07.04.2018 Views

ចំនួនកុំផ្លិច

Magazine created successfully

Magazine created successfully

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ចំនួនក ំផ្លិច<br />

១. និយមន័យ<br />

ក. ចំនួននិម្មិត<br />

ផលគុណរវាងចំនួនពិត c ខុសពីសូនយនឹង<br />

i<br />

ហៅថា ចំនួននិមិត្ត ។<br />

i<br />

ហៅថា “ ឯកតានិមិត្ត “ ដែល<br />

2<br />

i 1 ឬ<br />

i 1<br />

ឧទាហរណ៍ ទី ១ : ចំនួន<br />

3<br />

3 i , 2 i , 3 5 i , i 5<br />

ជាចំនួននិមិតត ។<br />

ខ. ឫស ការេ នន ចំនួន អវិជ្ជមាន<br />

លកខណៈ<br />

ហ ើ<br />

c 0<br />

ហនាោះ<br />

<br />

<br />

c c 1 c 1<br />

i c<br />

ឧទាហរណ៍ទី ២ : គណនា<br />

1.<br />

2<br />

4 41 4i 2i<br />

2<br />

2. 3 16 3 16i <br />

3.<br />

3<br />

4i<br />

2 2<br />

1 12 1 12i<br />

1 43i<br />

<br />

2<br />

4. 2 7 2 7i 2 7<br />

លកខណៈ<br />

i<br />

12i<br />

3<br />

ហ ើ<br />

2<br />

x<br />

a<br />

<br />

a 0<br />

<br />

ហនាោះ x<br />

i a ឬ x i a<br />

ឧទាហរណ៍ទី ៣ : គណនាតម្មៃ x ក្ន ុងក្រណី ខាងហរោម៖<br />

1.<br />

2.<br />

2<br />

x 9 <br />

2<br />

x <br />

18<br />

គ. និយម្ន័យចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧទាហរណ៍ៈ<br />

x <br />

9<br />

<br />

x 18<br />

<br />

3i<br />

3i<br />

2<br />

ចំនួនក ំផ្លិច ជាចំនួនដែលមានរាង z a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />

ហគតាងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិចហោយ C ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

1


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1 + 3i , −2 − 2i , 6 − 4i , −1 − 3i , 7i , −8i ហៅថាចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />

• ទរមង់ a ib ហៅថា “ ទរមង់សតង់ោ ឬ ទរមង់ពីជគណិ ត ” ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

a<br />

ហៅថា ដផនក្ពិត និង b ហៅថា ដផនក្និមិតត ។<br />

ហគក្ំណត់សរហសរ<br />

a Re z<br />

និង<br />

b<br />

Imz<br />

។<br />

• ក្រណី b 0 ហនាោះ<br />

a ib a 0i a<br />

ជាចំនួនពិត<br />

a 0 ហនាោះ 0<br />

a ib ib ib<br />

ជាចំនួននិមិតត<br />

• ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

a ib<br />

0<br />

ោលណា<br />

a b 0<br />

។<br />

ឧទាហរណ៍ៈ រក្ដផនក្ពិត និងដផនក្និមមិតម្ន z = 2 + 3i ។<br />

ដផនក្ពិតគឺ Re(z) = 2 និង ដផនក្និមមិត Im(z) = 3 ។<br />

២.ចំនួនក ំផ្លិចឆ្លល ស់<br />

ក. និយម្ន័យ<br />

<br />

ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរដែលមានសញ្ញានិមិត្តផ្ទុយគ្នា ហៅថាចំនួនក ំផ្លិចឆ្លាស់ ។<br />

ឧទាហរណ៍៖ចំនួនក្ុំផៃ ិច 23i<br />

នឹង 2 3i ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរឆ្លៃ ស់គ្នន ។<br />

<br />

ហយើងក្ំណត់ចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ហោយ z ។<br />

<br />

<br />

ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ<br />

។<br />

ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា ហៅថា ចំនួនក ំផ្លិចផ្ទុយគ្នា ។<br />

ហ ើ z a bi<br />

ឧទាហរណ៍៖ចំនួនក្ុំផៃ ិច 2 3i នឹង<br />

ហយើងក្ំណត់ចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ហោយ<br />

ក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ<br />

ឧទាហរណ៍ ៖<br />

<br />

z abi<br />

(23 i) 23i<br />

<br />

z ។ ហ ើ z a bi<br />

z<br />

(a bi)<br />

abi<br />

z12i<br />

z12i<br />

w119i<br />

w119i<br />

។<br />

ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ z1<br />

2<br />

ហនាោះក្ុំផៃ ិចផទ ុយគឺ<br />

ហនាោះក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />

ហនាោះក្ុំផៃ ិចផទ ុយគឺ<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរផទ ុយគ្នន ។<br />

<br />

i<br />

ហនាោះ<br />

z<br />

(1 2 i) 1<br />

2<br />

w 119i<br />

w (11 9 i) 11<br />

9i<br />

បញ្ជាក់ ៖ ចំនួនក្ុំផៃ ិចគ្នម នលំោ ់ហទ មានន័យថា ហ ើហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ<br />

ហយើងមិនអាចនិយាយថា z<br />

ខ. លកខណៈ<br />

wឬ w<br />

z<br />

បានហទ ។<br />

i<br />

ិចពីរ z នឹង w<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

2


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

‣ z1 z2 z1 z រាយតាមវ<br />

2<br />

ិធី ូក្ែក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />

ឧទាហរណ៍ ៖ ហគឲ្យ<br />

z 1 =3+5i នឹង<br />

z<br />

i<br />

2<br />

86<br />

គណនា<br />

z<br />

z<br />

1<br />

<br />

2<br />

ចរម្ល ើយ ៖ ហយើងមាន z 1<br />

=3+5i នឹង<br />

2<br />

8 6 ហនាោះចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />

ហនាោះហយើងបាន ៖<br />

‣<br />

z z z z<br />

z<br />

z 1<br />

=3 5i ន ឹង z2 86i<br />

z z z z<br />

i<br />

ហរៀងគ្នន ។<br />

នឹង<br />

z<br />

z<br />

1<br />

<br />

2<br />

1<br />

<br />

2 1<br />

<br />

2<br />

(3 5 i) (8 6 i) (3 8) i( 5 6) 11<br />

i<br />

1<br />

<br />

2 1<br />

<br />

2<br />

(3 5 i) (8 6 i) (3 8) i( 5 6) 5 11i<br />

z z z z<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

‣<br />

1 2 1 2<br />

z<br />

z<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z<br />

z<br />

1 1<br />

2 2<br />

ឧទាហរណ៍ ៖ ហគឲ្យ<br />

ចរម្ល ើយ ៖ ហយើងមាន<br />

ហនាោះហយើងបាន ៖<br />

z<br />

z<br />

រាយតាមវ ិធីគុណចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />

រាយតាមវ ិធីដចក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច នឹងហរ ើក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់<br />

z 1<br />

= 1+ 2i នឹង<br />

z = 1<br />

1 + 2 i នឹង<br />

z<br />

z<br />

i<br />

2<br />

16<br />

i<br />

2<br />

16<br />

z = 1<br />

1 2 i<br />

z z z z <br />

នឹង<br />

z<br />

គណនា<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 2<br />

ហនាោះចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ<br />

i<br />

2<br />

1<br />

6<br />

ហរៀងគ្នន ។<br />

z <br />

1<br />

នឹង ។<br />

z2<br />

<br />

– i – i – i i – i i<br />

2<br />

1 2 1 2<br />

(1 2 ) ( 1 6 ) 1 6 2 12 11 8<br />

<br />

1 1<br />

1– 2 i (1 – 2 i)( – 1– 6 i) – 1–<br />

6i 2i 12i<br />

<br />

z<br />

<br />

2<br />

z2<br />

– 1 6 i (– 1 6 i)( – 1–<br />

6 i) 1<br />

36<br />

<br />

គ. ករនោម្ផ្ផ្ែកពិត នឹងផ្ផ្ែកនិម្មិតជាអន គម្ន៍នន z នឹង z<br />

<br />

<br />

ឧ មាថាហគមាន z a bi<br />

ហគបាន<br />

ហហើយ<br />

ហនាោះ z<br />

z<br />

z a bi a bi 2a<br />

z<br />

z abi abi 2bi<br />

ហោយ Re(z) a នឹង Im(z) b<br />

<br />

Re(z) <br />

z z<br />

z<br />

2<br />

z<br />

a bi<br />

ដែល<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

a <br />

b <br />

a;bIR<br />

z z<br />

2<br />

ែូចហនោះហយើងបាន<br />

ហ ើ Re(z) 0 ហនាោះ z<br />

z z<br />

2i<br />

2<br />

។<br />

។<br />

– 13 – 4i<br />

13 4<br />

– – i<br />

37 37 37<br />

z នាំឲ្យ z ជាចំនូននិមមិត ។<br />

z នាំឲ្យ z ជាចំនូនពិត ។<br />

Im(z) ហ ើ Im(z) 0 ហនាោះ z<br />

2i<br />

3i x i<br />

ឧទាេហេណ៍ ៖ តាង x ជាចំនួនពិត ។ ក្ំណត់តដមៃ x ហែើមបីហអាយ W <br />

1i<br />

1i<br />

ក/ ជាចំនួនពិត ខ/ ជាចំនួននិមមិត<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

3


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ចរម្ល ើយ ៖ រក្តម្មៃ x<br />

ក/ ជាចំនួនពិត<br />

ហយើងមាន<br />

ហែើមបីហអាយ<br />

3i x i<br />

W <br />

1i<br />

1i<br />

3i x i<br />

W <br />

1i<br />

1i<br />

=<br />

(3 i)(1 i) (x i)(1 i)<br />

<br />

(1 i)(1 i) (1 i)(1 i)<br />

= 4 2 i x 1 xi i x 5 x <br />

<br />

3 i<br />

2 2 2 2<br />

ហែើមបីហអាយ W ជាចំនួនពិត លុោះរតាដត<br />

ែូចហនោះ<br />

x 3 នាំហអាយ<br />

ខ/ ជាចំនួននិមមិត<br />

ែូចហនោះ<br />

x 3 0<br />

2<br />

3 5 3 3<br />

W i 4<br />

2 2<br />

3<br />

W i x i<br />

4<br />

1 i<br />

<br />

1i<br />

<br />

3i x i<br />

W <br />

1i<br />

1i<br />

នាំហអាយ<br />

x 3<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

x5 x3<br />

ហយើងមាន<br />

i<br />

2 2<br />

5<br />

ហែើមបីហអាយ W ជាចំនួននិមមិត លុោះរតាដត<br />

x 0 នាំហអាយ<br />

2<br />

5 5 5 3<br />

W <br />

i 4i<br />

2 2<br />

x 5 នាំហអាយ<br />

៣. ប្រមាណវិធីល ើចំនួនក ំផ្លិច<br />

ក.វិធីបូក និងវិធីដកចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

3<br />

W i x i<br />

4i<br />

1 i<br />

<br />

1i<br />

<br />

ជាចំនួននិមមិត<br />

x 5<br />

ហែើមបី ូក្ ឬែក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច ហគរតូវយក្ដផនក្ពិត ូក្ ឬែក្ដផនក្ពិត<br />

ដផនក្និមមិត ូក្ ឬែក្ដផនក្និមមិត ោច់ហោយដែក្ពីគ្នន ។<br />

• ផល ូក្ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

• ផលែក្ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

a ib c id a c ib d <br />

<br />

a ib c id a c i b d<br />

ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= − 5 + 3i និង z 2 = 7 + 6i ។ គណនា z 1 + z 2 ។<br />

ហគបាន z 1 + z 2 = (−5 + 3i) + (7 + 6i) = (−5 + 7) + (3 + 6)i<br />

ែូចហនោះ z 1 + z 2 = 2 + 9i ។<br />

ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= − 5 + 3i និង z 2 = 7 + 6i ។ គណនា z 1 − z 2 ។<br />

ហគបាន z 1 − z 2 = (−5 + 3i) − (7 + 6i) = (−5 − 7) + (3 − 6)i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

4


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. វិធីគ ណ និង វិធីផ្ចកចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

វិធីគ ណចំនួនក ំផ្លិច<br />

ែូចហនោះ z 1 + z 2 = −12 − 3i ។<br />

ឧ មាថាហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 = a + bi និង z 2 = c + di ដែល a, b , c, d<br />

ជាចំនួនពិត ហគបាន<br />

z 1 × z 2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci − bd<br />

z 1 × z 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i ។<br />

ឧទាហរណ៍ៈ ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1= 2 − i និង z 2 = 3 + 2i ។ គណនា z 1 × z 2 ។<br />

ហគបាន z 1 × z 2 = (2 − i)(3 + 2i) = 6 + 4i − 3i − 2i 2 = 4 + i<br />

ែូចហនោះ z 1 × z 2 = 4 + i ។<br />

វិធីចចកចំនួនក ំផ្លិច<br />

ហែើមបីដចក្ចំនួនក្ុំផៃ ិច ហគរតូវគុណភាគយក្និងភាគដ ង និងចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្នភាគដ ង។<br />

ឧ មាថា ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 = a + bi និង z 2 = c + di ដែល a, b , c, d ជាចំនួនពិត<br />

គេបាន z 1<br />

= a+bi<br />

= (a+bi)(c−di)<br />

= (ac−bd)+(ad+bc)i<br />

z 2 c+di (c+di)(c−di) c 2 +d 2<br />

គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច z 1= 2 + 3i និង z 2 = 4 − 2i ។ គណនា z 1<br />

z 2<br />

ែូចហនោះ<br />

z 1 2 + 3i (2 + 3i)(4 + 2i) 8 + 4i + 12i − 6<br />

= = =<br />

z 2 4 − 2i (4 − 2i)(4 + 2i) 4 2 − (2i) 2 =<br />

= 2<br />

20 + 16i<br />

20 = 1<br />

10 + 4 5 i<br />

z 1<br />

z 2<br />

= 1 10 + 4 5 i<br />

។<br />

2 + 16i<br />

16 + 4<br />

=<br />

2 + 16i<br />

20<br />

គ.ចំនួនក ំផ្ល ិ ចរសមើគ្នែ<br />

និយមន័យៈ ចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z a ib និង w c id ហសម ើគ្នន<br />

លុោះរតាដត a c និង b d ។<br />

ក្រណី a + bi = 0 ពិតលុោះរតាដត a = b = 0 ។<br />

ឧទាហរណ៍ : សមភាព a ib 2 i 3<br />

ពិត លុោះរតាដត a 2 , b<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

5


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

៤.ចំនួនក ំផ្លិចកន ងរលង់<br />

ក. កាេតាងចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែងប្លង់<br />

ហគអាចតាងចំនួនក្ុំផៃ<br />

P(a,b) ែូចក្ន<br />

ុងរូ ។<br />

<br />

<br />

ិច z a bi<br />

ដែល<br />

អ័ក្ស(x'ox) ឬអ័ក្សហែក្ ហគហៅថា អ័កាសពិត្<br />

a;b<br />

អ័ក្ស(y'oy) ឬអ័ក្សឈរ ហគហៅថា អ័កាសនិ មិត្<br />

IR<br />

ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហមបានហោយចំណុ ច<br />

ភាពស ីមមទ្ទីមៅមលើបលង់(ឆលុុះ) ៖<br />

ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />

ក្ុំផៃ ិចផទ ុយ រ ស់វាគឺ<br />

ហយើង ញ្ជា ក្់ zzនឹង<br />

នឹង z<br />

<br />

<br />

z<br />

z<br />

z<br />

នឹង<br />

z<br />

នឹង z<br />

សិនហ ើ z<br />

,<br />

<br />

<br />

ិច z a bi<br />

z<br />

a bi<br />

z<br />

។<br />

ហនាោះក្ុំផៃ<br />

ក្ន ុង ៃង់ែូចខាងាដ ំហនោះ<br />

សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងអ័ក្សពិត<br />

សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងគល់អ័ក្ស<br />

សុីហមរទីគ្នន ហធៀ នឹងអ័ក្សនិមមិត<br />

សថ<br />

រ សិនហ ើ z<br />

ិតហលើអ័ក្សពិតហនាោះ z z<br />

សថ ិតហលើអ័ក្សពិតហនាោះ<br />

<br />

zz<br />

<br />

<br />

ិចឆ្លៃ ស់រ ស់វាគឺ z a bi<br />

នឹង<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

6


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. វ ិចទ័េេូបភាពផ្នផ្លបូក នឹងផ្លដកផ្នចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងប្លង់<br />

កាេតាងេូបភាពននផ្លបូកក ំផ្ល ិ ចកែ ងប្លង់ ៖<br />

ហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />

z1 abi<br />

នឹង<br />

z2 c di ហហ ើយហយើងបានែឹងហហើយថា<br />

z1z2 ( a c) i( b<br />

d)<br />

ក្ន ុង ៃង់ែូចរូ ខាងាដ ំ<br />

៥. ម ៉ូឌ ននចំនួនក ំផ្លិច<br />

ក.និយម្ន័យ<br />

។ តាង<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 2<br />

ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហម (xoy) ហគយក្ M(a, b) ជារូ ភាពម្ន z = a + ib ។<br />

រង្វា ស់ MO ហៅថាម ូឌុលម្ន z = a + ib ។ ហគក្ំណត់ម ូឌុលម្ន z = a + ib<br />

ហោយ |z| ឬ r ដែល |z| = r = OM = √a 2 + b 2 ។<br />

កនងត្តីគោណដកង OMP គេមាន OM 2 = MP 2 + OP 2<br />

គោយ OP = a , MP = b<br />

គេបាន OM 2 = a 2 + b 2 ឬ OM = √a 2 + b 2 ។<br />

ែូចគនេះ |z| = r = OM = √a 2 + b 2 ។<br />

ឧទាហរណ៍ : ម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃ<br />

ិច z1 2i<br />

គឺ<br />

2 2<br />

z 1 2 5<br />

ម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

w<br />

6i<br />

គឺ<br />

2 2<br />

w 0 6 6<br />

ខ.លកខណៈ<br />

ហ ើ z និង w<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ហនាោះហគបាន ៖<br />

1. z z 2.<br />

w w<br />

5.<br />

z z<br />

4. z<br />

0<br />

zz<br />

<br />

z<br />

2<br />

w z w z<br />

3. w z w z<br />

6. |z n | = |z| n<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

7


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

៦. អាគ យម ង់ននចំនួនក ំផ្លិច<br />

ក្ន ុងតរមុយអរតូណរហម (xoy) ហគយក្ M(a, b) ជារូ ភាព z = a + ib ។<br />

មុំដែលផ្ ុំហោយ (Ox ⃗⃗⃗⃗⃗ , OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ហៅថាអាគុយម ង់ម្ន z = a + ib ។<br />

ហគតាង φ ឬ Arg(z) ជាអាគុយម ងម្ន z = a + ib។<br />

ក្ន ុងរតីហោណដក្ង OMP ហគមានៈ<br />

r 2 = OM 2 = a 2 + b 2 ឬ r = √a 2 + b 2 (តាមរទឹសត ីពីតាគ័រ)<br />

cos φ = OP<br />

OM = a r ន ិង sin φ = MP<br />

OM = b r ។<br />

ហែើមបីរក្អាគុយម ង់ម្ន z = a + ib ហគហោោះរាយសមីោរៈ<br />

cos φ = a r ន ិង sin φ = b r<br />

ហគបាន Arg(z) = φ + 2kπ , k ∈ Z ។<br />

ឧទាហរណ៌១ រក្អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z = 2√3 + 2i ។<br />

តាមរូ មនត r = |z| = √(2√3) 2 + 2 2 = 4<br />

cos φ = a r = 2√3<br />

4<br />

= √3<br />

2<br />

និង sin φ = b r = 2 4 = 1 2<br />

ែូចហនោះ អាគុយម ង់ម្ន z គឺ Arg(z) = π + 2kπ , kεZ ។<br />

6<br />

ឧទាហរណ៌២ រក្អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z = √2 − i√2<br />

តាមរូ មនត r = |z| = √2 + 2 = 2<br />

cos φ = a r = √2<br />

2<br />

និង sin φ = b r = − √2<br />

2<br />

ែូចហនោះអាគុយម ង់ម្ន z គឺ Arg(z) = − π + 2kπ , kεZ ។<br />

4<br />

៧. ទប្មង់ប្រីលោណមាប្រននចំនួនក ំផ្លិច<br />

ចំនួនក្ុំផៃ ិច z = a + ib ហៅថាទរមង់ពីជគណិ ត។ ហគអាចសរហសរថ្ម ីមួយហទៀតែូចខាងហរោមៈ<br />

ហគបាន<br />

r z a b<br />

2 2<br />

ហៅថាម ូឌុលម្ន z = a + ib<br />

a<br />

cos និង sin<br />

r<br />

<br />

b<br />

r<br />

ដែល φ ហៅថាអាគុយម ង់ម្ន z ។<br />

ហគបាន z = a + ib = r ( a + i b ) = r(cos φ + i sin φ)<br />

r r<br />

ែូចហនោះ z = r(cos φ + i sin φ) ហៅថាទរមង់រតីហោណមារត មារត(ទរមង់<br />

ូដលរ)<br />

ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z a ib<br />

ឧទាហរណ៍ទី១ : សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1 i ជាទំរង់រតីហោណមារត ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

8


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

r z <br />

2 2<br />

1 1 2<br />

a 1 2<br />

cos <br />

r 2 2<br />

b 1 2<br />

sin <br />

r 2 2<br />

<br />

<br />

និង<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

z r cos isin 2 cos isin<br />

4 4<br />

ឧទាហរណ៍ទី២ ៖ ចូរសរហសរ z = −2√3 + 2i ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />

ហគមាន r = √(−2√3 ) 2 + 2 2 = 4<br />

z = 4 (− √3<br />

2 + i 1 2 ) = 4(− cos π 6 + i sin π 6 )<br />

z = 4(cos(π − π 6 ) + i sin(π − π 6 )<br />

z = 4(cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) ។<br />

៨.ប្រមាណវិធីចំនួនក ំផ្លិចកន ងទប្មង់ប្រីលោណមាប្រ<br />

ក.ផ្លគ ណននចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងទម្ម្ង់ម្តីរកាណមាម្ត<br />

<br />

ហ ើហយើងមាន z 1 = r 1 (cosφ 1 + isinφ 1 ) និង z 2 = r 2 (cosφ 2 + isinφ 2 )<br />

ហនាោះហយើងបាន z 1 ∙ z 2 = z 1 = r 1 ∙ r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + isin(φ 1 + φ 2 )]<br />

- |z 1 ∙ z 2 | = |z 1 | ∙ |z 2 |<br />

- Arg(z 1 ∙ z 2 ) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 )<br />

ឧទាហរណ៍៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z 1 = √2 (cos π 3 + isin π 3 ) ន ិង z 2 = 1 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />

ចមមលើយ<br />

ចូរគណនា z 1 ∙ z 2 រពមទាំងក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />

- គណនា z 1 ∙ z 2<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ហគមាន z 1 = √2 (cos π 3 + isin π 3 ) , z 2 = 1 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />

ហគបាន z 1 ∙ z 2 = √2 × 1 [cos 2 (π + π ) + isin 3 6 (π + π √2<br />

)] = (cos 3π + isin 3π )<br />

3 6 2 6 6<br />

= √2<br />

(cos π + isin π )<br />

2 2 2<br />

ែូហចនោះ z 1 ∙ z 2 = √2<br />

(cos π + isin π )<br />

2 2 2<br />

- ក្ំណត់ម ូឌុល - អាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

ហោយ z 1 ∙ z 2 = √2<br />

2 (cos π 2 + isin π 2 )<br />

ហនាោះហគបាន |z 1 ∙ z 2 | = √2<br />

ន 2<br />

ិង Arg(z 1 ∙ z 2 ) = π 2<br />

ែូហចនោះ ម ូឌុល |r| = |z 1 ∙ z 2 | = √2<br />

ន 2<br />

ិងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = π 2<br />

9


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧទាហរណ៍ទី៣ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z 1 = 1 − √3i និង z 2 = 1 + i ។<br />

ចូរគណនាម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2 រពមទាំងក្ំណត់ z 1 ∙ z 2 ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ចមមលើយ គណនាម ូឌុល - អាគុយម ង់ម្ន z 1 ∙ z 2<br />

ហយើងមាន z 1 = 1 − √3i<br />

នាឱ្យ z 1 = 2 ( 1 2 − √3<br />

2 i) = 2 (cos π 3 − isin π 3 ) = 2 [cos (− π 3 ) + isin (− π 3 )]<br />

និង z 2 = 1 + i = √2 ( 1 √2 + i 1 √2<br />

) = √2 (√2 + i<br />

√2 2 2 ) = √2 (cos π 4 + isin π 4 )<br />

ហនាោះហគបាន<br />

ម ូឌុល |z 1 ∙ z 2 | = |z 1 | ∙ |z 2 | = 2√2<br />

និងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 )<br />

នាំឱ្យ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 3 + π 4 = −4π+3π<br />

12<br />

= − π 12<br />

ែូហចនោះ ម ូឌុល |z 1 ∙ z 2 | = 2√2 និងអាគុយម ង់ Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 12<br />

- ក្ំណត់ទរមង់រតីហោណមារតម្ន z 1 ∙ z 2<br />

ហោយ |z 1 ∙ z 2 | = 2√2 និង Arg(z 1 ∙ z 2 ) = − π 12<br />

ហគបាន z 1 ∙ z 2 = 2√2 [cos (− π 12 ) + isin (− π 12 )]<br />

ែូហចនោះ z 1 ∙ z 2 = 2√2 [cos (− π 12 ) + isin (− π 12 )]<br />

ឧទាហរណ៍ទី៤ ៖ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ z = 1 − i និង w = √3 + i<br />

។<br />

ក្.ចូរគណនា z ∙ w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ខ.ចូរគណនាតម្មៃម្ន cos 23π<br />

12<br />

និង sin 23π<br />

12<br />

ចមមលើយ ហគមាន z = 1 − i និង w = √3 + i<br />

ក្. គណនា z ∙ w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z = 1 − i = √2 ( 1 − i 1 √2<br />

) = √2 (√2 − i ) = √2 (cos π − isin π )<br />

√2 √2 2 2 4 4<br />

= √2 [cos (2π − π 4 ) + isin (2π − π 4 )] = √2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )<br />

ហហើយ w = √3 + i = 2 ( √3<br />

2 + 1 2 i) = 2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />

ហគបាន z ∙ w = 2√2 [cos ( 7π + π ) + isin 4 6 (7π + π )] = 2√2 [cos (21π+2π) + isin ( 21π+2π<br />

)]<br />

4 6 12<br />

12<br />

z ∙ w = 2√2 (cos 23π 23π<br />

+ isin<br />

12 12 )<br />

ែូហចនោះ<br />

z ∙ w = 2√2 (cos 23π<br />

12<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃម្ន cos 23π<br />

12<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

+ isin<br />

23π<br />

12 )<br />

និង sin 23π<br />

12<br />

10


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហគមាន z = 1 − i និង w = √3 + i<br />

ហគបាន z ∙ w = (1 − i)(√3 + i) = √3 + i − i√3 − i 2<br />

ដត z ∙ w = 2√2 (cos 23π<br />

12<br />

= (1 + √3) + i(1 − √3) ( 1 )<br />

23π<br />

+ isin ) ( 2 )<br />

12<br />

តាមចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />

aib<br />

cid<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

c<br />

b<br />

d<br />

23π<br />

2√2cos = 1 + √3<br />

12<br />

(1)និង(២)ហគបាន {<br />

2√2sin 23π<br />

12<br />

23π<br />

12<br />

⟺ {cos<br />

= 1 − √3<br />

sin 23π<br />

12<br />

= 1+√3<br />

2√2<br />

=<br />

1−√3<br />

2√2<br />

23π<br />

cos<br />

12<br />

⟺ { = √2+√6<br />

4<br />

sin 23π<br />

12<br />

= √2−√6<br />

4<br />

ែូហចនោះ<br />

តម្មៃ cos 23π<br />

12<br />

ខ.សវ័យគ ណទី n ននចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

= √2+√6<br />

4<br />

និង sin 23π<br />

12<br />

= √2−√6<br />

4<br />

ជាទូម<br />

ៈ ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = r(cosφ + isinφ)<br />

ហនាោះហគបាន z n = |r| n [cos(nφ) + isin(nφ)] រគ ់ n ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី វ ិជាមាន ។<br />

ឧទាហរណ៍៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = √2 (cos π + isin π ) ។ គណនា z12<br />

6 6<br />

ហយើងមាន z = √2 (cos π 6 + isin π 6 )<br />

ហគបាន z 12 = [√2 (cos π + isin π 6 6 )]12 = (√2) 12 (cos 12π<br />

12π<br />

+ isin )<br />

6<br />

6<br />

= 2 6 (cos2π + isin2π) = 64(cos2π + isin2π) = 64<br />

ែូហចនោះ<br />

z 12 = 64<br />

ឧទាហរណ៍៖ គណនា (√2 − i√2) 24<br />

តាង z = √2 − i√2 ⇔ z 24 = (√2 − i√2) 24<br />

ហោយ z = 2 ( √2<br />

2<br />

។<br />

− i<br />

√2<br />

2 ) = 2 (cos π 4 − isin π 4 )<br />

= 2 [cos (2π − π 4 ) + isin (2π − π 4 )] = 2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )<br />

ហគបាន z 24 = [2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )]24 = 2 24 (cos 7π 4 + isin 7π 4 )24<br />

= 2 24 7π × 24 7π × 24<br />

(cos + isin ) = 2 24 (cos42π + isin42π)<br />

4<br />

4<br />

= 2 24 (cos2 ∙ 21π + isin2 ∙ 21π) = 2 24 (1 + 0i) = 2 24 = 16, 777, 216<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

11


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ែូហចនោះ z 24 = 16, 777, 216<br />

ឧទាហរណ៍៖ គណនា ( 1+i<br />

1−i )2n<br />

ដែល n ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី វ ិជាមាន ។<br />

តាង z = 1+i<br />

= (1+i)(1+i)<br />

= 1+2i+i2<br />

= 1+2i−1<br />

= i = 0 + i<br />

1−i (1−i)(1+i) 1−i 2 1−(−1)<br />

z = cos π 2 + isin π 2<br />

ហររោះ cos π 2 = 0<br />

ន ិង sin π 2 = 1<br />

ហគបាន z 2n = (cos π + isin π 2 2 )2n = cos (2n × π ) + isin (2n × π ) = cosnπ + isinnπ<br />

2 2<br />

= (cosπ + isinπ) n = (−1 + 0i) n = (−1) n<br />

ើ<br />

ើ<br />

ែូហចនោះ , ហគបាន z 2n = { 1 ហ n គូ<br />

−1 ហ n ហសស<br />

គ.េូបម្នតដឺម្័េ (De Moivre )<br />

ជាទូហ<br />

ៈ ហ ើហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z = r(cosφ + isinφ) ហហើយ |r| = 1<br />

ហនាោះហគបាន z n = (cosφ + isinφ) n = [cos(nφ) + isin(nφ)]<br />

ឧទាហរណ៍៖.ចូរគណនា sin 2α , cos 2α ជាអនុគមន៏ម្ន sin α , cos α ។<br />

តាមរូ មនតែឺម័រ (cosα + isinα) 2 = cos 2α + isin 2α (1)<br />

ដត (cosα + isinα) 2 = cos 2 α + 2isinαcosα + (isinα) 2<br />

= (cos 2 α − sin 2 α) + 2isinαcosα (2)<br />

តាម (1) និង (2) ហនាោះហគបាន<br />

cos 2α = cos 2 α − sin 2 α<br />

sin 2α = 2sinαcosα<br />

ែូហចនោះ cos 2α = cos 2 α − sin 2 α , sin 2α = 2sinαcosα<br />

ឧទាហរណ៍៖ ចូរគណនា sin 4x , cos 4x ជាអនុគមន៏ម្ន sin x , cos x ។<br />

ហយើងមាន(cosx + isinx) 4<br />

= cos 4 x + 4icos 3 xsinx + 6cos 2 x(isinx) 2 + 4cosx(isinx) 3 + (isinx) 4<br />

= (cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x) + i(4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x) (1)<br />

តាមរូ មនតែឺម័រ (cosx + isinx) 4 = cos 4α + isin 4α (2)<br />

តាម (1) និង (2) ហនាោះហគបាន<br />

cos 4x = cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x<br />

sin 4x = 4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x<br />

ែូហចនោះ cos 4x = cos 4 x − 6cos 2 xsin 2 x + sin 4 x<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

12


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

sin 4x = 4cos 3 xsinx − 4cosxsin 3 x<br />

ឃ.ឬសទី n ននចំនួនក ំផ្ល ិ ចកែ ងទម្ម្ង់ម្តីរកាណមាម្ត<br />

ជាទូម<br />

ៈ ហ ើហគមាន z = r(cosφ + isinφ) ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចមិនសូនយ<br />

ហហើយ n ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហនាោះ z មានឬសទី n ក្ំណត់ហោយៈ<br />

n<br />

w k = √r<br />

[cos ( φ+2kπ<br />

n<br />

) + isin ( φ+2kπ<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1<br />

n<br />

ក្.<br />

ឧទាហរណ៍ ៖ ចូរគណនាឬសទី 4 ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមៈ<br />

ក្. z = 1 + i ខ. z = −1 + i√3 គ. z = −√3 − i ឃ. z = 1<br />

ង. z = −I ច. z = 8 + i8√3 ឆ. z = −√2 − i√6<br />

ចមមលើយ គណនាឬសទី 4 ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមៈ<br />

z = 1 + i = √2 ( 1 + i 1 √2<br />

) = √2 (√2 + i ) = √2 (cos π + isin π )<br />

√2 √2 2 2 4 4<br />

នាំឱ្យ<br />

4<br />

w k = √√2<br />

π<br />

[cos (<br />

4 +2kπ<br />

4<br />

) + isin (<br />

π<br />

4 +2kπ<br />

4<br />

8 π + 8kπ π + 8kπ<br />

= √2 [cos ( ) + isin ( )]<br />

16<br />

16<br />

8<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos π + isin π )<br />

16 16<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

8 π + 8π<br />

+ 8π<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin (π )] = 8<br />

√2<br />

16<br />

16<br />

8 π + 16π π + 16π 8<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />

16<br />

16<br />

8 π + 24π π + 24π 8<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />

16<br />

16<br />

(cos 9π 9π<br />

+ isin<br />

16 16 )<br />

(cos 17π<br />

16<br />

(cos 25π<br />

16<br />

+ isin<br />

17π<br />

16 )<br />

+ isin<br />

25π<br />

16 )<br />

ខ. z = −1 + i√3 = 2 (− 1 2<br />

4<br />

នាំឱ្យ w k = √2<br />

2π<br />

[cos (<br />

+ i<br />

√3<br />

2 ) = 2 (cos 2π 3 + isin 2π 3 )<br />

3 +2kπ<br />

4<br />

) + isin (<br />

2π<br />

3 +2kπ<br />

4<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

4 2π + 6kπ 2π + 6kπ 4 π + 3kπ π + 3kπ<br />

= √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 [cos ( ) + isin ( )]<br />

12<br />

12<br />

6<br />

6<br />

4<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos π + isin π )<br />

6 6<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

13


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4 π + 3π π + 3π 4<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 (cos 2π 6<br />

6<br />

3 + isin 2π 3 )<br />

4<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = √2<br />

[cos ( π+6π<br />

) + isin (π+6π)] = 4<br />

√2 (cos 7π + isin 7π )<br />

6 6<br />

6<br />

6<br />

4 π + 9π π + 9π 4<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2 (cos 5π 6<br />

6<br />

3 + isin 5π 3 )<br />

គ. z = −√3 − i = 2 (− √3<br />

2 − i 1 2 ) = 2 (cos 7π 6 + isin 7π 6 )<br />

នាំឱ្យ<br />

4<br />

w k = √2 [cos (<br />

4<br />

= √2<br />

7π<br />

6 + 2kπ<br />

) + isin (<br />

4<br />

[cos ( 7π+12kπ<br />

24<br />

7π<br />

) + isin ( 7π+12kπ<br />

)]<br />

4<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √2 (cos 7π<br />

7π<br />

+ isin )<br />

24 24<br />

6 + 2kπ<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

4<br />

4 7π + 12π 7π + 12π 4<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />

24<br />

24<br />

4 7π + 24π 7π + 24π 4<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />

24<br />

24<br />

4 7π + 36π 7π + 36π 4<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = √2 [cos ( ) + isin ( )] = √2<br />

24<br />

24<br />

24<br />

(cos 19π<br />

24<br />

(cos 31π<br />

24<br />

(cos 43π<br />

24<br />

ឃ. z = 1 = 1 + 0i = cos2π + isin2π ហររោះ cos2π = 1 និង sin2π = 0<br />

4<br />

នាំឱ្យ w k = √1<br />

[cos ( 2π+2kπ<br />

4<br />

= cos ( π+kπ<br />

) + isin (π+kπ<br />

2<br />

) + isin ( 2π+2kπ<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

2 )<br />

4<br />

+ isin<br />

19π<br />

24 )<br />

+ isin<br />

31π<br />

24 )<br />

+ isin<br />

43π<br />

24 )<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = cos π 2 + isin π 2<br />

π + π<br />

+ π<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = cos ( ) + isin (π ) = cos π + isinπ<br />

2<br />

2<br />

π + 2π π + 2π<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = cos ( ) + isin ( ) = cos 3π 2<br />

2<br />

2 + isin 3π 2<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = cos ( π+3π<br />

) + isin (π+3π) = cos 2π + isin2π<br />

2<br />

2<br />

ង. z = −i = 0 − i = cos 3π 2 + isin 3π 2<br />

ហររោះ cos 3π 2 = 0<br />

ន ិង sin 3π 2 = −1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

14


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

នាំឱ្យ<br />

4<br />

w k = √1 [cos (<br />

3π<br />

2 + 2kπ<br />

) + isin (<br />

4<br />

3π<br />

2 + 2kπ<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

4<br />

3π + 4kπ 3π + 4kπ<br />

= cos ( ) + isin ( )<br />

8<br />

8<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = cos 3π 8 + isin 3π 8<br />

3π + 4π 3π + 4π<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = cos ( ) + isin ( ) = cos 7π 8<br />

8<br />

8 + isin 7π 8<br />

3π + 8π 3π + 8π<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = cos ( ) + isin ( ) = cos 11π 11π<br />

+ isin<br />

8<br />

8<br />

8<br />

8<br />

3π + 12π 3π + 12π<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = cos ( ) + isin ( ) = cos 15π 15π<br />

+ isin<br />

8<br />

8<br />

8<br />

8<br />

ច. z = 8 + i8√3 = 16 ( 1 2<br />

នាំឱ្យ<br />

4<br />

w k = √16<br />

+ i<br />

√3<br />

2 ) = 2 (cos π 3 + isin π 3 )<br />

π<br />

[cos (<br />

3 +2kπ<br />

4<br />

) + isin (<br />

π<br />

3 +2kπ<br />

4<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

π + 6kπ π + 6kπ<br />

= 2 [cos ( ) + isin ( )]<br />

12<br />

12<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = 2 (cos π 12 + isin π 12 )<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = 2 [cos ( π+6π<br />

) + isin (π+6π)] = 2<br />

12<br />

12<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = 2 [cos ( π+12π<br />

13π<br />

13π<br />

) + isin (π+12π)] = 2 (cos + isin )<br />

12<br />

12<br />

12<br />

12<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = 2 [cos ( π+18π<br />

19π<br />

19π<br />

) + isin (π+18π)] = 2 (cos + isin )<br />

12<br />

12<br />

12<br />

12<br />

ឆ. z = −√2 − i√6 = 2√2 (− 1 2<br />

នាំឱ្យ<br />

4π<br />

4<br />

w k = √2√2 [cos (<br />

− i<br />

√3<br />

2 ) = 2√2 (cos 4π 3 + isin 4π 3 )<br />

3 + 2kπ<br />

) + isin (<br />

4<br />

4π<br />

3 + 2kπ<br />

)] ដែល k = 0 , 1 , 2 , 3<br />

4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

15


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4π + 6kπ 4π + 6kπ<br />

= √8 [cos ( ) + isin ( )]<br />

12<br />

12<br />

2π + 3kπ 2π + 3kπ<br />

= √8 [cos ( ) + isin ( )]<br />

6<br />

6<br />

ហ ើ k = 0 ហគបាន w 0 = √8 (cos π + isin π )<br />

3 3<br />

k = 1 ហគបាន w 1 = √8<br />

k = 2 ហគបាន w 2 = √8<br />

k = 3 ហគបាន w 3 = √8<br />

[cos ( 2π+3π<br />

6<br />

[cos ( 2π+6π<br />

6<br />

[cos ( 2π+9π<br />

6<br />

) + isin ( 2π+3π<br />

)] = √8 (cos 5π + isin 5π )<br />

6 6<br />

6<br />

) + isin ( 2π+6π<br />

)] = √8 (cos 4π + isin 4π )<br />

3 3<br />

) + isin ( 2π+9π<br />

)] = √8<br />

៩.អន វរតន៍ក ំផ្លិច កន ងោរល ោះប្ាយសមីោរដឺលប្កទី២<br />

6<br />

6<br />

(cos 11π<br />

6<br />

11π<br />

+ isin ) 6<br />

ហគមសីោរែឺហរក្ទី២<br />

2<br />

ax bx c<br />

0<br />

(*) ដែល a ≠ 0 ។<br />

ហគបានឫសម្នសមីោរ −b± √b 2 −4ac<br />

2a<br />

ហ ើ α និង β ជាឫសម្នសមីោរ (*)<br />

មគបាន៖<br />

ជាទូម<br />

y<br />

<br />

b<br />

a<br />

និង<br />

(*) អាចសរហសរជារាង<br />

សមីោរ<br />

ករណី<br />

<br />

<br />

<br />

មគតាង<br />

c<br />

<br />

a<br />

x<br />

2<br />

a , b , c ∈ C<br />

( ) x<br />

0<br />

n<br />

a x a x ... a x a 0<br />

n<br />

b<br />

2<br />

4ac<br />

u iv<br />

r u r <br />

sign v i<br />

u <br />

<br />

<br />

2 2 <br />

1,2 <br />

()<br />

នាំឲ្យ<br />

z<br />

1,2<br />

n1<br />

n1 1 0<br />

,<br />

មិនរបាក្ែ<br />

2 2<br />

r y u v<br />

b<br />

y<br />

<br />

2a<br />

1,2<br />

(a ≠ 0) មានឫសក្ន ុង C យាងតិចមួយ។<br />

ហនាោះ<br />

( sign(v): សញ្ញារបស់ v)<br />

2<br />

y u iv<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

16


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧទាហរណ៍៖ ហោោះរាយសមីោរ<br />

<br />

2<br />

' ( 4(1 i)) (63 16 i)<br />

2 2<br />

r 63 16 65<br />

2<br />

z i i<br />

8(1 )z 63 16 0<br />

16 32i16 63 16i<br />

63 16i<br />

<br />

<br />

65 63 65 63 <br />

y1,2<br />

i 1<br />

8i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

z<br />

1,2<br />

<br />

4 1 i 1<br />

8i<br />

<br />

1<br />

z 4 4i 1<br />

8i<br />

1<br />

<br />

<br />

១០.រំល ងជ ំវិញគ ់រប្មុយននរលង់ក ំផ្លិច<br />

z2<br />

4 4i 1 8i<br />

=><br />

z<br />

5 12i<br />

1<br />

<br />

z2<br />

<br />

<br />

3 4i<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

wcos<br />

isin<br />

ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិល ផច ិត O និងម ំ θ ម ុះ<br />

ហគបាន<br />

<br />

z' w z cos<br />

isin<br />

z<br />

ឧទាហរណ៍១៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)<br />

<br />

ហគឲ្យចំណុ ច M ជាចំណុ ចរូភាពម្ន<br />

z <br />

3 i<br />

។<br />

ចូរក្ំណត់<br />

z ' ហោយែឹងថា M′(z′)<br />

ជារូ ភាពម្ន M តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = π 12 ។<br />

ចហមៃើយៈ ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = π 12<br />

ហនាោះហគបាន<br />

<br />

z ' cos isin<br />

z<br />

12 12 <br />

ហោយ<br />

3 1<br />

z 3 i 2( i ) 2(cos <br />

isin )<br />

2 2 6 6<br />

ហគបាន<br />

<br />

z' 2cos( ) isin( ) <br />

12 6 12 6 <br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z' 2cos isin<br />

<br />

4 4<br />

ឧទាហរណ៍១៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)ហគឲ្យចំណុ ច M ជាចំណុ ចរូភាពម្ន<br />

z 1i<br />

3<br />

។<br />

ចូរក្ំណត់<br />

z ' ហោយែឹងថា M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M តាម ំដលងវ ិលផច ិតO និងមុំ θ = 2π 3<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

17


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ចមមលើយៈ ហ ើ M′(z′) ជារូ ភាពម្ន M(z) តាម ំដលងវ ិលផច ិត O និងមុំ θ = 2π 3<br />

ហនាោះហគបាន<br />

ហោយ<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

2<br />

<br />

z ' cos isin<br />

z<br />

3 3 <br />

1 3 <br />

z 1 i 3 2( i ) 2cos( ) isin( ) <br />

2 2 3 3 <br />

2 2 <br />

z' 2cos( ) isin( ) <br />

3 3 3 3 <br />

<br />

z' 2cos isin<br />

<br />

3 3<br />

១១.ទប្មង់អិចស្ ៉ូណង់លសែ<br />

ក. េូបម្នតអឹផ្ល (Euler’s formula)<br />

ននចំនួនក ំផ្លិច<br />

ទរមង់អឹដល<br />

e ix<br />

cos x i sin x<br />

ដែល x ជាមុំហហើយ<br />

e 2,7182...ជាហគ្នលហោោរ ីតហនដព<br />

-សរមាយ ញ្ជា ក្់ហោយហរ ើសមីោរឌីហផរ ង់ដសយលលំោ ់ទីមួយៈ<br />

ហគតាងអនុគមន៍<br />

g( x)<br />

cos x i sin x<br />

ហគមាន g'<br />

( x)<br />

sin<br />

x i cos x<br />

គុណអង្ទាំពីរនិង<br />

ហគបាន<br />

g( x)<br />

ig'(<br />

x)<br />

0<br />

ig'<br />

( x)<br />

i<br />

sin x cos<br />

i ហគបានx<br />

ជាសមីោរឌីហផរ ងដសយលលំោ ់មួយ<br />

ចហមៃើយទូហ<br />

ម្នសមីោរគឹ<br />

g(<br />

x)<br />

<br />

ix<br />

ke<br />

ហ ើ<br />

x 0<br />

ហនាោះ<br />

g(0)<br />

k<br />

ដត<br />

g( 0) cos0 isin 0 1<br />

ហនាោះ<br />

k 1<br />

ហគបាន<br />

g(<br />

x)<br />

e<br />

ix<br />

។<br />

ែូចហនោះ<br />

e ix<br />

cos x isin<br />

x<br />

ខ. ទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />

រគ ់ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z a bi<br />

ទរមង់រតីហោណមារតគឹ<br />

ដែល<br />

r <br />

a<br />

ទរមង់ z re<br />

2<br />

i<br />

b<br />

2<br />

ដែល<br />

a, b ជាចំនួនពិតអាចសរហសរជា<br />

z r(cosx<br />

isin<br />

x)<br />

<br />

a<br />

,cos<br />

, sin<br />

<br />

r<br />

b<br />

r<br />

។<br />

i<br />

re<br />

ហៅថាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយលម្ន z a bi ។<br />

គ. ទំ ក់ទនងអន គមន៍ទ្ត្ីមោណមាទ្ត្<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

18


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងមាន<br />

e ix<br />

cos x isinx<br />

ជំនួស x ហោយ<br />

x<br />

ហគបាន<br />

<br />

e ix<br />

cos( x)<br />

isin(<br />

x)<br />

cos x isin<br />

x<br />

( 2)<br />

ូក្សមីោរ<br />

ហគទាញបាន<br />

(1) និង<br />

e<br />

cos x <br />

(2)<br />

ix<br />

ហគបាន<br />

e<br />

2<br />

ix<br />

ែក្សមីោរ ( 1)<br />

និង ( 2)<br />

ហគបាន<br />

ហគទាញបាន<br />

ដូចមនុះ<br />

ឃ.ទំ<br />

e<br />

sin x <br />

e<br />

cos x <br />

ix<br />

ix<br />

e<br />

2<br />

e<br />

2i<br />

ix<br />

;<br />

ix<br />

។<br />

e<br />

។<br />

e<br />

ix ix<br />

<br />

e<br />

e<br />

ix ix<br />

<br />

e<br />

sin x <br />

ix<br />

e<br />

2i<br />

2cos x<br />

2i<br />

sin x<br />

ix<br />

រូ មនតហនោះពិតដតចំហរោះ x ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ។<br />

ហយើងមាន<br />

ក់ទំនងជាមួយអន គមន៍អីចពបូលិក<br />

e<br />

cos x <br />

ជំនួស x ហោយ ix<br />

e<br />

sin( ix)<br />

<br />

មយ ងវ ិញហទៀត<br />

<br />

e<br />

cosh x <br />

x<br />

ix<br />

e<br />

2<br />

ix<br />

e<br />

sin x <br />

ix<br />

e<br />

ហគបាន cos( ix)<br />

<br />

x<br />

e<br />

2i<br />

x<br />

e<br />

cosh x <br />

e<br />

2<br />

x<br />

e<br />

i<br />

x<br />

cos x<br />

e<br />

2<br />

x<br />

x<br />

និង<br />

e<br />

2<br />

x<br />

និង<br />

x<br />

e<br />

2i<br />

e<br />

2<br />

ix<br />

x<br />

isinh<br />

x<br />

e<br />

sin x <br />

e<br />

sinh x <br />

x<br />

cosh x និង<br />

x<br />

e<br />

2<br />

e<br />

2<br />

x<br />

x<br />

isin<br />

x<br />

ឧទាហរណ៍ ៖ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមជាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយល<br />

ក<br />

ក<br />

z 1 3i<br />

;<br />

ខ<br />

2016<br />

1i<br />

<br />

z 1 cos i sin ; គ z ; ឃ<br />

3 3 1<br />

i <br />

ចមមលើយ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោមជាទរមង់អិចសប ូណង់ដសយល<br />

z 1<br />

1<br />

3i<br />

2<br />

<br />

2<br />

3 <br />

i<br />

2cos<br />

sin <br />

2 6 6 <br />

<br />

2 i<br />

e<br />

<br />

6<br />

<br />

z sin i cos<br />

6 6<br />

ខ<br />

<br />

z 1 cos i sin<br />

3 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

19


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ<br />

ឃ<br />

ហោយ<br />

<br />

<br />

1<br />

cos 2cos<br />

3<br />

2cos<br />

<br />

,sin 2sin cos<br />

6 3 6 6<br />

2 <br />

<br />

i2sin<br />

cos 2cos cos<br />

isin<br />

<br />

6 6 6 6 6 6 <br />

2 <br />

6<br />

z<br />

<br />

z <br />

<br />

<br />

7<br />

7<br />

<br />

2cos<br />

isin<br />

<br />

<br />

2016 7<br />

2016<br />

i<br />

4<br />

1<br />

i <br />

<br />

4 4<br />

<br />

e<br />

i3024<br />

<br />

<br />

e<br />

2016 <br />

1<br />

i <br />

i<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2cos<br />

isin<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

z sin icos<br />

cos isin cos isin<br />

6 6 2 6 2 6 3 3<br />

ឧទាហរណ៍ ៖ ហោោះរាយសមីោរខាងហរោមក្ន ុងចំនួនក្ុំផៃ ិច ។<br />

ក<br />

cos x 2<br />

ខ<br />

sin x 3<br />

<br />

<br />

<br />

2016<br />

ចមមលើយ ហោោះរាយសមីោរខាងហរោមក្ន ុងចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ix ix<br />

e e<br />

ក cos x 2 តាមរូ មនតអឺដល cos x <br />

2<br />

ខ<br />

ហគបាន<br />

e ix e<br />

ix<br />

2<br />

ហគបានសមីោរ<br />

ចំហរោះ<br />

ចំហរោះ<br />

t<br />

2<br />

2<br />

'<br />

4 1<br />

3<br />

t<br />

t<br />

sin x 3<br />

2<br />

1<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

ហគបាន<br />

3<br />

ឬ<br />

e ix e<br />

ix<br />

4t<br />

1<br />

0<br />

3<br />

ហគបាន ញស<br />

ហគបាន<br />

e ix<br />

4 0<br />

t<br />

2<br />

1<br />

<br />

e<br />

<br />

<br />

e<br />

3 i<br />

2ix<br />

ix<br />

ឬ e 4e<br />

1<br />

0 តាង<br />

3<br />

;<br />

t<br />

2<br />

2<br />

<br />

3<br />

e<br />

<br />

i3024<br />

<br />

i<br />

3<br />

e<br />

ix<br />

t e<br />

2 3 ix ln(2 3) x i<br />

ln(2 <br />

ហគបាន e ix 2 3 ix ln(2 3) x i<br />

ln(2 3)<br />

តាមរូ មនតអឺដល<br />

e<br />

ix<br />

ix<br />

e<br />

2i<br />

2<br />

ហគបានសមីោរ t 6t<br />

1<br />

0<br />

3<br />

e<br />

e<br />

sin x <br />

2ix<br />

ix<br />

6e<br />

ix<br />

e<br />

2i<br />

ix<br />

1<br />

0<br />

តាង<br />

ix<br />

t e<br />

' 9 1<br />

10<br />

ហគបាន ញស t 3<br />

10 (3<br />

10)<br />

; 3 10<br />

1 t <br />

2<br />

ចំហរោះ<br />

ចំហរោះ<br />

t<br />

t<br />

(3<br />

1<br />

<br />

10)<br />

ហគបាន<br />

e (3 10) (3 10) e e<br />

ix i iln(3<br />

10)<br />

ix i<br />

ln(3 10) x iln(3 10)<br />

3<br />

2<br />

<br />

10<br />

ហគបាន e (3 10) (3 10) e e<br />

ix i iln(3<br />

10)<br />

ix i<br />

ln(3 10) x iln(3 10)<br />

១២. ប្រមាណវិធីចំនួនក ំផ្លិចតាមទប្មង់អិចស្ ៉ូណង់លសែ<br />

ក. ទ្បមាណវិធីគ ណចំនួនក ំផ្លិចតាមទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />

3)<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

20


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z re<br />

i<br />

i<br />

និង w pe ដែល r 0;<br />

p 0 ហហើយ; ជាចំនួនពិត ។<br />

ហគបាន<br />

i<br />

z.<br />

w re<br />

<br />

i<br />

. pe<br />

<br />

rpe<br />

i(<br />

<br />

)<br />

។<br />

ខ. ទ្បមាណវិធីចចកចំនួនក ំផ្លិចតាមទទ្មង់អិចសា្បូណង់ចសាែល<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z re<br />

i<br />

និង<br />

w <br />

pe<br />

i<br />

ដែល<br />

r 0;<br />

p 0<br />

ហហើយ<br />

; ជាចំនួនពិត ។<br />

ហគបាន<br />

z<br />

w<br />

<br />

r i<br />

e<br />

p<br />

( )<br />

១៣.អន វរតន៍ចំន៉ូនក ំផ្លិចកន ងប្រីលោណមាប្រ<br />

ក. េូបម្នតម្ ំឌ ប<br />

ហគទាញ<br />

ហហើយ<br />

ែូចហនោះ<br />

ខ.េូបម្នតម្ ំម្ទីប<br />

ហគមាន<br />

ចំហរោះរគ ់់ចំនួនពិតx ហគមាន cos<br />

ហគបាន<br />

2<br />

cos<br />

e<br />

x <br />

ix<br />

e<br />

2<br />

ix ix 2<br />

2ix 2ix<br />

e e e e<br />

x <br />

<br />

2 4<br />

2<br />

cos2x2cos x<br />

1<br />

e e e e e e<br />

sin 2x<br />

2 <br />

2i<br />

2i<br />

2<br />

2ix 2ix ix ix ix ix<br />

sin 2x 2sin xcos<br />

x<br />

3<br />

cos<br />

ហនាោះហគបាន<br />

ហគទាញបាន<br />

ហហើយ<br />

e<br />

x <br />

<br />

ix<br />

e<br />

2<br />

ix<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

ix<br />

; sin<br />

e<br />

x <br />

ix<br />

e<br />

2i<br />

ix<br />

2ix<br />

2ix<br />

1 e e 1 1 1<br />

cos 2x<br />

<br />

2 2 2 2 2<br />

3ix 3ix ix ix<br />

( e e ) 6( e e<br />

)<br />

3ix 3ix ix ix<br />

2 <br />

e e 3( e e )<br />

<br />

2 2<br />

8 8<br />

2cos3x 6cos x cos3x 3cos<br />

x<br />

<br />

<br />

8 4<br />

3<br />

4 cos cos 3 3cos<br />

x x x<br />

2<br />

cos3 4cos 3cos<br />

3<br />

sin<br />

x x x<br />

e<br />

x <br />

<br />

ix<br />

e<br />

2i<br />

ix<br />

ហគទាញបាន sin3x = 3sinx − 4sin 3 x ។<br />

គ.េូបម្នតផ្លបូក និង ផ្លដកននម្ ំពីេ<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3ix 3ix ix ix<br />

( ) 3( ) 2 sin 3 6 sin<br />

e e e e i x i x<br />

<br />

8i<br />

4<br />

ហគមាន<br />

i( ab)<br />

ai bi<br />

e e e រគ ់ចំនួនពិត a និង b ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

21


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហោយ<br />

ហហើយ<br />

ែូនហនោះ<br />

ai bi<br />

e e (cosa isin a)(cosb<br />

isinb)<br />

ai bi<br />

e e (cosa cos a isina sin b) i(sina cosb sinbcos a)<br />

i( ab)<br />

e a b i a b<br />

cos( ) sin( )<br />

cos( a b) cos acosb sin asinb<br />

sin( a b) sin acosb sinbcos<br />

a<br />

i<br />

មយ ងហទៀត ( ab ) ai bi<br />

e e e រគ ់ចំនួនពិត a និង b ។<br />

ហោយ<br />

ai bi<br />

e e (cosa isin a)(cosb<br />

isinb)<br />

ai bi<br />

e e (cosa cos a isina sin b) i(sina cosb sinbcos a)<br />

ហហើយ<br />

i( ab)<br />

e a b i a b<br />

cos( ) sin( )<br />

a b a b a b<br />

ែូនហនោះ cos( ) cos cos sin sin<br />

sin( a b) sin acosb sinbcos<br />

a<br />

ឃ. េូបម្នតបំផ្លងពីផ្លគ ណ រៅផ្លបូក<br />

<br />

e e e e<br />

cosacosb<br />

<br />

2 2<br />

ែូនហនោះ<br />

ia ia ib ib<br />

e e e e<br />

<br />

4<br />

i( ab) i( ab) i( ab) i( ab)<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

i( ab) i( ab) i( ab) i( ab)<br />

1 e e e e<br />

1 [cos( a b ) cos( a b )]<br />

1<br />

sin asin b [cos( a b) cos( a b)]<br />

2<br />

១៤.អន វរតន៍ចំនួនក ំផ្លិចកន ងស្ ីរននចំនួនពិរ<br />

<br />

ចំហរោះសា ុីតម្នចំនួនពិត (<br />

ដែល<br />

a,<br />

bIR<br />

សមីោរសមា្ ល់ម្នសា ុីត<br />

ក្ន ុងក្រណី<br />

ឬ<br />

r2 a' b'<br />

i<br />

ហែើមបីគណនា(<br />

តាងសា ុីតជំនួយ<br />

<br />

u au bu<br />

u n ) ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ទំនាក្់ទំនងក្ំហណើ ន<br />

2 1 n<br />

2<br />

r ar b<br />

2<br />

( a) 4b<br />

0<br />

n<br />

2<br />

ឬ r ar b<br />

0<br />

ហនាោះសមីោរមានឬសជាចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់គឺ r 1<br />

a' b'<br />

i<br />

ដែល<br />

។<br />

a', b'<br />

IR<br />

u n ) ហគរតូវអនុវតតន៍ែូចតហ ៖<br />

z a ra<br />

n<br />

n1<br />

1<br />

n<br />

n<br />

<br />

<br />

នាទ ់រាយថា z n ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនូនក្ុំផៃ ិច<br />

ចុងហរោយគណនា z n នឹងទាញរក្ ( u n ) ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

22


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧទាហេណ៍ ១ ៖ ហគមានសា ុីតម្នចំនួនពិត (<br />

u1 1<br />

ចរម្លើយ ៖ គណនា<br />

ដែល<br />

u n<br />

u n ) ក្ំណត់ហោយ<br />

n {0,1,2, } ។ ចូរគណនា<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />

u n<br />

u u u<br />

n2 n1 n<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />

។<br />

ដែល<br />

u0 0<br />

នឹង<br />

ហយើងមាន<br />

ហនាោះហយើងបាន<br />

តាងសា ុីតជំនួយ<br />

u u u<br />

n2 n1 n<br />

1<br />

3 i <br />

ហនាោះ zn<br />

1<br />

<br />

. z<br />

2 <br />

<br />

ហោយ<br />

ហគបាន<br />

នឹង<br />

ហនាោះសមីោរសមា្ ល់<br />

1<br />

3i<br />

1<br />

3i<br />

r1 ; r2<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

3i<br />

<br />

z u ru u <br />

u<br />

2 <br />

<br />

n n1 1 n n1<br />

n<br />

r<br />

2<br />

r1<br />

ឬ<br />

r<br />

2<br />

r1<br />

0<br />

2<br />

( 1) 4 3<br />

1 3i 1 3i 1<br />

3i<br />

<br />

z u u u u u u u<br />

2 2 2 <br />

<br />

n1 n2 n1 n1 n u1 n1<br />

n<br />

1 3i <br />

2 1 3i 1 3i 1<br />

3 i <br />

u u u u . z<br />

2 <br />

<br />

1<br />

3i<br />

<br />

2 2 2 <br />

<br />

n<br />

,<br />

z n<br />

1<br />

3i<br />

<br />

q cos isin<br />

2 3 3<br />

n1 n n1<br />

n n<br />

ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />

ហនាោះ<br />

1<br />

3i<br />

<br />

z0 u1 <br />

u0<br />

1<br />

2 <br />

<br />

n n n<br />

zn<br />

z0 q cos isin cos isin<br />

3 3 3 3<br />

1<br />

3 <br />

zn u n1<br />

i un<br />

2 2 <br />

<br />

តាម(១)នឹង(២) ហគបាន<br />

ហផទៀងផ្ទទ ត់ ៖<br />

ែូចហនោះ<br />

u<br />

n<br />

u<br />

0<br />

<br />

(២)<br />

n<br />

3 n<br />

2 n<br />

un<br />

sin un<br />

sin<br />

2 3 3 3<br />

2 0<br />

sin 0<br />

3 3<br />

ពិត នឹង<br />

2 n<br />

sin , n<br />

0,1,2,...<br />

3 3<br />

u<br />

1<br />

<br />

2 sin 1<br />

3 3<br />

ឧទាហេណ៍ ២ ៖ ហគពិនិតយសា ុីតម្នចំនួនពិត( u n<br />

) ក្ំណត់ហោយ u 1<br />

0, u 2<br />

1 នឹង<br />

u 2u 2u<br />

n2 n1<br />

n<br />

n<br />

IN<br />

n <br />

។ ចូរគណនា<br />

ចំរលើយ ៖ គណនា u ជាអនុគមន៍ម្ន n<br />

u n<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន n ។<br />

ហយើងមាន un2 un<br />

1 un<br />

នឹង u 1<br />

0, u 2<br />

1; n<br />

IN<br />

(១)<br />

ពិត<br />

1<br />

3i<br />

q <br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

23


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

សមីោរសមា្ ល់<br />

មាន<br />

តាងសា ុីតជំនួយ<br />

ហោយ<br />

ហនាោះ<br />

z n<br />

ហគបាន<br />

ហនាោះ<br />

ដត<br />

r<br />

2<br />

2r 2 ឬ<br />

2 2<br />

8 4 0<br />

r<br />

2<br />

ហនាោះ<br />

2r 2 0<br />

z u ru u i u<br />

2<br />

2i<br />

r1<br />

1 i<br />

2 <br />

2<br />

2i<br />

r2<br />

1 i<br />

2<br />

n n1 1 n n1 1 n<br />

<br />

<br />

<br />

z 2u 2u 1 i u (1 i) u 1 i u <br />

<br />

<br />

1 i z<br />

n1 n1 n n1 n1<br />

n n<br />

ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច មានហរសុង<br />

2 2 <br />

q 1 i 2 <br />

i 2 cos i sin<br />

2 2 <br />

4 4 <br />

n<br />

z<br />

n<br />

n1<br />

n1<br />

n1 <br />

2<br />

q1i<br />

និង <br />

z u 1i u 1<br />

1 2 1<br />

<br />

n1 n1<br />

<br />

zn<br />

z1<br />

q 2 cos isin 2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

n<br />

n1<br />

n1<br />

n<br />

1 1 <br />

2 2<br />

2 cos i2 sin <br />

4 4 <br />

z u iu<br />

n1 1<br />

n<br />

(២)<br />

តាម(១)នឹង(២) ទាញបាន<br />

ែូហចនោះ<br />

u<br />

n<br />

<br />

u n<br />

n 1<br />

n 1 <br />

2<br />

2 sin<br />

<br />

<br />

<br />

4 <br />

<br />

n1<br />

(n 1)<br />

2<br />

<br />

2 sin <br />

4 <br />

n<br />

IN<br />

, ហផទៀងផ្ទទ ត់<br />

(១)<br />

u1 0<br />

ពិត<br />

u2 1<br />

ពិត<br />

១៥.អន វរតន៍ចំនួនក ំផ្លិចកន ងរលងធរណី មាប្រ<br />

ក.ចមាា យេវាងពីេចំណច<br />

z x y i នឹង<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />

1 1 1<br />

z x y i<br />

2 2 2<br />

តាង A នឹង B ជាចំណុ ចម្ន z 1<br />

នឹង z<br />

2<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ( xoy )។<br />

2 2<br />

ហគបាន AB = x x y y <br />

2 1 2 1<br />

ហហើយ z z x x i y y <br />

2 1 2 1 2 1<br />

y 1<br />

A<br />

x 1<br />

B<br />

2 2<br />

ហនាោះ z z x x y y <br />

2 1 2 1 2 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

24


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2 2<br />

ែូហចនោះ AB z z x x y y <br />

, x,<br />

y IR ។<br />

2 1 2 1 2 1<br />

ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />

ចរម្លើយ ៖ រក្រ ដវង AB<br />

z1 12i<br />

A, B ជាចំណុ ចរូ ហរៀងគ្នន ម្ន<br />

ហគបាន AB<br />

<br />

z<br />

z<br />

2 1<br />

2<br />

6i<br />

<br />

<br />

z1,<br />

z2<br />

នឹង<br />

z2 z1 1 2i 3<br />

4i<br />

2 2<br />

z2 z1 3 4 5<br />

ែូហចនោះ AB = 5 ឯក្តារ ដវង<br />

ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរ<br />

z a i<br />

1<br />

1<br />

ក្ន ុង ៃង់ចំនួនក្ុំផៃ ិច <br />

xoy<br />

z2 2<br />

6i<br />

។ រក្រ ដវង AB។<br />

និង<br />

ហគតាង A នឹង B ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />

1<br />

នឹង<br />

ចូរក្ំណត់តម្មៃ<br />

ចរម្លើយ ៖ ក្ំណត់តម្មៃ a<br />

ហោយ AB<br />

ហនាោះ<br />

<br />

2 1<br />

z<br />

a<br />

ហែើមបីឲ្យចមាា យABខៃ ី ំផុត។<br />

z<br />

2 1<br />

ហហើយ<br />

<br />

<br />

ហហើយ<br />

z2 3 i 6 a , a IR<br />

z 2<br />

។<br />

<br />

<br />

z2 z1 3 i 6 a 2 a i 1 a i(5 a)<br />

2 2 2 2<br />

z z 1 a 5 a 1 2a a 25 10a a<br />

2<br />

2<br />

2a 12a 26 2 a 3 8<br />

<br />

ហែើមបីបាន AB ខៃ<br />

ែូចហនោះ ចំនួនពិត<br />

ី ំផុតោលឲ្យ 2<br />

<br />

<br />

a 3 0<br />

a 3 ហនាោះរ ដវងABខៃ<br />

ហនាោះ<br />

ី ំផុត<br />

a 3<br />

ខ.ចំណចផ្ចកកែ ងអងកត់តាម្ផ្លរធៀបម្ួយ<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច xoy ហគតាងA នឹង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ជាចំណុ ចមានអាហាិច<br />

ចំណុ ចដចក្ក្ន<br />

z p<br />

ជា<br />

ុងម្នអងកត់AB<br />

ហ ើ Q ជាចំណុ ចហរៅម្នអងកត់<br />

ហគមាន<br />

<br />

QA z<br />

A<br />

z<br />

Q<br />

<br />

នឹង<br />

ហគបាន <br />

តាមផលហធៀ មួយ nn , 0<br />

<br />

<br />

AB តាមផលហធៀ<br />

<br />

QB z<br />

B<br />

z<br />

z z n z z nz nz<br />

A Q B Q B Q<br />

Q<br />

<br />

n<br />

z A<br />

នឹង<br />

ហនាោះQA nQB<br />

z B<br />

យក្ P<br />

zQ nzQ nzB zA<br />

zA<br />

nzB<br />

ែូចហនោះ zQ<br />

, n0<br />

1<br />

n<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

25


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

សមាគាល់ ៖ ក្រណី<br />

ហគបាន<br />

n 1 ហនាោះ P ជាចំណុ ចក្ណាត លម្នអងកត់<br />

z<br />

p<br />

z<br />

<br />

A<br />

z<br />

2<br />

គ.ចំណចផ្ចករម្ៅអងកត់តាម្ផ្លរធៀបម្ួយ<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />

xoy<br />

យក្ Q ជាចំណុ ចមានអាហាិច<br />

តាមផលហធៀ<br />

nn , 0<br />

។<br />

B<br />

។<br />

ហគតាង A នឹង B ជាចំណុ ចរូ ភាពម្ន<br />

AB<br />

z Q<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្ន <br />

AB<br />

ហ ើ Q ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់ តាមផលហធៀ<br />

ហគមាន<br />

ហគបាន<br />

ហនាោះ<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

QA z z , QB z z<br />

A Q B Q<br />

<br />

z z n z z nz nz<br />

A Q B Q B Q<br />

zQ nzQ nzB zA<br />

z<br />

Q<br />

zA<br />

nz<br />

<br />

1<br />

n<br />

B<br />

<br />

, n0<br />

n<br />

<br />

AB<br />

z A<br />

<br />

<br />

នឹង<br />

ហនាោះ QA nQB<br />

ឧទាហេណ៍ ៖ ហគមានពីរចំណុ ច A នឹង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

P ជារូ ភាពម្ន<br />

z P<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្ន <br />

ចរម្ល ើយ ៖ ក្ំណត់<br />

ហយើងមាន<br />

zA<br />

ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្ន <br />

AB<br />

z P<br />

នឹង<br />

27i<br />

តាមផលហធៀ<br />

z Q<br />

នឹង<br />

zB<br />

AB<br />

1<br />

i<br />

ហោយ P ជារួ ភាពម្ន z P<br />

ជាចំណុ ចដចក្ក្ន<br />

ហនាោះ<br />

z<br />

p<br />

តាមផលហធៀ<br />

2<br />

m <br />

3<br />

ុង <br />

1<br />

2 7i 1<br />

i<br />

z<br />

<br />

A<br />

nzB<br />

3 5 22i<br />

<br />

1<br />

n<br />

1<br />

1<br />

4<br />

3<br />

។ ចូរក្ំណត់<br />

1<br />

n <br />

3<br />

AB តាមផលហធៀ<br />

zA<br />

z P<br />

នឹង<br />

z B<br />

27i<br />

នឹង<br />

zB<br />

នឹង Q ជារូ ភាពម្ន<br />

z Q<br />

។<br />

1<br />

n <br />

3<br />

1<br />

i<br />

z Q<br />

។<br />

ហោយ Q ជារួ ភាពម្ន z Q<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅ AB តាមផលហធៀ<br />

ហនាោះ<br />

z<br />

Q<br />

2<br />

2 i 1<br />

i<br />

z<br />

<br />

A<br />

mzB<br />

3 8 19i<br />

1<br />

m<br />

2<br />

1<br />

3<br />

<br />

1<br />

m <br />

3<br />

ែូហចនោះ<br />

zP<br />

5 11<br />

i នឹង zQ<br />

8<br />

19i<br />

4 2<br />

ឃ. ផ្លរធៀបម្ជ្ុងនឹង ម្ ំននម្តីរកាណកែ ងប្លង់<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

26


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />

សង់វុ ិចទ័រ<br />

ABC<br />

ហគបាន<br />

ហគមាន<br />

OB '<br />

xoy<br />

AB<br />

ហគមាន ីចំណុ ច A, B, C ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

នឹង<br />

ជារតីហោណ ុនគ្នន ហនាោះ<br />

OB AB z z<br />

<br />

B<br />

A<br />

<br />

OC '<br />

AC<br />

ហនាោះហគបាន<br />

BAC B 'OC'<br />

នឹង<br />

B 'OC' xOC xOB<br />

'<br />

zC z <br />

A<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

<br />

ែូចហនោះ ហ ើ<br />

<br />

។<br />

OC AC z z<br />

' <br />

C<br />

<br />

A<br />

ឬ<br />

ហហើយផលហធៀ រជុង<br />

, ,C <br />

A z B z z<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

AB z z<br />

A B C<br />

B<br />

A<br />

A<br />

នឹង<br />

<br />

OB ' C '<br />

នឹង<br />

<br />

BAC arg z z arg z z<br />

AC z z z z<br />

<br />

AB z z z z<br />

C A B A<br />

C A C A<br />

B A B A<br />

ហងក ើតបានជារតីហោណ ABC ហនាោះហគបាន ៖<br />

zC z <br />

A<br />

BAC<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

<br />

។<br />

zA, zB,<br />

zC<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

27


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧទាហេណ៍ ទី ៖ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច <br />

xoy<br />

ហគហអាយ ីចំណុ ច A ,B ,C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />

zA<br />

2<br />

i<br />

z 34i<br />

B<br />

នឹង<br />

zC<br />

2<br />

9i<br />

ចរម្លើយ ៖ គណនាផលហធៀ រជុង<br />

ហោយ<br />

ហយើងមាន<br />

ែូហចនោះ<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

AB z z<br />

z<br />

z<br />

C<br />

B<br />

B<br />

A<br />

A<br />

នឹង<br />

។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង<br />

AC<br />

AB<br />

នឹង<br />

BAC<br />

zC z <br />

A<br />

BAC<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

AC<br />

AB<br />

នឹង<br />

BAC<br />

z 2 9 2 4 8 1 3<br />

C<br />

z i i i i<br />

A<br />

20 20i<br />

2 2 <br />

2 2i 2 2<br />

i<br />

zB<br />

zA<br />

3 4i 2 i 1 3i 1 3i<br />

10 2 2 <br />

<br />

zA<br />

<br />

2 2 cos isin<br />

<br />

z 4 4<br />

A<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

AB z z<br />

ង. សំណំ ចំណចកែ ងប្លង់ក ំផ្ល ិ ច<br />

B<br />

A<br />

A<br />

2 2<br />

នឹង<br />

zC<br />

z <br />

A<br />

<br />

BAC<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

4<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិចរ ក្ ហោយតរមុយអរតូណមាល់<br />

ជាចំណុ ចរូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z x iy<br />

<br />

0, i,<br />

j<br />

<br />

។<br />

ហគតាងចំណុ ច<br />

<br />

P x,<br />

y<br />

។ សំណុំ ម្នរូ ភាព P<br />

ទាំងអស់ដែលអាចមានហ តាមលក្ខណឌ ដែលរតូវ ំហពញ ម្ន z ហងក ើតបានជាសំណុំ ចំណុ ចម្ន P<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច។<br />

ឧទាហេណ៍ ទី១ ៖ ហគហអាយចំនួនក្ុំផៃ ិច z ហផទៀងផ្ទទ ត់<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ<br />

x0y<br />

ិច <br />

ចរម្លើយ ៖ រក្សំណុំ ចំណុ ចម្ន P<br />

តាង z x iy នឹង<br />

z x iy<br />

។ រក្សំណុំ ចំណុ ចម្ន P ។<br />

ហនាោះ1 i z 1 i<br />

z 4<br />

i x iy i x iy<br />

1 1 4<br />

x iy ix y x iy ix y 4<br />

2x 2y 4 ហនាោះ y x<br />

2<br />

<br />

1 i z 1 i z 4<br />

ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន P គឺជា នាទ ត់ដែលមានសមីោរ : y x 2<br />

<br />

ដែល P ជារូ ភាពម្នចំនួន z<br />

ឧទាហេណ៍ ទី២ ៖ ហគហអាយចំនួនក្ុំផៃ ិច z ហផទៀងផ្ទទ ត់ z 2 i 3 ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច xoy ។ រក្សំណុំ ចំណុ ច P ។<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

28


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ និងចំលោទ ល<br />

ើចំនួនក ំផ្លិច<br />

១. ំដលងចំនួនខាងហរោមជាចំនួននិមមិត<br />

1. √−9 2. √−64 3. √−121 4. √− 9 25<br />

5. − √−28<br />

២. ំដលងចំនួនខាងហរោមជាចំនួនក្ុំផៃិចដែលមានទរមង់ពិជគណិ ត<br />

1. 4 − √−100 2. − 5 + √−9 3. 2 − √−8 4. − 5 + √−18 6. 1 + √−50<br />

៣.គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />

1.<br />

4.<br />

7.<br />

5 3i 2<br />

i<br />

<br />

9 2i 4 4i<br />

<br />

2<br />

12i<br />

3i<br />

<br />

2.<br />

5.<br />

<br />

1 5i 3<br />

2i<br />

<br />

<br />

6 4i 3 6i<br />

8. 2<br />

2 3i 1 i 2 i<br />

៤.គណនា និងសរមួលលទធផល ជាទរមង់សតង់ោ ៖<br />

<br />

i<br />

1.<br />

13 2i<br />

4.<br />

7.<br />

10.<br />

៥. គណនា<br />

12i 2<br />

i<br />

1<br />

2i<br />

<br />

54i<br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

2<br />

2.<br />

5.<br />

9.<br />

<br />

2 i 2<br />

2 i 2<br />

1<br />

i<br />

<br />

i 3<br />

2i<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

<br />

20<br />

2 3 20<br />

1 i 1 i 1 i . . . 1<br />

i<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

105 23 20 34<br />

i i i i<br />

<br />

3.<br />

6.<br />

3.<br />

6.<br />

<br />

20 20<br />

1 i 1<br />

i<br />

2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />

i i i i i i i<br />

8.<br />

<br />

4 2i 5 7i<br />

<br />

<br />

7 3i 3<br />

5i<br />

9. <br />

2<br />

3i<br />

2<br />

1<br />

2i<br />

2 15 3<br />

3i<br />

3i<br />

<br />

2i<br />

1<br />

i 3 <br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

2<br />

1 2i i 4 2i<br />

2<br />

51<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

គ.<br />

ឃ.<br />

2 3 n<br />

En<br />

1 i i i ...<br />

i<br />

2 3 4 n<br />

i i i i ...<br />

i<br />

ចំហរោះ n ≥ 1<br />

ង.<br />

i ( i) ( i) i ( i)<br />

5 7 13 100 94<br />

៦. ក្ំណត់តម្មៃ a និង b ហែើមបីឱ្យសមភាពនីមួយៗខាងហរោមពិត៖<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

29


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1.<br />

5.<br />

8.<br />

a ib 8<br />

6i<br />

<br />

2. 3 4 1<br />

a <br />

a ib 3ia 4b 5 i<br />

<br />

a ib 1i 3<br />

i<br />

ib <br />

6.<br />

9.<br />

៧.ក្ំណត់តម្មៃ x x ហែើមបីឱ្យ 3 i x i<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

៨.គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

a3i<br />

ចូរកំណត់តម្លល x និង y គែើលបីឲ្យ<br />

,<br />

3.<br />

<br />

a ib 2 3i 4 i<br />

2 i<br />

a b a b i <br />

1 i<br />

3 <br />

a ib 5 10<br />

i<br />

4 3i<br />

25 25<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

u ( x 1) i( y 2)<br />

au b<br />

0<br />

៩.កំណត់ពីរចំនួនពិត a និង b គ ើគេែឹងថា<br />

១០.គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

z12i<br />

ក. ង្ហា ញថា w z w z<br />

េ. គេឱ្យ<br />

១១. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

ក. ង្ហា ញថា<br />

ខ. ង្ហា ញថា<br />

១២.គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

ក. ង្ហា ញថា<br />

ខ. េណនា<br />

<br />

<br />

1 1<br />

<br />

និង<br />

ខ.<br />

M i x i y<br />

z23i<br />

z w z w<br />

zw z w<br />

z3i<br />

<br />

។<br />

w53i<br />

និង<br />

b2 16i<br />

4.<br />

<br />

a 2 3b 1 i 7 4i<br />

7. <br />

10.<br />

2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />

a ib 1i<br />

0<br />

1i<br />

1i<br />

ដែល x និង y ជាពីរចំនួនពិត។<br />

2(7 9 i)<br />

(3 i)(1 ia)(1 3 i)(3 2 bi)<br />

<br />

1<br />

i<br />

។<br />

z w z w<br />

។ កំណត់តម្ ល x<br />

និង w5 i ។<br />

និង<br />

និង<br />

n!<br />

! !<br />

z 2<br />

z 1 r n r<br />

w z z 1<br />

និង z w z w<br />

<br />

។ សង់<br />

េ. គេឱ្យ 1 3<br />

១៣. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

ក. ង្ហា ញថា<br />

<br />

<br />

<br />

z<br />

w<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z<br />

<br />

w<br />

z1 86i<br />

។<br />

w, z,<br />

z<br />

1<br />

។<br />

។<br />

w x y i ។ កំណត់តម្លល<br />

2<br />

z<br />

z2i<br />

w<br />

។<br />

និង<br />

w34i<br />

និង<br />

។<br />

y<br />

គែើលបីឱ្យ<br />

គៅកនង លង់ក ំផ្ល ិច ។<br />

។<br />

x<br />

និង<br />

ខ. ង្ហា ញថា z w z w ។ សង់ w, z, z,<br />

w គៅកនង លង់ក ំផ្ល ិច ។<br />

េ. គេឱ្យ M x y x yi<br />

។ កំណត់តម្ ល<br />

១៤. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច z1 2i<br />

និង<br />

ក. េណនា z w ។<br />

ខ. គេមាន<br />

<br />

z1 1i x 1i y<br />

េ. ង្ហា ញថា z w z w ។<br />

១៥. គេមានចំនួនក ំផ្ល ិច<br />

ក. េណនា<br />

w23i<br />

z 23 i , z 2 i ។<br />

1 2<br />

2<br />

x , y<br />

។<br />

y<br />

។<br />

គែើលបីឱ្យ M z i ។<br />

។ កំណត់តម្ ល x,<br />

yគែើលបីឱ្យ<br />

z , z , z , z z , z z និង z 1<br />

z 2<br />

1 1 2 2 2 1 2<br />

។<br />

។<br />

2<br />

M z w3i<br />

z1<br />

z w<br />

។<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

30


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. គត្ ៀ គ ៀ<br />

េ. ង្ហា ញថា<br />

z<br />

z<br />

1<br />

z 1<br />

<br />

ជាលួយ<br />

z<br />

z<br />

1<br />

2 2<br />

និង<br />

z 1<br />

និង<br />

2<br />

z 2<br />

z1 z2 z1 z2<br />

ជាលួយ<br />

។<br />

z<br />

z<br />

2 2<br />

គ<br />

ើយ<br />

z<br />

z<br />

1 2<br />

ជាលួយ<br />

z<br />

z<br />

1 2<br />

។<br />

១៦. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្.<br />

z<br />

ដែល<br />

ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន<br />

១៧. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

z<br />

និង<br />

z<br />

z 0 និង<br />

ហសម ើនឹង<br />

z ដែល<br />

<br />

z<br />

1<br />

2 z<br />

z<br />

zz , 0<br />

ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />

<br />

។ ខ.<br />

។<br />

z<br />

។<br />

ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន<br />

z<br />

ហសម ើនឹង<br />

1<br />

2 z <br />

i<br />

z<br />

<br />

<br />

។<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

z z<br />

<br />

z z<br />

និង<br />

2<br />

z<br />

z z<br />

។<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

z<br />

z<br />

<br />

z<br />

z<br />

និង<br />

z z<br />

z z<br />

។<br />

១៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិចមិនសូនយ<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

z1 , z2 , z3 , z4<br />

, . . . , zn<br />

z z z z z z z z<br />

n<br />

។<br />

។<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

z z z . . . z z z z . . . z<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

n<br />

។<br />

១៩. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />

ូដលរ) ។<br />

1.<br />

4.<br />

7.<br />

z 1i<br />

3<br />

z22i<br />

z 3<br />

3i<br />

2.<br />

5.<br />

8.<br />

z 2 3 2i<br />

z <br />

z <br />

5 i 15<br />

6<br />

i 2<br />

3.<br />

6.<br />

9.<br />

z <br />

z <br />

33i<br />

2 i 2<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

២០. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />

1.<br />

5.<br />

10.<br />

6 2 <br />

z 3<br />

i<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

<br />

z <br />

7 i<br />

21<br />

<br />

z 1<br />

2 3 i<br />

<br />

2.<br />

<br />

z 1 3 1<br />

3 i<br />

6. z 3 3 3 3 i<br />

7.<br />

២១. ដមៃងចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់<br />

ូដលរ ៖<br />

3.<br />

ូដលរ) ។<br />

z 5 5 3 i<br />

z 2 2 i 2<br />

4. z 2 3 2 3 <br />

8. z 1 2 i 9.<br />

i<br />

z 2 3<br />

i<br />

<br />

1. z icos sin<br />

2.<br />

3 3<br />

4.<br />

<br />

z 2i sin i<br />

cos<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2sin icos<br />

7 7<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5. z 2i sin i cos<br />

5 5<br />

<br />

<br />

<br />

3.<br />

6.<br />

<br />

z 2 sin icos<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 1<br />

cos isin<br />

7 7<br />

២២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />

<br />

ិច z cos isin<br />

5 5<br />

w x iy ។<br />

និង 4 2<br />

ក្. សរហសរ 1 z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង y ហែើមបីឱ្យ w4 i 3 ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

31


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

២៣. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ<br />

ិច z1 r1 cos1 isin<br />

<br />

1<br />

និង z2 r2 cos2 isin<br />

2<br />

ដែល r1 , 1 , r2 , <br />

2 <br />

ជាគូម្នម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />

ក្.<br />

z , z<br />

1 2<br />

sin <br />

z z r r cos<br />

i <br />

<br />

1 2 1 2 1 2 1 2<br />

២៤. ក្.ចូររាយ ញ្ជា ក្់ថារូ មនតែឺម័រ <br />

ហរៀងគ្នន ។ចូររាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតខាងហរោម៖<br />

<br />

<br />

n<br />

z r<br />

cos<br />

1 2<br />

sin<br />

1 2<br />

, z2<br />

0<br />

z r <br />

<br />

<br />

1 1<br />

ខ. i <br />

2 2<br />

cos isin cos n isin<br />

n ពិតចំហរោះរគ ់ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />

n<br />

។<br />

ខ.ហោយហរ ើរូ មនតដែលមានរាយរួចខាងហលើ ង្វា ញថាសមភាពខាងហរោមពិត៖<br />

១.<br />

1<br />

cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

២.<br />

<br />

n <br />

sin i cos<br />

cos n isin<br />

n <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

២៥. សរមួលក្ហនោមខាងហរោម៖<br />

1.<br />

4.<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos isin<br />

<br />

cos5 isin5 cos2 isin 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin i cos<br />

២៦. រាយ ញ្ជា ក្់ថាៈ<br />

3<br />

4<br />

7 5<br />

២៧. គណនាតម្មៃម្នក្ហនោមខាងហរោម៖<br />

5.<br />

<br />

<br />

2.<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

4<br />

cos2 isin 2<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin icos<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos 2 isin<br />

<br />

9 9<br />

cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />

4<br />

5<br />

1<br />

3 5<br />

3.<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

sin<br />

icos<br />

<br />

4<br />

1.<br />

1i 14<br />

2.<br />

60<br />

1<br />

i<br />

២៨. គណនា រួចសរហសរជារាង<br />

1.<br />

3 1<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

213<br />

២៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

2.<br />

3.<br />

a ib<br />

3 3<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

z <br />

1<br />

i<br />

។<br />

1 i 3 2014<br />

1969<br />

។<br />

3.<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

4.<br />

154<br />

1<br />

1 i 3 619<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

4.<br />

5 3i<br />

3 <br />

<br />

1<br />

2i<br />

3 <br />

<br />

21<br />

5.<br />

5.<br />

5<br />

i<br />

<br />

<br />

2<br />

3i<br />

<br />

<br />

<br />

2016<br />

<br />

1i<br />

3 <br />

cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ a<br />

និង b<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

<br />

2z 1 i a 1<br />

i b<br />

។<br />

៣០. ហគមាន z1 2 , z2 1 i , z3<br />

1 i 3 ។<br />

ក្. សរហសរ z1 , z2 , z<br />

3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ<br />

គ. សរហសរ<br />

w<br />

z<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

w z z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

2<br />

1 2<br />

32


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឃ. ហគឱ្យ<br />

៣១. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

ខ. សរហសរ<br />

<br />

U x 1 i y 1i<br />

u<br />

និង v<br />

u<br />

w v<br />

u 1i<br />

3<br />

។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />

និង<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos 12<br />

<br />

v1i<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

x,<br />

y<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

w<br />

U z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

និង sin 12<br />

<br />

។<br />

3<br />

។<br />

៣២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

ខ. សរហសរ<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

z<br />

និង w<br />

w<br />

u <br />

z<br />

1200<br />

u<br />

w1i<br />

3<br />

និង<br />

z1i<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ជាចំនួនពិត ។ ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />

7<br />

cos 12<br />

<br />

និង<br />

7<br />

sin 12<br />

<br />

។<br />

៣៣. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

z23i<br />

និង<br />

w5i<br />

។<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

z w<br />

z w<br />

និង<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

ខ. ហគឱ្យ M 3x y 2x yi<br />

។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />

។<br />

xy ,<br />

ហែើមបីឱ្យ M z w<br />

<br />

<br />

គ. សរហសរ<br />

z<br />

M <br />

1<br />

3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចសរហសរ<br />

2014<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

៣៤. ហគឱ្យ<br />

z 1i<br />

3<br />

និង<br />

w22i<br />

។<br />

ក្. សរហសរ z និង w<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. ហគឱ្យ M x 3y x 2yi<br />

។ ក្ំណត់តម្មៃ<br />

គ. សរហសរ<br />

2012<br />

z<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

x,<br />

y<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

w<br />

M ។<br />

1 i<br />

៣៥. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

និង<br />

<br />

w i cos<br />

i<br />

sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ក្. សរហសរ z និង w<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ<br />

2011<br />

z និង<br />

2012<br />

w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. សរហសរ<br />

2011 2012<br />

P z w ជាទរមង់<br />

ូដលរ ។<br />

៣៦. w និង<br />

z ជាចំនួនក្ុំផៃិច ក្ំណត់ហោយ<br />

w2 2i<br />

3<br />

<br />

និង z 4i cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ U w z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. សរហសរ<br />

2014<br />

w និង<br />

៣៧. ហគមាន z 2 3 2i<br />

2014<br />

z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

និង w 1 3 1 3 <br />

i ។<br />

z<br />

ក្. សរហសរ u ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ ខ. សរហសរ u , z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

w<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

33


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន cos 12<br />

<br />

និង sin 12<br />

<br />

។<br />

៣៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

z 1i<br />

3<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. គណនា<br />

w 1 z z z . . . z<br />

2 3 20<br />

។<br />

៣៩. ហោោះរាយសមីោរខាងហរោម ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច ៖<br />

1.<br />

5.<br />

2<br />

x 2x 2 0 2. x<br />

z<br />

2<br />

3iz<br />

10<br />

6.<br />

2<br />

x 3 0 3. t 1 2<br />

8 0 4.<br />

2<br />

3iz z 2i<br />

0<br />

៤០. ហោោះរាយសមីោរក្ន ុងសំណុំ ក្ុំផៃិច ។<br />

7.<br />

2<br />

z z i<br />

3 3 0<br />

8.<br />

2x 2 2<br />

32 0<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

<br />

5 3 7 4 0<br />

1.<br />

4.<br />

7.<br />

4<br />

x 5x 6 0<br />

2.<br />

<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

4 5 5 0<br />

<br />

3 2<br />

z i z i z i<br />

5.<br />

1 3 6 5 0<br />

3 2<br />

x x x<br />

2<br />

2 3 6 0 3. z 5 2i<br />

z 9 7i<br />

0<br />

<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

7 3 22 7 0<br />

6.<br />

3 2<br />

z z z<br />

(សមីោរមានឫសមួយជាចំនួននិមិតតសុទធ)<br />

3 2<br />

8. z 8 i z 19 11i z 14 18i<br />

0 (មានឫសមួយជាចំនួនពិតសុទធ)<br />

៤១. ហោោះរាយសមីោរ៖<br />

4 6 3 0<br />

1.<br />

2<br />

iz 3 iz 3<br />

3 4 0<br />

z 2i <br />

z 2i<br />

<br />

<br />

2.<br />

3 2<br />

3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />

1 0<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

។<br />

៤២ . ហគមានសមីោរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

2<br />

3 2 7 ។<br />

z i z z i<br />

1. ចូរហោោះរាយសមីោរខាងហលើ ហោយយក្ z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ជាឫសម្នសមីោរដែល<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 2<br />

។<br />

2. សរហសរ<br />

3. គណនា<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

w z z z z ... z<br />

2 3 4 2015<br />

2 1 1 1 1<br />

។<br />

៤៣. ចូរក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />

a<br />

0, a 1<br />

0 1<br />

<br />

an2 an1an<br />

ក្. ត្េ ់ n ខ. ត្េ ់<br />

<br />

a0 0 ; a1<br />

1<br />

េ. ត្េ ់<br />

an2 an<br />

1<br />

an<br />

n <br />

a1 0 ; a2<br />

2<br />

<br />

a 2a 2a<br />

n2 n1<br />

n<br />

n <br />

៤៤. គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម៖<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

34


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

z 1 i , z 2 2i<br />

ក្. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

1 2<br />

z 2 2 i , z 2 3i<br />

ខ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

1 2<br />

z 3 2 i , z 1<br />

i<br />

គ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

1 2<br />

៤៥. ក. ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។ P ជារូ ភាពម្ន<br />

z p<br />

ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។ ចូររក្ និង ។<br />

ខ. ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។ P ជា<br />

z p<br />

រូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

27i<br />

1<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។ ចូររក្ និង ។<br />

3<br />

4<br />

z<br />

p<br />

<br />

z<br />

A<br />

1<br />

4<br />

A<br />

z<br />

p<br />

z<br />

Q<br />

z<br />

B<br />

i<br />

2 2i<br />

3 2<br />

p<br />

<br />

3<br />

Q<br />

p<br />

4<br />

z<br />

2<br />

3<br />

z<br />

B<br />

<br />

ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />

z<br />

Q<br />

z<br />

<br />

Q<br />

i<br />

z<br />

Q<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

35


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ធ្លល រ់លចញប្រឡងឆមាស និង បាក់ឌ រ<br />

១. ក្. ហគឱ្យ<br />

ខ. ហគឱ្យ<br />

២. ក្. ង្វា ញថា<br />

z 1i<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

។ សរហសរ<br />

u x iy , z a ib<br />

ចូរគណនា x និង<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

y<br />

2<br />

z<br />

។<br />

និង<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

3 1 i<br />

4 2 3<br />

<br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ <br />

គ. សរហសរ<br />

z 1<br />

និង<br />

៣. ក្. ក្ំណត់តម្មៃ a និង b<br />

ខ. សរហសរ<br />

៤. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

ខ. សរហសរ<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

z 2<br />

2 1 i<br />

z <br />

3<br />

1<br />

i 3<br />

z<br />

៥. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. រក្ចំនួនពិត<br />

ខ. សរហសរ<br />

៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

ខ. សរហសរ<br />

2002<br />

z<br />

។<br />

E z z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

និង b ហ ើហគែឹងថា<br />

2<br />

: 1 3 2 3 0<br />

ដែលជាឫសម្ន<br />

<br />

E<br />

<br />

u z iz <br />

2<br />

1 1<br />

ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ហែើមបីឱ្យ 2 i ជាឫសម្នសមីោរ<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

<br />

។<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

z 1i<br />

z<br />

ax<br />

2<br />

1<br />

2<br />

bx 20 0<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />

z x iy , a 3i<br />

x និង<br />

y<br />

ហែើមបីឱ្យបាន<br />

z <br />

និង b2 2i<br />

3 ។<br />

a<br />

។<br />

b<br />

ក្រណី ហនោះទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

3 1 i 3 1<br />

z <br />

2<br />

z<br />

2<br />

z<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />

៧. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង y ហែើមបីឱ្យ<br />

។<br />

a<br />

4z<br />

3 i<br />

4<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />

5<br />

cos 12<br />

ន ិង<br />

2xi<br />

y <br />

5<br />

sin 12<br />

។<br />

32i1<br />

i<br />

i1<br />

2i<br />

។<br />

z<br />

។<br />

។<br />

។<br />

។<br />

។<br />

z<br />

z<br />

។<br />

36


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. ហគមាន<br />

៨. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ដែល<br />

xy ,<br />

ក្. សរហសរ<br />

គ. គណនា<br />

៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

១០. ក្. ហគឱ្យ<br />

2<br />

2<br />

zcos<br />

isin<br />

9 9<br />

z<br />

z<br />

x<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

សរហសរ<br />

និង w<br />

។<br />

។ សរហសរ 4<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ដែល<br />

1<br />

z<br />

z 2<br />

2i<br />

3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />

និង<br />

3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ ខ. សរហសរ z ជារាង a ib<br />

និង<br />

y<br />

ហ ើ<br />

w<br />

z 3<br />

។<br />

<br />

2cos isin<br />

<br />

12 12<br />

z <br />

<br />

1<br />

<br />

1i<br />

3<br />

2<br />

និង<br />

<br />

z2 1i x 1 y 1<br />

i<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

x<br />

z a ib<br />

zz<br />

A <br />

z<br />

និង<br />

y<br />

ដែល a<br />

2<br />

ហ ើហគែឹងថា<br />

និង b<br />

<br />

2z z y 1 0<br />

1 2<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ជាចំនួនពិតខុសពីសូនយ ។<br />

<br />

(<br />

<br />

w x x i y y i<br />

<br />

z 1<br />

ជាក្ុំផៃ<br />

2<br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ C នូវសមីោរ x 2 3x 4 0 ។<br />

សរហសរ<br />

x 1<br />

និង<br />

x 2<br />

១១. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i<br />

ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />

១២. ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />

ខ. រក្ឫស<br />

១៣. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

ខ. គណនា<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

និង b<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

1 i <br />

<br />

។<br />

ិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />

2<br />

ជាឫសម្នសមីោរ x ax b<br />

0 ។<br />

10<br />

x1i<br />

3<br />

x 2<br />

មួយហទៀតម្នសមីោរ ។ សរហសរ<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

2<br />

z<br />

w<br />

2<br />

A z z i<br />

20<br />

A<br />

និង<br />

រួចគណនា<br />

1 3<br />

w i<br />

2 2<br />

z<br />

។ សរហសរ<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

z<br />

2<br />

1<br />

A<br />

។<br />

ជាឫសមួយម្នសមីោរ<br />

x <br />

1<br />

z <br />

x2<br />

<br />

។<br />

។<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

2<br />

x ax b<br />

z 1<br />

)<br />

0<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

។<br />

១៤. ក្. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z<br />

មានម ូឌុលហសម ើនឹង 2<br />

និងអាគុយម ង់ហសម ើនឹង<br />

3<br />

។<br />

សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />

ខ. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

5<br />

5<br />

y2cos isin<br />

។<br />

3 3<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

37


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គណនា z<br />

yហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

១៥. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ<br />

ក្. សរហសរ<br />

ខ. សរហសរ<br />

រក្ x<br />

និង<br />

y z<br />

។<br />

ិចក្ំណត់ហោយ A 3 1 i 3 1<br />

y<br />

A 2<br />

B<br />

និង<br />

x iy<br />

B ដែល<br />

1 i<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ហហើយជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ហោយែឹងថា<br />

១៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច Z a ib និង<br />

១៧. ហគឱ្យ<br />

ក្. គណនា<br />

A<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

<br />

<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

a និង b<br />

គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

រួចគណនា<br />

z<br />

ក្. សរហសរ<br />

w 4<br />

2<br />

2B<br />

A 0<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

<br />

( B<br />

A i 1Z<br />

1 1<br />

w i<br />

2 2<br />

និង b<br />

A<br />

Z<br />

<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចឆ្លៃ ស់ម្ន B ) ។<br />

។<br />

រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិចដែល<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />

z<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 i 2 cos isin<br />

6 6<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ ខ. សរហសរ<br />

5<br />

cos 12<br />

<br />

១៨. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z x iy និង<br />

ហហើយ <br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង<br />

ខ. ក្ន ុងលក្ខណឌ<br />

១៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. គណនា<br />

wz <br />

z w<br />

z1i<br />

និង<br />

z<br />

w<br />

x<br />

និង<br />

<br />

5<br />

sin 12<br />

<br />

។<br />

w cosisin<br />

និង<br />

y<br />

ចូរ ង្វា ញថា<br />

និង<br />

w<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

3 i<br />

1<br />

z z<br />

។<br />

។ ខ. សរហសរ<br />

w<br />

z<br />

zw <br />

z 2<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

។<br />

។ គ. រក្<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

x<br />

x និង<br />

និង<br />

y<br />

y<br />

x<br />

និង y ជាចំនួនពិត ។<br />

ជាចំនួនពិត ខុសពីសូនយ<br />

រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ<br />

និង z w ជាទរមង់រត ីហោណមារត ។<br />

z1 , w1<br />

។<br />

២០. សរហសរ<br />

i 2<br />

21<br />

A ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

1 i 3<br />

២១. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

n!<br />

z a ib r ! n r !<br />

<br />

<br />

ដែល ab , ជាចំនួនពិត ។<br />

ក្. រក្តម្មៃ a និង b ហោយែឹងថា 1 1 3 1 3<br />

a ib i i ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

38


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គណនា z<br />

4<br />

ចំហរោះតម្មៃ ab , ដែលរក្ហឃើញ ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

88i<br />

3<br />

w 2 2i<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

1 3<br />

1 3<br />

២២. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z i និង w i ។<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

ក្. គណនាក្ហនោម A 1 z z ។ ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. គណនា<br />

z<br />

w<br />

2010 2010<br />

២៣. ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />

។<br />

2<br />

z 2 2 z 4 0<br />

1<br />

ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច C ។<br />

រក្ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្នឫសនីមួយៗរ ស់សមីោរ <br />

ខ. សរហសរ<br />

២៤. ក្. រក្ឫស<br />

ខ. សរហសរ<br />

t , t<br />

1 2<br />

<br />

w <br />

<br />

2<br />

i 2 <br />

2<br />

i 2 <br />

<br />

ម្នសមីោរ<br />

4t<br />

z <br />

t<br />

2<br />

3<br />

1<br />

២៥. ក្. ចូរក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត a<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

2<br />

t<br />

t <br />

2 4 0<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

។ហោយយក្<br />

ហែើមបីឱ្យសមីោរែឺហរក្ទីពីរ<br />

1<br />

។<br />

t 1<br />

ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ។<br />

<br />

<br />

2<br />

x i x a i<br />

1 2 12 0<br />

មានឫសមួយជាចំនួនពិត និងឫសមួយហទៀតជាចំនួនក្ុំផៃ ិច រួចរក្ឫសម្នសមីោរហនោះផង ។<br />

ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ<br />

២៦. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. គណនា<br />

ខ. សរហសរ<br />

ិច z 1 i 3<br />

1 3<br />

x i<br />

2 2<br />

A x y 2<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />

និង<br />

1 3<br />

y i<br />

2 2<br />

2<br />

និង B x x 1 ។<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />

x<br />

y<br />

2013 2013<br />

2013<br />

z<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

២៧. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

a2 3 2i<br />

និង b 2 i 2 ។<br />

2 2<br />

ក្. សរហសរ z a b 4ai 2b<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. សរហសរ ab , និង ab ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

២៨. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច z 1<br />

1 i 3 និង z2 1 i 3 ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

39


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្. គណនា<br />

ខ. សរហសរ<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

z z , z z<br />

1 2 1 2<br />

z 1<br />

z 1<br />

២៩. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

គណនា<br />

និង<br />

និង<br />

z 2<br />

z 2<br />

និង<br />

zz<br />

1 2<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />

z 2 , z i 2 , z i<br />

2<br />

1 2 3<br />

<br />

z z , z z , z z z z<br />

1 2 1 3 1 2 1 3<br />

3<br />

z 80<br />

។<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

40


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

លផ្នកដំលោោះប្ាយ<br />

ំហារ់ទី ១<br />

គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />

1. √−9 2. √−64 3. √−121 4. √− 9 25<br />

5. − √−28<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2<br />

1. 9 9 ( 1) (3 i) 3<br />

2<br />

2. 64 64 ( 1) (8 i) 8<br />

i<br />

i<br />

3.<br />

4.<br />

<br />

2<br />

121 121 ( 1) (11 i) 11<br />

9 9 3 3<br />

( 1)<br />

i<br />

i<br />

25 25 5 5<br />

2<br />

i<br />

2<br />

5. 28 47 ( 1) (2 i) 7 2i<br />

7<br />

ំហារ់ទី ២ ំដ ៃងចំនួនខាងហរោមជាចំនួនក្ុំផៃិចដែលមានទរមង់ពីជគណិ ត<br />

4 100<br />

5 9<br />

2 8<br />

5 18<br />

1. 2. 3. 4 .<br />

<br />

<br />

ចលមលើយ<br />

1.<br />

i 2<br />

4 10 4 100 1 4 10 410i<br />

2. 2<br />

5 9 5 9 1 5 3i<br />

5 3i<br />

3.<br />

4.<br />

i<br />

2 2<br />

2 8 2 24 1 2 2 2 2 2i<br />

2<br />

i<br />

2 2<br />

5 18 5 9 1 2 5 3 2 5 3i<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

41


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1. <br />

2.<br />

3.<br />

4.<br />

5.<br />

6.<br />

5 3i<br />

2 i 5 3 2<br />

<br />

<br />

1 5i 3 2i<br />

1 5 3 2<br />

<br />

<br />

i i<br />

5 2 3i i<br />

<br />

<br />

7 2i<br />

i i 1 3 5 2<br />

4 2i 5 7i<br />

4 2 5 7<br />

<br />

<br />

9 2i 4 4i<br />

9 2 4 4<br />

<br />

i i 4 3i<br />

i i 452i 7i<br />

1 9i<br />

<br />

<br />

<br />

i i 942i 4i<br />

5 2i<br />

<br />

6 4i 3 6i<br />

6 4 3 6<br />

<br />

<br />

i i 6 3 4 6<br />

7 3i 3 5i<br />

7 3 3 5<br />

7. <br />

<br />

<br />

i i 9 2i<br />

i i 7 33i 5i<br />

4 2i<br />

2<br />

i i<br />

<br />

1 2 3<br />

ំហារ់ទី៣<br />

<br />

<br />

<br />

1 4i 4 3<br />

i<br />

2<br />

1 4i 4i 3 i <br />

<br />

8. 2 3i 1 i 2<br />

i 2<br />

គណនា រួចសរហសរលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត៖<br />

5 3i 2<br />

i<br />

<br />

1. 2. 3.<br />

4. 5. 6.<br />

7. 8. 9.<br />

2<br />

3 4i<br />

3 i<br />

9 3i 12i 4i<br />

2 2i 3i 3i 4 4i i<br />

2i<br />

2<br />

4 i<br />

9. <br />

2<br />

1 5i<br />

3 2i<br />

i i<br />

<br />

9 2 4 4<br />

1 2i i 4 2i<br />

<br />

6 4i<br />

3 6i<br />

2 2<br />

<br />

9 15i<br />

4<br />

2 i<br />

2i<br />

1 4i 4i 4i 2i<br />

2 2<br />

4 2i 5 7i<br />

7 3i 3<br />

5i<br />

<br />

2<br />

12i 3i<br />

2<br />

2 3i 1 i 2 i<br />

<br />

2<br />

1 2i i 4 2i<br />

5 15i<br />

2<br />

<br />

<br />

i<br />

1<br />

4<br />

2<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

1<br />

ំហារ់ទី៤ គណនា និងសរមួលលទធផល ជាទរមង់សតង់ោ ៖<br />

i<br />

13 2i 2 2<br />

i<br />

1. 2. 3. 4. 5. 6.<br />

2 i 2<br />

2<br />

2<br />

3i<br />

1<br />

2i<br />

2<br />

12i<br />

1<br />

i 3 <br />

7. 8. <br />

9. 10.<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

2i<br />

<br />

54i<br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

2<br />

2<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

20<br />

i<br />

1 i 1<br />

i<br />

20 20<br />

<br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

i 3<br />

2i<br />

2 15 3<br />

3i<br />

3i<br />

<br />

2i<br />

51<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 3 20<br />

1 i 1 i 1 i . . . 1<br />

i<br />

1.<br />

2.<br />

13 2i<br />

i<br />

2 i 2<br />

2 i 2<br />

2<br />

3i<br />

3. 2<br />

1<br />

2i<br />

2<br />

13 2i i<br />

<br />

i i<br />

<br />

13i2i<br />

<br />

2<br />

i<br />

2 i<br />

2 2 i<br />

2<br />

<br />

2 i<br />

2 2 i<br />

2<br />

4 12i9i<br />

<br />

1<br />

2i<br />

2<br />

<br />

5 12i<br />

1<br />

2i<br />

<br />

1 2i<br />

1 2i<br />

13i<br />

2<br />

<br />

1<br />

<br />

2 i 2<br />

2<br />

<br />

2 i 2<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2 13i<br />

2<br />

<br />

<br />

2<br />

1 2i<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2i<br />

2 2i<br />

<br />

2<br />

2<br />

5 10i 12i 24i<br />

<br />

2<br />

2<br />

i<br />

2<br />

2<br />

1<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

4i<br />

4<br />

29 2i<br />

<br />

5<br />

<br />

i<br />

29 2<br />

5 5 i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

42


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4.<br />

12i 2<br />

i<br />

14i4i<br />

<br />

i<br />

2<br />

34i i<br />

<br />

i<br />

i<br />

3i4i<br />

<br />

2<br />

i<br />

2<br />

4<br />

3i<br />

5.<br />

6.<br />

7.<br />

8.<br />

ហររោះ<br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

i 3<br />

2i<br />

2 15 3<br />

3i<br />

3i<br />

<br />

2i<br />

3i<br />

2i<br />

<br />

1<br />

i<br />

51<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2i<br />

<br />

54i<br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i 3 <br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

<br />

20<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2 3i<br />

1<br />

i<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

2 3<br />

3i<br />

<br />

3i<br />

2<br />

2<br />

2 2i 3i<br />

3i<br />

<br />

2 2<br />

1 i<br />

<br />

2 3 <br />

3i<br />

<br />

3i<br />

2 i<br />

<br />

<br />

433<br />

<br />

4123<br />

i<br />

<br />

<br />

12i1<br />

i<br />

1i1i<br />

<br />

<br />

5 4i<br />

<br />

<br />

<br />

13i<br />

<br />

5 4i<br />

<br />

2 <br />

<br />

1i<br />

31i<br />

1i1i<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2 i 3<br />

<br />

2<br />

<br />

6i<br />

6<br />

<br />

3i<br />

6i<br />

2<br />

1 i<br />

2i<br />

2i<br />

<br />

5 4i<br />

2 2 <br />

1 i <br />

16i9i<br />

5 4i<br />

<br />

4<br />

1 i<br />

i 3 3 <br />

<br />

2 <br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

1 3 2 1 3 i 1<br />

3<br />

<br />

4<br />

20 20<br />

9. 1 i 1<br />

i<br />

<br />

<br />

10<br />

2<br />

12ii<br />

<br />

<br />

2 <br />

12ii<br />

<br />

10.<br />

<br />

KU<br />

1 1<br />

<br />

2 2<br />

1 2i i 1 2i i <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

5 1<br />

2 2 i<br />

86i<br />

5 4i<br />

<br />

4<br />

1 3 1<br />

3<br />

2<br />

4 2 3 4i<br />

4<br />

4<br />

10<br />

2 <br />

10 10<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1i<br />

<br />

<br />

1 i 1 i<br />

1 i <br />

<br />

<br />

10 10<br />

<br />

2 3 20<br />

1i 1i 1 i . . . 1i<br />

ហសម<br />

1 i<br />

ើនឹង <br />

និងហរសុង<br />

q <br />

2<br />

1<br />

i<br />

1<br />

i<br />

<br />

10<br />

2i<br />

<br />

<br />

2i<br />

<br />

<br />

1<br />

i<br />

2i 2i<br />

10 10<br />

2<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1 1<br />

<br />

13i<br />

2<br />

<br />

5 4i<br />

<br />

11<br />

<br />

<br />

3<br />

5 4i 2 i 2<br />

i <br />

<br />

<br />

2<br />

2 3 4 4 3<br />

2<br />

<br />

5<br />

3 i 2<br />

i <br />

3 i<br />

4<br />

<br />

<br />

10 10 10 10 10<br />

1 2 i<br />

2 i<br />

1<br />

ជាផល ូក្សា ុីតធរណី មារតមានចំនួន 20 តួ ដែលតួទី 1<br />

។ តាមរូ មនតៈ<br />

S<br />

20<br />

q 1<br />

u<br />

<br />

q 1<br />

20 1<br />

<br />

<br />

<br />

n<br />

q 1<br />

<br />

Sn<br />

u1<br />

q<br />

1<br />

q 1<br />

<br />

<br />

<br />

20<br />

1 i 1 i 1<br />

<br />

<br />

1i<br />

1<br />

<br />

10<br />

1 i2 1<br />

i<br />

1025 1025i<br />

៥. គណនា<br />

ក.<br />

105 23 20 34<br />

i i i i<br />

ខ.<br />

2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />

i i i i i i i<br />

គ.<br />

2 3 n<br />

En<br />

1 i i i ... i<br />

ចំហរោះ n ≥ 1<br />

2 3 4<br />

ឃ. i i i i ...<br />

i<br />

n<br />

ង.<br />

i ( i) ( i) i ( i)<br />

5 7 13 100 94<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

43


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

105 23 20 34 4261 45 3 45 0 48<br />

2<br />

i i i i i i i i i i<br />

( ) 1 ( 1) 2<br />

2016 2015 2000 1999 201 82 47<br />

i i i i i i i<br />

i i i i i i i<br />

4 504 0 4 503 3 4 500 0 4 499 3 4 50 1 4 20 2 4 11 3<br />

1 ( i) 1 ( i) i ( 1) ( i) 1 i 1 i i 1 i 1<br />

2i<br />

គ.<br />

2 3 n<br />

En<br />

1 i i i ...<br />

i<br />

ចំម<br />

ុះ n ≥ 1<br />

ហោយ E n ជាផល ូក្សា ុីតធរណី មារតដែលមានតួទី១<br />

គនាេះ<br />

n 1<br />

n<br />

q 1 i 1 ( i 1)( i 1)<br />

En<br />

Sn<br />

U1<br />

<br />

q 1 i 1 ( i 1)( i 1)<br />

+ករណី n = 4k គេបាន<br />

+ករណី n = 4k + 1គេបាន<br />

+ករណី n = 4k + 2 គេបាន<br />

+ករណី n = 4k + 3 គេបាន<br />

U1 1<br />

, q i<br />

<br />

1 (<br />

n1<br />

n<br />

i i i 1)<br />

<br />

2<br />

1 1<br />

S4k<br />

i i i i i <br />

2 2<br />

ែូចគនេះ ចំគ<br />

4k1 4k<br />

( 1) ( 1 1) 0<br />

1 1 1<br />

S 4k<br />

1<br />

i i i i i<br />

2 2 2<br />

<br />

4k2 4k1<br />

( 1) ( 1 1) ( 2) 1<br />

1 1<br />

S i i i i i<br />

2 2<br />

<br />

4k3 4k2<br />

4k<br />

2<br />

( 1) ( 1 1)<br />

1 i<br />

1 1<br />

S4k<br />

3<br />

i i i i i <br />

2 2<br />

E 0<br />

1<br />

En<br />

n<br />

1i<br />

4( k1) 4k3<br />

( 1) (1 1)<br />

េះ ∀n ≥ 1 និង k ជាចំនួនេត់វិជ្ជមាន<br />

គ ើ n = 4k , គ ើ n = 4k + 1<br />

គ ើ n = 4k + 2 ,<br />

E <br />

n<br />

En<br />

i<br />

គ ើ n = 4k + 3<br />

1<br />

( 2 i ) i<br />

2<br />

ឃ.<br />

ង.<br />

n(1 n)<br />

2 3 4 n 1234 ... n<br />

2<br />

ii i i ...<br />

i i i<br />

i ( i) ( i) i ( i) i ( i ) ( i ) i ( i )<br />

5 7 13 100 94 5 3 7 3 13 100 3 94<br />

i i i i i i i i i i<br />

i i i 11 3i<br />

5 21 39 100 282 4( 2) 3 4( 6) 3 49 3 4( 25)<br />

470<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

44


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី៥ ក្ំណត់តម្មៃ និង b ហែើមបីឱ្យសមភាពខាងហរោមពិត៖<br />

1. 2. 3.<br />

a ib 8 6i<br />

3 4 1<br />

<br />

4. 5.<br />

a 2 3b 1 i 7 4i<br />

6. 7.<br />

8. 9. 10.<br />

a<br />

a <br />

ib <br />

<br />

2 i<br />

1 i<br />

2 3 4<br />

<br />

a ib i i<br />

a ib 3ia 4b 5 i<br />

a b 3a bi<br />

<br />

<br />

<br />

a ib 1i 3<br />

i<br />

2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />

a ib 5 10<br />

i<br />

4 3i<br />

25 25<br />

a ib 1i<br />

0<br />

1i<br />

1i<br />

1.<br />

a ib8<br />

6i<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ចំោ ំៈ ចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ហសម ើគ្នន<br />

ោលណា<br />

Re<br />

<br />

Im<br />

សមភាពខាងហលើពិត ោលណា<br />

z<br />

z Rew<br />

z Im w<br />

w<br />

a 8, b<br />

6<br />

។<br />

2. 3 4 1<br />

3.<br />

a <br />

ib <br />

<br />

<br />

3a<br />

1<br />

4b<br />

0<br />

អាចសរហសរជា<br />

, ែូចហនោះ<br />

2 3 4<br />

<br />

a ib i i<br />

អង្ទី២ អាចសរហសរជា<br />

3a 4bi 10i<br />

1<br />

a<br />

, b<br />

0<br />

3<br />

។<br />

8 2i 12i 3i<br />

<br />

ហនាោះ ហគបាន<br />

<br />

2<br />

11 10i<br />

ែូចហនោះ<br />

a11, b10<br />

a 2 3b 1 i 7 4i<br />

4. <br />

។<br />

ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហគបានរ ព័នធសមីោរៈ<br />

a ib 3ia 4b 5<br />

i<br />

5. <br />

a<br />

27<br />

<br />

3b<br />

1 4<br />

នាំឱ្យ<br />

a 9, b1<br />

។<br />

សមីោរអាចសរហសរជា<br />

<br />

a 4b 3a b i 5<br />

i<br />

ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

45


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

<br />

a4b5<br />

3ab1<br />

2i<br />

a b 3a b i <br />

1 i<br />

6. <br />

នាទ ់ពីហោោះរាយ ហយើងបាន<br />

សរហសរអង្ទី ២ ជារាង a ib ហយើងបាន<br />

ផទ ឹមហមគុណរតួវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />

នាទ ់ពីហោោះរាយ ហគបាន<br />

2a 3ib ai 3b i 7 4i<br />

7. <br />

<br />

1 ab<br />

2<br />

3<br />

3a b <br />

2<br />

ផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />

8. <br />

នាទ ់ពីហោោះរាយ ហយើងបាន<br />

a ib 1i 3i<br />

ពនាៃ ត និងសរមួលអង្ទី ១ ហយើងបាន<br />

9.<br />

`<br />

10.<br />

ផទ ឹមហមគុណរតួវគ្នន ហយើងបានរ ព័នធ<br />

<br />

<br />

1<br />

a , b<br />

0<br />

2<br />

9 14<br />

a<br />

, b <br />

13 13<br />

3 <br />

។<br />

1 3<br />

a b a b i i<br />

2 2<br />

2a 3b 3b a i 4 7i<br />

សមីោរអាចសរហសរជា <br />

2a<br />

3b<br />

4<br />

<br />

a 3b<br />

7<br />

10<br />

a3,<br />

b<br />

3<br />

3<br />

។<br />

a b b a i i<br />

<br />

<br />

ab3<br />

ab 1<br />

នាទ ់ពីហោោះរាយហយើងបាន a2 , b 1 ។<br />

a ib<br />

5 10<br />

i<br />

43i<br />

25 25<br />

a ib i<br />

<br />

4 3i4 3i<br />

<br />

4 3 5 10<br />

i<br />

25 25<br />

4a 3b 3a 4b i 5 10<br />

i នាំឱ្យ<br />

169 25 25<br />

ហោោះរាយ ហយើងបាន a2 , b 1 ។<br />

a ib 1i<br />

0<br />

1i<br />

1i<br />

ហនាោះ<br />

2<br />

a ai bi bi 2i<br />

2<br />

a ib 1i 1i<br />

1i<br />

0<br />

0i<br />

2<br />

a b a b2<br />

i 0 0i<br />

នាំឱ្យ<br />

2 2<br />

2<br />

ab<br />

0<br />

<br />

a<br />

b 2 0<br />

4a3b5<br />

<br />

3a4b10<br />

00i<br />

a1, b<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

46


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី៦ ក្ំណត់តម្មៃ x ∈ R ហែើមបីឱ្យ ជាចំនួនពិត ។<br />

x<br />

3i x i<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហយើងមាន<br />

3i x i<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

<br />

<br />

<br />

3i 1i x i 1i<br />

1i<br />

1i<br />

x 5<br />

xi 3i<br />

<br />

2<br />

x5 x3<br />

i<br />

2 2<br />

លុោះរតាដត ដផនក្និមិតតរ ស់វាហសម ើនឹងសូនយ គឺ<br />

33i i i x xi i i<br />

<br />

2<br />

1i<br />

ជាចំនួនពិត<br />

2 2<br />

x 3 0 មានន័យថា<br />

2<br />

x 3<br />

។<br />

ំហារ់ទី៧ គេឲ្យចំនួនក ំផ្ល ិច , u ( x 1) i( y 2) និង ដែល<br />

a3i<br />

x និង y ជាពីរចំនួនពិត។ចូរកំណត់តម្លល x និង y គែើលបីឲ្យ<br />

b2 16i<br />

au b<br />

0<br />

។<br />

ហគបាន<br />

គេបាន<br />

កំណត់តម្ ល x និង y<br />

គយើងមាន<br />

ដត<br />

au b<br />

0<br />

a3i<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហនាោះ<br />

au<br />

b<br />

u ( x i) i( y 2)<br />

(2 16 i)<br />

( x1) ( y 2) <br />

3<br />

i<br />

x<br />

11<br />

<br />

y<br />

2 5<br />

ែូគចនេះ x = 2 , y = 3<br />

<br />

និង<br />

នាំហអាយ<br />

b2 16i<br />

b<br />

u <br />

a<br />

2<br />

2(1 8 i)(3 i) 2(3 i 24i 8 i )<br />

<br />

3 i<br />

10<br />

2 2 2<br />

2( 5 25 i) 10(1 5 i)<br />

1<br />

5i<br />

10 10<br />

នាំឲ្យ x = 2 y = 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

47


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2(7 9 i)<br />

ំហារ់ទី៨ កំណត់ពីរចំនួនពិត a និង b គ ើគេែឹងថា (3 i)(1 ia)(1 3 i)(3 2 bi)<br />

។<br />

1<br />

i<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

មគមាន<br />

ក្ំណត់ពីរចំនួន a និង b<br />

2(7 9 i)<br />

(3 i)(1 ia) (1 3 i)(3 2 ib)<br />

<br />

1<br />

i<br />

2 2 2(7 9 i)(1 i)<br />

(3 3 ia i i a) (3 2ib 9i 6 bi ) <br />

(1 i)(1 i)<br />

a 3ia i 3 3 2ib 9i 6b<br />

<br />

( a 6b 6) (3a 2b 8) i 16 2i<br />

ហគបាន<br />

a 6b 6 16<br />

<br />

3a 2b8 2<br />

ែូចគនេះ a = 2 b = 2<br />

ឬ<br />

2<br />

2(7 7i 9i 9 i )<br />

1<br />

i<br />

2 2<br />

a<br />

6 10<br />

<br />

3a2b10<br />

ទាញបាន a = 2 b = 2<br />

ំហារ់ទី៩<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

w<br />

z12i<br />

5 3<br />

<br />

i<br />

ក្. ង្វា ញថា ខ.<br />

ក្. ង្វា ញថា w z w z<br />

ហយើងមាន<br />

z12i<br />

, w5 3i<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z 12i<br />

, w5 3i<br />

ហយើងបាន z w 1 2i 53i 6 i w z 6 i<br />

ហហើយ<br />

តាម <br />

w z w z<br />

z w z w<br />

<br />

2<br />

គ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ x និង ហែើមបីឱ្យ M z w 3i<br />

។<br />

M 1i x 1<br />

i y<br />

1 <br />

w z 1 2i 53i 6i<br />

* និង <br />

* នាំឱ្យ<br />

2<br />

<br />

<br />

*<br />

<br />

*<br />

w z w z<br />

2 <br />

។<br />

y<br />

1<br />

ខ. ង្វា ញថា z w z w<br />

ហយើងបាន <br />

z w 1 2i 5 3i 4 5i<br />

ហហើយ z w 1 2i 5 3i 4 5i<br />

*<br />

<br />

តាម <br />

1 <br />

* និង <br />

* នាំឱ្យ z w z w<br />

2<br />

។<br />

<br />

2<br />

z w 4<br />

5i<br />

<br />

1 <br />

*<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

48


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

x<br />

និង y ហែើមបីឱ្យ<br />

2<br />

M z w 3i<br />

ហយើងមាន<br />

1 1 <br />

M i x i y<br />

x y x y i<br />

2<br />

ហហើយ 2<br />

z w 3i 1 2i 5 3i 3i<br />

2<br />

1 4i 4i 5 6i<br />

22i<br />

នាំឱ្យ<br />

ហគបាន<br />

x y x yi 2<br />

2i<br />

x<br />

y 2<br />

<br />

x y 2<br />

នាំឱ្យ x 0 , y 2<br />

ហោយផទ ឹមហមគុណរតូវគ្នន<br />

។<br />

ំហារ់ទី១០ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ។<br />

z23i<br />

5<br />

ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />

z w z w<br />

z w z w<br />

ខ. ង្វា ញថា និង ។<br />

z w z w<br />

<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

w<br />

i<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

ហយើងមាន<br />

z w z w<br />

និង<br />

z w z w<br />

z 2 3 i , w 5 i<br />

<br />

z w 2 3i 5 i 7 2i<br />

ហហើយ<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

តាម<br />

<br />

* 1<br />

ម យងហទៀត<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z 2 3 i , w 5 i<br />

<br />

<br />

z w 2 3i 5 i 7 2i<br />

<br />

និង<br />

<br />

* 2<br />

<br />

នាំឱ្យ<br />

<br />

z w 7<br />

2i<br />

z w z w<br />

z w 2 3i 5 i 3 4i<br />

<br />

z w 2 3i 5 i 3<br />

4i<br />

តាម<br />

<br />

ហយើងមាន<br />

** 1<br />

<br />

z w z w<br />

និង <br />

និង<br />

** 2<br />

នាំឱ្យ<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

<br />

** 2<br />

<br />

<br />

* 2<br />

<br />

<br />

z w z w<br />

<br />

2<br />

។<br />

<br />

* 1<br />

<br />

z w 3<br />

4i<br />

z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3i 13 13i<br />

z w 13 13i z w 13 13i<br />

2<br />

ហហើយ z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3i 13 13i<br />

1 <br />

តាម * និង<br />

ម យងហទៀត<br />

<br />

1 <br />

*<br />

*<br />

<br />

<br />

* 2<br />

<br />

នាំឱ្យ z w z w ។<br />

2 3i5<br />

i<br />

5<br />

5<br />

<br />

z 2 3i 10 2i 15i 3i<br />

<br />

w 5i i i 251<br />

z 7 17i z 7 17i<br />

<br />

w 26 w 26<br />

**<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

។<br />

2<br />

2<br />

** 1<br />

7 17i<br />

<br />

26<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

49


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2 3i5<br />

i<br />

5<br />

5<br />

<br />

z 2 3i 10 2i 15i 3i<br />

<br />

w 5i i i 251<br />

2<br />

7 17i<br />

26<br />

** 2<br />

<br />

ក្.<br />

តាម<br />

<br />

** 1<br />

<br />

ំហារ់ទី១១<br />

ង្វា ញថា<br />

ហគមាន<br />

និង <br />

** 2<br />

2<br />

z z 1<br />

នាំឱ្យ<br />

2<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2 2<br />

z 3i z 3i 9 6i i 8 6i z1<br />

2<br />

ែូចហនោះ z z 1<br />

។<br />

ខ. គណនា<br />

ែូចហនោះ<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

<br />

w z z 11 7i<br />

w117i<br />

2<br />

z z 1<br />

ក្. ង្វា ញថា ។<br />

1<br />

3 i 8 6i<br />

។<br />

z 3<br />

i<br />

1<br />

8 6<br />

w, z,<br />

z<br />

w z z 1<br />

1<br />

ខ. គណនា ។ សង់ ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ។<br />

គ. ហគឱ្យ w x 1 y 3i<br />

។ ក្ំណត់តម្មៃ និង ។<br />

<br />

<br />

z<br />

<br />

x<br />

<br />

i<br />

y<br />

• សង់<br />

w , z , z<br />

1<br />

ក្ន ុង ៃង់ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

គ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង y<br />

ហគមាន<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

w x 1 y 3 i<br />

<br />

x 1 y 3 i 11<br />

7i<br />

x 10 , y 4<br />

។<br />

និង w11<br />

7i<br />

x 111<br />

<br />

y 3 7<br />

<br />

x 10 , y 4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

50


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី១២<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

w<br />

z2i<br />

3 4<br />

<br />

i<br />

ក្. ង្វា ញថា ។<br />

z<br />

2<br />

w<br />

ខ. ង្វា ញថា z w z w ។ សង់ w, z, z,<br />

w ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច ។<br />

<br />

គ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ ។<br />

M x y x y i<br />

,<br />

x y M z i<br />

<br />

<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

ហគមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

ហគមាន<br />

តាម<br />

2<br />

z<br />

w<br />

z2i<br />

2<br />

z<br />

w<br />

<br />

។<br />

z w z w<br />

z 2 i , w 3 4i<br />

<br />

2<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2 2<br />

z 2i 4 4i i 3<br />

4i<br />

<br />

z w 2 i 3 4i 5 5i<br />

<br />

<br />

z w 2 i 3 4i 5 5i<br />

<br />

• សង់<br />

* 1<br />

<br />

និង<br />

<br />

* 2<br />

w , z , z , w ហៅក្ន<br />

<br />

z 2 i , w 3<br />

4i<br />

<br />

* 2<br />

នាំឱ្យ z w z w ។<br />

ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច<br />

<br />

z w 5<br />

5i<br />

<br />

1 <br />

*<br />

គ. រក្តម្មៃ<br />

x,<br />

y<br />

ហយើងមាន M z i<br />

2i i 2 2i<br />

និង<br />

នាំឱ្យ x y x yi 2 2i<br />

<br />

x<br />

y 2<br />

<br />

x<br />

y 2<br />

<br />

M x y x y i<br />

<br />

x2 , y 0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

51


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី១៣<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

w<br />

z12i<br />

2 3<br />

<br />

i<br />

ក្. គណនា<br />

z<br />

w<br />

។<br />

<br />

ខ. ហគមាន ។ ក្ំណត់តម្មៃ x,<br />

yហែើមបីឱ្យ z1<br />

z w<br />

។<br />

z1 1 i x 1i y<br />

គ. ង្វា ញថា ។<br />

z w z w<br />

ក្. គណនា<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

z<br />

w<br />

<br />

z w 1 2i 2 3i 3<br />

5i<br />

x,<br />

y ហែើមបីឱ្យ<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

z z w<br />

1<br />

<br />

z1 1 i x 1 i y<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

<br />

x yi x yi 35i<br />

z w z w<br />

x xi y yi x y x<br />

y i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

xy3<br />

xy5<br />

x<br />

y <br />

4 , 1<br />

ហហើយ<br />

z w 3<br />

5i<br />

ហយើងមាន z 1 2 i , w 2 3i<br />

<br />

ហហើយ<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z w 1 2i 2 3i 15i<br />

<br />

z w 1 2i 2 3i 15i<br />

z w z w<br />

។<br />

z 1 2 i , w 2<br />

3i<br />

z w 15i<br />

ំហារ់ទី១៤<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z 2 3 i , z 2<br />

i<br />

1 2<br />

។<br />

ក្. គណនា និង ។<br />

2<br />

z , z , z , z z , z z<br />

1 2<br />

1 1 2 2 2 1 2<br />

2<br />

ខ. ហរ ៀ ហធៀ ជាមួយ z និង ជាមួយ ហហើយ ជាមួយ z z ។<br />

z<br />

z<br />

z1<br />

1<br />

គ. ង្វា ញថា និង z z z z ។<br />

1<br />

<br />

z<br />

z<br />

1<br />

2 2<br />

z 2<br />

1 2 1 2<br />

z<br />

z<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z<br />

2 z2<br />

1 2<br />

z<br />

z<br />

1 2<br />

ក្. គណនា<br />

2<br />

z , z , z , z z , z z និង z1 z2<br />

1 1 2 2 2 1 2<br />

ហគមាន z1 23 i , z2<br />

2 i ហនាោះ z1 23 i , z2<br />

2<br />

i<br />

ហគបាន<br />

2 2<br />

z1 2 3 4 9 13<br />

2 2<br />

z1 2 3 13<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

52


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

z 2<br />

2 1 4 1<br />

5<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

z2 z2 2i 2i<br />

2 1 5<br />

<br />

z1 z2 23i 2<br />

i<br />

2<br />

4 2i 6i 3i 18i<br />

<br />

2 2<br />

z1 z2 1 8 65<br />

z1 z2 13 5 135 65<br />

ខ. ហរ ៀ ហធៀ ចំនួន<br />

i<br />

ហោយ<br />

z1 13<br />

និង<br />

z1 13<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 1<br />

។<br />

<br />

ii<br />

ហោយ<br />

z<br />

2<br />

2<br />

5<br />

និង<br />

z<br />

z<br />

<br />

2 2<br />

5<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

iii ហោយ<br />

z<br />

2<br />

z z z ។<br />

2 2 2<br />

z<br />

<br />

1 2<br />

65<br />

និង<br />

z<br />

z<br />

<br />

1 2<br />

65<br />

ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2<br />

។<br />

គ. ង្វា ញៈ<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

i<br />

2<br />

z<br />

z<br />

1<br />

<br />

z<br />

z<br />

1<br />

2 2<br />

2 3i 2i<br />

2 2 <br />

z<br />

2<br />

1 23i 4 2i 6i 3i<br />

7 4<br />

i<br />

z 2 i i i<br />

5 5 5<br />

ហនាោះ<br />

ហហើយ<br />

z<br />

z<br />

1<br />

2<br />

2 2<br />

7 4 65<br />

<br />

5<br />

<br />

5<br />

<br />

5<br />

z<br />

z<br />

1<br />

2<br />

<br />

ii<br />

ហយើងមាន<br />

13 13 5 65<br />

<br />

5 5 5<br />

z1 z2 z1 z2<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z1 z2 23i 2i 2i<br />

z1 z2 13 5<br />

<br />

z<br />

z<br />

1<br />

z<br />

z1<br />

។<br />

z<br />

2 2<br />

2<br />

1 z2 2 2<br />

ហោយ 2 5 2 5 13 ។ ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

53


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី១៥ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z ដែល z 0 និង ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន z ។<br />

z<br />

1<br />

ក្. ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន ហសម ើនឹង <br />

2 z<br />

z<br />

ខ. ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន ហសម ើនឹង<br />

z<br />

<br />

1<br />

2 z <br />

i<br />

z<br />

។<br />

z <br />

។<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា ដផនក្ពិតម្ន<br />

តាង<br />

z<br />

ហសម ើនឹង<br />

z a ib z a ib<br />

z z a ib a ib 2a<br />

ែូចហនោះ ដផនក្ពិតម្ន<br />

ខ. ង្វា ញថា ដផនក្និមិតតម្ន<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

z<br />

ហសម ើនឹង<br />

z<br />

ហសម ើនឹង<br />

1<br />

2 z<br />

z<br />

<br />

<br />

( a<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

<br />

1<br />

2 z<br />

z<br />

<br />

តាងដផនក្ពិត និង b<br />

<br />

1<br />

<br />

2 z <br />

i<br />

z<br />

1<br />

a z z<br />

2<br />

។<br />

2<br />

z z a ib a ib a ib a ib bi<br />

1<br />

b z z<br />

2i<br />

<br />

។ ែូចហនោះ<br />

<br />

<br />

ដផនក្និមិតតម្ន<br />

z<br />

<br />

។<br />

ហសម ើនឹង<br />

តាងដផនក្និមិតត )<br />

1<br />

<br />

2 z <br />

i<br />

z<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី១៦ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ដែល ។<br />

ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />

z z<br />

z z<br />

z<br />

<br />

z<br />

z<br />

ខ. ង្វា ញថា និង ។<br />

z<br />

z z , 0<br />

z<br />

2<br />

z z<br />

z z<br />

z z<br />

zz <br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថាៈ i<br />

<br />

z z<br />

z z<br />

តាង z a ib z a ib<br />

និង z aib<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

2<br />

z z a ib aib aa abi abi i bb<br />

<br />

2 2<br />

z z aabb ab<br />

ab<br />

aabb ab<br />

a<br />

b i<br />

2<br />

z z aabb 2 ab<br />

ab<br />

2 2<br />

aa 2aabb bb ab 2abab ab<br />

2<br />

aa bb ab a b<br />

2 2 2<br />

2 2 2 2<br />

a a b b a b a<br />

b<br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

2 2 2 2<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

a b<br />

<br />

<br />

*<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a a b b b a<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

54


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

មយ ងហទៀត<br />

2 2<br />

z a ib z a b<br />

2 2 2<br />

z a b<br />

តាម<br />

*<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

ii<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

<br />

z a ib z a b<br />

និង <br />

**<br />

z z<br />

z z<br />

2 2 2<br />

z a b<br />

ែូចហនោះ<br />

i<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

z a b<br />

ហយើងបាន<br />

និង<br />

2<br />

z<br />

z<br />

z<br />

។<br />

<br />

**<br />

2 2 2<br />

2<br />

z z z z<br />

<br />

<br />

z z<br />

2 2 2 2 2<br />

z z a iba ib a i b a b<br />

z z<br />

z<br />

<br />

z<br />

។<br />

<br />

<br />

z a ib<br />

a ib aib<br />

<br />

z aib a ib a ib<br />

<br />

<br />

aaiab iab bb<br />

<br />

a<br />

2<br />

b<br />

2<br />

<br />

aabb i ab ab<br />

<br />

aabb ab ab<br />

<br />

2 2 2 2 i<br />

a b a b<br />

a 2<br />

b 2<br />

<br />

2 2<br />

z aa bb ab ab<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

z <br />

a b <br />

<br />

<br />

a b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

aa bb ab ab<br />

<br />

a b a b<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2 2 2 2<br />

<br />

តាម ំណក្រាយសំណួ រ ក្ ហគបាន ៖<br />

z<br />

z<br />

<br />

<br />

a b a<br />

b<br />

2 2 2 2<br />

2<br />

2 2<br />

<br />

និង<br />

<br />

a b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

aa bb ab ab<br />

a<br />

<br />

a<br />

<br />

b<br />

2 2<br />

<br />

a<br />

2 2<br />

b<br />

2 2 2 2<br />

z a b a b<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

b<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

z a b<br />

តាម * និង ** ែូចហនោះ<br />

<br />

ii<br />

<br />

z z<br />

z z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

<br />

z<br />

។<br />

2 2<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

**<br />

<br />

<br />

aa bb ab ab<br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

*<br />

a b<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2<br />

ហយើងមាន <br />

2<br />

2<br />

z z a ib a ib a a b b i<br />

z z a a b b<br />

z z 2<br />

a a 2<br />

b b 2 2<br />

2 2<br />

a 2aa a b 2bb b<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

55


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a a b b 2 aa bb<br />

តាមវ ិសមភាព ូនីញក្ុ ស្ ី ចំហរោះ<br />

ដត<br />

aa<br />

bb<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

aa bb a b a 2<br />

b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ហគបាន<br />

2 2 2 2<br />

2 2 2 2<br />

a b a b 2 aabb a b a b<br />

<br />

2 <br />

2 2 2 2 2 2 2 2<br />

a b a b a b a b<br />

<br />

2<br />

2<br />

2 2 2 2 2 2 2 2<br />

<br />

a b a b 2 a b a b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

2 a b a b<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

a b a<br />

b<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រតង់ចំណុ ចហនោះ អនក្រតូវហចោះសននិោា នហោយយក្<br />

A a b<br />

2 2<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

B a b<br />

ហគបាន<br />

មយ ងហទៀត<br />

រួចហរ ើរូ មនត<br />

2 <br />

2 2 2<br />

z z a b a b<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a b z<br />

2<br />

និង<br />

2<br />

z z<br />

z z<br />

ែូចហនោះ z z<br />

z z<br />

។<br />

2 2<br />

A 2AB B A<br />

B<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

a b z<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

56


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី១៧ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិចមិនសូនយ<br />

z1 , z2 , z3 , z4<br />

, . . . , zn<br />

។<br />

z z z z z z z z<br />

ក្. ង្វា ញថា ។<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

z z z . . . z z z z . . . z<br />

ខ. ង្វា ញថា ។<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

n<br />

n<br />

ក្. ង្វា ញថា z1 z2 z3 zn z1 z2 z3<br />

z<br />

តាង<br />

z1 a1 ib1 z1 a1 ib1<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z a ib z a ib<br />

2 2 2 2 2 2<br />

n<br />

តាមវ ិចារហោយក្ំហណើ នហ ើ<br />

ហហើយ<br />

តាម <br />

z a ib z a ib<br />

n n n n n n<br />

z z a ib a ib<br />

n 2 <br />

1 2 1 1 2 2<br />

<br />

a a ia b ia b b b a a b b a b a b i<br />

1<br />

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />

<br />

<br />

z z a a b b a b a b i<br />

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />

a a ia b ia b b b <br />

z1 z2 a1 ib1 a2 ib2<br />

1 2 1 2 2 1 1 2<br />

និង <br />

2<br />

ឧ មាថាវាពិតែល់ n k<br />

តាង<br />

z z z z<br />

<br />

1 2 1 2<br />

គឺ<br />

ហយើង ង្វា ញថាវាពិតែល់<br />

1 2 3 k<br />

(ពិត)<br />

1 2 3 k 1 2 3<br />

1<br />

z z z z z z z z<br />

nk1<br />

គឺ<br />

z z z z z z z z z z<br />

1 2 3 k k1 1 2 3 k k1<br />

Z z z z z AiB Z AiB<br />

k1 k1 k1<br />

<br />

Aak 1 Bbk 1 i Abk 1 Bak<br />

1<br />

<br />

Z z AiB a ib<br />

<br />

<br />

Aa iAb iBa Bb<br />

k1 k1 k1 k1<br />

1 1 1 1<br />

Z Z Aa Bb i Ab Ba<br />

<br />

ហហើយ Z Z AiBa ib <br />

k 1<br />

k k k k<br />

k 1 k1 k1<br />

Aa iAb iBa Bb<br />

តាម * និង <br />

k1 k1 k1 k1<br />

** Z zk<br />

1<br />

Z zk<br />

1<br />

ែូចហនោះ<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

(ពិត)<br />

z z z z z z z z ។<br />

n<br />

a a b b a b a b i<br />

k<br />

1 2 1 2 1 2 2 1<br />

*<br />

<br />

Aak 1 Bbk 1 i Abk 1 Bak<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

**<br />

<br />

<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

57


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

z z z . . . z z z z . . . z<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

z z z z a ib a ib a ib a ib<br />

1 2 3 n 1 1 2 2 3 3<br />

n n<br />

z z z z a a a a ib ib ib ib<br />

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />

<br />

z z z z a a a a b b b b i<br />

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />

z z z z a i b<br />

1 2 3<br />

n<br />

<br />

n k k<br />

k1 k1<br />

n<br />

<br />

z z z z a a a a ib ib ib ib<br />

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3<br />

n<br />

<br />

<br />

z z z z a a a a b b b b i<br />

1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n<br />

ែូចហនោះ<br />

z z z . . . z z z z . . . z<br />

1 2 3 n 1 2 3<br />

1<br />

n<br />

n<br />

។<br />

<br />

n<br />

n<br />

ak<br />

i<br />

bk<br />

k1 k1<br />

<br />

n<br />

n<br />

ak<br />

ibk<br />

<br />

k1 k1<br />

2<br />

ំហារ់ទី១៨ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />

ូដលរ)<br />

1. 2. 3.<br />

z 1i<br />

3<br />

2 3 2<br />

z i<br />

3 3<br />

4. z22i<br />

5. 6.<br />

z <br />

7. 8. 9.<br />

z <br />

5 i 15<br />

i<br />

z 3 3i<br />

6 2<br />

z <br />

i<br />

z 2 i 2<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

ដំម<br />

ុះទ្ាយ<br />

1.<br />

z 1i<br />

3<br />

***<br />

វិធីទី <br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

2<br />

2<br />

1 3<br />

<br />

r 1 3 4 2<br />

ហគបាន<br />

cos <br />

sin <br />

a<br />

r<br />

b<br />

r<br />

1<br />

<br />

2<br />

3<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z r cos isin<br />

2 cos sin<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

3 3<br />

<br />

<br />

។<br />

***<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

វ ិធីហនោះ ហយើងរតូវរក្ r ហៅខាងហរៅជាមុនសិន រួចហតាងតម្មៃ r ជាក្តាត ។<br />

z a ib<br />

a<br />

b<br />

r<br />

<br />

i<br />

r r<br />

<br />

a<br />

r<br />

<br />

<br />

<br />

រក្តម្មៃម្នមុំ ដែល cos ។ តម្មៃម្ន រតូវយក្គឺ 0<br />

<br />

។<br />

2<br />

a b<br />

<br />

r r<br />

<br />

<br />

តម្មៃម្នអាគុយម ង់ អារស័យហលើសញ្ជា ម្នគូ ,<br />

ែូចខាងហរោម៖<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

58


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងបាន<br />

• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />

,<br />

• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />

,<br />

• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />

,<br />

• ហ ើគូមានសញ្ជា <br />

z1i<br />

3<br />

,<br />

1 3 <br />

2 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ហនាោះ <br />

ហនាោះ <br />

ហនាោះ <br />

ហនាោះ <br />

សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />

សថ ិតហៅោរែង់ទី ២ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />

សថ ិតហៅោរែង់ទី ៣ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />

សថ ិតហៅោរែង់ទី ៤ យក្តម្មៃហសម ើនឹង <br />

1 <br />

cos <br />

2 3<br />

ឬ 2<br />

។<br />

2.<br />

***<br />

***<br />

z 2 3 2i<br />

វិធីទី <br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

a 2 3 3<br />

cos <br />

r 4 2 <br />

<br />

b 2 1<br />

6<br />

sin <br />

r 4 2<br />

<br />

ែូចហនោះ z 4cos sin<br />

6 6<br />

។<br />

<br />

<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

ហយើងបាន<br />

3 1 <br />

z 2 3 2i 4<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

4cos i<br />

sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

r 2 3 2 12 4 16 4<br />

3 <br />

cos <br />

2 6<br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI1<br />

<br />

3.<br />

z 33i<br />

1 3 <br />

2 3 <br />

<br />

2 2 <br />

<br />

3 3 <br />

2 3 i<br />

<br />

2 3 2 3 <br />

<br />

<br />

<br />

2 3 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

1 <br />

cos <br />

2 3<br />

<br />

r 2 3 <br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI1<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

59


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4. z2<br />

2i<br />

***<br />

វិធីទី <br />

i<br />

2<br />

ហយើងមាន 2<br />

r 2 2 4 4 2 2<br />

***<br />

a 2 1 2<br />

cos <br />

r 2 2 2 2<br />

b 2 1 2<br />

sin <br />

r 2 2 2 2<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

ហយើងបាន<br />

2 2<br />

z 2 2i 2 2 <br />

<br />

i <br />

2 2 2 2 <br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z 2 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

r 2 2 <br />

<br />

2 <br />

cos <br />

2 4<br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI4<br />

<br />

។<br />

5.<br />

z 5 i 15<br />

***<br />

***<br />

វិធីទី <br />

i<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

2 2<br />

r 5 15 5 15 20 2 5<br />

a 5 1<br />

cos <br />

r 2 5 2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

b 15 3<br />

3 3<br />

sin <br />

r 2 5 2<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

5 15 <br />

z 5 i 15 2 5 <br />

<br />

2 5 2 5 <br />

<br />

<br />

1 3 <br />

2 5<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 5 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2 5 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

r 2 5<br />

<br />

1 1 <br />

cos <br />

2 2 3<br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI2<br />

<br />

2<br />

2<br />

z 2 5 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

60


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

6.<br />

***<br />

z <br />

2 i 2<br />

វិធីទី <br />

2 2<br />

i ហយើងមាន <br />

r 2 2 2 2 2<br />

***<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

cos <br />

a<br />

r<br />

b<br />

sin <br />

r<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

ហយើងបាន<br />

2<br />

2<br />

3<br />

<br />

4 4<br />

<br />

2 cos i sin <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

2cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2 <br />

z 2 i 2 2<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

cos <br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

z 2cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

<br />

2 4<br />

enAkaRdg;TI2<br />

<br />

r 2<br />

<br />

។<br />

7.<br />

z 3<br />

3i<br />

( អនក្អាន ហោោះរាយហោយខៃ ួនឯង )ចលមលើយ ៖<br />

3<br />

3<br />

z 3 2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

8.<br />

z <br />

6<br />

i 2<br />

( អនក្អាន ហោោះរាយហោយខៃ ួនឯង )ចលមលើយ ៖<br />

5<br />

5<br />

z 2 2 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

9.<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

1 <br />

cos <br />

2 3<br />

4<br />

4<br />

cos<br />

i sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI3<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

61


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី១៩ សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម ជាទរមង់រតីហោណមារត (ទរមង់<br />

ូដលរ)<br />

6 2 <br />

z 3<br />

i<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

<br />

<br />

1. 2. 3.<br />

2 3 2 3 <br />

z 1 3 1 3 i<br />

5 5 3<br />

4. 5. z 7 i<br />

21<br />

6.<br />

z <br />

z <br />

7. 8. 9. 10.<br />

z 2 2 i 2<br />

1 2<br />

i<br />

z i 2 3<br />

z <br />

<br />

i<br />

3 3 3 3 i<br />

z i<br />

<br />

z 1<br />

2 3 i<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

1.<br />

6 2 <br />

z 3<br />

i<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

<br />

ចំោ ំ ៖<br />

3<br />

ជាហមគុណ ហយើងគុណចូលក្ន ុងក្តាត ក្៏បាន មិនគុណ ញ្ច ូ លក្៏បាន ។<br />

ស៉ូមលមើ ដំលោោះប្ាយលព មិនគ ណ !!!<br />

***<br />

វិធីទី <br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

2 2<br />

6 2 6 2 1 2<br />

r <br />

4 4 <br />

16 16 2 2<br />

ហនាោះ<br />

6<br />

<br />

a 4 2 6 3<br />

cos <br />

r 2 4 2 2<br />

2<br />

2<br />

<br />

b 4 2 2 1<br />

sin <br />

r 2 4 2 2<br />

2<br />

***<br />

វិធីទី ii ហយើងបាន<br />

7<br />

<br />

6 6<br />

នាំឱ្យ<br />

2 7<br />

7<br />

z 3 cos isin<br />

2<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

3 2 7<br />

7<br />

z cos isin<br />

2<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

6 2 <br />

z 3<br />

i<br />

<br />

4 4 <br />

<br />

<br />

2 3 1 <br />

3 i<br />

2 <br />

2 2 <br />

<br />

2 3 2 1<br />

3<br />

2 2 2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

cos <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

r <br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

3 <br />

<br />

2 6<br />

enAkaRdg;TI3<br />

<br />

3 2 7<br />

7<br />

cos isin<br />

2<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

2. z 1 3 1<br />

3 <br />

i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

62


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

*** វិធីទី <br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

2 2 2 2<br />

1 3 1 3 1 3 1 3<br />

r <br />

<br />

cos<br />

sin<br />

នាំឱ្យ<br />

1<br />

3<br />

a<br />

<br />

<br />

r 1<br />

3 <br />

1<br />

3<br />

b<br />

<br />

<br />

r 1<br />

3 <br />

ែូចហនោះ<br />

***<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

5<br />

<br />

4 4<br />

5<br />

5<br />

z 1 3 2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

z 2 6 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

1 3 1 3 <br />

z i <br />

<br />

<br />

2 2<br />

1 3 2<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 6 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2 6 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

3 2<br />

5<br />

5<br />

2 6 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

2 2<br />

1 3 2 1 3 2<br />

2 2 i<br />

r <br />

1<br />

3 2 <br />

<br />

<br />

cos <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

<br />

2 4<br />

enAkaRdg;TI3<br />

<br />

3. z 5 5 3 i( អនក្អានហោោះរាយ យក្គរមូតាមហលខ 2 )ចលមលើយ ៖<br />

4.<br />

***<br />

2 3 2 3 <br />

z <br />

វិធីទី <br />

<br />

<br />

i<br />

<br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

a 2 3 2<br />

cos <br />

r 2 3 2 2<br />

b 2<br />

3 2<br />

sin <br />

r 2 3 2 2<br />

នាំឱ្យ z <br />

<br />

<br />

<br />

2 3 2<br />

2 3 2<br />

r <br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

2 3 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

*** វិធីទី ii<br />

<br />

<br />

2 3 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 2 6 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

4<br />

4<br />

z 10cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

63


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

2 2<br />

2 3 2 2 3 2<br />

2 2 i<br />

z 2 3 2 3 i <br />

<br />

<br />

2 2<br />

2 3 2<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 6 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos <br />

2 4<br />

<br />

<br />

enAkaRdg;TI4<br />

<br />

<br />

<br />

r <br />

<br />

<br />

2 3 2<br />

<br />

<br />

5.<br />

6.<br />

7.<br />

***<br />

z <br />

z <br />

7 i<br />

21<br />

<br />

3 3 3 3 i<br />

z 2 2 i 2<br />

វិធីទី <br />

i<br />

( អនក្អានហោោះរាយ តាមគរមូហលខ 4 )ចលមលើយ ៖<br />

<br />

( អនក្អានហោោះរាយខៃ ួនឯង )ចហមៃើយ ៖<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

<br />

a b<br />

cos , sin <br />

r r<br />

<br />

tan <br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1<br />

tan 2 1<br />

2 2 2 2 2 2 4 2 2<br />

តាមរូ មនត<br />

ហគបាន<br />

ហោយ<br />

ដត<br />

z<br />

tan 2<br />

tan 2<br />

2tan <br />

2<br />

1 tan <br />

<br />

<br />

2 2 1 2 2 2<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

2 1<br />

<br />

tan 2 1 2 <br />

4 k <br />

1 2 2 2 1<br />

k<br />

<br />

8 2<br />

សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ នាំឱ្យ យក្<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 7 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

z 6 3 cos sin <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

b<br />

a<br />

2 2 2<br />

1<br />

1 3 2 2<br />

<br />

8<br />

<br />

k <br />

ហហើយ 2 2<br />

r 2 2 2 4 4 2 2 2 8 4 2 2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ z 2 2 2 cos isin<br />

8 8<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

64


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

***<br />

ហយើងបាន<br />

តាមរូ មនត<br />

នាំឱ្យ<br />

វិធីទី <br />

ii<br />

z 2 2 2 i<br />

2 2<br />

21<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

21 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />

<br />

<br />

2<br />

z 2 2cos 4 2isin 4 cos 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2cos cos i sin<br />

8<br />

<br />

8 8<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8 8 8<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2cos 2i<br />

sin cos<br />

<br />

4cos cos i sin<br />

8<br />

<br />

8 8<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

2<br />

2<br />

cos 8 2<br />

។<br />

2 2 2<br />

4cos 8<br />

<br />

ចំោ ំ ៖ ចំនួន និង មានតម្មៃហសម ើគ្នន ។ ហយើងសរហសរចំនួនណាមួយក្៏បានដែរ ។<br />

សូមហមើលែំហណាោះរាយ ញ្ជា ក្់ខាងហរោម ។<br />

សប្មាយរញ្ជា ក់<br />

តាមរូ មនត<br />

2<br />

2cos 1<br />

cos 2<br />

<br />

យក្<br />

<br />

<br />

8<br />

ហគបាន<br />

2<br />

<br />

2cos 1<br />

cos 2<br />

8 8<br />

2<br />

1<br />

cos 1<br />

4 2<br />

2 2<br />

2<br />

2cos 8 2<br />

នាំឱ្យ<br />

2<br />

2<br />

cos 8 4<br />

<br />

cos 0<br />

8<br />

8.<br />

នាំឱ្យ<br />

z 1<br />

2<br />

i<br />

***<br />

2 2 2 2<br />

4cos 4 2 4 2 2 2<br />

8 4 4<br />

វិធីទី <br />

i<br />

(ពិត) ។<br />

ហយើងបាន<br />

2tan <br />

1 tan <br />

តាមរូ មនត tan 2<br />

2<br />

ហគបាន<br />

b 1 2 1 2 1<br />

tan 2 1<br />

a 1 2 2 1 2 1<br />

21<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 1 2 2 2 2 2 2<br />

tan 2 1<br />

2<br />

1<br />

2 1<br />

1<br />

3 2 2 2 2 2<br />

តាមែំហណាោះរាយលំហាត់ហលខ 7<br />

ខាងហលើ នាំឱ្យ<br />

ហហើយ 2 2<br />

1 2 1 1 2 2 2 1 4 2 2<br />

*** វិធីទី ii<br />

<br />

<br />

<br />

8<br />

<br />

8 8<br />

<br />

<br />

r ែូចហនោះ z 4 2 2 cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

65


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងបាន z 1<br />

2<br />

i<br />

2 2 <br />

2 1 i 2 1 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

2 1 cos i sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

9.<br />

***<br />

<br />

z 2 3<br />

i<br />

វិធីទី <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8 8 8<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2cos 2i<br />

sin cos<br />

i<br />

<br />

2 2 cos cos i sin<br />

8<br />

<br />

8 8<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

2<br />

2<br />

cos 8 2<br />

ហយើងមាន<br />

ហយើងបាន<br />

b 1 2 3<br />

tan 2 3<br />

2<br />

a 2<br />

3 2 3<br />

<br />

2<br />

17 4 3<br />

និងតាមរូ មនត<br />

2 2 3 4 2 3 4 2 3<br />

tan 2 <br />

1<br />

2 3<br />

6 4 3<br />

24 16 3 12 3 24<br />

<br />

6 2<br />

4 3 2<br />

tan 2<br />

2tan <br />

2<br />

1 tan <br />

4 2 3 6 4 3 <br />

6 4 3 6 4 3 <br />

<br />

<br />

4 3 4 3 3<br />

<br />

36 48 12 3<br />

ហោយ<br />

ដត<br />

***<br />

z<br />

ហហើយ<br />

ែូចហនោះ<br />

3 k<br />

tan 2 2 k <br />

3 6 12 2<br />

សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ នាំឱ្យ យក្<br />

2 2<br />

<br />

<br />

12<br />

r 2 3 1 7 4 3 1 8 4 3 6 2<br />

វិធីទី <br />

<br />

<br />

<br />

z 6 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ii<br />

។<br />

?<br />

<br />

ហយើងបាន z 2 3<br />

i<br />

នាំឱ្យ<br />

ែូចហនោះ<br />

3 1<br />

21<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

21 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

z <br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2 2cos 2isin cos<br />

តាមរូ មនត<br />

<br />

12 12 12<br />

<br />

<br />

z 4cos <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

12<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />

<br />

2 2cos cos isin<br />

12<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

2<br />

6<br />

cos 12 2<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

66


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

10.<br />

***<br />

<br />

z 1<br />

2 3 i<br />

វិធីទី <br />

i<br />

<br />

ហយើងមាន<br />

b<br />

tan <br />

a<br />

2<br />

3<br />

2<br />

3<br />

1<br />

តាមែំហណាោះរាយលំហាត់ហលខ 9 ខាងហលើ<br />

ហោយ<br />

ហយើងយក្<br />

***<br />

ែូចហនោះ<br />

ហយើងបាន<br />

តាមរូ មនត<br />

k<br />

tan 2 3 <br />

12 2<br />

<br />

<br />

12<br />

វិធីទី <br />

ហយើងបាន<br />

ហហើយ<br />

ដត<br />

2<br />

z<br />

សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ ហររោះ 2 3 0<br />

r <br />

<br />

z 2 2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ii<br />

<br />

z 1<br />

2 3 i<br />

<br />

2<br />

1 2 3 1 7 4 3 8 4 3 2 2 2<br />

1 2 3 <br />

2 <br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

។<br />

2 <br />

sin 2sin cos , 1 cos 2sin<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

6 6<br />

<br />

2<br />

z 2 2sin cos 2sin<br />

6<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 <br />

2<br />

1<br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2<br />

2 2sin cos 2i<br />

sin<br />

<br />

<br />

<br />

12 12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 sin 1 cos<br />

6 6 i <br />

<br />

<br />

នាំឱ្យ<br />

<br />

2 2sin cos i sin<br />

12<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ z 4sin <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

12<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

2<br />

3<br />

sin 12 2<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២០ ដមៃងចំនួនក្ុំផៃិចខាងហរោម ជាទរមង់ ូដលរ ៖<br />

<br />

1. z icos<br />

sin<br />

2. 3.<br />

3 3<br />

<br />

z 2sin icos<br />

7 7<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4. z 2i sin i<br />

cos 5. 6.<br />

3 3<br />

z 2i sin i cos<br />

<br />

<br />

5 5<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 sin icos<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 1<br />

cos isin<br />

7 7<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

1.<br />

<br />

z icos<br />

sin<br />

sin cos<br />

3 3<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

i <br />

2 3<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

<br />

z cos<br />

isin<br />

6 6<br />

។<br />

3 2<br />

3 2<br />

isin<br />

cos<br />

6 6<br />

<br />

isin<br />

cos<br />

6 6<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

67


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

2. z 2sin icos<br />

7 7<br />

<br />

<br />

<br />

3.<br />

4.<br />

5.<br />

6.<br />

ែូចហនោះ<br />

z <br />

គួរចងចំ៖<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

2 7<br />

<br />

2 7<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

z 2cos isin<br />

14 14<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 sin icos<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

2 sin i cos<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z <br />

<br />

z 2i sin i<br />

cos<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

sin icos cos isin<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

7 2<br />

7 2<br />

<br />

2 cos i<br />

sin <br />

14<br />

<br />

14<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

2 4<br />

<br />

2 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2<br />

2 isin i<br />

cos<br />

<br />

2 cos i sin <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

2<br />

z 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2i sin i cos<br />

5 5<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

3 3 <br />

2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

។<br />

2 <br />

2isin i cos<br />

5 5<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 cos isin<br />

<br />

5<br />

<br />

5<br />

<br />

<br />

<br />

z 1<br />

cos isin<br />

7 7<br />

ហយើងបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

តាមរូ មនត<br />

<br />

2<br />

z 2cos<br />

7<br />

2isin 7<br />

cos<br />

7<br />

2 2 2<br />

z 2cos <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

14<br />

<br />

14 14<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

2cos isin<br />

5 5<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

5<br />

<br />

5<br />

<br />

<br />

2 <br />

2cos 2i<br />

sin cos 2cos <br />

cos i sin<br />

<br />

<br />

14 14 14 14<br />

<br />

14 14<br />

<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ២១ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

1<br />

z<br />

។<br />

<br />

z cos<br />

isin<br />

5 5<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

x y w4i<br />

3<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ ។<br />

w 4x 2iy<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

68


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

1<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងបាន<br />

តាមរូ មនត<br />

នាំឱ្យ 1<br />

z<br />

<br />

1 z 1 cos isin<br />

5 5<br />

<br />

2 2 2<br />

2<br />

1 cos 2cos , sin 2sin cos<br />

<br />

2<br />

2cos<br />

5<br />

2i<br />

sin<br />

5<br />

cos<br />

5<br />

2 2 2<br />

2 <br />

2cos 2i<br />

sin cos 2cos cos sin<br />

10 10 10<br />

<br />

i<br />

<br />

10<br />

<br />

10 10<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

1 z 2cos cos isin<br />

10<br />

<br />

10 10<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

w4i<br />

3<br />

ហោយ<br />

w 4x 2iy<br />

<br />

w 4 i 3<br />

4x 2iy 4 i 3<br />

តាមចំនួនក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />

4x<br />

4<br />

<br />

2y<br />

3<br />

x<br />

1<br />

<br />

3<br />

y <br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

3<br />

x1,<br />

y <br />

2<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២២ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច និង ដែល<br />

ក្.<br />

ខ.<br />

<br />

ជាគូម្នម ូឌុលនិងអាគុយម ង់ម្ន<br />

<br />

1 1 1 1<br />

r1 , 1 , r2 , 2<br />

1 2<br />

<br />

z r cos isin<br />

<br />

sin <br />

z z r r <br />

cos<br />

i <br />

z<br />

1 2 1 2 1 2 1 2<br />

z , z<br />

r<br />

cos sin , 0<br />

i <br />

1 1<br />

1 2 1 2<br />

z2<br />

z2 r <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

z r cos isin<br />

<br />

2 2 2 2<br />

ហរៀងគ្នន ។ ចូររាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតខាងហរោម៖<br />

សប្មាយរញ្ជា ក់<br />

ក្. z z r r cos<br />

isin<br />

<br />

<br />

1 2 1 2 1 2 1 2<br />

cos sin cos sin <br />

z1 z2 <br />

r1 1 i <br />

1 r2 2 i <br />

2 <br />

r r cos isin cos isin<br />

<br />

1 2 1 1 2 2<br />

<br />

r r cos cos i cos sin isin cos i sin sin <br />

2<br />

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

69


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ.<br />

z<br />

r r <br />

cos cos sin sin i cos sin sin cos <br />

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />

<br />

r r <br />

cos<br />

isin<br />

<br />

1 2 1 2 1 2<br />

i <br />

1 1<br />

1 2 1 2<br />

z2<br />

z2 r <br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

( ពិត )<br />

r<br />

cos sin , 0<br />

ហយើងបាន<br />

ហររោះ<br />

<br />

<br />

z r<br />

1 1<br />

cos 1 isin<br />

1<br />

<br />

z r cos i sin <br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos sin cos sin <br />

cos sin cos sin <br />

r i i<br />

<br />

r i i<br />

1 1 1 2 2<br />

2 2 2 2 2<br />

r cos cos i cos sin i sin cos i sin sin <br />

<br />

r<br />

2<br />

1 1 2 1 2 1 2 1 2<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

cos 2 sin 2<br />

r cos cos sin sin i sin cos cos sin <br />

<br />

r<br />

1 1 2 1 2 1 2 1 2<br />

2 2<br />

2<br />

cos 2 sin 2<br />

r<br />

cos <br />

1<br />

r <br />

2<br />

i sin <br />

1 2 1 2<br />

<br />

<br />

(ពិត)<br />

cos cos sin sin cos <br />

1 2 1 2 1 2<br />

sin cos cos sin sin <br />

1 2 2 1 1 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

និង<br />

cos sin 1<br />

<br />

2 2<br />

2 2<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២៣<br />

<br />

ក្. ចូររាយ ញ្ជា ក្់ថារូ មនតែឺម័រ ពិត ចំហរោះរគ ់ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី ។<br />

ខ. ហោយហរ ើរូ មនតដែលបានរាយរួចខាងហលើ ង្វា ញថាសមភាពខាងហរោមពិត ។<br />

<br />

n<br />

cos isin cos n isin<br />

n n<br />

១.<br />

២.<br />

1<br />

cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

n <br />

sin i cos<br />

cos n isin<br />

n <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. រាយ ញ្ជា ក្់រូ មនតែឺម័រ<br />

ហយើងនឹង ង្វា ញថារូ មនតហនោះ ពិត តាមក្រណី នីមួយៗខាងហរោម៖<br />

• ក្រណី ទី ១ ៖ ចំហរោះ<br />

n 0 ហគបាន<br />

n<br />

i i 0<br />

cos sin cos sin 1<br />

ហហើយ cos n i sin n cos 0 isin 0 1 នាំឱ្យរូ មនតពិត ។<br />

• ក្រណី ទី ២ ៖ ចំហរោះ n ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហយើងបាន<br />

ចំហរោះ 1<br />

n ហគបាន 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

cos isin cos1 isin1 cos isin<br />

ពិត<br />

70


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឧ មាថារូមនតពិតចំហរោះ n k<br />

ហយើងនឹងរាយថាវាពិតចំហរោះ n k 1<br />

k <br />

ហយើងបាន cos<br />

isin<br />

1<br />

តាម<br />

*<br />

<br />

<br />

គឺ<br />

<br />

<br />

k<br />

cos isin cos k isin<br />

k<br />

k 1<br />

គឺ cos isin cos k 1 isin k<br />

1<br />

*<br />

<br />

<br />

cos isin k<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

cos kcos i cos ksin isin kcos<br />

<br />

<br />

<br />

cos k isin k cos isin<br />

<br />

i<br />

2 sin ksin<br />

<br />

cos k isin<br />

k <br />

cos kcos sin ksin i sin kcos cos ksin<br />

<br />

k i k<br />

<br />

cos 1 sin 1<br />

<br />

តាមវ ិចារអនុមានរួមគណិ តវ ិទយ <br />

n<br />

cos isin cos n isin<br />

n<br />

ពិត ចំហរោះ<br />

n 1,2,3,4,<br />

<br />

• ក្រណី ទី ៣ ៖ ចំហរោះ n<br />

ជាចំនួនគត់អវ ិជាមាន<br />

យក្ n m<br />

<br />

ដែល m ជាចំនួនគត់វ ិជាមាន ហយើងបាន<br />

cos isin n<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

m<br />

cos isin<br />

<br />

1<br />

<br />

cos m isin<br />

m<br />

<br />

m<br />

cos0 isin 0<br />

<br />

cos m isin<br />

m<br />

m isin<br />

m <br />

cos <br />

cos n i sin n<br />

a<br />

m<br />

1<br />

<br />

m<br />

a<br />

(តាមសរមាយខាងហលើ)<br />

m i m <br />

cos 0 sin 0 <br />

(ពិត)<br />

mn<br />

n<br />

តាមក្រណី ទី ១, ២, ៣ នាំឱ្យរូ មនត cos isin <br />

cos n isin<br />

n ពិត<br />

ចំហរោះរគ ់<br />

n<br />

ជាចំនួនគត់រុ ឺឡាទី ។<br />

ខ. ហោយហរ ើសំណួ រ ក្ រាយថា ៖<br />

១. ហយើងមាន<br />

1 cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហយើងបាន<br />

1<br />

ហររោះ cos <br />

cos និង sin <br />

<br />

1<br />

cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin<br />

។<br />

<br />

cos i sin <br />

( ពិត )<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

71


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

២. ហយើងមាន<br />

<br />

sin icos cos isin<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហយើងបាន <br />

<br />

cos n i sin n <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

n <br />

sin icos cos isin<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

ពិត<br />

n<br />

ំហារ់ទី ២៤ សរមួលក្ហនោមខាងហរោម ៖<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos isin<br />

<br />

cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />

1. 2. 3.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

4. 5.<br />

sin i cos <br />

3<br />

4<br />

7 5<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

4<br />

cos 2 isin 2<br />

<br />

<br />

3 5<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin i cos<br />

4<br />

5<br />

cos<br />

i sin <br />

<br />

sin i cos <br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

1.<br />

2.<br />

3.<br />

<br />

<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos isin<br />

<br />

7 5<br />

cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />

អនុវតតរូ មនតែឺម័រ និង រូ មនតផលគុណ ផលដចក្ ហយើងបាន<br />

<br />

<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos isin<br />

<br />

7 5<br />

cos5 isin5 cos 2 isin 2<br />

<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

15 3<br />

35 10<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

4<br />

cos 2 isin 2<br />

cos<br />

i sin <br />

<br />

sin i cos <br />

<br />

<br />

<br />

3 5<br />

cos10 isin10<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin i cos <br />

<br />

<br />

គួរយ ់ដឹង ៖ <br />

<br />

<br />

cos 4 i sin 4<br />

<br />

cos 4 isin 4<br />

4<br />

4<br />

5 3<br />

3 1<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7 5<br />

5 2<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

12<br />

25<br />

<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

13<br />

<br />

3 5<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

4<br />

n<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin cos n isin<br />

n<br />

cos13 isin13<br />

cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

2<br />

8<br />

10<br />

cos isin<br />

<br />

cos 4 isin 4<br />

cos 4 i sin 4<br />

<br />

<br />

cos 2 4 isin 2 4<br />

cos 4 isin 4 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

i <br />

<br />

cos 4 4 sin 4 4 cos8 isin8<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

72


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4.<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

sin i cos <br />

5. <br />

4<br />

cos isin<br />

<br />

5<br />

sin i cos<br />

3<br />

4<br />

cos3 isin 3<br />

cos3 isin 3<br />

<br />

<br />

cos 2 4 isin 2 4<br />

cos 4 isin 4 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

cos3 i sin 3<br />

<br />

cos 4 sin 4<br />

i <br />

cos 4 isin 4<br />

<br />

<br />

cos5 isin 5 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

cos7 isin 7<br />

5<br />

5<br />

<br />

cos 4 5 isin 4 5<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

cos 4 5 isin 4 5 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

sin 4 5 i cos 4 5<br />

<br />

<br />

cos 4 5 isin 4 5 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

cos 4 5 2 isin 4 5 2<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

cos 4 5 i sin 4 5<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

គួរចងច ំ ៖<br />

<br />

cos 2 cos , sin 2 sin <br />

ំហារ់ទី ២៥ រាយថាៈ<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos 2 isin<br />

<br />

9 9<br />

cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />

1<br />

អនុវតតរូ មនតែឺម័រ ហលើអង្ទី ១ ហយើងបាន<br />

<br />

<br />

<br />

cos15 isin15 <br />

cos 6 isin 6<br />

<br />

cos 36 isin 36 cos 45 isin 45 <br />

<br />

សប្មាយរញ្ជា ក់<br />

5 3<br />

cos3 isin3 cos 2 isin<br />

<br />

9 9<br />

cos 4 isin 4 cos5 isin5<br />

i <br />

i <br />

cos 15 6 sin 15 6<br />

<br />

cos 36 45 sin 36 45<br />

i <br />

i <br />

cos 9 sin 9<br />

<br />

cos 9 sin 9<br />

1<br />

ំហារ់ទី ២៦ គណនាតម្មៃម្នក្ហនោមខាងហរោម៖<br />

1i 14<br />

60<br />

1 i<br />

1 i 3<br />

2014<br />

1. 2. 3. 4. 5.<br />

1<br />

1 i 3 619<br />

5<br />

i<br />

<br />

<br />

2<br />

3i<br />

<br />

<br />

2016<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

73


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1.<br />

14<br />

1i<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

2.<br />

14<br />

1i<br />

ែូចហនោះ<br />

60<br />

1<br />

i<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2 <br />

1 i 2<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

2 cos isin<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2 2<br />

128 cos10 i sin 10 <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

i 14<br />

1 128i<br />

2 2 <br />

1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

60 <br />

1 i<br />

2 cos isin<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

60<br />

14<br />

i <br />

30<br />

2 cos 15 sin 15<br />

60 30<br />

1<br />

i 2<br />

។<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

14 143<br />

143<br />

<br />

2 cos i<br />

sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

128cos isin<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

60 60<br />

60<br />

2 cos i<br />

sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

30<br />

2 1<br />

0i<br />

<br />

30<br />

2<br />

3<br />

3<br />

2 cos i<br />

sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

7 42<br />

42<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

128 0 i<br />

<br />

3.<br />

1 i 3 2014<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

k<br />

<br />

sin 0<br />

1 3 <br />

1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

1 i 3 2014<br />

cos<br />

k <br />

គួរចងច ំ ៖ និង ចំហរោះរគ ់<br />

1 k<br />

<br />

2cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

2014<br />

2014<br />

2014 2014<br />

2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2014<br />

4 4<br />

2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

k <br />

2014<br />

2014 2014<br />

2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2014<br />

4 4<br />

2 cos 670 isin 670 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

2014 1 3 <br />

2<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

1 i 3 2 2 i 3 ។<br />

ែូចហនោះ 2014 2013 2013<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

74


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4.<br />

1<br />

1 i 3 619<br />

ហយើងមាន<br />

619 1 3 <br />

1 i 3 2 i<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

619<br />

<br />

2cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

619<br />

619 619<br />

619<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

5.<br />

នាំឱ្យ<br />

5<br />

i<br />

<br />

<br />

2<br />

3i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

619<br />

2 cos 206 isin 206 <br />

1<br />

1 i 3 619<br />

2016<br />

<br />

619<br />

1<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

619<br />

2 cos isin<br />

1 1<br />

<br />

619<br />

2 <br />

cos i sin<br />

3 3<br />

1<br />

<br />

2<br />

619<br />

<br />

cos<br />

i<br />

sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

1 3<br />

i<br />

612 612<br />

2 2<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

<br />

5<br />

i<br />

5 i 2 3i<br />

<br />

2 3i 2 3i 2 3i<br />

10 15i 2i 3i<br />

<br />

2 2<br />

2 3<br />

2<br />

1<br />

i<br />

នាំឱ្យ<br />

ែូចហនោះ<br />

5<br />

i<br />

<br />

<br />

2<br />

3i<br />

<br />

<br />

2016<br />

2016<br />

1<br />

i<br />

1008 5<br />

5<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

2<br />

i<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2016<br />

i <br />

1008<br />

2 cos 2520 sin 2520<br />

5<br />

i<br />

<br />

<br />

2<br />

3i<br />

<br />

<br />

2016<br />

2<br />

1008<br />

2016<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

1008<br />

2 cos isin<br />

<br />

1008 20165<br />

20165<br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

1008<br />

2 cos0 sin 0<br />

<br />

<br />

<br />

1008<br />

2 10i<br />

<br />

2016<br />

1008<br />

2<br />

ំហារ់ទី ២៧ គណនា រួចសរហសរជារាង<br />

213<br />

1969<br />

a ib<br />

3 1<br />

1. 2. 3. 4. 5.<br />

2 2 i<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 i<br />

<br />

5 3i<br />

3 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

2i<br />

3 <br />

<br />

។<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

154<br />

21<br />

<br />

<br />

1i<br />

3 <br />

cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

75


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1.<br />

3 1<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

2.<br />

តាង<br />

<br />

213<br />

3 1 <br />

i cos isin<br />

2 2 6 6<br />

3 1<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

213<br />

<br />

cos<br />

i<br />

sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

213<br />

<br />

cos32 isin 32 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

3 3<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z<br />

1969<br />

3 3<br />

z i<br />

2 2<br />

1969<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

3<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

2 2 i 3 1<br />

<br />

3 cos isin<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1969<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

213<br />

213<br />

cos<br />

isin<br />

6 6<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

1969 1969<br />

1969<br />

3 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

cos33 i sin 33 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

0 i<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1969 <br />

3 cos328 isin 328 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

<br />

1969 <br />

3 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1969 3 1<br />

3<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

1969<br />

985<br />

3 3<br />

<br />

2 2<br />

i<br />

ែូចហនោះ<br />

1969 1969<br />

985<br />

3 3 3 3<br />

i <br />

<br />

2 2 <br />

2 2<br />

i<br />

។<br />

3.<br />

តាង<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

154<br />

<br />

cos isin<br />

i<br />

z <br />

2 2<br />

1 i <br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

154<br />

នាំឱ្យ z<br />

1 <br />

cos<br />

isin<br />

<br />

2 4 4<br />

<br />

<br />

<br />

1 <br />

cos i sin <br />

2 2 4<br />

<br />

2 4<br />

<br />

<br />

154<br />

1 2 2<br />

cos 38 isin 38<br />

77 <br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

1 154<br />

154<br />

cos i sin<br />

154 <br />

2 4 4<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

2<br />

77<br />

<br />

1 <br />

cos<br />

isin<br />

2 4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

2 2<br />

1 77<br />

0 i<br />

<br />

2<br />

<br />

1<br />

0 <br />

77<br />

2 i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

76


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

4.<br />

តាង<br />

5 3i<br />

3 <br />

<br />

1<br />

2i<br />

3 <br />

<br />

21<br />

5 3i<br />

3<br />

z 1 3<br />

1 2i<br />

3<br />

i<br />

2<br />

2<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

21 2<br />

2<br />

z 2cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

21<br />

21 21 2<br />

21 2<br />

<br />

2 cos i<br />

sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

21<br />

2 cos14 isin14<br />

<br />

<br />

21<br />

2 0i<br />

ែូចហនោះ<br />

5 3i<br />

3 <br />

<br />

1<br />

2i<br />

3 <br />

<br />

21<br />

<br />

21<br />

2 0<br />

i<br />

។<br />

5.<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

1i<br />

3 <br />

cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i<br />

1 3 <br />

<br />

2 <br />

i<br />

cos isin<br />

2 2<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

2<br />

<br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 cos isin cos isin<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

3 12 4<br />

<br />

3 12 4<br />

<br />

<br />

2 cos0 isin 0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 10i<br />

2 0i<br />

<br />

1i<br />

3 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

2 0i<br />

1<br />

i<br />

<br />

2 cos isin<br />

3 12<br />

<br />

3 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

4 3<br />

4 3<br />

<br />

2 cos i<br />

sin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២៨ ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

1<br />

i 3<br />

z <br />

1<br />

i<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ ។<br />

2z 1 i a 1<br />

i b<br />

a b <br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

77


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត<br />

1<br />

i 3<br />

z <br />

1<br />

i<br />

1 3 <br />

2 <br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 2 <br />

2<br />

<br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 cos i<br />

sin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos i sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos i sin <br />

2 3 4<br />

<br />

3 4<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i 3 1i<br />

3 1i<br />

z <br />

1 i 1 i 1<br />

i<br />

។<br />

ហហើយ ។<br />

<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ និង ហែើមបីឱ្យ<br />

<br />

2<br />

1i i 3 i<br />

3<br />

11<br />

2z 1 i a 1<br />

i b<br />

a b <br />

<br />

3 1 3 1<br />

2<br />

i<br />

<br />

3 1 3 1<br />

i<br />

2 2<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

2z 1 i a 1<br />

i b<br />

<br />

2 <br />

<br />

3 1 3 1<br />

<br />

i<br />

a ai b bi<br />

2 2 <br />

3 1 3 1i a b a bi<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />

<br />

a b 31<br />

<br />

a b 3 1<br />

<br />

2b<br />

2<br />

<br />

នាំឱ្យ ។ យក្ ជំនួសចូលសមីោរ<br />

b 1 b 1<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

a <br />

a 1 3 1<br />

3<br />

ែូចហនោះ<br />

a<br />

3 , b1<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

78


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ២៩ ហគមាន ។<br />

z 2 , z 1 i , z 1<br />

i 3<br />

1 2 3<br />

ក្. សរហសរ<br />

z1 , z2 , z3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

w z z<br />

w<br />

z<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

3<br />

2<br />

1 2<br />

w<br />

ឃ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ x,<br />

y ហែើមបីឱ្យ U ។ z<br />

1 1<br />

<br />

U x i y i<br />

3<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

z1 , z2 , z3<br />

z <br />

1<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

2 10i<br />

<br />

2 cos0 isin 0<br />

2 2 <br />

z2<br />

1 i 2<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

1 3 <br />

z3<br />

1 i 3 2 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

w z z<br />

2<br />

1 2<br />

2<br />

1 2<br />

2 1<br />

2<br />

w z z i 2 1 2 1<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

i 2 2i<br />

រលរៀរទី ១<br />

21i<br />

2 2 cos sin<br />

<br />

<br />

i<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

w2 2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

w z z<br />

2<br />

<br />

1 2 <br />

រលរៀរទី ២<br />

<br />

2 cos0 isin 0 2 cos isin<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos0 isin 0 cos isin<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

p q p q<br />

តាមរូ មនត cos pcos q2cos cos<br />

2 2<br />

p q p q<br />

sin psin q2sin cos<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2cos isin 0<br />

2cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos0 cos i sin 0 sin <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

79


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងបាន<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

0 0 0 0 <br />

w 2 2cos<br />

2<br />

cos<br />

2<br />

2isin 2<br />

cos<br />

2 <br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2 2<br />

<br />

<br />

<br />

2 2cos cos 2i<br />

sin cos<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2 <br />

4 cos isin<br />

2<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

w<br />

z<br />

3<br />

<br />

2 2 cos i sin<br />

w<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z3<br />

<br />

<br />

2 cos i sin <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

w 7<br />

7<br />

2 cos isin<br />

z<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

2 2 cos i<br />

sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos i sin <br />

4 3<br />

<br />

4 3<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

4cos cos isin<br />

4<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

7<br />

7<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

សរហសរ<br />

w<br />

z<br />

3<br />

w<br />

z<br />

3<br />

2<br />

2i<br />

<br />

1 i 3<br />

<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

2 2i1i<br />

3<br />

1i<br />

3 1i<br />

3 <br />

<br />

2<br />

2 2i 3 2i 2i<br />

3<br />

2<br />

2<br />

1 3<br />

2 2 3 2 2 3 i<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

2 1 3 2 1 3 i<br />

<br />

4 4<br />

ែូចហនោះ<br />

w<br />

z<br />

3<br />

1<br />

3 1<br />

3<br />

i<br />

2 2<br />

។<br />

ឃ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />

x,<br />

y<br />

1 1<br />

<br />

w<br />

U z<br />

U x i y i<br />

x xi y yi<br />

w<br />

z<br />

<br />

3<br />

ហោយ ហយើងបាន ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />

U<br />

<br />

3<br />

1 3 1 3<br />

x y x y i <br />

i<br />

2 2<br />

1<br />

3<br />

x<br />

y 2<br />

1<br />

3<br />

<br />

x y <br />

2<br />

1<br />

2<br />

ូក្អង្ និងអង្ម្ន 1<br />

និង 2<br />

ហយើងបាន<br />

1<br />

3 1<br />

3 2<br />

2x<br />

1<br />

2 2 2<br />

<br />

x <br />

1<br />

2<br />

យក្តម្មៃ x ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

1<br />

ហយើងបាន<br />

1 1<br />

3<br />

y <br />

2 2<br />

1<br />

3 1 3<br />

y <br />

2 2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

1 3<br />

x<br />

, y <br />

2 2<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

80


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣០ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច u 1i<br />

3 និង ។<br />

u<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

u<br />

w v<br />

v<br />

ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos និង sin ។<br />

12 12<br />

v1i<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

និង<br />

u<br />

ខ. សរហសរ w ជាទរមង់រតីហោណមារតនិងជាទរមង់ពិជគណិ ត<br />

v<br />

<br />

<br />

u<br />

1 3 <br />

u 1 i 3 2 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

v<br />

u 1<br />

i 3<br />

w v 1<br />

i<br />

<br />

2cos i<br />

sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

u ru<br />

w cos u v isin<br />

u v <br />

v r <br />

v<br />

2 2 4 3<br />

4 3<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

2<br />

<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1i<br />

3 1i<br />

<br />

1i<br />

1i<br />

ហនាោះ<br />

<br />

2 cos i<br />

sin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

4 4<br />

<br />

<br />

v1i 2 cos sin<br />

2<br />

1i i 3 i<br />

3<br />

11<br />

2 <br />

w cos isin<br />

<br />

2 3 4<br />

<br />

3 4<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

3 1 3 1<br />

w<br />

i<br />

2 2<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន និង<br />

cos 12<br />

<br />

។<br />

sin 12<br />

<br />

w<br />

w<br />

<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

3 1 3 1<br />

2 cos isin<br />

i<br />

3 1 3 1<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

i<br />

2 2<br />

សមមូល<br />

31<br />

31<br />

2 cos <br />

cos <br />

3 1 3 1<br />

12 2 12 2 2<br />

2 cos i 2 sin i <br />

<br />

12 12 2 2 31<br />

31<br />

<br />

2 sin <br />

sin<br />

12 2<br />

<br />

<br />

12 2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

6 2 6 2<br />

cos<br />

<br />

, sin<br />

<br />

<br />

12 4 12 4<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

81


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣១<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

w1i<br />

3 1<br />

z i<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

z<br />

w<br />

u <br />

z<br />

ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត ។<br />

u<br />

1200<br />

w<br />

7 7<br />

cos 12<br />

ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន និង ។<br />

sin 12<br />

<br />

ក្. សរហសរ z និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

w<br />

<br />

w 1 i 3 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2 2 <br />

z 1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

w<br />

u <br />

z<br />

ខ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារតនិងជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

w<br />

u <br />

z<br />

<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos isin<br />

<br />

2 3 4<br />

<br />

3 4<br />

<br />

<br />

4 3<br />

4 3<br />

<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

1i<br />

31i<br />

w 1<br />

i 3<br />

u <br />

z 1 i 1 i 1<br />

i<br />

<br />

គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត<br />

u<br />

1200<br />

<br />

7<br />

7<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

1 i i 3 i 3<br />

11<br />

1<br />

3 1<br />

3<br />

i<br />

2 2<br />

ហយើងមាន<br />

u <br />

7<br />

7<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ហយើងបាន<br />

1200 7<br />

7<br />

u 2 cos isin<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

1200<br />

600<br />

2 cos700 isin 700<br />

<br />

<br />

600<br />

2 10i<br />

<br />

600<br />

2<br />

1200 12007<br />

12007<br />

<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ជាចំនួនពិតសុទធ<br />

cos700 1 ,sin 700 0<br />

ែូចហនោះ<br />

1200<br />

u<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

7 7<br />

ឃ. គណនាតម្មៃពិតរបាក្ែម្ន cos និង sin 12 12<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

82


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងមាន<br />

u <br />

7<br />

7<br />

2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

និង<br />

1<br />

3 1<br />

3<br />

u i<br />

2 2<br />

ហយើងបាន<br />

7 7 1 3 1<br />

3<br />

2 cos isin<br />

i<br />

12 12<br />

<br />

<br />

2 2<br />

7 7 1 3 1<br />

3<br />

2 cos i 2 sin i<br />

12 12 2 2<br />

<br />

cos <br />

12 2 2<br />

<br />

7<br />

1<br />

3<br />

<br />

sin <br />

12 2 2<br />

7 1<br />

3 7 1 3<br />

2 cos <br />

12 2<br />

<br />

7<br />

1<br />

3<br />

<br />

2 sin <br />

12 2<br />

ែូចហនោះ<br />

7 2 6 7 2 6<br />

cos<br />

<br />

, sin<br />

<br />

<br />

12 4 12 4<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣២<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

w<br />

z23i<br />

5<br />

i<br />

ក្. ង្វា ញថា និង ។<br />

ខ. ហគឱ្យ M 3x y 2x yi<br />

។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ ។<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចសរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

z<br />

z w z w<br />

M <br />

1<br />

3<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

xy ,<br />

M z w<br />

2014<br />

z 1<br />

<br />

<br />

ក្. ង្វា ញថា និង<br />

z w z w<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

ហយើងមាន<br />

z 2 3 i , w 5 i 2 3 , 5<br />

z i w i<br />

ហហើយ<br />

<br />

z w 2 3i 5 i 10 2i 15i 3 7 17i<br />

z w 7 17i<br />

1<br />

និង<br />

<br />

z w 2 3i 5 i 10 2i 15i<br />

3<br />

7 17i<br />

2<br />

<br />

តាម 1<br />

និង 2<br />

ហនាោះ z w z w ។<br />

និង<br />

ហហើយ<br />

2 3i5<br />

i<br />

<br />

z 2<br />

3i<br />

<br />

w 5 i 5 i 5 i<br />

2 3i5<br />

i<br />

<br />

z 2<br />

3i<br />

<br />

w 5 i 5 i 5 i<br />

10 2i15i<br />

3<br />

<br />

2 2<br />

5 1<br />

10 2i15i<br />

3<br />

<br />

2 2<br />

5 1<br />

13 13<br />

26 26 i<br />

13 13<br />

26 26 i<br />

1 1<br />

2 2 i<br />

z<br />

w<br />

<br />

1 1<br />

2 2<br />

z 1 1<br />

i<br />

w<br />

<br />

2 2<br />

i 2 <br />

1<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

z z<br />

<br />

w<br />

<br />

w<br />

តាម 1<br />

និង 2<br />

ហនាោះ ។ ែូចហនោះ z w z w និង ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

83


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />

ហយើងមាន និង M z w 2 3i 5 i 7 4i 7 4i<br />

ហយើងបាន<br />

យក្<br />

3<br />

x <br />

5<br />

<br />

xy ,<br />

M z w<br />

ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

3<br />

<br />

2<br />

y 4<br />

5<br />

<br />

<br />

<br />

3 2<br />

<br />

M x y x y i<br />

<br />

3x y 2x y i 7 4i<br />

y <br />

26<br />

5<br />

<br />

2<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហនាោះ<br />

ហយើងបាន<br />

3x<br />

y 7 (1)<br />

<br />

2x<br />

y 4 2<br />

<br />

3<br />

5x<br />

3 x<br />

5<br />

ែូចហនោះ<br />

3 26<br />

x<br />

, y <br />

5 5<br />

។<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z<br />

M <br />

1<br />

3<br />

ហយើងមាន<br />

z1 M 3 7 4i 3 4 4i<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

z1<br />

4 2<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

• សរហសរ<br />

2014<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហោយ<br />

z<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z1 4 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

i <br />

4 4<br />

2014<br />

1<br />

4 2 cos( ) sin( )<br />

<br />

<br />

<br />

2014<br />

2014 2014 2014<br />

ហនាោះ<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

2014<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

z<br />

<br />

2014<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2104<br />

1<br />

4 2 cos sin<br />

2014 2014 2014<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

។<br />

2014<br />

<br />

4 2 cos504 isin 504 <br />

2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2014<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

84


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣៣ ហគឱ្យ និង ។<br />

ក្. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

<br />

z 1i<br />

3 2 2<br />

ខ. ហគឱ្យ ។ ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />

2012<br />

គ. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

w<br />

M x 3y x 2y i<br />

,<br />

<br />

i<br />

x y<br />

w<br />

M <br />

1 i<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z<br />

w<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

1 3 <br />

z 1 i 3 2 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

w 2 2i 2 2 i 2 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ ហែើមបីឱ្យ<br />

ហយើងមាន<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហយើងបាន<br />

យក្<br />

ែូចហនោះ<br />

ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

។<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ហោយ<br />

ែូចហនោះ<br />

x,<br />

y<br />

w<br />

M <br />

1 i<br />

3 2 <br />

M x y x y i<br />

w 2<br />

2i<br />

21<br />

i<br />

M 2<br />

1 i 1 i 1<br />

i<br />

x 3y x 2y i 2 0i<br />

<br />

y 2<br />

x 4 , y 2<br />

z<br />

2012<br />

<br />

z 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

។<br />

និង<br />

ហនាោះ<br />

<br />

<br />

<br />

x3y2 1<br />

<br />

x 2y<br />

0 2<br />

y<br />

2<br />

1<br />

<br />

z<br />

2012<br />

2012<br />

2 2<br />

2 cos 670 isin 670 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

z <br />

2011 2011<br />

2 2 i 3<br />

x 3 2 2<br />

4<br />

x <br />

<br />

2cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2012<br />

2012 2<br />

2<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2012 2012<br />

2012<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2012 1 3<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

85


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣៤ ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

<br />

, w i cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

z<br />

2012<br />

ខ. សរហសរ និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

z<br />

2011<br />

w<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់<br />

P z w<br />

2011 2012<br />

ូដលរ ។<br />

ក្. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z<br />

w<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

z cos<br />

isin<br />

cos sin<br />

3 3<br />

<br />

i <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

cos i<br />

sin<br />

3 3<br />

និង<br />

<br />

w i cos<br />

i<br />

sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

cos i sin<br />

6 6<br />

<br />

i<br />

2 3<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

<br />

sin<br />

i cos cos sin<br />

3 3<br />

3 2<br />

3 2<br />

cos<br />

isin<br />

6 6<br />

អនក្អាចហោោះរាយតាមវ ិធីខាងហរោម៖<br />

<br />

w i cos i sin <br />

1 0i cos i sin<br />

<br />

<br />

3 3<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

<br />

isin<br />

<br />

<br />

2 3<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហោយ<br />

ហហើយ<br />

2011<br />

2012<br />

z<br />

<br />

w<br />

2<br />

2<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

2011 2<br />

2<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

2011<br />

5<br />

5<br />

cos isin<br />

6 6<br />

4022<br />

4022<br />

cos<br />

isin<br />

3 3<br />

ហនាោះ<br />

<br />

cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

cos1340 isin 1340 <br />

3<br />

<br />

3<br />

cos isin<br />

3 3<br />

5<br />

5<br />

wcos<br />

isin<br />

6 6<br />

2012 5<br />

5<br />

w cos<br />

isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

cos isin<br />

3 3<br />

2012<br />

10060<br />

10060<br />

cos<br />

isin<br />

6 6<br />

4 4<br />

cos1676 isin 1676 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

86


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ. សរហសរ ជាទរមង់<br />

P z w<br />

2011 2012<br />

ូដលរ ដែល<br />

2011 2<br />

2<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

និង<br />

2012 2<br />

2<br />

w cos<br />

isin<br />

3 3<br />

ហយើងបាន<br />

2011 2012 2 2 2 2<br />

P z w cos i sin <br />

cos i sin<br />

<br />

<br />

3 3<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

2<br />

P 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣៥<br />

w z 2 2 3<br />

និង<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃ ិច ក្ំណត់ហោយ<br />

w z U w z<br />

និង<br />

ក្. សរហសរ , និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

w<br />

2014<br />

z<br />

2014<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

<br />

w i<br />

4 cos sin<br />

<br />

<br />

z i i<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ក្. សរហសរ និង z ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

w<br />

w2 2i<br />

3<br />

1 3 <br />

4 i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

z 4i cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4 1 0i<br />

cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

<br />

4 cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

2 2<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

4 cos isin<br />

<br />

2 3<br />

<br />

2 3<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

4cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

សរហសរ ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហោយ<br />

ហយើងបាន<br />

U wz<br />

5 5<br />

U w z 4 cos i sin <br />

4 cos isin<br />

<br />

5 5<br />

<br />

3 3<br />

<br />

6 6<br />

4 cos isin cos isin<br />

<br />

<br />

3 3 6 6<br />

<br />

<br />

<br />

5 5<br />

<br />

4 cos cos i sin sin<br />

3 6<br />

<br />

3 6<br />

<br />

<br />

5 2 5<br />

<br />

3 6 6 7<br />

<br />

2 2 12<br />

និង<br />

5 2 5<br />

<br />

3 6 6 3<br />

<br />

<br />

2 2 12 4<br />

7 7 <br />

U 4 2cos cos 2sin cos<br />

12<br />

<br />

4<br />

<br />

12<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

7 7<br />

<br />

4 2cos cos i sin<br />

4<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

7 7<br />

<br />

8cos cos isin<br />

4<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

7<br />

7<br />

U 4 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

cos 4 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

87


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

w<br />

2014<br />

z<br />

2014<br />

ហោយ<br />

<br />

w<br />

4cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

w<br />

ែូចហនោះ<br />

2014<br />

<br />

4cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2014<br />

2014 2014<br />

2014<br />

4 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2014<br />

4 4<br />

4 cos 670 isin 670 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2014 2014 4<br />

4<br />

w 4 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

2014 4<br />

4<br />

4 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

និង<br />

5<br />

5<br />

z 4cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

2014 5<br />

5<br />

z 4cos isin<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2014<br />

2014<br />

4 cos 1678 isin 1678 <br />

2014 20145<br />

20145<br />

<br />

4 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2014<br />

4 cos isin<br />

2014 10070<br />

10070<br />

4 cos i<br />

sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

<br />

4 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2014 2014<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣៦ ហគមាន និង ។<br />

z 2 3 2i<br />

<br />

w 1 3 1<br />

3 i<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

u <br />

w<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

u , z w<br />

គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន និង ។<br />

cos 12<br />

<br />

sin 12<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

88


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

u <br />

w<br />

<br />

z<br />

u <br />

w<br />

2 3 2i<br />

1 3 1<br />

3<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

i<br />

<br />

<br />

2 3 2i<br />

1 3 1<br />

3 i<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 1 3 i 1 3 1<br />

3 i <br />

<br />

<br />

<br />

2 3 2i 1 3 2 3 2i 1<br />

3 i<br />

2 2<br />

1 3 1<br />

3<br />

2 3 6 2i 2i 3 2i 3 6i<br />

2 2 3<br />

<br />

8<br />

u , z w<br />

2 3 6 2i 2i 3 2 3 6 2i 2i 3 i<br />

<br />

1 2 3 3 1 2 3 3<br />

88i<br />

1<br />

i<br />

8<br />

<br />

<br />

u1i<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

3 1 <br />

z 2 3 2i 4 i 4 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4 cos i sin<br />

z z<br />

<br />

6 6<br />

<br />

u w <br />

<br />

<br />

w u <br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

4 <br />

cos i sin <br />

2 6 4<br />

<br />

6 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

គ. រក្តម្មៃពិតរបាក្ែ ម្ន និង<br />

cos 12<br />

<br />

។<br />

sin 12<br />

<br />

ហនាោះ<br />

1 3 1 3 <br />

និង<br />

<br />

w i <br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

w i 2 2 cos sin<br />

<br />

<br />

1 3 1 3 i 2 2 cos 2 2 isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 1 3 i 2 2 cos 2 2 isin<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 cos 1<br />

3<br />

12<br />

<br />

2 2 sin 1 3<br />

12<br />

1<br />

3<br />

cos <br />

12 2 2<br />

<br />

1<br />

3<br />

<br />

sin <br />

12 2 2<br />

2 6<br />

cos <br />

12 4<br />

<br />

2 6<br />

<br />

sin <br />

12 4<br />

ែូចហនោះ<br />

2 6 2 6<br />

cos<br />

<br />

, sin<br />

<br />

<br />

12 4 12 4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

89


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣៧<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z 1i<br />

3<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

2 3 20<br />

ខ. គណនា w 1 z z z . . . z ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

ហយើងមាន<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

z 1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. គណនា<br />

តាម<br />

w 1 z z z . . . z<br />

2 3 20<br />

<br />

21 20 19 2<br />

z z z z z z<br />

1 1 . . . 1<br />

ហោយ<br />

ដត<br />

z 1<br />

ហនាោះ<br />

z 1 1<br />

i 3 1 i 3<br />

z <br />

z z . . . z z 1<br />

<br />

z 1<br />

21<br />

20 19 2 1<br />

1<br />

z<br />

តាម<br />

21<br />

<br />

1 2cos isin 1<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

ហគបាន<br />

21<br />

21<br />

21<br />

2 cos7 isin 7<br />

1<br />

i<br />

2 1 0 1<br />

<br />

21<br />

2 1 2097153<br />

20 19 2 2097153<br />

z z . . . z z 1<br />

699051 3 i<br />

i 3<br />

ែូចហនោះ<br />

w<br />

699051 3 i<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣៨<br />

ហោោះរាយសមីោរខាងហរោម ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

1. 2. 3.<br />

2<br />

x 2x 2 0<br />

2<br />

x x 3<br />

0<br />

4. 2<br />

2<br />

2 x 2 32 0 5. z 3iz<br />

10<br />

6.<br />

2<br />

2<br />

7. z 3z 3 i 0 8. z 5 3i z 7i<br />

4 0<br />

t 1 2<br />

8 0<br />

2<br />

3iz z 2i<br />

0<br />

៖<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

90


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1. មាន<br />

2<br />

x 2x 2 0<br />

1, 2, 2<br />

a b c <br />

ហយើងបាន<br />

x<br />

1, 2<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

2 2<br />

b ac <br />

4 2 4 1 2 4 8 4 0<br />

b i 2<br />

i 4 2<br />

2i<br />

1<br />

i<br />

2a<br />

21 2<br />

x 1 i , x 1<br />

i<br />

1 2<br />

<br />

<br />

។<br />

ហនាោះ<br />

2. មាន<br />

2<br />

x x 3 0<br />

1 , 1, 3<br />

a b c <br />

ហយើងបាន<br />

x<br />

1, 2<br />

<br />

2 2<br />

b ac <br />

4 1 4 1 3 1 12 11 0<br />

b i 1<br />

11 1<br />

11<br />

<br />

2a<br />

21 2<br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

3.<br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

t 2<br />

1 8 0<br />

1<br />

i 11 1<br />

i 11<br />

x1 , x2<br />

<br />

2 2<br />

។<br />

t <br />

t 1 8<br />

1 8<br />

t 1<br />

2i<br />

2<br />

ែូចហនោះ t 1 2 2 i ; t 1 2 2i<br />

។<br />

4.<br />

2x 2 2<br />

32 0 x<br />

2<br />

x 2 16<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

x 2<br />

4i<br />

2 16<br />

x 2 4 i , x 2 4i<br />

1 2<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

91


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

5. សមមូលនឹង<br />

z<br />

2<br />

3iz<br />

10<br />

z<br />

2<br />

3iz<br />

10 0<br />

ហយើងបាន<br />

ហនាោះ<br />

z<br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

b ac i i <br />

4 3 4 1 10 9 40 9 40 49<br />

i i <br />

b 3 49 3i 7i<br />

z1<br />

5i<br />

2a<br />

21 2<br />

i i <br />

b 3 49 3i 7i<br />

2i<br />

2a<br />

21 2<br />

z 5 i , z 2i<br />

1 2<br />

។<br />

6. មាន<br />

7.<br />

2<br />

3iz z 2i<br />

0<br />

<br />

ហយើងបាន<br />

z<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2<br />

2<br />

b 4ac 1 4 3i 2i 1 24i<br />

25<br />

<br />

<br />

b 1 25 1<br />

5 1 i i<br />

z1 i<br />

2<br />

2a 23i 6i i i 1<br />

1 25 2 i<br />

<br />

b 1<br />

5 2i<br />

2<br />

i<br />

2a 23i 6i 3i i 3i<br />

3<br />

2 2<br />

2<br />

z z i<br />

3 3 0<br />

2<br />

z1 i , z2<br />

i<br />

3<br />

។<br />

មាន<br />

យក្<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

b 4ac 3 4 3 i 9 12 4i 3 4i<br />

3 4 i a ib , a,<br />

b <br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />

2<br />

3 4i a ib<br />

3 4i a 2abi i b<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

3 4i a b 2abi<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

3 a b 1<br />

<br />

4 2ab<br />

2<br />

តាមសមីោរ 2<br />

ហគបាន យក្ជំនួសចូលក្ន ុង<br />

ហគបាន<br />

2 4<br />

a <br />

2<br />

a<br />

3<br />

4 2<br />

a 3a<br />

4 0<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

a 3<br />

a<br />

<br />

<br />

តាង<br />

2<br />

2ab<br />

4 b <br />

a<br />

<br />

2<br />

y a y<br />

0<br />

<br />

ហគបាន<br />

1<br />

2<br />

2<br />

y 3y 4 0 មាន 3 44<br />

9 16 25<br />

3 25 3 5<br />

ហនាោះ y1<br />

4<br />

( មិនយក្ )<br />

21<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

92


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

8.<br />

y<br />

2<br />

ហោយ<br />

ហ ើ<br />

ហ ើ<br />

ហយើងបាន<br />

ហនាោះ<br />

z<br />

2<br />

3 25 3 5<br />

1<br />

21 2<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

a 1<br />

y 1<br />

<br />

y a<br />

a 1<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

( យក្ )<br />

2<br />

a a <br />

2<br />

1 1<br />

2 2<br />

b 2<br />

a 1<br />

2<br />

b 2<br />

1<br />

1<br />

2i<br />

3<br />

4i<br />

<br />

1 2i<br />

3 3 4i<br />

3 1<br />

2i<br />

4 2i<br />

z1<br />

2<br />

i<br />

21 2 2<br />

<br />

<br />

3 1 2i<br />

22i<br />

1<br />

i<br />

21 2<br />

2<br />

z i z i<br />

<br />

z 2 i , z 1<br />

i<br />

1 2<br />

5 3 7 4 0<br />

<br />

។<br />

<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

2<br />

<br />

5 3i<br />

<br />

4 7i<br />

4 25 30 9 28 16 2<br />

i i i<br />

តាង<br />

2i a ib<br />

2<br />

<br />

2 2<br />

a b 2abi 0 2i<br />

2<br />

2i a ib<br />

ហនាោះ<br />

2 2<br />

a b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2<br />

a 2abi b 2i<br />

<br />

<br />

0 1<br />

2ab<br />

2 2<br />

1<br />

2ab<br />

2 b <br />

a<br />

តាម ហគបាន យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

1<br />

ហគបាន<br />

a<br />

2 1<br />

2<br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

0<br />

<br />

4<br />

a 1<br />

0<br />

a 4<br />

1 1<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

ហគបាន<br />

z<br />

2<br />

a 1<br />

a 1<br />

2i<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

1<br />

i<br />

<br />

1 i<br />

1<br />

b 1<br />

1<br />

1<br />

b 1<br />

1<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />

<br />

ហហតុហនោះ<br />

5 3i 2i 5 3i 1<br />

i 6 4i<br />

3<br />

2i<br />

2 2 2<br />

<br />

5 3i 2i 5 3i 1<br />

i 4 2i<br />

z1<br />

2 i<br />

2 2 2<br />

z 2 i , z 3<br />

2i<br />

1 2<br />

។<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

93


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣៩<br />

ហោោះរាយសមីោរក្ន ុងសំណុំ ក្ុំផៃ ិច<br />

1. 2. 3.<br />

2<br />

2<br />

4. z 4 i<br />

z 5 5i<br />

0 5. z 7 3i z 22 7i<br />

0 6.<br />

7. 8.<br />

9.<br />

4<br />

x 5x 6 0<br />

<br />

3 2<br />

z i z i z i<br />

3 2<br />

x x x<br />

2 3 6 0 <br />

1 3 6 5 0<br />

<br />

z 3z 2 5<br />

4i<br />

2<br />

z i z i<br />

5 2 9 7 0<br />

3 2<br />

z z z<br />

3 2<br />

z i z i z i<br />

4 6 3 0<br />

8 19 11 14 18 0<br />

1.<br />

4<br />

x 5x 6 0 <br />

*<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

សមីោរមាន<br />

x1 1<br />

ជាឫសង្វយម្នសមីោរ<br />

យក្អង្ខាងហឆាងដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />

សមីោរខាងហលើហ<br />

ជា<br />

ផលគុណម្នពីរក្តាត ហសម ើនឹងសូនយ ោលណា ក្តាត នីមួយៗហសម ើនឹងសូនយ<br />

ហយើងបាន<br />

ឬ<br />

3 2<br />

សមីោរ x x x 6 0 មាន x2 2 ជាឫសង្វយ<br />

យក្អង្ខាងឆាងដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />

សមីោរ<br />

ោៃ យជា<br />

x 1<br />

1 0 0 5<br />

1 1<br />

1<br />

1 1<br />

6<br />

1<br />

1 6<br />

0<br />

x 10<br />

3 2<br />

x x x<br />

6<br />

Synthetic<br />

x x 3 x 2 x <br />

1 6 0<br />

**<br />

6 0 <br />

x 2<br />

1 1<br />

1 6<br />

2<br />

2 2 6<br />

1 1 3 0<br />

** <br />

<br />

x x x <br />

2<br />

2 3 0<br />

Synthetic<br />

ហនាោះ<br />

x 20<br />

ឬ<br />

2<br />

x x 3<br />

0<br />

ចំហរោះសមីោរ<br />

ហគបាន<br />

តាម<br />

<br />

2<br />

1 4 3 11 0<br />

2<br />

x x 3 0<br />

<br />

1<br />

i 11 1<br />

i 11<br />

x3 , x4<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

i 11 1<br />

i 11<br />

ែូចហនោះ សមីោរ * មានចហមៃើយ x1 1 , x2 2 , x3 , x4<br />

<br />

។<br />

2 2<br />

2.<br />

2 3 6 0 *<br />

<br />

3 2<br />

x x x<br />

សមីោរមាន<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

x1 1<br />

ជាឫសង្វយម្នសមីោរ<br />

94


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន ៖<br />

សមីោរ<br />

ោៃ យជា<br />

<br />

1 2 3 6<br />

1 3 6<br />

1 3 6 0<br />

<br />

* 1<br />

1<br />

* <br />

x x x <br />

ផលគុណម្នពីរក្តាត ហសម ើនឹងសូនយ ោលណា ក្តាត នីមួយៗហសម ើនឹងសូនយ<br />

x <br />

2<br />

1 3 6 0<br />

Synthetic<br />

ហគបាន<br />

x 10<br />

ឬ<br />

2<br />

x 3x 6 0<br />

ចំហរោះសមីោរ<br />

2<br />

2<br />

x 3x 6 0 តាម 3 46<br />

15 0<br />

ហនាោះ<br />

3.<br />

ហគមាន<br />

3 i 15 3 i 15<br />

x2 , x3<br />

<br />

2 2<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

<br />

5 2 9 7 0<br />

<br />

2<br />

។<br />

3 i<br />

15 3 i 15<br />

x1 1 , x2 , x3<br />

<br />

2 2<br />

<br />

5 2i <br />

4 9 7i 25 20i 4 36 28i 15 8i<br />

។<br />

តាង<br />

2<br />

15 8i a ib<br />

15 8i a ib<br />

<br />

2 2<br />

a b 2abi 15 8i<br />

ហគបាន<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />

<br />

<br />

15 1<br />

2ab<br />

8 2<br />

តាមសមីោរ<br />

4<br />

2 : 2ab<br />

8<br />

b <br />

a<br />

<br />

យក្ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

1<br />

ហគបាន<br />

a<br />

2 4<br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

2<br />

15<br />

តាង<br />

a 16 15a<br />

4 2<br />

4 2<br />

a 15a<br />

16 0<br />

<br />

2<br />

t a t<br />

0<br />

ហគបានសមីោរោៃ យជា<br />

t<br />

2<br />

មានរាង<br />

15t16 0<br />

0<br />

a b c <br />

c 16<br />

t1 1 , t2<br />

16<br />

2<br />

0<br />

a 1<br />

ហនាោះ ( មិនយក្ ហររោះ )<br />

t <br />

t 0<br />

ចំហរោះ<br />

t 1<br />

ហគបាន<br />

a<br />

2<br />

1 a 1<br />

• ហ ើ ហនាោះ<br />

a 1<br />

4<br />

b 4<br />

1<br />

4<br />

• ហ ើ a 1 ហនាោះ b 4<br />

1<br />

1<br />

4i<br />

ហហតុហនោះ 15 8i<br />

<br />

1 4i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

95


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />

4.<br />

តាង<br />

ហយើងមាន<br />

។<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន<br />

ហគបាន តាមសមីោរ យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

ហគបាន<br />

តាង<br />

t<br />

2<br />

មាន<br />

ហគបាន សមីោរខាងហលើោៃ យជា<br />

ហគបាន ( មិនយក្ ហររោះ )<br />

ចំហរោះ<br />

<br />

z<br />

ហហតុែូចហនោះ<br />

5 2i 15 8i 5 2i 1<br />

4i<br />

4 6i<br />

z1<br />

2<br />

3i<br />

2 2 2<br />

2<br />

5 2i 15 8i 5 2i 1<br />

4i<br />

6 2i<br />

3<br />

i<br />

2 2 2<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

4 5 5 0<br />

t<br />

5 12i a ib<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

<br />

<br />

ហគបាន<br />

• ហ ើ ហនាោះ<br />

• ហ ើ ហនាោះ<br />

ហគបាន ,<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

<br />

<br />

z 2 3 i , z 3 i<br />

1 2<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4 i 4 1 5 5i 16 8i 1 20 20i 5 12i<br />

<br />

<br />

5 1<br />

2ab<br />

12 2<br />

a<br />

2 6<br />

2<br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

t 0<br />

2<br />

a <br />

5<br />

<br />

5 12i a ib 2<br />

a 36 5a<br />

5t 36 0<br />

<br />

<br />

2<br />

4 2<br />

<br />

2<br />

5 4 36 25 144 169<br />

2 2<br />

5 12i a b 2abi<br />

6<br />

: 2ab<br />

12<br />

a <br />

b<br />

4 2<br />

a a <br />

5 36 0<br />

5 169 5 13<br />

t1<br />

9<br />

0<br />

2 2<br />

5 169 5 13<br />

t2<br />

4<br />

2 2<br />

t 4<br />

a 2<br />

a 2<br />

a<br />

5 12i<br />

2<br />

4 a 2<br />

6 6<br />

b 3<br />

a 2<br />

2<br />

3i<br />

<br />

2 3i<br />

6 6<br />

b 3<br />

a 2<br />

4 i 5 12i 4 i 2 3i 6 2i<br />

z1<br />

3<br />

i<br />

2 2 2<br />

z 3 i , z 1<br />

2i<br />

1 2<br />

z<br />

2<br />

t <br />

4 i 5 12i 4 i<br />

2 3i<br />

2 4i<br />

1<br />

2i<br />

2 2 2<br />

។<br />

<br />

<br />

1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

96


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

5.<br />

<br />

យក្<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

7 3 22 7 0<br />

<br />

2<br />

<br />

7 3i <br />

4 1 22 7i 49 42i 9 88 28i 48 14i<br />

48 14i a ib<br />

2<br />

48 14i a ib<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

2 2<br />

48 14i a b 2abi<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

48 1<br />

2ab<br />

14 2<br />

តាម<br />

7<br />

2 : 2ab<br />

14<br />

a <br />

b<br />

<br />

យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

1<br />

ហគបាន<br />

តាង<br />

a<br />

2 7<br />

2<br />

<br />

<br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t a t<br />

0<br />

<br />

48<br />

a 49 48a<br />

4 2<br />

ហគបាន សមីោរោៃ យជា<br />

4 2<br />

a a <br />

48 49 0<br />

t<br />

2<br />

មានរាង<br />

48t 49 0<br />

0<br />

a b c <br />

c 49<br />

t1 1 , t2<br />

49<br />

a 1<br />

ហនាោះ ( មិនយក្ )<br />

ចំហរោះ<br />

t 1<br />

ហគបាន<br />

a<br />

2<br />

1 a 1<br />

6.<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

ហហតុហនោះ<br />

ហគបាន z<br />

z<br />

2<br />

1<br />

a 1<br />

a 1<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

1<br />

7i<br />

48 14i<br />

<br />

1 7i<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

3 2<br />

z z z<br />

7 7<br />

b 7<br />

a 1<br />

7 7<br />

b 7<br />

a 1<br />

7 3i 48 14i 7 3i 1<br />

7i<br />

4<br />

5i<br />

2 2<br />

7 3i 48 14i 7 3i 1<br />

7i<br />

6 4i<br />

3<br />

2i<br />

2 2 2<br />

*<br />

4 6 3 0 <br />

<br />

<br />

z 4 5 i , z 3<br />

2i<br />

1 2<br />

។<br />

សមីោរមានទរមង់ ហគបាន z ជាឫសម្នសមីោរ<br />

a c b d<br />

1<br />

1<br />

យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ *<br />

ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ Synthetic ហគបាន<br />

1 4 6 3 1<br />

1<br />

3<br />

3<br />

z 1<br />

1 3 3 0<br />

សមីោរ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

* ោៃ យជា z z 2 z <br />

1 3 3 0<br />

97


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហនាោះ<br />

z 10<br />

ឬ<br />

z<br />

2<br />

3z 3 0<br />

ចំហរោះសមីោរ<br />

z<br />

2<br />

មាន<br />

<br />

3z 3 0<br />

<br />

2<br />

3 4 1 3 9 12 3<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

7.<br />

z<br />

3 i 3 3 i 3<br />

, z <br />

2 2<br />

2 3<br />

<br />

3 2<br />

z i z i z i<br />

1 3 6 5 0<br />

3 i 3 3 i<br />

3<br />

z1 1 , z2 , z3<br />

<br />

2 2<br />

។<br />

ហគែឹងថា សមីោរមានឫសមួយ ជាចំនួននិមិតតសុទធ<br />

តាង<br />

z1<br />

ib<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

ជាឫសនិមិតតសុទធម្នសមីោរខាងហលើ ហគបាន<br />

3 2<br />

<br />

ib 1i ib 3 6i ib 5i<br />

0<br />

<br />

<br />

3 3 2 2 2<br />

i b i i b ib i b i<br />

1 3 6 5 0<br />

3 2 2<br />

ib b ib ib b i <br />

2 3 2<br />

b b ib ib ib i<br />

<br />

3 6 5 0<br />

6 5 3 0<br />

2 3 2<br />

b b b b b i<br />

1<br />

6 5 3 1 0<br />

2<br />

b b <br />

<br />

3 2<br />

b b b <br />

<br />

តាមសមីោរ ហគបាន មានទរមង់<br />

<br />

<br />

<br />

6 5 0 1<br />

3 1 0 2<br />

2<br />

b 6b 5 0<br />

0<br />

a b c <br />

ហនាោះ ។ យក្តម្មៃ ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

b 1 , b 5<br />

b <br />

1 2<br />

• ហ ើ<br />

b 1<br />

3 3 0<br />

ហគបាន<br />

Bti<br />

0<br />

0 ( )<br />

<br />

3 2<br />

1 1 3 1 1 0<br />

• ហ ើ ហគបាន ហនាោះ<br />

b 5<br />

<br />

3 2<br />

5 5 3 5 1 0<br />

2<br />

ហគបាន ៖<br />

ហនាោះ ( មិនពិត )<br />

125 25 15 1 0 136 0<br />

នាំឱ្យ ។ ែូចហនោះ z i ជាឫសនិមិតតសុទធម្នសមីោរ ។<br />

យក្សមីោរខាងហលើ ដចក្នឹង zi<br />

តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន<br />

សមីោរខាងហលើ ោៃ យជា<br />

ហគបាន<br />

b 1<br />

1 1 i<br />

1 1 2i<br />

3 6i 5 i<br />

i 2 i<br />

1<br />

zi0<br />

ឬ z 2 1 2i z 1 5i<br />

0<br />

<br />

<br />

5 i<br />

<br />

15i<br />

0<br />

i<br />

Synthetic<br />

z iz 2<br />

i z i<br />

<br />

<br />

1 2 1 5 <br />

<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

98


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ចំហរោះ<br />

1 2 1 5 0<br />

<br />

2<br />

z i z i<br />

មាន<br />

2<br />

1 2i<br />

4 1 5i<br />

7 24i<br />

<br />

យក្<br />

2<br />

7 24i a bi<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

7 24i a bi<br />

2 2<br />

a b <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7 1<br />

2ab<br />

24 2<br />

2 2<br />

7 24i a b 2abi<br />

<br />

តាមសមីោរ ហគបាន b យក្ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

2<br />

12<br />

a<br />

1<br />

ហគបាន<br />

តាង ហគបានសមីោរោៃ យជា មាន<br />

ហគបាន<br />

ចំហរោះ<br />

ហហតុហនោះ<br />

ហគបាន<br />

2 12<br />

<br />

a <br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t a t<br />

<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

0<br />

ហគបាន<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />

<br />

<br />

2<br />

7<br />

7 4 144 49 576 625 25<br />

a 144 7a<br />

2 2<br />

t<br />

2<br />

7 625 7 25<br />

t1<br />

9<br />

2 2<br />

4 2<br />

4 2<br />

a a <br />

t<br />

2<br />

7 144 0<br />

7t144 0<br />

7 625 7 25<br />

16<br />

0<br />

2 2<br />

t 9<br />

a 3<br />

a 3<br />

a<br />

3<br />

4i<br />

7 24i<br />

<br />

3 4i<br />

2<br />

9 a 9 3<br />

12<br />

b 4<br />

3<br />

12<br />

b 4<br />

3<br />

<br />

( មិនយក្ ហររោះ )<br />

1 2i 7 24i 1 2i 3<br />

4i<br />

2 2i<br />

z2<br />

1<br />

i<br />

2 2 2<br />

1 2i 7 24i 1 2i 3 4i 4 6i<br />

z3<br />

2<br />

3i<br />

2 2 2<br />

1 2 3<br />

<br />

z i , z 1 i , z 2 3i<br />

t <br />

។<br />

8.<br />

8 19 11 14 18 0 <br />

3 2<br />

z i z i z i<br />

*<br />

ហគែឹងថា សមីោរមានឫសមួយជាចំនួនពិតសុទធ<br />

តាង<br />

z1<br />

a<br />

<br />

ជាឫសពិតខាងហលើ ហគបាន<br />

3 2<br />

a i a i a i<br />

8 19 11 14 18 0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

99


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

3 2 2<br />

<br />

a 8a 19a 14 a 11a 18 i 0<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

3 2<br />

a a a <br />

<br />

2<br />

a a <br />

<br />

<br />

<br />

8 19 14 0 1<br />

11 18 0 2<br />

តាម<br />

2<br />

2 : a 11a 18 0<br />

<br />

មាន<br />

2<br />

11 4 18 121 72 49<br />

ហគបាន<br />

117 117<br />

a1 2 , a2<br />

9<br />

2 2<br />

ចំហរោះ ជំនួសចូលសមីោរ ហគបាន<br />

<br />

a 2<br />

<br />

3 2<br />

2 8 2 19 2 14 0<br />

8 32 38 14 0<br />

1<br />

0<br />

0<br />

( ពិត )<br />

ចំហរោះ<br />

a 9<br />

ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

1<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

9 19 9 19 9 14 0<br />

729 648 17114 0<br />

238 0<br />

(មិនពិត)<br />

ែូចហនោះ យក្ ។ ហគបាន ។<br />

a 2<br />

1<br />

2<br />

<br />

z <br />

យក្អង្ខាងហឆាងម្នសមីោរ ដចក្នឹង តាមវ ិធីដចក្ ហគបាន<br />

<br />

1 8 i<br />

19 11i<br />

2 12 2i<br />

* 2<br />

z <br />

14 18i<br />

1 6 i<br />

79i<br />

0<br />

14 18i<br />

2<br />

<br />

Synthetic<br />

ហគបាន សមីោរ<br />

ហនាោះ<br />

*<br />

<br />

ោៃ យជា<br />

<br />

z <br />

<br />

z i z i<br />

<br />

<br />

2<br />

2 1 6 7 9 0<br />

2<br />

2<br />

z 6 i<br />

z 7 9i<br />

0 មាន <br />

6 i 4 7 9i 36 12i 1 28 36i 7 24i<br />

យក្<br />

7 24i a ib<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

2 2<br />

7 24i a b 2abi<br />

2 2<br />

a b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

7 1<br />

2ab<br />

24 2<br />

2<br />

12<br />

a<br />

តាមសមីោរ ហគមាន b យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

<br />

1<br />

ហគបាន<br />

តាង<br />

2<br />

2 12<br />

<br />

4 2<br />

a 7 a 144 7a<br />

a<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

t a t<br />

0<br />

<br />

4 2<br />

a a <br />

7 144 0<br />

2<br />

ហគបានសមីោរោៃ យជា t 7t144 0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

100


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

មាន<br />

<br />

2 2<br />

7 4 144 49 576 625 25<br />

ហគបាន ( មិនយក្ )<br />

t<br />

2<br />

ចំហរោះ<br />

7 625 7 25<br />

t1<br />

9<br />

2 2<br />

7 625 7 25 16<br />

2 2<br />

t 16<br />

ហគបាន<br />

a<br />

2<br />

16 a 16 4<br />

ហហតុហនោះ<br />

ហគបាន<br />

9.<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

z<br />

2<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

តាង<br />

a 4<br />

a 4<br />

4<br />

3i<br />

7 24i<br />

<br />

4 3i<br />

ហនាោះ<br />

12<br />

b 3<br />

4<br />

12<br />

b 3<br />

4<br />

6 i 7 24i 6 i<br />

4 3i<br />

2 4i<br />

1<br />

2i<br />

2 2 2<br />

6 i 7 24i 6 i 4 3i 10 2i<br />

z3<br />

5<br />

i<br />

2 2 2<br />

z 3z 2 5<br />

4i<br />

z a ib<br />

z a ib<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 , z 1 2 i , z 5 i<br />

1 2 3<br />

<br />

។<br />

ហគបានសមីោរោៃ យជា<br />

a ib 3a 3ib 2 5 4i<br />

4a 2 2ib 5 4i<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

<br />

a ib 3 a ib 2 5<br />

4i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4a<br />

2 5 1<br />

<br />

2b<br />

4 2<br />

តាម<br />

តាម<br />

1<br />

2<br />

ហគបាន<br />

ហគបាន<br />

7<br />

4a 5 2 a<br />

4<br />

4<br />

b 2<br />

2<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

7<br />

z 2 i<br />

4<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

101


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ៣៦ ហោោះរាយសមីោរ៖<br />

1.<br />

2.<br />

2<br />

iz 3 iz 3<br />

3 4 0<br />

z 2i <br />

z 2i<br />

<br />

<br />

3 2<br />

3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />

1 0<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

1.<br />

តាង<br />

2<br />

iz 3 iz 3<br />

3 4 0<br />

z 2i <br />

z 2i<br />

<br />

<br />

w iz 3<br />

z 2 i<br />

សមីោរមានរាង<br />

ហគបានសមីោរហ<br />

a c b<br />

• ចំហរោះ w 1 ហគបាន<br />

• ចំហរោះ<br />

w 4 ហគបាន<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

ហនាោះ<br />

ជា<br />

iz 3 1<br />

z<br />

2i<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2<br />

w 3w 4 0<br />

c 4<br />

w1 1 , w2<br />

4<br />

a 1<br />

iz 3 z 2i<br />

z iz 3 2i 1 i z 3<br />

2i<br />

3 2i<br />

1 5<br />

z i<br />

1<br />

i 2 2<br />

iz 3 4<br />

z<br />

2i<br />

<br />

<br />

iz 3 4 z 2i<br />

iz 4z 3 8i i 4 z 3<br />

8i<br />

3 8i<br />

4 35<br />

z i<br />

i 4 17 17<br />

1 5 4 35<br />

z1 i , z2<br />

i<br />

2 2 17 17<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

102


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2.<br />

តាង<br />

3 2<br />

3z 2i 3z 2i 3z 2i<br />

1 0<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

<br />

z i<br />

3z<br />

2i<br />

w <br />

z i<br />

ហនាោះ<br />

w10<br />

ហគបានសមីោរហ<br />

ឬ<br />

2<br />

w <br />

ជា<br />

3 2<br />

w w w<br />

1<br />

0<br />

<br />

2<br />

w w w<br />

1 1 0<br />

2<br />

w<br />

w<br />

<br />

1 0<br />

1 1 0<br />

ហគបាន<br />

w 1 , w i , w i<br />

1 2 3<br />

• ចំហរោះ<br />

តាង<br />

<br />

z x iy<br />

<br />

w 1 ហគបាន<br />

3 x yi 2i<br />

1<br />

x yi i<br />

z x yi<br />

3x 3yi 2i x yi i 0<br />

4x<br />

0<br />

<br />

2y<br />

1 0<br />

• ចំហរោះ<br />

wi<br />

<br />

3z<br />

2i<br />

1<br />

z i<br />

ហគបាន<br />

*<br />

<br />

*<br />

<br />

ហ<br />

ជា<br />

3x 3yi 2i x yi i<br />

x 0 <br />

1<br />

y <br />

2<br />

ហគបាន<br />

<br />

4x 2y 1 i 0<br />

ហគបាន<br />

3z<br />

2i<br />

i<br />

z i<br />

<br />

1<br />

z1<br />

i<br />

2<br />

<br />

3 x yi 2i<br />

<br />

i<br />

x yi i<br />

<br />

3x 3yi 2i xi yi i<br />

2 2<br />

3x 3yi 2i xi y 1<br />

3x 3yi 2i xi y 1 0<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

<br />

3x y x 3y i 1<br />

2i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3x y 1 1 3<br />

<br />

x 3y<br />

2 2<br />

1<br />

8x<br />

1<br />

x <br />

8<br />

យក្តម្មៃ x ជំនួសក្ន ុងសមីោរ 2 ហគបាន<br />

ហហតុហនោះ<br />

• ចំហរោះ<br />

z<br />

2<br />

1 5<br />

i<br />

8 8<br />

3z<br />

2i<br />

3 x yi 2i<br />

w i i i<br />

z i x yi i<br />

<br />

<br />

1<br />

3 y 2<br />

8<br />

5<br />

y <br />

8<br />

3x 3yi 2i xi yi i<br />

<br />

2 2<br />

3x y x 3y i 1<br />

2i<br />

<br />

3x 3yi 2i xi y 1<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

103


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

យក្តម្មៃ<br />

ហហតុហនោះ<br />

x<br />

ជំនួសចូលសមីោរ<br />

1 5<br />

z3<br />

i<br />

8 8<br />

<br />

<br />

<br />

3x y 1 1 3<br />

<br />

x 3y<br />

2 2<br />

។<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានចហមៃើយ<br />

1<br />

8x<br />

1 x <br />

8<br />

2<br />

ហគបាន<br />

1<br />

3 y 2<br />

8<br />

5<br />

y <br />

8<br />

1 1 5 1 5<br />

z1 i , z2 i , z3<br />

i<br />

2 8 8 8 8<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣៧<br />

ហគមានសមីោរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

2<br />

z 3i 2z z 7 i<br />

។<br />

ក្. ចូរហោោះរាយសមីោរខាងហលើ ហោយយក្<br />

z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ជាឫសម្នសមីោរដែល<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 2<br />

។<br />

ខ. សរហសរ z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. គណនា<br />

w z z z z ... z<br />

2 3 4 2015<br />

2 1 1 1 1<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />

ហយើងមាន<br />

2<br />

z 3i 2z z 7 i<br />

យក្<br />

z x yi<br />

2<br />

ហគបាន <br />

x yi 3i 2 x yi x yi 7 i<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

<br />

<br />

<br />

យក្ y 1 ជំនួសក្ន ុង 1 ហគបាន<br />

x<br />

<br />

2 2<br />

3 11 3x<br />

7<br />

2<br />

x x x<br />

6 9 3 7<br />

2<br />

x 3 y 1 i 2x 2yi x yi 7 i<br />

2 2<br />

x 3 y 1 3x yi 7 i<br />

2 2<br />

x 3 y 1 3x<br />

7 1<br />

y 1 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

x 3x 2 0<br />

ហោយសមីោរមានរាង a b c 0 ហគបាន x 1<br />

x 2<br />

1 , 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

104


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ដត<br />

z<br />

<br />

z<br />

1 2<br />

ហយើងយក្<br />

1 2<br />

z 1 i , z 2 i ។<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

z 1 i , z 2 i<br />

1 2<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2 <br />

z1<br />

1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z1 2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

គ. គណនា<br />

w z z z z ... z<br />

2 3 4 2015<br />

2 1 1 1 1<br />

ហគមាន<br />

z 2 i 11 i 1<br />

z<br />

2 1<br />

ហនាោះហគបាន<br />

w 1 z z z z . . . z<br />

2 3 4 2015<br />

1 1 1 1 1<br />

ហសម ើនឹង 1 និង ផលហធៀ រួម<br />

q z 1<br />

ជាផល ូក្ 2016<br />

តួែំ ូងម្នសា ុីតធរណី មារតដែលមានតួទី១<br />

ហគបាន<br />

n<br />

2016<br />

q 1 z1<br />

1<br />

w u1<br />

1 <br />

q1 z 1<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1008<br />

2 cos504 isin 504 1<br />

1008<br />

ែូចហនោះ w 1 2 <br />

i ។<br />

i<br />

<br />

2016<br />

<br />

2 cos isin 1<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1i<br />

1<br />

<br />

<br />

<br />

1008<br />

2 10i<br />

1<br />

i<br />

<br />

1008<br />

2 1i<br />

2016 2016<br />

2016<br />

2 cos isin 1<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

i<br />

1<br />

2<br />

2<br />

i<br />

<br />

1008<br />

<br />

i<br />

លំហាត់ទី៤០៖ ចូរក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />

a0 0, a1<br />

1<br />

a1 0 ; a2<br />

2<br />

ក្. ត្េ ់ ខ. <br />

ត្េ ់<br />

an2 an1an<br />

an2 2an12an<br />

a0 0 ; a1<br />

1<br />

េ. ត្េ ់<br />

an2 an<br />

1<br />

an<br />

n <br />

n <br />

n <br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

105


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ចហមៃើយ<br />

ក្ំណត់តួទី n ម្នសា ីតចំនួនពិតខាងហរោម៖<br />

a<br />

0, a 1<br />

0 1<br />

<br />

an2 an1an<br />

ក. រគ ់ n ∈ N<br />

<br />

សមីោរសំគ្នល់<br />

r<br />

2<br />

r1<br />

ឬ<br />

r<br />

2<br />

r<br />

1<br />

0<br />

នាំឲ្យ<br />

តាងសា ុីតជំនួយ<br />

1 3 1 3 1 3 <br />

z a <br />

i a a a i a i a a<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

n1 n2 n1 n1 n n1 n1<br />

n<br />

1 3 1 3 <br />

zn<br />

1<br />

<br />

i an1 i an<br />

<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

<br />

ហនាោះ<br />

និងតួែំ ូង<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

2<br />

( 1) 4(1)(1) 3 0<br />

3i<br />

( 1) 3i<br />

1 3<br />

r1<br />

i<br />

2 2 2<br />

1 3<br />

r2<br />

i<br />

2 2<br />

z<br />

n1<br />

1 3<br />

z a ra a i a<br />

2 2 <br />

n n1 1 n n1<br />

n<br />

1 3 <br />

<br />

i z<br />

2 2 <br />

z n<br />

n<br />

ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />

1 3<br />

q i cos<br />

<br />

isin<br />

2 2 3 3<br />

z0 a1 ra<br />

1 0<br />

1 0 1<br />

n n n<br />

zn<br />

z0 q cos isin cos isin (1)<br />

3 3 3 3<br />

1 3 1 3<br />

មយ ងហទៀត zn an 1<br />

ra<br />

1 n<br />

an 1<br />

i an an<br />

1<br />

an ani<br />

2 2 2 2<br />

n<br />

(2)<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

106


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

តាម(1) និង (2)ទាញបាន<br />

ែូនហនោះ តួទីn ម្នសា ុីត ក្ំណត់ហោយ ∀n ∈ N ។<br />

a1 0 ; a2<br />

2<br />

ខ. <br />

ត្េ ់<br />

an2 2an12an<br />

សមីោរសំគ្នល់<br />

( )<br />

a n<br />

2<br />

r 2r r<br />

ឬ<br />

r<br />

3 n<br />

an<br />

sin<br />

2 3<br />

2 n<br />

an<br />

sin<br />

3 3<br />

n <br />

2<br />

a<br />

n<br />

<br />

2r 2 0<br />

2 n<br />

sin<br />

3 3<br />

នាំឲ្យ<br />

2<br />

2i<br />

r1<br />

<br />

2<br />

1<br />

i<br />

<br />

2<br />

( 2) 4(1)(2) 4 0<br />

2i<br />

r<br />

i<br />

2<br />

1<br />

តាងសា ុីតជំនួយ<br />

ហនាោះ<br />

<br />

និងតួែំ ូង<br />

z a ra a i a<br />

n<br />

<br />

n1 <br />

1 n<br />

<br />

n1 1<br />

n<br />

z a 1<br />

i a<br />

n1 n2 n1<br />

<br />

<br />

z 2a 2a 1<br />

i a<br />

n1 n1 n n1<br />

1 i a 2a<br />

<br />

<br />

n1<br />

2 <br />

z<br />

1<br />

1<br />

n <br />

i<br />

<br />

a n 1<br />

a<br />

1<br />

i<br />

n <br />

<br />

1 (1 ) <br />

z i a i a<br />

n1 n1<br />

n<br />

z n<br />

<br />

<br />

<br />

ជាសា ុីតធរណី មារតម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចដែលមានហរសុង<br />

z1 a2 ra<br />

1 1<br />

2<br />

n<br />

2 2 <br />

q 1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 4 4 <br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

107


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

មយ ងហទៀត<br />

ហគបាន<br />

តាម(1) និង (2)ទាញបាន<br />

ែូនហនោះ តួទីn ម្នសា ុីត ក្ំណត់ហោយ , ∀n ∈ N ។<br />

គ. លំនាំែូចខាងហលើ។<br />

n1<br />

zn<br />

z1<br />

q i<br />

n1<br />

2<br />

<br />

2<br />

2(cos sin ) <br />

4 4 <br />

n1 n1<br />

n<br />

<br />

2 2<br />

លំហាត់ទី៤១. គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិចខាងហរោម៖<br />

ក្. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

ខ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

គ. A និង B មានអាហាិចហរៀងគ្នន ។<br />

ចមមលើយ<br />

គណនាចមាា យរវាងពីរចំណុ ច A និង B ម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

n1<br />

( n1) ( n1)<br />

<br />

2 (2 ) cos isin<br />

<br />

4 4 <br />

( 1) ( n1)<br />

<br />

2 cos 2 sin i (1)<br />

4 4<br />

<br />

z a ra a 1 i a a a a i (2)<br />

n n1 1 n n1 n n1<br />

n n<br />

( )<br />

a n<br />

a<br />

n<br />

<br />

n1<br />

( n 1)<br />

<br />

2<br />

2 sin<br />

4<br />

a<br />

n<br />

n1<br />

( n 1)<br />

<br />

2<br />

2 sin<br />

4<br />

z 1 i , z 2 2i<br />

1 2<br />

z 2 2 i , z 2 3i<br />

1 2<br />

z 3 2 i , z 1<br />

i<br />

1 2<br />

ក.<br />

ខ.<br />

AB z z i i <br />

2 2<br />

1 2<br />

1 2 2 1 3 ( 1) 3 10<br />

ែូចហនោះ AB = √10 ឯក្តារ ដវង។<br />

<br />

2 2<br />

AB z1 z2 2 2i 2 3i<br />

2 2 2 3<br />

4 2 4 2 4 3 4 3 13 4 2 3<br />

<br />

<br />

ដូចមនុះ AB = 13 4( 2 3) ឯក្តារ ដវង។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

108


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ.<br />

AB z z i i i <br />

2 2<br />

1 2<br />

3 2 1 2 3 2 ( 3) 13<br />

ែូចហនោះ AB =<br />

13 ឯក្តារ ដវង។<br />

លំហាត់ទី៤២. 1.ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

z p<br />

P ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។<br />

z<br />

ចូររក្ និង ។<br />

p<br />

z Q<br />

z Q<br />

2 2<br />

z<br />

A<br />

z<br />

27i<br />

1<br />

p<br />

<br />

1<br />

4<br />

3<br />

4<br />

B<br />

i<br />

2.ហគមានពីរចំណុ ច A និង B ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច និង ។<br />

z p<br />

P ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

ហហើយ Q ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ ។<br />

z<br />

ចូររក្ និង ។<br />

p<br />

z<br />

Q<br />

z Q<br />

ចគ ើយ ល<br />

z<br />

A<br />

i 3 2<br />

z<br />

B<br />

<br />

p<br />

<br />

2<br />

3<br />

<br />

3<br />

Q<br />

<br />

4<br />

i<br />

z<br />

1. ចូររក និង<br />

p<br />

ហោយP ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

ហគបាន<br />

ែូនហនោះ<br />

ហោយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />

ហគបាន<br />

z Q<br />

z<br />

z<br />

p<br />

P<br />

zP<br />

z<br />

Q<br />

z p<br />

1<br />

2 7 i (1 i)<br />

zA PzB<br />

4 8 28i 1<br />

i<br />

<br />

1<br />

P<br />

1<br />

1<br />

5<br />

4<br />

9 29i<br />

9 29<br />

i<br />

5 5 5<br />

9 29<br />

i<br />

5 5<br />

z Q<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ<br />

3<br />

z 2 7 (1 )<br />

A<br />

Q z i i<br />

B 4 8 28i 3 3i<br />

<br />

1<br />

Q<br />

3<br />

1<br />

1<br />

4<br />

p<br />

<br />

Q<br />

<br />

1<br />

4<br />

3<br />

4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

109


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

zQ<br />

5 25i<br />

ែូនហនោះ<br />

zQ<br />

525i<br />

z<br />

2. ចូររក និង<br />

p<br />

ហោយP ជារូ ភាពម្ន ជាចំណុ ចដចក្ក្ន ុងម្នអងកត់ [AB] តាមផលហធៀ<br />

ហគបាន<br />

ែូនហនោះ<br />

ហោយ Q ជារូ ភាពម្ន<br />

ហគបាន<br />

ែូនហនោះ<br />

z Q<br />

z<br />

z<br />

p<br />

P<br />

zP<br />

z<br />

z<br />

Q<br />

Q<br />

zQ<br />

z p<br />

p<br />

<br />

2<br />

2 2 i ( 3 2 i)<br />

zA PzB<br />

3 6 3 2i 2 3 2 2i<br />

<br />

1<br />

P<br />

2<br />

1<br />

5<br />

3<br />

<br />

6 2 3 i 2 2 3 2 i 6 2 3 2 i<br />

<br />

<br />

5 5<br />

6 2 3 2<br />

i<br />

5 5<br />

z Q<br />

<br />

ជាចំណុ ចដចក្ហរៅម្នអងកត់[AB] តាមផលហធៀ<br />

1<br />

z<br />

2 2 ( 3 2 )<br />

A<br />

Q z<br />

i i<br />

B<br />

3 6 3 2i 3 2i<br />

<br />

1<br />

Q<br />

1<br />

1<br />

2<br />

3<br />

<br />

6 3 2 3 2 i<br />

<br />

2<br />

6<br />

3<br />

2<br />

2i<br />

2<br />

<br />

2<br />

3<br />

1<br />

Q<br />

<br />

3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

110


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

លំហាត់ទី៤៣៖<br />

1.ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />

z 3 8 i , z 3 7 i , z 4 9i<br />

A B C<br />

AC<br />

AB<br />

BAC<br />

។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />

2. ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />

z 3 12 i , z 6 11 3 i , z 4 3i<br />

A B C<br />

AC<br />

AB<br />

BAC<br />

។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />

3. ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />

z 2 2 i , z 3 i , z 1<br />

i<br />

A B C<br />

AC<br />

AB<br />

BAC<br />

។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />

៤.ហៅក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ហគឲ្យ ីចំណុ ច A , B , C មានអាហាិចហរៀងគ្នន<br />

z 2 2 3 i , z 4 8 3 i , z 1<br />

3i<br />

A B C<br />

ចមមលើយ<br />

1. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />

តាមរូ មនត ហហើយ<br />

ែូចហនោះ<br />

AC<br />

AB<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

AB z z<br />

AC<br />

2. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />

AB<br />

B<br />

A<br />

A<br />

BAC<br />

zc<br />

zA<br />

(4 9 i) (3 8 i) 1<br />

i<br />

1<br />

i<br />

z z (3 7 i) (3 8i) i<br />

B<br />

z<br />

z<br />

c<br />

B<br />

A<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

A<br />

zc z <br />

A<br />

តាមរូ មនត <br />

ហហើយ BAC<br />

arg <br />

AB zB<br />

zA<br />

zB<br />

zA<br />

<br />

AC<br />

AB<br />

BAC<br />

។ ចូរគណនាផលហធៀ រជុង និង ។<br />

zc z <br />

A<br />

BAC<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

<br />

z<br />

2 2 <br />

A<br />

3<br />

3<br />

<br />

i i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

zA<br />

2 2 4 4 <br />

AC<br />

3<br />

2 , BAC<br />

<br />

AB<br />

4<br />

BAC<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

111


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

<br />

z 4 3 3 12<br />

C<br />

z i i<br />

A<br />

4 3i 3 2 3i 1<br />

3i<br />

<br />

z z 6 11 3i<br />

3<br />

12i<br />

6 11 3i 3 12i 9 9 3i<br />

B<br />

z<br />

z<br />

C<br />

B<br />

A<br />

z<br />

z<br />

A<br />

A<br />

1<br />

3i<br />

1<br />

3i<br />

1<br />

<br />

9 9 3i<br />

9(1 3 i)<br />

9<br />

1 1<br />

1 0i<br />

cos<br />

isin<br />

9 9<br />

<br />

AC 1<br />

ែូចហនោះ , BAC<br />

<br />

AB 9<br />

3. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />

តាមរូ មនត ហហើយ<br />

ែូចហនោះ<br />

AC<br />

AB<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

AB z z<br />

4. គណនាផលហធៀ រជុង និង<br />

B<br />

A<br />

A<br />

BAC<br />

zc z <br />

A<br />

BAC<br />

arg <br />

zB<br />

zA<br />

<br />

zc<br />

zA<br />

(1 i) (2 2 i) 1 i (1 i)(1 i)<br />

<br />

z z (3 i) (2 2i) 1 i (1 i)(1 i)<br />

B<br />

z<br />

z<br />

c<br />

B<br />

z<br />

z<br />

A<br />

A<br />

A<br />

2<br />

(1 i 2 i)<br />

i<br />

0 i<br />

2<br />

3<br />

3<br />

1(cos isin )<br />

2 2<br />

AC<br />

3<br />

1 , BAC<br />

<br />

AB<br />

2<br />

AC<br />

AB<br />

AC zC<br />

z<br />

<br />

A<br />

zc z <br />

A<br />

តាមរូ មនត <br />

ហហើយ BAC<br />

arg <br />

AB zB<br />

zA<br />

zB<br />

zA<br />

<br />

។<br />

BAC<br />

zc<br />

zA<br />

(1 3 i) (2 2 3 i) 1 3i 1<br />

3i<br />

<br />

z z ( 4 8 4 i) (2 2 3i) 6 6 3i 6(1 3 i)<br />

B<br />

A<br />

( 1 3 i)(1 3 i) 1 3i 3i 3 2 2 3i<br />

<br />

6(1 3 i)(1 3 i)<br />

6(4) 24<br />

zc<br />

z 1 1 <br />

A<br />

1 3i<br />

1 4<br />

4<br />

( 1 3i) (cos isin )<br />

zB<br />

zA<br />

12 6 2 2 6 3 3<br />

AC 1 4<br />

ែូចហនោះ , BAC<br />

។<br />

AB 6 3<br />

លំហាត់ទី៤៤៖<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

112


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

1. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ z i z 2 i z 4 ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />

2. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច z ដែលហផទៀងផ្ទទ ត់ ។ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />

3. ហគឲ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ហហើយ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច z<br />

ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy) ។ ចូរក្ំណត់សំណុំ ម្នចំណុ ចP ហែើមបី Pជាចំនួននិមមិតសុទធ។<br />

4. ក្ន ុង ៃង់ក្ុំផៃ ិច (xOy)ហគឲ្យចំណុ ច P ជារូ ភាពម្ន z ដែល ំហពញលក្ខណឌ<br />

z1i<br />

1 <br />

z<br />

i 3<br />

1.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP<br />

ហយើងមាន<br />

z1i<br />

w z 1 i<br />

។ រក្សំណុំ ម្នចំណុ ចP ។<br />

<br />

z i z 2 i z 4<br />

ចមមលើយ<br />

2 i x iy 2 i x iy 4<br />

ហគបាន <br />

2x 2yi xi y 2x 2yi xi y 4<br />

4x 2y 4 , y 2x<br />

2<br />

<br />

z1 i 4<br />

ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជា នាទ ត់(d) មានសមីោរ<br />

y 2x2<br />

។<br />

z x iy x,y<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

113


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ច P<br />

ហយើងមាន<br />

z1 i 4<br />

ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z x iy x,y<br />

ហគបាន<br />

x iy 1 i 4<br />

x <br />

x <br />

នាំឲ្យ<br />

1 1 y i 4<br />

1 1 y i 4<br />

x<br />

y <br />

x y <br />

2 2<br />

1 1 4<br />

2 2 2<br />

1 1 4<br />

2 2 2<br />

x1 y1 4<br />

ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជារងាង់(S): <br />

3.រក្សំណុំ ម្នចំណុ ច P<br />

ហយើងមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ហ ើ P ជារូ ភាពម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

x iy 1<br />

i x 1 1<br />

y i<br />

w <br />

<br />

x yi 1 i x 1 y 1<br />

i<br />

ហែើមបីបាន w<br />

ហគទាញបាន w w<br />

ហគបាន<br />

<br />

z x iy , x, y 1, 1 x,<br />

y <br />

w<br />

w<br />

<br />

2<br />

ជាចំនួននិមមិតសុទធោលណា Re( ) 0<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

x 1 1 y i x 1 1<br />

y i<br />

<br />

x 1 y 1 i x 1 y 1<br />

i<br />

w<br />

មានផចិត I( 1 , −1) និងោំR = 4។<br />

1 1 1 1 1 1 1 1<br />

x y i x y i x y i x y i<br />

<br />

x 1 x 1 y 1 i x 1 y 1 i 1<br />

y i<br />

2 2<br />

x 11 y x 11<br />

y<br />

1 1 1 11 1<br />

<br />

x x y i x y i y i<br />

2 2 2 2<br />

2 2<br />

2x<br />

2y<br />

4<br />

x<br />

y<br />

2 2<br />

2<br />

z1i<br />

w z 1 i<br />

2 2 2<br />

ែូចហនោះ សំណុំ ចំណុ ចម្ន Pគឺជារងាង់(S):<br />

x<br />

y 2<br />

មានផចិត I( 0 , 0) និងោំ R = √2 ។<br />

2 2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

114


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ១ (ប្រឡងបាក់ឌ រឆ្លន ំ ២០០២)<br />

ក្. ហគឱ្យ<br />

z 1i<br />

3<br />

2002<br />

។ សរហសរ z និង z ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. ហគឱ្យ<br />

u x iy , z a ib<br />

1<br />

។ ចូរគណនា<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

និង b<br />

ហ ើហគែឹងថា<br />

u z iz <br />

2<br />

1 1<br />

1<br />

2<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

និង<br />

2002<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងមាន<br />

z 1i<br />

3<br />

1 3 <br />

2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហយើងបាន<br />

2002 2002<br />

2002 2002<br />

z 2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2002 2<br />

2<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z 2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

និង<br />

2002<br />

2 2<br />

2 cos 668 isin 668 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2002 2002 2<br />

2<br />

z 2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. គណនា<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

និង b<br />

ហោយ<br />

z a ib<br />

1<br />

<br />

1 2<br />

1<br />

<br />

2<br />

z1 iz1 a ib i a ib <br />

2 2<br />

2 2<br />

a 2abi b ai b <br />

1<br />

<br />

2<br />

1<br />

2<br />

2 2<br />

a b b 2ab a i<br />

ហយើងបាន<br />

2<br />

សមមូល<br />

នាំឱ្យ<br />

u z iz <br />

1<br />

<br />

1<br />

2<br />

x yi a b b 2ab a i<br />

2<br />

2 2 1<br />

<br />

x a b b <br />

2<br />

y 2ab a<br />

2 2 1<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2 1<br />

x a b b , y 2 ab a ។<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

115


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ២ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />

ក្. ង្វា ញថា <br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ<br />

<br />

2<br />

3 1 i<br />

4 2 3<br />

<br />

<br />

។<br />

E z z<br />

2<br />

: 1 3 2 3 0<br />

ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច។<br />

គ. សរហសរ<br />

z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ដែលជាឫសម្ន<br />

<br />

E<br />

<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ក្. ង្វា ញថា<br />

ហគមាន<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

3 1 i<br />

4 2 3<br />

<br />

3 1i<br />

3 1<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2 2<br />

<br />

2<br />

i<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ<br />

ហគមាន<br />

ហនាោះ<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

3 1 i<br />

4 2 3<br />

<br />

<br />

E z z<br />

4 2 3 4 2 3<br />

3 2 3 1 1<br />

<br />

។<br />

2<br />

: 1 3 2 3 0<br />

<br />

2<br />

1 3 4 1 2 3 1 2 3 3 8 4 3 4 2 3<br />

2<br />

i<br />

<br />

4 2 3 3 1 3 1<br />

i<br />

<br />

<br />

(ពិត)<br />

ហគបាន សមីោរ<br />

<br />

E<br />

<br />

មានឫស<br />

3 1 3 1<br />

b<br />

<br />

z1<br />

<br />

2a<br />

2<br />

z<br />

2<br />

គ. សរហសរ<br />

3 1 3 1<br />

b<br />

<br />

<br />

2a<br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

z 1<br />

និង<br />

i<br />

i<br />

<br />

3 1 3 1 i 3 1 3 1<br />

i<br />

z1 <br />

, z2<br />

<br />

2 2<br />

z 2<br />

ដែលជាឫសម្ន <br />

<br />

3 1 3 1 i 31<br />

z1<br />

1<br />

i<br />

2 2<br />

3 1 2 2 <br />

2<br />

i<br />

2 <br />

2 2 <br />

<br />

<br />

6 2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6 2 5 5<br />

<br />

<br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

E ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

116


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

3 1 3 1 i 31<br />

z2<br />

1<br />

i<br />

2 2<br />

3 1 2 2 <br />

2<br />

i<br />

2 <br />

2 2 <br />

<br />

<br />

6 2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

6 2 3 3<br />

<br />

<br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ៣ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />

ក្. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

a<br />

និង b<br />

ហែើមបីឱ្យ 2 i<br />

<br />

ជាឫសម្នសមីោរ<br />

2<br />

ax bx 20 0<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

3<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

a<br />

និង b<br />

ហ ើ<br />

2i<br />

ជាឫសម្នសមីោរ<br />

<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

ax bx 20 0<br />

a 2 i b 2 i 20 0<br />

a i i b bi<br />

2<br />

4 4 2 20 0<br />

a 4 4i 1 2b bi 20 0<br />

a 3 4i 2b bi 20 0<br />

3a 4ai 2b bi 20 0<br />

3a 2b 20 b 4a i 0<br />

ក្ុំផៃ ិចពីរហសម ើគ្នន ហគបាន<br />

<br />

<br />

<br />

3a 2b 20 0 1<br />

<br />

b 4a<br />

0 2<br />

ហនាោះ ហគបាន<br />

យក្សមីោរ <br />

2<br />

គុណនឹង 2<br />

រួច ូក្នឹងសមីោរ <br />

1<br />

ហគបាន<br />

យក្<br />

5a<br />

20 0<br />

a 4<br />

20<br />

a 4<br />

5<br />

ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ 2 ហគបាន<br />

<br />

<br />

b<br />

4 4 0<br />

b 16<br />

ែូចហនោះ a 4 , b 16<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

3<br />

1<br />

i <br />

<br />

1<br />

i<br />

<br />

<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

117


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

<br />

1 i 1i<br />

1i<br />

1 2i 1 2i<br />

i<br />

1 i 1 i 1 i 11 2<br />

ហគបាន<br />

1 i<br />

0 i cos isin<br />

<br />

1i<br />

2 2<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

3 3<br />

1 i 3 3<br />

cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

1 i<br />

<br />

2 2<br />

<br />

2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

3<br />

1 i 3 3<br />

cos<br />

isin<br />

<br />

1 i<br />

<br />

2 2<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៤ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៣)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

<br />

2 1i<br />

3<br />

z <br />

1<br />

i 3<br />

<br />

។<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

z 1i<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន ចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z<br />

z<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ែូចហនោះ<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និងទរមង់រតីហោណមារត<br />

<br />

2 1i<br />

3<br />

z <br />

1<br />

i 3<br />

<br />

<br />

<br />

2 1<br />

i 3 1<br />

i 3<br />

<br />

1i<br />

3 1i<br />

3<br />

2<br />

i i i i <br />

2 1 3 3 3 2 1 2 3 3<br />

<br />

<br />

1<br />

3 4<br />

<br />

2 2 2i<br />

3<br />

<br />

4<br />

z 1i<br />

3<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

។<br />

• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហគបាន<br />

1 3 <br />

z 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ z 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

118


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ z 1 i ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

2 2 <br />

z 1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z <br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

• ទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន ចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

2 cos i sin<br />

z <br />

4 4<br />

<br />

2 <br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

i sin<br />

z<br />

2<br />

<br />

4 3<br />

<br />

4 3<br />

<br />

2 cos i sin <br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

។<br />

z<br />

z<br />

z 2 z<br />

<br />

, arg 2 k k<br />

z 2<br />

<br />

z<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៥ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z x iy , a 3 i និង<br />

b2 2i<br />

3<br />

។<br />

ក្. រក្ចំនួនពិត<br />

ខ. សរហសរ<br />

z<br />

ក្. រក្ចំនួនពិត x និង y<br />

ហយើងមាន<br />

ហយើងបាន<br />

x និង<br />

z x iy , a 3i<br />

និង<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

b2 2i<br />

3<br />

3 i2 2i<br />

3<br />

<br />

i<br />

<br />

a 3 i<br />

<br />

b 2 2i 3 2 2i 3 2 2i<br />

3<br />

<br />

4 3 4i 4 3 3 i 3 i<br />

<br />

4 12 16 4 4 4<br />

ហោយ<br />

y<br />

ែូចហនោះ<br />

ហែើមបីឱ្យបាន<br />

a<br />

z <br />

b<br />

x<br />

a<br />

z <br />

b<br />

សមមូល<br />

3 1<br />

, y <br />

4 4<br />

។ ក្រណី ហនោះទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

3 i<br />

x yi <br />

4 4<br />

។<br />

2 3 6i2i2 3<br />

<br />

2<br />

2<br />

2 2 3<br />

នាំឱ្យ<br />

a<br />

4z<br />

3 i<br />

4<br />

x<br />

។<br />

។<br />

3 1<br />

, y <br />

4 4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

119


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

• ទាញ ញ្ជា ក្់ថា<br />

ហយើងបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

a<br />

4z<br />

3 i <br />

a 3 i 4 4z<br />

<br />

4 4<br />

<br />

a<br />

4z<br />

។<br />

ហររោះ<br />

z <br />

3 i<br />

<br />

4 4<br />

ខ. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

3 i 1 3 1 1 <br />

z i cos i sin<br />

4 4 2 <br />

2 2 2<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

• រក្ឫសោហរម្នចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

តាមសរមាយខាងហលើ<br />

ហយើងបាន ឫសោហរម្ន<br />

w<br />

k<br />

<br />

3 i<br />

4<br />

3 i 1<br />

z<br />

cos i<br />

<br />

sin<br />

4 2<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

3 i<br />

4<br />

ក្ំណត់ហោយ<br />

<br />

<br />

2 2<br />

1 k k<br />

cos<br />

6<br />

isin<br />

6 <br />

<br />

<br />

<br />

2 2 2 <br />

<br />

<br />

2 <br />

cos k i sin k<br />

2<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

k 0,1<br />

• ហ ើ<br />

k 0 ហនាោះ<br />

w<br />

0<br />

<br />

2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

• ហ ើ<br />

k 1 ហនាោះ<br />

2 <br />

w1<br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

<br />

2 13<br />

13<br />

cos isin<br />

2<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ៦ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

2<br />

z<br />

<br />

z 3 1 i 3 1<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

2<br />

z ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន z ។<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />

5<br />

cos 12<br />

ន ិង<br />

5<br />

sin 12<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

120


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

2<br />

2<br />

z<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ហោយ z 3 1 i 3 1<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហនាោះ ហគបាន<br />

3 1 3 1<br />

<br />

<br />

i<br />

<br />

2<br />

3 1 2 3 1 3 1i<br />

3 1<br />

2 2<br />

<br />

<br />

3 2 3 1 2i<br />

3 1 3 2 3 1<br />

4 2 3 4i<br />

4 2 3 4 3 4i<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

2<br />

4 3 4i<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

2<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z<br />

2<br />

4 3 4i<br />

ែូចហនោះ<br />

3 1<br />

8<br />

2 2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 5<br />

5<br />

z 8cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8cos i sin <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

។<br />

5<br />

5<br />

8cos i<br />

sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

• ទាញរក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />

2<br />

ហោយ z ជាឫសោហរម្ន z ហនាោះ ហគបាន<br />

z<br />

z<br />

k<br />

<br />

- ហ ើ<br />

5<br />

5<br />

<br />

2k 2k<br />

8 cos<br />

6<br />

isin<br />

6 <br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

k 0 ហនាោះ<br />

z<br />

0<br />

5<br />

5<br />

2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

<br />

2 2 cos k i sin k<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

ដែល<br />

k 0,1<br />

ហោយ<br />

- ហ ើ<br />

z<br />

k 1 ហនាោះ<br />

1<br />

5<br />

5<br />

<br />

z 2 2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

សថ ិតហៅក្ន ុងោរែង់ទី ១ ហនាោះ ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃពិតរបាក្ែម្ន<br />

ហយើងមាន<br />

5<br />

z 2 2 , arg z 2k k <br />

12<br />

<br />

5<br />

cos 12<br />

<br />

និង<br />

3 1 3 1<br />

z<br />

i<br />

5 5<br />

z<br />

2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

sin 12<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2 2 cos isin 3 1 3 1<br />

i<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2 2 cos i2 2 sin 3 1 3 1 i<br />

12 12<br />

17<br />

17<br />

2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

z z0<br />

2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

121


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

5<br />

2 2 cos 3 1<br />

12<br />

<br />

5<br />

2 2 sin 3 1<br />

12<br />

5 3 1 6 2<br />

cos <br />

12 2 2 4<br />

<br />

5 3 1 6 2<br />

<br />

sin <br />

12 2 2 4<br />

ែូចហនោះ<br />

5 6 2 5 6 2<br />

cos<br />

, sin<br />

។<br />

12 4 12 4<br />

ំហារ់ទី ៧ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៤)<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង<br />

ខ. ហគមាន<br />

y<br />

2<br />

2<br />

z cos<br />

isin<br />

9 9<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

2xi<br />

y <br />

។ សរហសរ 4<br />

1<br />

z<br />

32i1<br />

i<br />

i1<br />

2i<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត x និង y<br />

ហយើងមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

2<br />

<br />

3 2i 1i 3 3i 2i 2 5 i<br />

<br />

<br />

i 1<br />

2i i<br />

2i<br />

2<br />

i<br />

ហយើងបាន<br />

សមមូល<br />

នាំឱ្យ<br />

2xi<br />

y <br />

32i1<br />

i<br />

i1<br />

2i<br />

9 7<br />

y 2xi i<br />

5 5<br />

9 y <br />

5 <br />

7<br />

2x<br />

<br />

5<br />

7 9<br />

x , y <br />

10 5<br />

នាំឱ្យ<br />

។<br />

9<br />

y <br />

5 <br />

7<br />

x <br />

10<br />

<br />

<br />

2 2<br />

5 i 2 i 10 5i 2i1<br />

<br />

2 i 2 i 2 1<br />

9 7i<br />

9 7<br />

i<br />

5 5 5<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

122


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ 4<br />

1<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងមាន<br />

2<br />

2<br />

1 z 1 cos isin<br />

9 9<br />

2 <br />

2cos 2isin cos 2cos cos isin<br />

9 9 9 9<br />

<br />

9 9<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

4 4<br />

4 <br />

1 z<br />

2cos cos isin<br />

9<br />

<br />

9 9<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

1 z 16cos cos isin<br />

9<br />

<br />

9 9<br />

<br />

<br />

<br />

4 4 4 4<br />

4 4 4<br />

<br />

16cos cos i sin<br />

9<br />

<br />

9 9<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៨ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៥)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />

z<br />

និង w<br />

ជាចំនួនក្ុំផៃិច ដែល<br />

z 2 2i<br />

3<br />

និង<br />

w xx i y y i<br />

ដែល<br />

xy ,<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

3<br />

z<br />

ជារាង a ib<br />

<br />

។<br />

គ. គណនា<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ហ ើ<br />

w<br />

z<br />

3<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ខ. សរហសរ<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងមាន<br />

3<br />

z<br />

z 2 2i<br />

3<br />

ែូចហនោះ<br />

ជារាង a ib<br />

រលរៀរទី ១ ៖ ហយើងមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

1 3 <br />

4<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

2<br />

2<br />

z 4cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 2i<br />

3<br />

តាមរូ មនត 3 3 2 2 3<br />

<br />

4 cos i sin <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

។<br />

a b a 3a b 3ab b<br />

3<br />

ហយើងបាន z 2 2i<br />

3 3<br />

3 2<br />

2 3 2 2i 3 3 22i 3 2i<br />

3 <br />

<br />

2 3<br />

<br />

z<br />

2 3<br />

8 24i 3 72i 24 3i 8 24i 3 72 24i<br />

3 64<br />

3<br />

64 0i<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

123


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

រលរៀរទី ២ ៖ ហយើងមាន<br />

2<br />

2<br />

z 4cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

3 3<br />

6<br />

6<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន z 4 cos isin<br />

ែូចហនោះ<br />

គ. គណនា<br />

ហយើងបាន<br />

តាម<br />

2<br />

x<br />

ែូចហនោះ<br />

x<br />

ហយើងមាន<br />

នាំឱ្យ<br />

x<br />

2 2<br />

- ហ ើ<br />

- ហ ើ<br />

<br />

z<br />

និង<br />

w<br />

z<br />

x<br />

y<br />

64<br />

3<br />

3<br />

64 0i<br />

y<br />

ហ ើ<br />

w<br />

z<br />

។<br />

3<br />

<br />

<br />

w xx i y y i<br />

សមមូល<br />

2 2<br />

x<br />

y <br />

<br />

<br />

64 1<br />

<br />

x y 0 2<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

64cos 2 isin 2<br />

<br />

2 2<br />

x xi y yi <br />

2 2<br />

x y x y i 64 0i<br />

យក្ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ <br />

x 4 2<br />

x 4 2<br />

2<br />

សមមូល x 32 នាំឱ្យ<br />

ហនាោះ<br />

ហនាោះ<br />

x 4 2 , y 4 2<br />

<br />

y x4 2<br />

y x 4 2<br />

ឬ<br />

<br />

<br />

1<br />

x <br />

ហគបាន<br />

x 4 2 , y 4 2<br />

<br />

2 2<br />

x y x y i<br />

32 4 2<br />

<br />

។<br />

64 10i<br />

ំហារ់ទី ៩ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៥)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. សរហសរ<br />

<br />

2cos isin<br />

12 12<br />

<br />

z1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

2<br />

និង<br />

<br />

z2 1i x 1 y 1<br />

i<br />

z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ x និង<br />

y<br />

ហ ើហគែឹងថា z z y <br />

2 1 0 (<br />

1 2<br />

z 1<br />

ជាក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />

z 1<br />

)<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

<br />

2cos isin<br />

12 12<br />

<br />

z1<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2cos i sin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 <br />

2 <br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2cos i sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2cos i sin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

<br />

i sin<br />

<br />

<br />

6 3<br />

<br />

6 3<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

<br />

<br />

cos i<br />

sin<br />

6<br />

<br />

6<br />

cos i sin <br />

6<br />

<br />

6<br />

ែូចហនោះ z cos isin<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

124


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

• សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

z cos isin<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

3 1<br />

cos isin<br />

i<br />

6 6 2 2<br />

3 1<br />

ែូចហនោះ z i ។<br />

2 2<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

z2 1i x 1 y 1 i 1<br />

x xi i y yi <br />

x y 1 x y 1<br />

i<br />

ហហើយ<br />

ហយើងបាន<br />

ហោយ<br />

3 1<br />

z1<br />

i<br />

2 2<br />

3 1<br />

z1<br />

i<br />

2 2<br />

3 1 <br />

2z1 z2<br />

y 1 2 i x y 1 x y 1i y 1<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

3 i x x y 1i<br />

<br />

<br />

2z z y 1 0<br />

1 2<br />

<br />

3 x x y i<br />

សមមូល<br />

<br />

3 x x y i 0<br />

<br />

3 i <br />

x x y 1<br />

i<br />

<br />

<br />

<br />

នាំឱ្យ<br />

3x<br />

0<br />

<br />

x y 0<br />

នាំឱ្យ<br />

x 3<br />

<br />

y x <br />

3<br />

ែូចហនោះ x 3 , y 3<br />

។<br />

ំហារ់ទី ១០ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />

ក្. ហគឱ្យ<br />

z a ib<br />

ដែល a<br />

និង b<br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ<br />

សរហសរ<br />

x 1<br />

និង<br />

x 2<br />

ជាចំនួនពិតខុសពីសូនយ ។ សរហសរ<br />

នូវសមីោរ<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

2<br />

x 2 3x 4 0<br />

។<br />

zz<br />

A <br />

z<br />

2<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

A<br />

ហយើងមាន<br />

ហយើងបាន<br />

zz<br />

z<br />

2<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

z a ib z a ib<br />

A <br />

2 2<br />

a iba b<br />

<br />

a ib<br />

<br />

a 2 b 2 a 2 2abi b<br />

2<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហហើយ<br />

2<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

z a b a b<br />

<br />

a 2 b 2<br />

a ib a ib<br />

a iba ib<br />

2 2<br />

A a b 2abi<br />

2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

a<br />

b<br />

2 2<br />

A a b 2abi<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

125


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. ហោោះរាយសមីោរ ក្ន ុងសំណុំ<br />

តាម<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

នូវសមីោរ<br />

2<br />

<br />

2<br />

x 2 3x 4 0<br />

2<br />

b ac <br />

3 1 4 3 4 1<br />

<br />

b <br />

3 1<br />

x1<br />

3 i<br />

a<br />

1<br />

<br />

b <br />

3 1<br />

x2<br />

3 i<br />

a<br />

1<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

<br />

<br />

x 3 i , x 3 i<br />

1 2<br />

។<br />

• សរហសរ<br />

x 1<br />

និង<br />

x 2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

3 1 <br />

x1<br />

3 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

3 1 <br />

x2<br />

3 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ១១ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i ជាឫសម្នសមីោរ x 2 ax b 0 ។<br />

ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />

1<br />

i 3 <br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

10<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />

និង b ហែើមបីឱ្យ 2 3i<br />

<br />

ជាឫសម្នសមីោរ<br />

2<br />

x ax b<br />

0<br />

ហោយ<br />

23i<br />

ជាឫសម្នសមីោរ x 2 ax b 0 ហនាោះ ហគបាន<br />

2<br />

<br />

2 3i a 2 3i b 0<br />

2<br />

4 12i 9i 2a 3ai b 0<br />

នាំឱ្យ<br />

<br />

4 9 2a b 12 3a i 0<br />

<br />

2a b 5 12 3a i 0<br />

<br />

<br />

<br />

2a b 5 0 1<br />

<br />

3a<br />

12 0 2<br />

<br />

តាម<br />

12<br />

2 : 3a12 0 a 4<br />

3<br />

<br />

យក្<br />

a 4<br />

ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

<br />

1<br />

ហគបាន <br />

2 4 b 5 0<br />

b 5 8 13<br />

ែូចហនោះ a 4 , b 13<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

126


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងបាន<br />

ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្ន<br />

1<br />

i 3 <br />

<br />

1<br />

i <br />

<br />

1 3 <br />

2 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos i sin<br />

1 i 3<br />

2 2 <br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

1 i 2 2 <br />

2<br />

i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 4 4<br />

<br />

<br />

<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

cos isin 2 cos isin<br />

<br />

2<br />

3 4 3 4 12 12<br />

10 10<br />

10<br />

5<br />

2 cos isin 2 cos isin<br />

1 i 3 10 10<br />

<br />

<br />

1 i <br />

12 12<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

10 10<br />

1 i 3 1 i 3 <br />

5<br />

1 i 1 i <br />

6<br />

<br />

ែូចហនោះ 32 , arg 2k k<br />

<br />

10<br />

5<br />

5<br />

32cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ១២ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៦)<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a និង b ហែើមបីឱ្យ<br />

x1i<br />

3<br />

ជាឫសមួយម្នសមីោរ<br />

2<br />

x ax b<br />

0<br />

។<br />

ខ. រក្ឫស<br />

x 2<br />

មួយហទៀតម្នសមីោរ ។ សរហសរ<br />

x <br />

1<br />

z <br />

x2<br />

<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ក្ំណត់ចំនួនពិត a<br />

ហោយ<br />

x1i<br />

3<br />

និង b<br />

ជាឫសម្នសមីោរ<br />

2<br />

<br />

1 i 3 a 1 i 3 b 0<br />

1 2i 3 3 a ia 3 b 0<br />

<br />

a b 2 a 3 2 3 i 0<br />

<br />

<br />

<br />

a b 2 0 1<br />

<br />

a 3 2 3 0 2<br />

តាមសមីោរ <br />

<br />

2<br />

x ax b<br />

2 a 3 2 3 0 a 2<br />

យក្ a 2 ជំនួសក្ន ុងសមីោរ<br />

2 b 2 0 b<br />

4<br />

ែូចហនោះ a 2 , b 4<br />

ខ. រក្ឫស x2<br />

មួយហទៀតម្នសមីោរ<br />

<br />

1<br />

។<br />

0<br />

ហគបាន<br />

ហនាោះ ហគបាន<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

2<br />

ចំហរោះ a 2 , b 4 ហគបាន សមីោរគឺ x 2x 4 0<br />

127


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ហយើងបាន<br />

• សរហសរ<br />

z<br />

ហយើងមាន ផល ូក្ឫស<br />

S <br />

ហនាោះ <br />

ែូចហនោះ<br />

b 2<br />

2<br />

a 1<br />

x2 S x1 2 1 i 3 2 1 i 3 1<br />

i 3<br />

x <br />

1<br />

z <br />

x2<br />

<br />

x2 1i<br />

3<br />

2<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

2<br />

2 2 i<br />

<br />

x 1 i 3 2 2 <br />

<br />

1<br />

<br />

x 2 1 i 3 <br />

<br />

1 3 <br />

<br />

2 i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 4 4<br />

cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

3 3<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

4<br />

4<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

2<br />

2<br />

<br />

cos i sin <br />

3 3 <br />

<br />

cos isin<br />

3 3<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

cos i sin <br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

។<br />

2<br />

ំហារ់ទី ១៣ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

2<br />

z<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

និង<br />

w រួចគណនា<br />

1 3<br />

w i<br />

2 2<br />

z<br />

2<br />

z<br />

1<br />

។<br />

។<br />

ខ. គណនា<br />

2<br />

A z z i<br />

។ សរហសរ<br />

គ. ង្វា ញថា ជាចំនួនពិត ។<br />

A<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្.<br />

ង្វា ញថា<br />

2<br />

z<br />

w<br />

រួចគណនា<br />

z<br />

2<br />

z<br />

1<br />

ហគបាន<br />

2 2<br />

2<br />

<br />

2 1 3 1 1 3 3 <br />

z i 2 i i<br />

2 2 2<br />

<br />

2<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

1 3 3 2 3 1 3<br />

i i i w<br />

4 2 4 4 2 2 2<br />

2<br />

z<br />

w<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

128


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

2<br />

• គណនា z<br />

z<br />

1<br />

ហោយ<br />

1 3<br />

z i ហហើយ<br />

2 2<br />

2 1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

2<br />

z<br />

z<br />

2<br />

z<br />

1<br />

1 3 1 3<br />

i i 1 1 1 0<br />

2 2 2 2<br />

1<br />

0<br />

។<br />

ខ. គណនា<br />

2<br />

A z z i<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

1 3 1 3<br />

A i i i 1<br />

i<br />

2 2 2 2<br />

A 1<br />

i<br />

។<br />

• សរហសរ<br />

A<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

2 2 <br />

A 1 i 2 i 2 cos i sin <br />

<br />

2 2 <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

A<br />

20<br />

គ. ង្វា ញថា A ជាចំនួនពិត<br />

3<br />

3<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ហោយ<br />

A<br />

3<br />

3<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

A<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

<br />

2 cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

20<br />

20 20 3 20 3<br />

<br />

<br />

10<br />

2 cos15 isin15<br />

<br />

<br />

1024 cos isin<br />

<br />

<br />

1024 ជាចំនួនពិត<br />

ែូចហនោះ<br />

20<br />

A<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ំហារ់ទី ១៤ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />

ក្. ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច z មានម ូឌុលហសម ើនឹង 2 និងអាគុយម ង់ហសម ើនឹង<br />

សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ។<br />

<br />

3<br />

។<br />

ខ. ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច<br />

5<br />

5<br />

y 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

។ គណនា z<br />

yហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

គ. ង្វា ញថា y z ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

129


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត a ib<br />

<br />

ហោយ<br />

ហគបាន<br />

z<br />

មាន<br />

z 2<br />

និង<br />

<br />

arg z<br />

<br />

3<br />

<br />

1 3 <br />

z 2cos isin 2 i 1 i 3<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ខ. គណនា<br />

ែូចហនោះ z 1 i 3<br />

z<br />

y<br />

។<br />

ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ហយើងមាន<br />

<br />

z 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

និង<br />

5<br />

5<br />

y 2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ហគបាន<br />

5 5<br />

<br />

z y 4 cos isin 4cos 2 isin 2<br />

3 3<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

4 1 0i<br />

4 0i<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z y 4<br />

0i<br />

។<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

y<br />

z<br />

ហយើងមាន<br />

5<br />

5<br />

1 3 <br />

y 2cos isin 2 i 1 i 3<br />

3 3<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

នាំឱ្យ y 1 i 3 z<br />

ែូចហនោះ<br />

y<br />

z<br />

។<br />

ំហារ់ទី ១៥ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៧)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិចក្ំណត់ហោយ<br />

<br />

A 3 1 i 3 1<br />

និង<br />

B <br />

x iy<br />

1<br />

i<br />

ដែល<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

2<br />

A<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ហហើយជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ខ. សរហសរ B ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។ រក្<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ហោយែឹងថា<br />

2<br />

2B<br />

A 0<br />

( B ជាចំនួនក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន B ) ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

2<br />

A<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ហគមាន A 3 1 3 1i<br />

2<br />

2<br />

A 3 1 3 1i<br />

<br />

<br />

3 1 2 3 1 3 1 i<br />

3 1 <br />

3 2 3 1 2i<br />

3 1 3 2 3 1<br />

4 2 3 4i<br />

4 2 3 <br />

2 2 2<br />

i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

130


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ែូចហនោះ<br />

4 2 3 4i<br />

4 2 3<br />

4 3 4i<br />

A<br />

2<br />

4 3 4i<br />

• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

។<br />

<br />

2 3 1 <br />

A 4 3 4i 8<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

ខ. សរហសរ<br />

B<br />

2 5<br />

5<br />

A 8cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

x yi1i<br />

<br />

<br />

8cos i sin <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

x yi x xi yi y x y y x<br />

B i<br />

1 i 1 i 1 i 11 2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

• រក្<br />

x<br />

ហោយ<br />

ហគបាន<br />

និង<br />

សមមូល<br />

សមមូល<br />

x y y x<br />

B i<br />

2 2<br />

y<br />

ហោយែឹងថា<br />

x y y x<br />

B i<br />

2 2<br />

2<br />

2B<br />

A 0<br />

នាំឱ្យ<br />

។<br />

។<br />

2<br />

2B<br />

A 0<br />

x y y x<br />

B i<br />

2 2<br />

x y y x <br />

សមមូល <br />

i i <br />

x y y xi 4 3 4i<br />

0<br />

x y y xi 4 3 4i<br />

2 4 3 4 0<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

x<br />

y 4 3 1<br />

<br />

y x 4 2<br />

2y<br />

4 3 4 y 2 3 2<br />

5<br />

5<br />

8cos i<br />

sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

យក្<br />

ហគបាន<br />

y 2 3 2<br />

ជំនួសចូលក្ន ុងសមីោរ<br />

x y 4 2 3 2 4 2 2 3<br />

2<br />

ែូចហនោះ x 2 2 3 , y 2 2 3 ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

131


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ១៦ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច Z a ib<br />

<br />

<br />

និង<br />

<br />

A i 1Z<br />

<br />

។<br />

ក្. គណនា A ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

និង b<br />

រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ a<br />

និង b<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

A<br />

Z<br />

។<br />

គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃិច<br />

1 1<br />

w i<br />

2 2<br />

ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។ រួចគណនា<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

4<br />

w<br />

ក្. គណនា<br />

A<br />

ជាអនុគមន៍ម្ន a<br />

និង b<br />

រួចជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ហយើងមាន<br />

Z a ib<br />

ហគបាន<br />

<br />

A i 1 Z i 1 a ib i ai b b a 1<br />

i<br />

ែូចហនោះ<br />

A b a 1<br />

i<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. ក្ំណត់តម្មៃ<br />

a<br />

និង b<br />

ហែើមបីឱ្យ<br />

A<br />

Z<br />

ហយើងបាន<br />

A<br />

Z<br />

<br />

a ib b a 1<br />

i<br />

<br />

<br />

<br />

1<br />

<br />

ba<br />

<br />

a 1 b 2<br />

យក្<br />

1<br />

b1<br />

b<br />

ជំនួសក្ន ុង<br />

1<br />

b<br />

<br />

2<br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

ហហើយ<br />

ហគបាន<br />

1<br />

a b <br />

2<br />

1 1<br />

a , b<br />

2 2<br />

។<br />

គ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

1 1<br />

w i<br />

2 2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 1 1 <br />

1 <br />

1 2<br />

2 2 <br />

w i i i<br />

2 2 2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2 3<br />

3<br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

w<br />

2 3<br />

3<br />

cos isin<br />

2<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

4<br />

• គណនា w ហោយឱ្យលទធផល ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

132


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

4<br />

<br />

4 2 43 43<br />

4<br />

w <br />

cos isin<br />

2 <br />

4 4<br />

cos3 i sin3 <br />

16<br />

4 1<br />

ែូចហនោះ w 0<br />

i ។<br />

4<br />

<br />

1 1 1<br />

cos isin 1 0i<br />

0i<br />

4 4 4<br />

ំហារ់ទី ១៧ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />

ហគឱ្យ z ជាចំនួនក្ុំផៃិចដែល<br />

ក្. សរហសរ z ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 i 2 cos i sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

2<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />

5<br />

cos 12<br />

<br />

និង<br />

5<br />

sin 12<br />

<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. សរហសរ<br />

z<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

ខ. សរហសរ<br />

<br />

z 2 i 2 cos i sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ហយើងបាន <br />

ែូចហនោះ<br />

6 2 6 2<br />

i i<br />

2 2 2 2<br />

6 2 6 2 <br />

z i<br />

2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

2<br />

z ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

<br />

2 6 2 6 2 <br />

z <br />

i<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

2<br />

<br />

3 1 <br />

2 i 2<br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

6 2 6 2 <br />

i<br />

2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

។<br />

6 2 6 2 <br />

<br />

<br />

i<br />

<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

2 2<br />

6 2 6 2 6 2 6 2 <br />

2 i i<br />

2 2 <br />

<br />

2 2 2 2 2 2 <br />

<br />

6 2 6 2 2 6 2 6 2 6 2 2 <br />

2i<br />

4 4 4<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

4 4 4 <br />

<br />

3 1 3 1<br />

3 2i<br />

3 2 3 2i<br />

2 2 2 2<br />

<br />

2 3 1 <br />

ហគបាន z 4 i 4 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

7<br />

7<br />

4cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

133


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឬ<br />

គ. ទាញរក្តម្មៃរបាក្ែម្ន<br />

2 5 5<br />

z 4 cos isin<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

5<br />

cos 12<br />

<br />

និង<br />

5<br />

sin 12<br />

<br />

។<br />

<br />

z 2 i 2 cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

ហយើងមាន <br />

ហហើយ<br />

2 2 <br />

2 i cos isin<br />

<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

5 5<br />

2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

6 2 6 2 <br />

z i<br />

2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

2<br />

1<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4 6<br />

<br />

4 6<br />

<br />

<br />

តាម <br />

1<br />

និង <br />

2<br />

ហគបាន<br />

5 5<br />

2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2cos 2i<br />

sin<br />

12 12<br />

6 2 6 2 <br />

i<br />

2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

6 2 6 2 <br />

i<br />

2 2 <br />

2 2 <br />

<br />

<br />

cos <br />

12 4<br />

<br />

5<br />

6 2<br />

<br />

sin <br />

12 4<br />

5 6 2<br />

5 6 2<br />

2cos <br />

12 2 2<br />

<br />

5<br />

6 2<br />

2sin <br />

12 2 2<br />

ែូចហនោះ<br />

5 6 2 5 6 2<br />

cos<br />

<br />

, sin<br />

<br />

<br />

12 4 12 4<br />

។<br />

ំហារ់ទី ១៨ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៨)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃិច z x iy និង<br />

w cos isin<br />

<br />

ដែល<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

ជាចំនួនពិត ខុសពីសូនយ<br />

ហហើយ ជាចំនួនពិត ។<br />

ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង x និង y ហែើមបីឱ្យ<br />

w z<br />

។<br />

ខ. ក្ន ុងលក្ខណឌ z w ចូរ ង្វា ញថា 1 z<br />

z ។<br />

គ. រក្ x និង y រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ z 1 , w 1 ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

134


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ក្. ក្ំណត់ទំនាក្់ទំនងរវាង<br />

1<br />

x<br />

និង y ហែើមបីឱ្យ<br />

z x yi z x y<br />

2 2<br />

w z<br />

1<br />

w i w <br />

<br />

2 2<br />

cos sin cos sin 1 2<br />

តាម និង ហគបាន<br />

ខ. ង្វា ញថា<br />

គ. រក្<br />

2<br />

2 2<br />

ែូចហនោះ x y<br />

ហយើងមាន<br />

ដត<br />

x<br />

1<br />

z<br />

z <br />

z w<br />

1 ។<br />

w z<br />

2 2<br />

x y <br />

1 1 x yi x yi<br />

<br />

z x yi x yi x yi x y<br />

ែូចហនោះ<br />

2 2<br />

x y <br />

1<br />

z<br />

z <br />

និង y រួចរក្ ហែើមបីឱ្យ<br />

<br />

2 2<br />

1<br />

។<br />

ហនាោះ<br />

z 1 , w1<br />

1 x yi<br />

z<br />

z 1<br />

1<br />

ហោយ<br />

z x yi<br />

និង<br />

z 1 <br />

x yi 1<br />

x 1 , y 0<br />

ហហើយ<br />

w cos isin<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

និង<br />

w 1<br />

x 1 , y 0 , 2k k <br />

cos isin 1<br />

<br />

<br />

។<br />

cos 1<br />

<br />

sin 0<br />

2k k<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ១៩ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០០៩)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

z1i<br />

និង<br />

w<br />

3 i<br />

។<br />

ក្. គណនា<br />

wz <br />

និង<br />

z<br />

w<br />

។ ខ. សរហសរ<br />

zw <br />

និង<br />

z<br />

w ជាទរមង់រត ីហោណមារត ។<br />

ក្. គណនា<br />

wz <br />

និង<br />

z<br />

w<br />

ហយើងមាន z1 i និង<br />

w<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

3 i<br />

2<br />

ហគបាន 1 3 3 3 3 1 1<br />

3<br />

<br />

2<br />

z 1 i 1i<br />

3i<br />

3 i i 3 i 3 1 1<br />

3<br />

<br />

i<br />

w 3 i 3i 3i<br />

31<br />

4 4<br />

z w i i i i i i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

135


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ និង ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

ហយើងមាន<br />

2 2 <br />

z 1 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

3 1 <br />

w 3 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ហគបាន z w 2 2 cos isin cos isin<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

w<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

2 2 cos isin<br />

<br />

4 6<br />

<br />

4 6<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z w 2 2 cos i sin <br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos i sin<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

2cos i sin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

2 <br />

cos i sin<br />

2<br />

<br />

4 6<br />

<br />

4 6<br />

<br />

<br />

<br />

zw <br />

z<br />

w<br />

2 3 2<br />

3 2<br />

<br />

cos isin<br />

2<br />

<br />

<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

z 2 5 5<br />

cos<br />

i sin<br />

w 2<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

3 2<br />

3 2<br />

<br />

2 2 cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

2 5 5<br />

cos<br />

i sin<br />

2<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២០ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០០៩)<br />

សរហសរ<br />

i 2<br />

21<br />

A <br />

1<br />

i 3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត និងទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

សរហសរ A ជាទរមង់រតីហោណមារត និង ពីជគណិ ត<br />

ហយើងមាន<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

2 12i<br />

1 2i<br />

A <br />

<br />

1 3 1 3<br />

2<br />

i i<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

2cos i sin<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos i sin <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

2 cos isin<br />

<br />

2 3<br />

<br />

2 3<br />

2 cos isin<br />

<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

5<br />

5<br />

A2cos isin<br />

6 6<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

136


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

សរហសរជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

5<br />

5<br />

3 1 <br />

A 2cos isin 2 i<br />

6 6<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ែូចហនោះ A 3<br />

i ។<br />

<br />

3 i<br />

ំហារ់ទី ២១ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. រក្តម្មៃ<br />

a<br />

និង b<br />

z a ib<br />

ដែល<br />

ab ,<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ហោយែឹងថា 1 1 3 1 3 <br />

a ib i i ។<br />

គណនា<br />

4<br />

z<br />

ចំហរោះតម្មៃ<br />

ab ,<br />

ដែលរក្ហឃើញ ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

8 8i<br />

3<br />

w 2 2i<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

137


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. រក្តម្មៃ a និង b<br />

<br />

a ib 1 i 1 3 1<br />

3 i<br />

1 3 1 3 <br />

a ai bi b i<br />

<br />

a b a b i 1 3 1<br />

3 i<br />

<br />

<br />

<br />

a<br />

b 1<br />

3 1<br />

<br />

a b 1 3 2<br />

2a<br />

2 a 1<br />

យក្<br />

a 1 ជំនួសចូលក្ន<br />

2<br />

ុងសមីោរ <br />

ហគបាន<br />

1<br />

b 1<br />

3<br />

b <br />

3<br />

ែូចហនោះ a 1 , b 3<br />

។<br />

• គណនា<br />

4<br />

z<br />

ចំហរោះតម្មៃ<br />

ab ,<br />

ដែលរក្ហឃើញ<br />

ចំហរោះ a 1, b 3 ហគបាន<br />

z 1i<br />

3<br />

ហោយ<br />

1 3 <br />

z 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

តាមរូ មនតែឺម័រ ហគបាន<br />

4 4 4 4<br />

z 2 cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z<br />

4<br />

8 8i<br />

3<br />

។<br />

4<br />

4<br />

16cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 <br />

16 i 8 8i<br />

3<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

ខ. សរហសរ<br />

w<br />

8 8i<br />

3<br />

w 2 2i<br />

8 8i<br />

3<br />

2 2i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

4 1 i i 3 i 3<br />

11<br />

<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត និង ទរមង់រតីហោណមារត<br />

<br />

<br />

8 1 i 3 4 1 i 3 1<br />

i<br />

<br />

<br />

2 1 i 1 i 1<br />

i<br />

<br />

<br />

4 1 3 1 3 i<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

w 2 1 3 2 1<br />

3 i<br />

2<br />

។<br />

2 1 3 2 1<br />

3 i<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

138


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

• ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

16<br />

i<br />

8 8i<br />

3<br />

2 2 <br />

w <br />

<br />

22i<br />

2 2 <br />

2 2<br />

<br />

i<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

8cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

2 cos i sin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

8cos isin<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

8 2 3 2 3<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

2 3 4<br />

<br />

3 4<br />

<br />

<br />

<br />

w 4 2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

។<br />

<br />

4 2 cos isin<br />

<br />

12<br />

<br />

12<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ២២ (ប្រឡងឆមាសទី ២ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ក្. គណនាក្ហនោម<br />

1 3<br />

z i<br />

2 2<br />

A 1<br />

z z<br />

និង<br />

2<br />

។<br />

1 3<br />

w i<br />

2 2<br />

។<br />

ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត។<br />

គ. គណនា ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. គណនាក្ហនោម<br />

A 1<br />

z z<br />

2<br />

A 1<br />

z z<br />

1 3 1 3 <br />

1 i i<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

1 3 1 3 3<br />

1 i i i<br />

2 2 4 2 4<br />

ែូចហនោះ<br />

2<br />

A z z<br />

2<br />

1 0 ។<br />

ខ. សរហសរ z និង w ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

2<br />

1 1 3 3 3<br />

0<br />

2 4 4 4 4<br />

1 3 4 4<br />

w i cos <br />

isin <br />

cos isin<br />

<br />

2 2<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

3 3<br />

1 3 2 2<br />

z i cos <br />

isin <br />

cos isin<br />

<br />

2 2<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

3 3<br />

2<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

139


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ំហារ់ទី ២៣ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១០)<br />

ក្. ហោោះរាយសមីោរ<br />

2<br />

z 2 2 z 4 0<br />

រក្ម ូឌុល និង អាគុយម ង់ម្នឫសនីមួយៗរ ស់សមីោរ <br />

1<br />

ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច C ។<br />

1<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

<br />

w <br />

<br />

2<br />

i 2 <br />

2<br />

i 2 <br />

<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

2<br />

ក្. ហោោះរាយសមីោរ z 2 2 z 4 0 1<br />

ក្ន ុងសំណុំ ចំនួនក្ុំផៃ ិច C<br />

សមីោរមាន<br />

ហយើងបាន<br />

2<br />

b ac <br />

2 1 4 2 4 2<br />

z<br />

2<br />

2<br />

<br />

b <br />

2 2<br />

z1<br />

2<br />

i 2<br />

a<br />

1<br />

<br />

b <br />

2 2<br />

2<br />

i 2<br />

a<br />

1<br />

• រក្ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្នឫសម្នសមីោរ <br />

<br />

1<br />

<br />

2 2<br />

តាមរូ មនត z a b<br />

ហគបាន<br />

2 2<br />

z1 2 2 2 2 2<br />

2 2<br />

z2 2 2 2 2 2<br />

ហហើយ<br />

a<br />

cos 1<br />

<br />

r<br />

<br />

b<br />

<br />

sin 1<br />

<br />

r<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

a 2<br />

cos 2<br />

<br />

r 2<br />

<br />

b 2<br />

<br />

sin 2<br />

<br />

r 2<br />

<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

1 1<br />

<br />

<br />

4<br />

enAkaRdg;TI1<br />

<br />

<br />

2 2<br />

enAkaRdgT; I4<br />

ែូចហនោះ z1 z2 2<br />

,arg z<br />

2k និង arg z 2k k<br />

<br />

1<br />

<br />

4<br />

2<br />

<br />

4<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

140


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ<br />

<br />

w <br />

<br />

2<br />

i 2 <br />

2<br />

i 2 <br />

<br />

2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

តាមែំហណាោះរាយសំណួ រ (ក្) ហគបាន<br />

ហគបាន<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

z1 2 i 2 2cos isin<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

z2 2 i 2 2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

2cos isin<br />

4 4<br />

<br />

w <br />

<br />

<br />

<br />

2 cos isin<br />

<br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

w cos isin<br />

<br />

2<br />

។<br />

2<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

<br />

4 4<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

2<br />

ំហារ់ទី ២៤ (ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១១)<br />

ក្. រក្ឫស<br />

t , t<br />

1 2<br />

ម្នសមីោរ<br />

2<br />

t<br />

t <br />

2 4 0<br />

។ ហោយយក្<br />

t 1<br />

ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

4t<br />

z <br />

t<br />

2<br />

3<br />

1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. រក្ឫស<br />

t , t<br />

1 2<br />

ម្នសមីោរ<br />

2<br />

t<br />

t <br />

2 4 0<br />

សមីោរអាចសរហសរជា<br />

t<br />

2<br />

2t 4 0<br />

មាន<br />

2<br />

<br />

<br />

1 1 4 1 4 3<br />

ហោយ<br />

t 1<br />

b <br />

t1<br />

<br />

a<br />

t<br />

2<br />

b <br />

<br />

a<br />

ជាឫសដែលមានដផនក្និមិតតអវ ិជាមាន ហនាោះហគបាន<br />

<br />

<br />

1 3<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

1<br />

<br />

<br />

1 3<br />

<br />

1<br />

i 3<br />

1<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫស<br />

1 2<br />

t 1i 3 , t 1 i 3 ។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

141


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ<br />

4t<br />

z <br />

t<br />

2<br />

3<br />

1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

ហយើងមាន t1<br />

1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

1 3 <br />

t2<br />

1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

ហយើងបាន<br />

<br />

42 cos isin<br />

4t<br />

<br />

3 3<br />

<br />

z <br />

<br />

<br />

t <br />

2cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

3 3<br />

1<br />

<br />

cos isin<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

4<br />

4<br />

z cos<br />

isin<br />

3 3<br />

4<br />

4<br />

cos<br />

isin<br />

3 3<br />

។<br />

<br />

8cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

8 <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ២៥ (ប្រឡងឆមាសទី ១ ឆ្លន ំ ២០១២ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

ក្. ចូរក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត a ហែើមបីឱ្យសមីោរែឺហរក្ទីពីរ<br />

<br />

<br />

2<br />

x i x a i<br />

1 2 12 0<br />

មានឫសមួយ<br />

ជាចំនួនពិត និងឫសមួយហទៀតជា ចំនួនក្ុំផៃ ិច រួចរក្ឫសម្នសមីោរហនោះផង ។<br />

ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z 1<br />

i 3<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា<br />

2013<br />

z<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. ក្ំណត់តម្មៃម្នចំនួនពិត ហែើមបីឱ្យសមីោរ មានឫសមួយ ជាចំនួនពិត<br />

និងឫសមួយហទៀតជាចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

2<br />

x i x a i<br />

a <br />

1 2 12 0<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

2<br />

x i x a i<br />

1 2 12 0<br />

2<br />

<br />

x x a 2x 12 i 0<br />

2<br />

x x a <br />

<br />

<br />

2x<br />

12 0<br />

0<br />

2<br />

x x a <br />

<br />

<br />

x 6<br />

0<br />

2<br />

6 6 a 0 a<br />

30<br />

<br />

<br />

x 6<br />

x<br />

6<br />

មយ ងហទៀត សមីោរ<br />

2<br />

x x 2ix a 12i<br />

0 មាន<br />

<br />

x x 1 2i x 1 2i x 1 2i 6 5<br />

2i<br />

1 2 2 1<br />

ែូចហនោះ សមីោរមានឫសជាចំនួនពិតមួយ និងឫសក្ុំផៃ ិចមួយ ោលណា a 30<br />

ហហើយ មានឫស 1 2<br />

x 6 , x 5 2i<br />

។<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

142


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

2013<br />

z<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

z 1 i 3 2 i 2 cos i sin <br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

• ង្វា ញថា<br />

2013<br />

z<br />

ជាចំនួនពិត<br />

<br />

2<br />

2<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

តាមរទឹសត ី ទែឺម័រ ហគបាន<br />

2013 2013 2013 2<br />

2013 2<br />

<br />

z 2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2013<br />

2 cos1342 isin1342<br />

<br />

2013 4026<br />

4026<br />

2 cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

2 1 0i<br />

2<br />

2013 2013<br />

ជាចំនួនពិត<br />

ែូចហនោះ<br />

2013<br />

z<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ំហារ់ទី ២៦<br />

(ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១២ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

1 3<br />

x i<br />

2 2<br />

2<br />

ក្. គណនា A x y និង<br />

និង<br />

2<br />

B x x<br />

1<br />

1 3<br />

y i<br />

2 2<br />

។<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

x<br />

និង<br />

y<br />

2013 2013<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត រួច ង្វា ញថា x y ជាចំនួនពិត ។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. គណនា<br />

A x y<br />

2<br />

និង<br />

2<br />

B x x<br />

1<br />

A x y<br />

2<br />

1 3 1 3 <br />

i i<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

1 3 1 3 3 <br />

i i <br />

2 2 <br />

4 2 4 <br />

<br />

<br />

2<br />

B x x<br />

1<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

1 3<br />

<br />

1 1 3 3<br />

<br />

<br />

i 2 i <br />

i<br />

<br />

2 2 <br />

<br />

2<br />

<br />

2<br />

2 2 <br />

<br />

<br />

<br />

1 3 1 3<br />

i i 0<br />

2 2 2 2<br />

1 3 1 3 <br />

i i 1<br />

2 2 2 2 <br />

<br />

ែូចហនោះ A 0 , B 0<br />

។<br />

1 3 3 1 3<br />

i i 1<br />

4 2 4 2 2<br />

0<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

143


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ. សរហសរ<br />

x<br />

និង y ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

• ង្វា ញថា<br />

1 3 4 4<br />

x i cos <br />

i sin <br />

cos i sin<br />

<br />

2 2<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

3 3<br />

1 3 2 2<br />

y i cos <br />

i sin <br />

cos i sin<br />

<br />

2 2<br />

<br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

3 3<br />

x<br />

y<br />

2013 2013<br />

2013 2013<br />

ហយើងបាន x y<br />

ជាចំនួនពិត<br />

2013 2013<br />

4 4 2 2<br />

cos isin <br />

cos isin<br />

<br />

<br />

3 3<br />

<br />

3 3<br />

<br />

<br />

8052 8052 4026 4026<br />

cos isin cos isin<br />

<br />

3 3 3 3<br />

cos 2684 isin 2684 cos1342 isin1342<br />

1<br />

0i1<br />

0i<br />

2<br />

ែូចហនោះ<br />

x<br />

y<br />

2013 2013<br />

2<br />

ជាចំនួនពិត ។<br />

ំហារ់ទី ២៧<br />

(ប្រឡងបាក់ឌ រ ឆ្លន ំ ២០១៣ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

ហគឱ្យចំនួនក្ុំផៃ<br />

ិច a 2 3 2i<br />

និង<br />

b <br />

2 i 2<br />

។<br />

ក្. សរហសរ<br />

2 2<br />

z a b 4ai 2b<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត ។<br />

ខ. សរហសរ<br />

ab ,<br />

និង ab ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

ក្. សរហសរ<br />

2 2<br />

z a b 4ai 2b<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ជាទរមង់ពីជគណិ ត<br />

2 2<br />

2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 <br />

z i i i i i<br />

12 8i 3 4 2 4i 2 8i 3 8 2 2i<br />

ែូចហនោះ<br />

z14 2i<br />

ខ. សរហសរ ab , និង ab<br />

។<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

14 2i<br />

3 1 <br />

a 2 3 2i 4 i 4 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

<br />

2 2 3 3<br />

b 2 2 i 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

144


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ែូចហនោះ<br />

<br />

3 3<br />

<br />

ab 4 cos isin 2 cos isin<br />

6<br />

<br />

6<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

2 9<br />

2 9<br />

<br />

8cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

7<br />

7<br />

ab 8cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

។<br />

3 3<br />

<br />

8cos isin<br />

<br />

6 4<br />

<br />

6 4<br />

<br />

<br />

7<br />

7<br />

8cos isin<br />

12 12<br />

<br />

<br />

<br />

ំហារ់ទី ២៨ (ប្រឡងបាក់ឌ រល<br />

ើកទី ១ ឆ្លន ំ ២០១៤ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z1 1<br />

i 3<br />

និង<br />

z2 1<br />

i 3<br />

។<br />

ក្. គណនា<br />

z z , z z<br />

1 2 1 2<br />

និង<br />

z1 z2<br />

។<br />

ខ. សរហសរ<br />

z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត ។<br />

គ. ង្វា ញថា<br />

z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />

3<br />

z <br />

80<br />

។<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

ក្. គណនា<br />

z z , z z<br />

1 2 1 2<br />

និង z<br />

1<br />

<br />

z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2<br />

<br />

z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2i<br />

3<br />

2<br />

2<br />

z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 3 4<br />

ែូចហនោះ z1 z2 z1 z2 i z1 z2<br />

2 , 2 3 , 4 ។<br />

ខ. សរហសរ z 1<br />

និង z 1<br />

ជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

1 3 <br />

z1<br />

1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

2<br />

2<br />

z1<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

1 3 <br />

z2<br />

1 i 3 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

3<br />

<br />

3<br />

<br />

<br />

z<br />

2<br />

4<br />

4<br />

2cos isin<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

145


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

គ. ង្វា ញថា និង ជាចហមៃើយម្នសមីោរ<br />

z1<br />

2<br />

z<br />

3<br />

z <br />

80<br />

z<br />

3<br />

1<br />

z<br />

2<br />

2<br />

8 2cos isin 8<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

2<br />

4<br />

4<br />

8 2cos isin 8<br />

3 3<br />

<br />

<br />

<br />

3<br />

3<br />

ហោយ z1 80<br />

និង<br />

3<br />

3<br />

z2 8<br />

0<br />

<br />

3<br />

2 cos 2 isin 2 8<br />

88 0<br />

<br />

3<br />

2 cos 4 isin 4 8<br />

8 8 0<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ<br />

z 1<br />

និង<br />

z 2<br />

ជាឫសម្នសមីោរ<br />

3<br />

z <br />

80<br />

។<br />

ំហារ់ទី ២៩ (ប្រឡងបាក់ឌ រល<br />

ើកទី ២ ឆ្លន ំ ២០១៤ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

1. ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z 2 , z i 2 , z i<br />

2<br />

1 2 3<br />

ក្. គណនា<br />

<br />

z z , z z , z z z z<br />

1 2 1 3 1 2 1 3<br />

2. គណនា<br />

ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់<br />

i<br />

n<br />

ចំហរោះតម្មៃម្នចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />

z z z z<br />

z<br />

1 3<br />

1<br />

<br />

2<br />

,<br />

1<br />

<br />

3<br />

, <br />

z1<br />

z2<br />

<br />

2<br />

z <br />

n 1 ។ ទាញរក្តម្មៃ<br />

<br />

i<br />

i<br />

2015 2014<br />

។<br />

1. ក្. គណនា<br />

<br />

z z , z z , z z z z<br />

1 2 1 3 1 2 1 3<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z1 z2<br />

2 i 2 2 i 2<br />

z1 z3<br />

2 i 2 2 i 2<br />

z1 z2 z1 z3<br />

i i <br />

2 2<br />

2 2 2 2 2 2 4<br />

ខ. ក្ំណត់ម ូឌុល និងអាគុយម ង់ម្ន<br />

z z z z<br />

2 2 <br />

z1 z2<br />

2 i 2 2 i 2 cos isin<br />

<br />

<br />

2 2 <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ z z 2 , arg z z 2k k<br />

<br />

1 2 1 2<br />

2 2 <br />

z1 z3<br />

2 i 2 2 i 2 cos isin<br />

<br />

2 2 <br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

ែូចហនោះ z z 2 , arg z z 2k k<br />

<br />

1 3 1 3<br />

1 3<br />

1<br />

<br />

2<br />

,<br />

1<br />

<br />

3<br />

, <br />

z1<br />

z2<br />

<br />

4<br />

z<br />

។<br />

4<br />

<br />

2<br />

z <br />

<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

146


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

<br />

2 2 cos i sin <br />

z1 z <br />

3<br />

4 4<br />

<br />

<br />

<br />

z1 z2<br />

<br />

<br />

2cos i sin <br />

4<br />

<br />

4<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

2 2<br />

<br />

<br />

<br />

2<br />

cos isin<br />

<br />

2 2<br />

z z z z<br />

<br />

<br />

z1 z2 z1 z2<br />

<br />

<br />

1 3 1 3<br />

ែូចហនោះ 1 , arg 2k k<br />

<br />

i<br />

n<br />

2. គណនា ចំហរោះតម្មៃម្នចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />

n 1<br />

2<br />

<br />

cos<br />

isin<br />

<br />

4 4<br />

<br />

4 4<br />

<br />

<br />

។<br />

2<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

• ហ ើ<br />

n 4 k , k <br />

n 4k<br />

1<br />

n 4k<br />

2<br />

n 4k<br />

3<br />

k<br />

<br />

2<br />

4k<br />

2<br />

2k<br />

n<br />

i i i 1 1<br />

<br />

n 4k 1 4k<br />

i i i i i 1 i<br />

n 4k 2 2 4k<br />

i i i i<br />

<br />

1 1 1<br />

<br />

n 4k 3 3 4k<br />

i i i i i 1 i<br />

ហគបាន<br />

<br />

<br />

2015 2014 2014 4 503 2<br />

i i i i i i i i<br />

1 1 1 1 1<br />

ែូចហនោះ<br />

2015 2014<br />

i i 1<br />

i<br />

។<br />

ំហារ់ទី ៣០ (ប្រឡងបាក់ឌ រឆ្លន ំ ២០១៥ ថ្នន ក់វិទាាស្តសត)<br />

ហគមានចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

ក្. គណនា<br />

z1 1<br />

i 3<br />

និង<br />

z z , z z , z z<br />

1 2 1 2 1 2<br />

<br />

z1 1i<br />

3<br />

<br />

។<br />

ខ.សរហសរជាទរមង់រតីហោណមារតចំនួនក្ុំផៃ ិច<br />

z z ; z z<br />

1 2 1 2<br />

។<br />

ក្.គណនា<br />

គោយ z1 1<br />

i 3<br />

<br />

និង<br />

z z , z z , z z<br />

1 2 1 2 1 2<br />

<br />

<br />

ដំលោោះប្ាយ<br />

z1 1i<br />

3<br />

z1 z2 ( 1 i 3) 1 i 3 0<br />

<br />

<br />

z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 2 i2 3<br />

<br />

2 2<br />

z1 z2 1 i 3 1 i 3 1 i 3 i 3 i 3 2 i2 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

147


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ខ.សរហសរចំនួនក្ុំផៃ ិចជាទរមង់រតីហោណមារត<br />

z1<br />

z2 2 i2 3<br />

1 3<br />

z1 z2<br />

2 i2 3 4 <br />

i <br />

2 2 <br />

ែូចគនេះ<br />

1 3 2<br />

2<br />

<br />

4 <br />

i<br />

4 cos isin<br />

2 2 <br />

3 3 <br />

2<br />

2<br />

<br />

z1 z2<br />

4cos isin<br />

<br />

3 3 <br />

<br />

z1 z2<br />

4cos isin<br />

<br />

3 3<br />

<br />

4cos isin<br />

<br />

3 3<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

148


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

និមិត្តសញ្ញា ដែលប្រើ្ាស់បៅក្ន ុងបសៀវបៅបនេះ<br />

និមិត្តសញ្ញា<br />

<br />

<br />

Re z<br />

Im z<br />

z<br />

z<br />

arg z<br />

<br />

M z<br />

អត្ថន័យ<br />

1,2,3,4, . . .<br />

សំណុំ ចំនួនគត់ធ មជាតិ <br />

សំណុំ ចំនួនគត់រុ ឺឡាទី<br />

សំណុំ ចំនួនសនិទាន<br />

សំណុំ ចំនួនពិត<br />

<br />

<br />

0, 1, 2, 3, . . .<br />

p<br />

<br />

x | x , p , q , q 0<br />

q<br />

<br />

,<br />

<br />

សំណុំ ចំនួនក្ុំផៃិច <br />

ដផនក្ពិតម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ដផនក្និមិ តម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ចំនួនក្ុំផៃិចឆ្លៃ ស់ម្ន<br />

<br />

z | z a ib, a , b <br />

តម្មៃោច់ខាត ឬម ូឌុលម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

អាគុយម ង់ម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

ចំណុ ច M ជារូ ភាពម្នក្ុំផៃិច z<br />

OM z វុ ិចទ័រ OM ជារូ ភាពម្នក្ុំផៃិច<br />

AB <br />

អងកត់<br />

AB<br />

ឬ<br />

AB<br />

AB<br />

រ ដវងអងកត់ ឬរ ដវងវុ ិចទ័រ AB<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

z<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ឈ្នន ់នាំឱ្យ<br />

ឈ្នន ់សមមូល<br />

តូចជាង<br />

តូចជាង ឬហសម ើ<br />

ធំជាង<br />

ធំជាង ឬហសម ើ<br />

មិនហសម ើនឹង , ខុសពី<br />

ូក្ ឬែក្<br />

ជារ ស់<br />

មិនដមនជារ ស់<br />

រ ិមាណក្ររគ ់<br />

រ ិមាណក្រមាន<br />

ហហតុហនោះ ,ែូចហនោះ<br />

<br />

<br />

ពីហររោះ , មក្ពី<br />

ab ,<br />

ចហនាៃ ោះហ ើក្សងខាង a x b<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

149


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

<br />

<br />

<br />

ab ,<br />

ab ,<br />

<br />

<br />

<br />

ab ,<br />

max z<br />

ចហនាៃ ោះហ ើក្ខាងហឆាង a x b<br />

<br />

<br />

<br />

<br />

ចហនាៃ ោះហ ើក្ខាងាត ំ a x b<br />

<br />

<br />

ចហនាៃ ោះ ិទសងខាង a x b<br />

តម្មៃអតិ រមាម្នចំនួនក្ុំផៃិច z<br />

min z តម្មៃអ ប រមាម្នចំនួនក្ុំផៃិច<br />

! សញ្ជា ហាា ក្់តូដរយល<br />

n<br />

<br />

, C<br />

r<br />

<br />

<br />

<br />

e<br />

log a<br />

x<br />

ln x<br />

log x<br />

r<br />

n<br />

នសំម្ន n<br />

ធាតុែក្យក្មតង<br />

និមិ តសញ្ជា ផល ូក្<br />

ពី ឬ ម្ផ<br />

z<br />

n! 1 23 . . . n<br />

n<br />

<br />

k 1<br />

r<br />

ធាតុ<br />

3.1415926536 . . .<br />

ហគ្នលម្នហោោរ ីតធ មជាតិ<br />

ហោោរ ីតហគ្នល a<br />

ម្ន<br />

a a a a ... a<br />

x<br />

k<br />

1 2 3<br />

e 2.7182818285 . . .<br />

ហោោរ ីតហនដពរ ឬហោោរ ីតហគ្នល e ម្ន<br />

ហោោរ ីតទសភាគ ឬហោោរ ីតហគ្នល 10 ម្ន<br />

x<br />

x<br />

n<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

150


092 774440 ចំនួនក ំផ្ល ិ ច<br />

ឯការលោង<br />

១. ហសៀវហៅគណិ តវ ិទយថាន ក្់ទី ១២ រ ស់រក្សួងអ ់រ ំយុវជន និងក្ីឡា ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០២<br />

២. ហសៀវហៅគណិ តវ ិទយថាន ក្់ទី ១១ រ ស់រក្សួងអ ់រ ំ យុវជន និងក្ីឡា ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០៨<br />

៣. Complex Number from A to …Z by Titu Andreescu and Dorin Andrica 2006.<br />

៤. Problems in Elementary Mathematics by Mir Publisher Moscow.<br />

៥. ហសៀវហៅ “ចំនួនក្ុំផៃិច” ហរៀ ហរៀងហោយ JICA ហបាោះពុមភឆ្លន ំ ២០០៧<br />

រ ៀបរ ៀងរោយ៖ ធែល រេងថុង<br />

151

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!