4 3 1<br />
<br />
y x 4 2<br />
2y<br />
4 3 4 y 2 3 2<br />
5<br />
5<br />
8cos i<br />
sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
យក្<br />
ហគបាន<br />
y 2 3 2<br />
ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />
x y 4 2 3 2 4 2 2 3<br />
2<br />
ែូចហនោះ x 2 2 3 , y 2 2 3 ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
131
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ១៦ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច Z a ib<br />
<br />
<br />
និង<br />
<br />
A i 1Z<br />
<br />
។<br />
ក្. គណនា A ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
និង b<br />
រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ a<br />
និង b<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
A<br />
Z<br />
។<br />
គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិច<br />
1 1<br />
w i<br />
2 2<br />
ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រួចគណនា<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
4<br />
w<br />
ក្. គណនា<br />
A<br />
ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />
និង b<br />
រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ហយើងមាន<br />
Z a ib<br />
ហគបាន<br />
<br />
A i 1 Z i 1 a ib i ai b b a 1<br />
i<br />
ែូចហនោះ<br />
A b a 1<br />
i<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />
a<br />
និង b<br />
ហែើមបីឱ្យ<br />
A<br />
Z<br />
ហយើងបាន<br />
A<br />
Z<br />
<br />
a ib b a 1<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
ba<br />
<br />
a 1 b 2<br />
យក្<br />
1<br />
b1<br />
b<br />
ជំនួសក្ន ុង<br />
1<br />
b<br />
<br />
2<br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
ហហើយ<br />
ហគបាន<br />
1<br />
a b <br />
2<br />
1 1<br />
a , b<br />
2 2<br />
។<br />
គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
1 1<br />
w i<br />
2 2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 1 1 <br />
1 <br />
1 2<br />
2 2 <br />
w i i i<br />
2 2 2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2 3<br />
3<br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
w<br />
2 3<br />
3<br />
cos isin<br />
2<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
• គណនា w ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
132
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
4<br />
<br />
4 2 43 43<br />
4<br />
w <br />
cos isin<br />
2 <br />
4 4<br />
cos3 i sin3 <br />
16<br />
4 1<br />
ែូចហនោះ w 0<br />
i ។<br />
4<br />
<br />
1 1 1<br />
cos isin 1 0i<br />
0i<br />
4 4 4<br />
ំហារ់ទី ១៧ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />
ហគឱ្យ z ជាចំនួនក្ុំផៃិចដែល<br />
ក្. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 i 2 cos i sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
2<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />
5<br />
cos 12<br />
<br />
និង<br />
5<br />
sin 12<br />
<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. សរហសរ<br />
z<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
ខ. សរហសរ<br />
<br />
z 2 i 2 cos i sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ហយើងបាន <br />
ែូចហនោះ<br />
6 2 6 2<br />
i i<br />
2 2 2 2<br />
6 2 6 2 <br />
z i<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
2<br />
z ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
<br />
2 6 2 6 2 <br />
z <br />
i<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
2<br />
<br />
3 1 <br />
2 i 2<br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
6 2 6 2 <br />
i<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
។<br />
6 2 6 2 <br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
2 2<br />
6 2 6 2 6 2 6 2 <br />
2 i i<br />
2 2 <br />
<br />
2 2 2 2 2 2 <br />
<br />
6 2 6 2 2 6 2 6 2 6 2 2 <br />
2i<br />
4 4 4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
4 4 4 <br />
<br />
3 1 3 1<br />
3 2i<br />
3 2 3 2i<br />
2 2 2 2<br />
<br />
2 3 1 <br />
ហគបាន z 4 i 4 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
7<br />
7<br />
4cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
133
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឬ<br />
គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />
2 5 5<br />
z 4 cos isin<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
5<br />
cos 12<br />
<br />
និង<br />
5<br />
sin 12<br />
<br />
។<br />
<br />
z 2 i 2 cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
ហយើងមាន <br />
ហហើយ<br />
2 2 <br />
2 i cos isin<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
5 5<br />
2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
6 2 6 2 <br />
z i<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4 6<br />
<br />
4 6<br />
<br />
<br />
តាម <br />
1<br />
និង <br />
2<br />
ហគបាន<br />
5 5<br />
2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2cos 2i<br />
sin<br />
12 12<br />
6 2 6 2 <br />
i<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
6 2 6 2 <br />
i<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
<br />
<br />
cos <br />
12 4<br />
<br />
5<br />
6 2<br />
<br />
sin <br />
12 4<br />
5 6 2<br />
5 6 2<br />
2cos <br />
12 2 2<br />
<br />
5<br />
6 2<br />
2sin <br />
12 2 2<br />
ែូចហនោះ<br />
5 6 2 5 6 2<br />
cos<br />
<br />
, sin<br />
<br />
<br />
12 4 12 4<br />
។<br />
ំហារ់ទី ១៨ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច z x iy និង<br />
w cos isin<br />
<br />
ដែល<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
ជាចំនួនពិត ខុសពីសូនយ<br />
ហហើយ ជាចំនួនពិត ។<br />
ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង x និង y ហែើមបីឱ្យ<br />
w z<br />
។<br />
ខ. ក្ន ុងលក្ខណឌ z w ចូរ ង្វា ញថា 1 z<br />
z ។<br />
គ. រក្ x និង y រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ z 1 , w 1 ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
134
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង<br />
1<br />
x<br />
និង y ហែើមបីឱ្យ<br />
z x yi z x y<br />
2 2<br />
w z<br />
1<br />
w i w <br />
<br />
2 2<br />
cos sin cos sin 1 2<br />
តាម និង ហគបាន<br />
ខ. ង្វា ញថា<br />
គ. រក្<br />
2<br />
2 2<br />
ែូចហនោះ x y<br />
ហយើងមាន<br />
ដត<br />
x<br />
1<br />
z<br />
z <br />
z w<br />
1 ។<br />
w z<br />
2 2<br />
x y <br />
1 1 x yi x yi<br />
<br />
z x yi x yi x yi x y<br />
ែូចហនោះ<br />
2 2<br />
x y <br />
1<br />
z<br />
z <br />
និង y រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
។<br />
ហនាោះ<br />
z 1 , w1<br />
1 x yi<br />
z<br />
z 1<br />
1<br />
ហោយ<br />
z x yi<br />
និង<br />
z 1 <br />
x yi 1<br />
x 1 , y 0<br />
ហហើយ<br />
w cos isin<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
និង<br />
w 1<br />
x 1 , y 0 , 2k k <br />
cos isin 1<br />
<br />
<br />
។<br />
cos 1<br />
<br />
sin 0<br />
2k k<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ១៩ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៩)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
z1i<br />
និង<br />
w<br />
3 i<br />
។<br />
ក្. គណនា<br />
wz <br />
និង<br />
z<br />
w<br />
។ ខ. សរហសរ<br />
zw <br />
និង<br />
z<br />
w ជាទរមង់រត ីហោណមារត ។<br />
ក្. គណនា<br />
wz <br />
និង<br />
z<br />
w<br />
ហយើងមាន z1 i និង<br />
w<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
3 i<br />
2<br />
ហគបាន 1 3 3 3 3 1 1<br />
3<br />
<br />
2<br />
z 1 i 1i<br />
3i<br />
3 i i 3 i 3 1 1<br />
3<br />
<br />
i<br />
w 3 i 3i 3i<br />
31<br />
4 4<br />
z w i i i i i i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
135
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
ហយើងមាន<br />
2 2 <br />
z 1 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
3 1 <br />
w 3 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ហគបាន z w 2 2 cos isin cos isin<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
w<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
2 2 cos isin<br />
<br />
4 6<br />
<br />
4 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z w 2 2 cos i sin <br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos i sin<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2cos i sin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
cos i sin<br />
2<br />
<br />
4 6<br />
<br />
4 6<br />
<br />
<br />
<br />
zw <br />
z<br />
w<br />
2 3 2<br />
3 2<br />
<br />
cos isin<br />
2<br />
<br />
<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
z 2 5 5<br />
cos<br />
i sin<br />
w 2<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
3 2<br />
3 2<br />
<br />
2 2 cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
2 5 5<br />
cos<br />
i sin<br />
2<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២០ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៩)<br />
សរហសរ<br />
i 2<br />
21<br />
A <br />
1<br />
i 3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
សរហសរ A ជាទរមង់រតីហោណមារត និង ពីជគណិ ត<br />
ហយើងមាន<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
2 12i<br />
1 2i<br />
A <br />
<br />
1 3 1 3<br />
2<br />
i i<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2cos i sin<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos i sin <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
2 cos isin<br />
<br />
2 3<br />
<br />
2 3<br />
2 cos isin<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
A2cos isin<br />
6 6<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
136
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
សរហសរជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
5<br />
5<br />
3 1 <br />
A 2cos isin 2 i<br />
6 6<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ែូចហនោះ A 3<br />
i ។<br />
<br />
3 i<br />
ំហារ់ទី ២១ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. រក្តម្មៃ<br />
a<br />
និង b<br />
z a ib<br />
ដែល<br />
ab ,<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ហោយែឹងថា 1 1 3 1 3 <br />
a ib i i ។<br />
គណនា<br />
4<br />
z<br />
ចំហរោះតម្មៃ<br />
ab ,<br />
ដែលរក្ហឃើញ ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
8 8i<br />
3<br />
w 2 2i<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
137
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. រក្តម្មៃ a និង b<br />
<br />
a ib 1 i 1 3 1<br />
3 i<br />
1 3 1 3 <br />
a ai bi b i<br />
<br />
a b a b i 1 3 1<br />
3 i<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b 1<br />
3 1<br />
<br />
a b 1 3 2<br />
2a<br />
2 a 1<br />
យក្<br />
a 1 ជំនួសចូលក្ន<br />
2<br />
ុងសមីោរ <br />
ហគបាន<br />
1<br />
b 1<br />
3<br />
b <br />
3<br />
ែូចហនោះ a 1 , b 3<br />
។<br />
• គណនា<br />
4<br />
z<br />
ចំហរោះតម្មៃ<br />
ab ,<br />
ដែលរក្ហឃើញ<br />
ចំហរោះ a 1, b 3 ហគបាន<br />
z 1i<br />
3<br />
ហោយ<br />
1 3 <br />
z 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
តាមរូ មនតែឺម័រ ហគបាន<br />
4 4 4 4<br />
z 2 cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z<br />
4<br />
8 8i<br />
3<br />
។<br />
4<br />
4<br />
16cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 <br />
16 i 8 8i<br />
3<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
ខ. សរហសរ<br />
w<br />
8 8i<br />
3<br />
w 2 2i<br />
8 8i<br />
3<br />
2 2i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
4 1 i i 3 i 3<br />
11<br />
<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត<br />
<br />
<br />
8 1 i 3 4 1 i 3 1<br />
i<br />
<br />
<br />
2 1 i 1 i 1<br />
i<br />
<br />
<br />
4 1 3 1 3 i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
w 2 1 3 2 1<br />
3 i<br />
2<br />
។<br />
2 1 3 2 1<br />
3 i<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
138
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
16<br />
i<br />
8 8i<br />
3<br />
2 2 <br />
w <br />
<br />
22i<br />
2 2 <br />
2 2<br />
<br />
i<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
8cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
2 cos i sin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
8cos isin<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
8 2 3 2 3<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
2 3 4<br />
<br />
3 4<br />
<br />
<br />
<br />
w 4 2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
4 2 cos isin<br />
<br />
12<br />
<br />
12<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ២២ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ក្. គណនាក្ហនោម<br />
1 3<br />
z i<br />
2 2<br />
A 1<br />
z z<br />
និង<br />
2<br />
។<br />
1 3<br />
w i<br />
2 2<br />
។<br />
ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />
គ. គណនា ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. គណនាក្ហនោម<br />
A 1<br />
z z<br />
2<br />
A 1<br />
z z<br />
1 3 1 3 <br />
1 i i<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
1 3 1 3 3<br />
1 i i i<br />
2 2 4 2 4<br />
ែូចហនោះ<br />
2<br />
A z z<br />
2<br />
1 0 ។<br />
ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
2<br />
1 1 3 3 3<br />
0<br />
2 4 4 4 4<br />
1 3 4 4<br />
w i cos <br />
isin <br />
cos isin<br />
<br />
2 2<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
3 3<br />
1 3 2 2<br />
z i cos <br />
isin <br />
cos isin<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
3 3<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
139
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ំហារ់ទី ២៣ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />
ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />
2<br />
z 2 2 z 4 0<br />
រក្ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្នឫសនីមួយៗរ ស់សមីោរ <br />
1<br />
ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច C ។<br />
1<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
<br />
w <br />
<br />
2<br />
i 2 <br />
2<br />
i 2 <br />
<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
2<br />
ក្. ហោោះរាយសមីោរ z 2 2 z 4 0 1<br />
ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច C<br />
សមីោរមាន<br />
ហយើងបាន<br />
2<br />
b ac <br />
2 1 4 2 4 2<br />
z<br />
2<br />
2<br />
<br />
b <br />
2 2<br />
z1<br />
2<br />
i 2<br />
a<br />
1<br />
<br />
b <br />
2 2<br />
2<br />
i 2<br />
a<br />
1<br />
• រក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្នឫសម្នសមីោរ <br />
<br />
1<br />
<br />
2 2<br />
តាមរូ មនត z a b<br />
ហគបាន<br />
2 2<br />
z1 2 2 2 2 2<br />
2 2<br />
z2 2 2 2 2 2<br />
ហហើយ<br />
a<br />
cos 1<br />
<br />
r<br />
<br />
b<br />
<br />
sin 1<br />
<br />
r<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a 2<br />
cos 2<br />
<br />
r 2<br />
<br />
b 2<br />
<br />
sin 2<br />
<br />
r 2<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
4<br />
enAkaRdg;TI1<br />
<br />
<br />
2 2<br />
enAkaRdgT; I4<br />
ែូចហនោះ z1 z2 2<br />
,arg z<br />
2k និង arg z 2k k<br />
<br />
1<br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
4<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
140
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ<br />
<br />
w <br />
<br />
2<br />
i 2 <br />
2<br />
i 2 <br />
<br />
2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
តាមែំហណាោះរាយសំណួ រ (ក្) ហគបាន<br />
ហគបាន<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
z1 2 i 2 2cos isin<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z2 2 i 2 2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2cos isin<br />
4 4<br />
<br />
w <br />
<br />
<br />
<br />
2 cos isin<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
w cos isin<br />
<br />
2<br />
។<br />
2<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
<br />
4 4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
2<br />
ំហារ់ទី ២៤ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១១)<br />
ក្. រក្ឫស<br />
t , t<br />
1 2<br />
ម្នសមីោរ<br />
2<br />
t<br />
t <br />
2 4 0<br />
។ ហោយយក្<br />
t 1<br />
ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
4t<br />
z <br />
t<br />
2<br />
3<br />
1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. រក្ឫស<br />
t , t<br />
1 2<br />
ម្នសមីោរ<br />
2<br />
t<br />
t <br />
2 4 0<br />
សមីោរអាចសរហសរជា<br />
t<br />
2<br />
2t 4 0<br />
មាន<br />
2<br />
<br />
<br />
1 1 4 1 4 3<br />
ហោយ<br />
t 1<br />
b <br />
t1<br />
<br />
a<br />
t<br />
2<br />
b <br />
<br />
a<br />
ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ហនាោះហគបាន<br />
<br />
<br />
1 3<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
1<br />
<br />
<br />
1 3<br />
<br />
1<br />
i 3<br />
1<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />
1 2<br />
t 1i 3 , t 1 i 3 ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
141
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ<br />
4t<br />
z <br />
t<br />
2<br />
3<br />
1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
ហយើងមាន t1<br />
1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
1 3 <br />
t2<br />
1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
ហយើងបាន<br />
<br />
42 cos isin<br />
4t<br />
<br />
3 3<br />
<br />
z <br />
<br />
<br />
t <br />
2cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
3 3<br />
1<br />
<br />
cos isin<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
4<br />
4<br />
z cos<br />
isin<br />
3 3<br />
4<br />
4<br />
cos<br />
isin<br />
3 3<br />
។<br />
<br />
8cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8 <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ២៥ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០១២ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
ក្. ចូរក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត a ហែើមបីឱ្យសមីោរែឺហរក្ទីពីរ<br />
<br />
<br />
2<br />
x i x a i<br />
1 2 12 0<br />
មានឫសមួយ<br />
ជាចំនួនពិត និងឫសមួយហទៀតជា ចំនួនក្ុំផៃ ិច រួចរក្ឫសម្នសមីោរហនោះផង ។<br />
ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z 1<br />
i 3<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />
2013<br />
z<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. ក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត ហែើមបីឱ្យសមីោរ មានឫសមួយ ជាចំនួនពិត<br />
និងឫសមួយហទៀតជាចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
2<br />
x i x a i<br />
a <br />
1 2 12 0<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
2<br />
x i x a i<br />
1 2 12 0<br />
2<br />
<br />
x x a 2x 12 i 0<br />
2<br />
x x a <br />
<br />
<br />
2x<br />
12 0<br />
0<br />
2<br />
x x a <br />
<br />
<br />
x 6<br />
0<br />
2<br />
6 6 a 0 a<br />
30<br />
<br />
<br />
x 6<br />
x<br />
6<br />
មយ ងហទៀត សមីោរ<br />
2<br />
x x 2ix a 12i<br />
0 មាន<br />
<br />
x x 1 2i x 1 2i x 1 2i 6 5<br />
2i<br />
1 2 2 1<br />
ែូចហនោះ សមីោរមានឫសជាចំនួនពិតមួយ និងឫសក្ុំផៃ ិចមួយ ោលណា a 30<br />
ហហើយ មានឫស 1 2<br />
x 6 , x 5 2i<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
142
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
2013<br />
z<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
z 1 i 3 2 i 2 cos i sin <br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
• ង្វា ញថា<br />
2013<br />
z<br />
ជាចំនួនពិត<br />
<br />
2<br />
2<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />
2013 2013 2013 2<br />
2013 2<br />
<br />
z 2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2013<br />
2 cos1342 isin1342<br />
<br />
2013 4026<br />
4026<br />
2 cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 1 0i<br />
2<br />
2013 2013<br />
ជាចំនួនពិត<br />
ែូចហនោះ<br />
2013<br />
z<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ំហារ់ទី ២៦<br />
(ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១២ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
1 3<br />
x i<br />
2 2<br />
2<br />
ក្. គណនា A x y និង<br />
និង<br />
2<br />
B x x<br />
1<br />
1 3<br />
y i<br />
2 2<br />
។<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
x<br />
និង<br />
y<br />
2013 2013<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា x y ជាចំនួនពិត ។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. គណនា<br />
A x y<br />
2<br />
និង<br />
2<br />
B x x<br />
1<br />
A x y<br />
2<br />
1 3 1 3 <br />
i i<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
1 3 1 3 3 <br />
i i <br />
2 2 <br />
4 2 4 <br />
<br />
<br />
2<br />
B x x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 3<br />
<br />
1 1 3 3<br />
<br />
<br />
i 2 i <br />
i<br />
<br />
2 2 <br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
1 3 1 3<br />
i i 0<br />
2 2 2 2<br />
1 3 1 3 <br />
i i 1<br />
2 2 2 2 <br />
<br />
ែូចហនោះ A 0 , B 0<br />
។<br />
1 3 3 1 3<br />
i i 1<br />
4 2 4 2 2<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
143
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ. សរហសរ<br />
x<br />
និង y ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
• ង្វា ញថា<br />
1 3 4 4<br />
x i cos <br />
i sin <br />
cos i sin<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
3 3<br />
1 3 2 2<br />
y i cos <br />
i sin <br />
cos i sin<br />
<br />
2 2<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
3 3<br />
x<br />
y<br />
2013 2013<br />
2013 2013<br />
ហយើងបាន x y<br />
ជាចំនួនពិត<br />
2013 2013<br />
4 4 2 2<br />
cos isin <br />
cos isin<br />
<br />
<br />
3 3<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
8052 8052 4026 4026<br />
cos isin cos isin<br />
<br />
3 3 3 3<br />
cos 2684 isin 2684 cos1342 isin1342<br />
1<br />
0i1<br />
0i<br />
2<br />
ែូចហនោះ<br />
x<br />
y<br />
2013 2013<br />
2<br />
ជាចំនួនពិត ។<br />
ំហារ់ទី ២៧<br />
(ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១៣ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ<br />
ិច a 2 3 2i<br />
និង<br />
b <br />
2 i 2<br />
។<br />
ក្. សរហសរ<br />
2 2<br />
z a b 4ai 2b<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />
ខ. សរហសរ<br />
ab ,<br />
និង ab ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
ក្. សរហសរ<br />
2 2<br />
z a b 4ai 2b<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />
2 2<br />
2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 <br />
z i i i i i<br />
12 8i 3 4 2 4i 2 8i 3 8 2 2i<br />
ែូចហនោះ<br />
z14 2i<br />
ខ. សរហសរ ab , និង ab<br />
។<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
14 2i<br />
3 1 <br />
a 2 3 2i 4 i 4 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
2 2 3 3<br />
b 2 2 i 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
144
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ែូចហនោះ<br />
<br />
3 3<br />
<br />
ab 4 cos isin 2 cos isin<br />
6<br />
<br />
6<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
2 9<br />
2 9<br />
<br />
8cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
7<br />
ab 8cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
3 3<br />
<br />
8cos isin<br />
<br />
6 4<br />
<br />
6 4<br />
<br />
<br />
7<br />
7<br />
8cos isin<br />
12 12<br />
<br />
<br />
<br />
ំហារ់ទី ២៨ (ប្រឡងបាក់ឌ រល<br />
ើកទី ១ ឆ្លន ំ ២០១៤ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z1 1<br />
i 3<br />
និង<br />
z2 1<br />
i 3<br />
។<br />
ក្. គណនា<br />
z z , z z<br />
1 2 1 2<br />
និង<br />
z1 z2<br />
។<br />
ខ. សរហសរ<br />
z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />
គ. ង្វា ញថា<br />
z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />
3<br />
z <br />
80<br />
។<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
ក្. គណនា<br />
z z , z z<br />
1 2 1 2<br />
និង z<br />
1<br />
<br />
z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2<br />
<br />
z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2i<br />
3<br />
2<br />
2<br />
z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 3 4<br />
ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2 i z1 z2<br />
2 , 2 3 , 4 ។<br />
ខ. សរហសរ z 1<br />
និង z 1<br />
ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
1 3 <br />
z1<br />
1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
z1<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
1 3 <br />
z2<br />
1 i 3 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
z<br />
2<br />
4<br />
4<br />
2cos isin<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
145
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
គ. ង្វា ញថា និង ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />
z1<br />
2<br />
z<br />
3<br />
z <br />
80<br />
z<br />
3<br />
1<br />
z<br />
2<br />
2<br />
8 2cos isin 8<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
4<br />
4<br />
8 2cos isin 8<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
ហោយ z1 80<br />
និង<br />
3<br />
3<br />
z2 8<br />
0<br />
<br />
3<br />
2 cos 2 isin 2 8<br />
88 0<br />
<br />
3<br />
2 cos 4 isin 4 8<br />
8 8 0<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ<br />
z 1<br />
និង<br />
z 2<br />
ជាឫសម្នសមីោរ<br />
3<br />
z <br />
80<br />
។<br />
ំហារ់ទី ២៩ (ប្រឡងបាក់ឌ រល<br />
ើកទី ២ ឆ្លន ំ ២០១៤ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
1. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z 2 , z i 2 , z i<br />
2<br />
1 2 3<br />
ក្. គណនា<br />
<br />
z z , z z , z z z z<br />
1 2 1 3 1 2 1 3<br />
2. គណនា<br />
ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់<br />
i<br />
n<br />
ចំហរោះតម្មៃម្នចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />
z z z z<br />
z<br />
1 3<br />
1<br />
<br />
2<br />
,<br />
1<br />
<br />
3<br />
, <br />
z1<br />
z2<br />
<br />
2<br />
z <br />
n 1 ។ ទាញរក្តម្មៃ<br />
<br />
i<br />
i<br />
2015 2014<br />
។<br />
1. ក្. គណនា<br />
<br />
z z , z z , z z z z<br />
1 2 1 3 1 2 1 3<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z1 z2<br />
2 i 2 2 i 2<br />
z1 z3<br />
2 i 2 2 i 2<br />
z1 z2 z1 z3<br />
i i <br />
2 2<br />
2 2 2 2 2 2 4<br />
ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />
z z z z<br />
2 2 <br />
z1 z2<br />
2 i 2 2 i 2 cos isin<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ z z 2 , arg z z 2k k<br />
<br />
1 2 1 2<br />
2 2 <br />
z1 z3<br />
2 i 2 2 i 2 cos isin<br />
<br />
2 2 <br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
ែូចហនោះ z z 2 , arg z z 2k k<br />
<br />
1 3 1 3<br />
1 3<br />
1<br />
<br />
2<br />
,<br />
1<br />
<br />
3<br />
, <br />
z1<br />
z2<br />
<br />
4<br />
z<br />
។<br />
4<br />
<br />
2<br />
z <br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
146
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
<br />
2 2 cos i sin <br />
z1 z <br />
3<br />
4 4<br />
<br />
<br />
<br />
z1 z2<br />
<br />
<br />
2cos i sin <br />
4<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
cos isin<br />
<br />
2 2<br />
z z z z<br />
<br />
<br />
z1 z2 z1 z2<br />
<br />
<br />
1 3 1 3<br />
ែូចហនោះ 1 , arg 2k k<br />
<br />
i<br />
n<br />
2. គណនា ចំហរោះតម្មៃម្នចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />
n 1<br />
2<br />
<br />
cos<br />
isin<br />
<br />
4 4<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
។<br />
2<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
• ហ ើ<br />
n 4 k , k <br />
n 4k<br />
1<br />
n 4k<br />
2<br />
n 4k<br />
3<br />
k<br />
<br />
2<br />
4k<br />
2<br />
2k<br />
n<br />
i i i 1 1<br />
<br />
n 4k 1 4k<br />
i i i i i 1 i<br />
n 4k 2 2 4k<br />
i i i i<br />
<br />
1 1 1<br />
<br />
n 4k 3 3 4k<br />
i i i i i 1 i<br />
ហគបាន<br />
<br />
<br />
2015 2014 2014 4 503 2<br />
i i i i i i i i<br />
1 1 1 1 1<br />
ែូចហនោះ<br />
2015 2014<br />
i i 1<br />
i<br />
។<br />
ំហារ់ទី ៣០ (ប្រឡងបាក់ឌ រឆ្លន ំ ២០១៥ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />
ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
ក្. គណនា<br />
z1 1<br />
i 3<br />
និង<br />
z z , z z , z z<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
z1 1i<br />
3<br />
<br />
។<br />
ខ.សរហសរជាទរមង់រតីហោណមារតចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />
z z ; z z<br />
1 2 1 2<br />
។<br />
ក្.គណនា<br />
គោយ z1 1<br />
i 3<br />
<br />
និង<br />
z z , z z , z z<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
ដំលោោះប្ាយ<br />
z1 1i<br />
3<br />
z1 z2 ( 1 i 3) 1 i 3 0<br />
<br />
<br />
z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2 i2 3<br />
<br />
2 2<br />
z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 i 3 i 3 2 i2 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
147
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ខ.សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចជាទរមង់រតីហោណមារត<br />
z1<br />
z2 2 i2 3<br />
1 3<br />
z1 z2<br />
2 i2 3 4 <br />
i <br />
2 2 <br />
ែូចគនេះ<br />
1 3 2<br />
2<br />
<br />
4 <br />
i<br />
4 cos isin<br />
2 2 <br />
3 3 <br />
2<br />
2<br />
<br />
z1 z2<br />
4cos isin<br />
<br />
3 3 <br />
<br />
z1 z2<br />
4cos isin<br />
<br />
3 3<br />
<br />
4cos isin<br />
<br />
3 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
148
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
និមិត្តសញ្ញា ដែលប្រើ្ាស់បៅក្ន ុងបសៀវបៅបនេះ<br />
និមិត្តសញ្ញា<br />
<br />
<br />
Re z<br />
Im z<br />
z<br />
z<br />
arg z<br />
<br />
M z<br />
អត្ថន័យ<br />
1,2,3,4, . . .<br />
សំណុំ ចំនួនគត់ធ មជាតិ <br />
សំណុំ ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />
សំណុំ ចំនួនសនិទាន<br />
សំណុំ ចំនួនពិត<br />
<br />
<br />
0, 1, 2, 3, . . .<br />
p<br />
<br />
x | x , p , q , q 0<br />
q<br />
<br />
,<br />
<br />
សំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច <br />
ដផនក្ពិតម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ដផនក្និមិ តម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ចំនួនក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />
<br />
z | z a ib, a , b <br />
តម្មៃោច់ខាត ឬម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
ចំណុ ច M ជារូ ភាពម្នក្ុំផៃិច z<br />
OM z វុ ិចទ័រ OM ជារូ ភាពម្នក្ុំផៃិច<br />
AB <br />
អងកត់<br />
AB<br />
ឬ<br />
AB<br />
AB<br />
រ ដវងអងកត់ ឬរ ដវងវុ ិចទ័រ AB<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ឈ្នន ់នាំឱ្យ<br />
ឈ្នន ់សមមូល<br />
តូចជាង<br />
តូចជាង ឬហសម ើ<br />
ធំជាង<br />
ធំជាង ឬហសម ើ<br />
មិនហសម ើនឹង , ខុសពី<br />
ូក្ ឬែក្<br />
ជារ ស់<br />
មិនដមនជារ ស់<br />
រ ិមាណក្ររគ ់<br />
រ ិមាណក្រមាន<br />
ហហតុហនោះ ,ែូចហនោះ<br />
<br />
<br />
ពីហររោះ , មក្ពី<br />
ab ,<br />
ចហនាៃ ោះហ ើក្សងខាង a x b<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
149
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
<br />
<br />
<br />
ab ,<br />
ab ,<br />
<br />
<br />
<br />
ab ,<br />
max z<br />
ចហនាៃ ោះហ ើក្ខាងហឆាង a x b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ចហនាៃ ោះហ ើក្ខាងាត ំ a x b<br />
<br />
<br />
ចហនាៃ ោះ ិទសងខាង a x b<br />
តម្មៃអតិ រមាម្នចំនួនក្ុំផៃិច z<br />
min z តម្មៃអ ប រមាម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />
! សញ្ជា ហាា ក្់តូដរយល<br />
n<br />
<br />
, C<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
log a<br />
x<br />
ln x<br />
log x<br />
r<br />
n<br />
នសំម្ន n<br />
ធាតុែក្យក្មតង<br />
និមិ តសញ្ជា ផល ូក្<br />
ពី ឬ ម្ផ<br />
z<br />
n! 1 23 . . . n<br />
n<br />
<br />
k 1<br />
r<br />
ធាតុ<br />
3.1415926536 . . .<br />
ហគ្នលម្នហោោរ ីតធ មជាតិ<br />
ហោោរ ីតហគ្នល a<br />
ម្ន<br />
a a a a ... a<br />
x<br />
k<br />
1 2 3<br />
e 2.7182818285 . . .<br />
ហោោរ ីតហនដពរ ឬហោោរ ីតហគ្នល e ម្ន<br />
ហោោរ ីតទសភាគ ឬហោោរ ីតហគ្នល 10 ម្ន<br />
x<br />
x<br />
n<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
150
092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />
ឯការលោង<br />
១. ហសៀវហៅគណិ តវ ិទយថាន ក្់ទី ១២ រ ស់រក្សួងអ ់រ ំយុវជន និងក្ីឡា ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០២<br />
២. ហសៀវហៅគណិ តវ ិទយថាន ក្់ទី ១១ រ ស់រក្សួងអ ់រ ំ យុវជន និងក្ីឡា ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០៨<br />
៣. Complex Number from A to …Z by Titu Andreescu and Dorin Andrica 2006.<br />
៤. Problems in Elementary Mathematics by Mir Publisher Moscow.<br />
៥. ហសៀវហៅ “ចំនួនក្ុំផៃិច” ហរៀ ហរៀងហោយ JICA ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០៧<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />
151