Chuyên đề Lượng giác (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có giải) - Thầy Bảo Vương - FULLTEXT (188 trang)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất 

1 

DETHITHPT.COM 

TOÁN 11 

350 BÀI TẬP TRẮC 

NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH 

LƯỢNG GIÁC 

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM


2 

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 

1 

sin 2x 

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y 

cos3x 

1 

2 

 

A. D \ k , k 

B. 

3 

 

C. D \ k , k 

D. 

3 

1 

cos 3x 

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

1 

sin 4x 

 

A. D \ k , k 

B. 

4 2 

 

C. D \ k , k 

D. 

8 2 

 

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số y tan(2 x ) 

4 

3 

k 

 

A. D \ , k 

B. 

7 2 

3 

k 

 

C. D \ , k 

D. 

5 2 

2 

1 

cot x 

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau y 

1 

sin 3x 

n2 

 

A. D \ k , ; k, 

n 

B. 

3 6 3 

n2 

 

C. D \ k 

, ; k, 

n 

D. 

6 5 

tan 2x 


3 sin 2x 

cos 2x 

 

A. D \ k , k ; k 

B. 

4 2 12 2 

 

C. D \ k , k ; k 

D. 

4 2 3 2 

 

Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan( x ).cot( x ) 

4 3 

 

 

 

A. D \ k, k; 

k 

B. 

4 3 

3 

 

 

C. D \ k, k; 

k 

D. 

4 3 

 

D \ k , k 

6 

 

D \ k , k 

2 

 

 

 

 

 

 

3 

 

D \ k , k 

8 2 

 

D \ k , k 

6 2 

3 

k 

D \ , k 

8 2 

3 

k 

D \ , k 

4 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2 

D \ k 

, ; k, 

n 

6 3 

n2 

D \ k 

, ; k, 

n 

5 3 

 

 

 

 

 

 

 

D \ k , k ; k 

3 2 5 2 

 

D \ k , k ; k 

3 2 12 2 

3 

 

D \ k, k; 

k 

4 5 

3 

 

D \ k, k; 

k 

5 6 

 

Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan(2 x ) 

3 

 

 

 

 

A. D \ k , k 

B. D \ k , k 

3 2 

4 2


3 

C. 

 

 

D \ k , k 

D. 

12 2 

Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan3 x.cot 5x 

 

 

D \ k , k 

8 2 

 

 

 

n 

 

A. D \ k , ; k, 

n 

B. 

4 3 5 

C. 

n 

 

D \ k , ; k, 

n 

D. 

6 4 5 

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 

n 

D \ k , ; k, 

n 

5 3 5 

n 

D \ k , ; k, 

n 

6 3 5 

f( x) sin x 

 

A. T 2 

B. T 

C. T 

D. T 

0 0 

0 

2 

Bài 10. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau 

f( x) tan2 x , 

 

A. T 2 

B. T 

C. T 

D. T 

0 0 

0 

2 

Bài 11. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin2x sin 

x 

A. T 2 

B. 

Bài 12. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 

 

T 

C. T 

D. T 

0 

0 

2 

y tan x.tan3x 

 

 

A. T 

B. T 2 

C. T 

D. T 

0 

0 

2 

4 

Bài 13. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin3x 2cos2x 

A. T 2 

B. 

Bài 14. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau 

 

T 

C. T 

D. T 

0 

0 

2 

y sin 

A. Hàm số không tuần hoàn B. T 

C. T 

D. T 

0 

x 

0 

0 

 

 

2 

 

 

4 

Bài 15 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x 3 

A. max y 5 , min y 1 

B. max y 5 , min y 2 5 

C. max y 5 , min y 2 

D. max y 5 , min y 3 

Bài 16. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2cos 2 x 1 

A. max y 1, min y 1 

3 

B. max y 3 , min y 1 

3 


3 


3 

Bài 17. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau 

 

y 1 3sin2x 

 

4 

A. min y 2 

, max y 4 

B. min y 2 , max y 4 

C. min y 2 

, max y 3 

D. min y 1 

, max y 4 

2 

Bài 18. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3 2cos 3x 

A. min y 1 , max y 2 


C. min y 2 , max y 3 

D. min y 1 

, max y 3 

 

 

 

0 

0 

0 

0 

 

 

 

 

 

4 

 

 

4 

 

 

4 

 

 

4


4 

4 

Bài 19. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 

 

2 

1 2sin x 



3 

3 


D. min y 1 , max y 4 

3 

2 

2 2 

Bài 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x cos 2x 



4 



4 

Bài 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 1 





Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 1 

A. min y 6; max y 4 

B. min y 6; max y 5 

C. min y 3; max y 4 

D. min y 6; max y 6 

2 2 

Bài 23. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 2sin x 3sin 2x 4cos x 

A. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

B. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

C. min y 3 2; max y 3 2 1 

D. min y 3 2 2; max y 3 2 1 

2 2 

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y sin x 3sin 2x 3cos x 

A. max y 2 10; min y 2 10 

B. max y 2 5; min y 2 5 

C. max y 2 2; min y 2 2 

D. max y 2 7; min y 2 7 

Bài 25. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y2sin3x 

1 

A. min y 2,max y 3 

B. min y 1,max y 2 

C. min y 1,max y 3 

D. min y 3,max y 3 

2 

Bài 26. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3 4cos 2x 





Bài 27. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 1 2 4 cos3x 

A. min y 1 2 3,max y 1 

2 5 

B. min y2 3,max y 2 5 

C. min y 1 2 3,max y 1 

2 5 

D. min y 1 2 3,max y 1 

2 5 

Bài 28. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 4sin6x 3cos6x 






3 

y 

2 

1 

2 sin 

x 

3 3 

3 4 

A. min y ,max y 

B. min y ,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2


5 

2 3 

3 3 

C. min y ,max y 

D. min y ,max y 

1 

3 1 

2 

1 

3 1 

2 


 

y 2cos(3 x ) 3 

3 





Bài 31. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3 2sin 2 2x 

4 

A. min y 6 , max y 4 3 

B. min y 5 , max y 4 2 3 

C. min y 5 , max y 4 3 3 

D. min y 5 , max y 4 3 

2 

Bài 32. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y sin x 2 sin x 





Bài 33. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan 2 x 4 tan x 1 

A. min y 2 

B. min y 3 

C. min y 4 

D. min y 1 

Bài 34. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y tan 2 x cot 2 x 3(tan x cot x ) 1 

A. min y 5 

B. min y 3 

C. min y 2 

D. min y 4 

Bài 35. Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos4x 2m 1 

xác định với mọi x . 

A. m 1 

B. 

 

61 1 

 

m C. m 61 1 

D. 

2 

2 

Bài 36. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y2 3sin3x 





 

m 61 1 

2 

2 

Bài 37. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 14sin 2x 





Bài 38 . Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 1 3 2sin x 


5 

B. min y2; max y 5 


5 

D. min y2; max y 4 

2 

Bài 39. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 2 sin 4x 

A. min y 3 2 2; max y 3 2 3 

B. min y 2 2 2; max y 3 2 3 

C. min y 3 2 2; max y 3 2 3 

D. min y 3 2 2; max y 3 3 3 

Bài 40. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 4sin3x 3cos3x 

1 





Bài 41. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3 cos x sin x 4 

A. min y2; max y 4 

B. min y2; max y 6 

C. min y4; max y 6 

D. min y2; max y 8


6 


sin 2x2cos2x3 

y 

2sin 2xcos2x4 

2 

A. min y ; max y 2 

B. min y 2 ; max y 3 

11 

11 

2 

C. min y ; max y 4 

D. min y 2 ; max y 2 

11 

11 


2 

2 sin 3x 4 sin 3xcos 3x 

1 

y 

sin 6x4 cos6x10 

 

 

A. min 

11 9 7 ; max 

11 9 7 

 

 

y y B. min y 

22 9 7 ; max y 

22 9 7 

83 83 

11 11 

 

 

C. min 

33 9 7 ; max 

33 9 7 

 

 

y y D. min y 

22 9 7 ; max y 

22 9 7 

83 83 

83 83 

Bài 44. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3cos x sin x 2 

A. min y 2 5; max y 2 5 

B. min y 2 7; max y 2 7 

C. min y 2 3; max y 2 3 

D. min y 2 10; max y 2 10 


2 

sin 2x 

3sin 4x 

y 

2 

2 cos 2xsin 4x2 

 

 

A. min 

5 2 22 , max 

5 2 22 

 

 

y y B. min y 

5 2 22 , max y 

5 2 22 

4 4 

14 14 

 

 

C. min 

5 2 22 , max 

5 2 22 

 

 

y y D. min y 

7 2 22 , max y 

7 2 22 

8 8 

7 7 

Bài 46. Tìm tập giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số sau y 3(3sin x 4cos x) 2 4(3sin x 4cos x ) 1 

1 

A. min y ; max y 96 

B. min y 1 ; max y 6 

3 

3 

1 

C. min y ; max y 96 

D. min y2;max y 6 

3 

2 

Bài 47. Tìm m để các bất phương trình (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos x 2m 1 

đúng với mọi x 

A. m 0 

B. m 0 

C. m 0 

D. m 1 

Bài 48. Tìm m để các bất phương trình 

A. m 65 

B. 

4 


A. 

C. 

Bài 50. Cho 

A. 

3sin 2x 

cos2x 

m 

1 

đúng với mọi 

2 

sin 2x4cos x1 

x 

 

65 9 

 

m C. 65 9 

 

m D. m 65 9 

4 

2 

4 

15 29 

10 3 m B. 

2 

4sin 2xcos2x17 

2 đúng với mọi 

3cos2x sin 2x m 1 

15 29 

10 1 m 

2 

15 29 

10 1 m D. 10 1 m 10 1 

2 

4 

4 

 

sin x cos y 

xy , 0; thỏa cos2x cos2y 2sin( x y ) 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P . 

2 

y x 

min P 3 B. 

 

min P 2 

C. 

 

x 

min P 2 

D. 

3 

min P 5


7 

Bài 51.. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số 

ksin x1 

y 

cos x 2 

lớn hơn 1 . 

A. k 2 

B. k 2 3 

C. k 3 

D. k 2 2 

C.BÀI TẬP TỔNG HỢP 

Câu 1. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa, 

A. hàm số lượng giác có tập xác định là . 

B. hàm số y tan x có tập xác định là . 

C. hàm số y cot x có tập xác định là . 

D. hàm số y sin x có tập xác định là . 

Câu 2. Xét trên tập xác định thì 

A. hàm số lượng giác có tập giá trị là 1;1 

. 

B. hàm số y cos xcó tập giá trị là 1;1 

. 

C. hàm số y tan xcó tập giá trị là 1;1 

. 

D. hàm số y cot xcó tập giá trị là 1;1 

. 


A. hàm số y sin xlà hàm số chẵn. 

B. hàm số y cos x là hàm số chẵn. 

C. hàm số y tan x là hàm số chẵn. 

D. hàm số y cot x là hàm số chẵn. 

Câu 4. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai? 

A. hàm số y cos xlà hàm số lẻ. 

B. hàm số y sin x là hàm số lẻ. 

C. hàm số y tan x là hàm số lẻ. 

D. hàm số y cot x là hàm số lẻ. 

Câu 5. Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ? 

A. y sin x. B. y cos x. C. y tan x. D. y cot x. 


A. hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2 . 

B. hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 . 

C. hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 . 

D. hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì . 

Câu 7. Xét trên một chu kì thì đường thẳng 

y m (với 1 m 1) luôn cắt đồ thị 

A. hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm. 

B. hàm số y sin x tại duy nhất một điểm.


8 

C. hàm số y cos x tại duy nhất một điểm. 

D. hàm số y cot x tại duy nhất một điểm. 


A. hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

B. hàm số y sin x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

C. hàm số y tan x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

D. hàm số y cot x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

Câu 9. Trên khoảng ( 4 ; 3 ) , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương? 


7 

5 

 

Câu 10 .Trên khoảng 

; , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm? 

2 2 


Câu 11. Các hàm số y sin x, y cos x, y tan x, y cot x nhận giá trị cùng dấu trên khoảng nào sau đây? 

3 

 

3 

 

A. 2 ; . B. 

; 

. C. 

; 

2 

2 

2 

. D. 

 

;0 

. 

2 

Câu 12. Hàm số y5 3sin 

x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? 

A. 1;1 

. B. 3; 3 . C. 5;8 . D. 2;8 . 

Câu 13. Hàm số y 5 4cos x 3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? 

A. 1;1 

. B. 5; 5 . C. 0;10 . D. 2;9 . 

Câu 14. Trên tập xác định, hàm số y tan 

x cot 

x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? 

A. ; 

. B. ; 2 . C. 

; 2 2; . 

Câu 15. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? 

2; . D. 

A. y = sinx B. y = x+1 C. y = x 2 D. 

Câu 16. Hàm số y = sinx: 

 

 

A. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 

 

2 

 

kZ 

3 5 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 

2 2 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 

 

3 

C. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 

2 2 

 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 

 

 

 

 

x 1 

y 

x 2 

và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 

; k2 

 

 

 

 

và nghịch biến trên mỗi khoảng 


với


9 

 

D. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 


2 2 

 

3 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 


A. y = sinx –x B. y = cosx C. y = x.sinx D. 


A. y = x.cosx B. y = x.tanx C. y = tanx D. 


A. y = sin x 

x 

Câu 20. Hàm số y = cosx: 

y 

1 

y 

x 

B. y = tanx + x C. y = x 2 +1 D. y = cotx 

 

 


 

2 

 

kZ 

2 

x 1 

x 

và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 

; k2 

 


và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 

 

C. Đồng biến trên mỗi khoảng 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 

 

3 

 

k2 ; k2 

 

2 2 

với 

với kZ 



và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ;3 k2 

 

với kZ 

Câu 21. Chu kỳ của hàm số y = sinx là: 

A. k2 kZ 

B. 

2 

 

C. D. 2 

Câu 22. Tập xác định của hàm số y = tan2x là: 

A. 

 

x k 

B. 

2 

Câu 23. Chu kỳ của hàm số y = cosx là: 

A. k2 kZ B. 2 

3 

Câu 24. Tập xác định của hàm số y = cotx là: 

A. 

 

x k 

B. 

2 

Câu 25. Chu kỳ của hàm số y = tanx là: 

A. 2 B. 

4 

 

 

x k 

C. 

4 

 

x k 

C. 

4 

 

x k 

D. 

8 2 

C. D. 2 

 

x k 

4 2 

 

x k 

D. x 

k 

8 2 

C. k , kZ D.


10 

Câu 26. Chu kỳ của hàm số y = cotx là: 

A. 2 B. 

2 

 

C. D. k kZ 

Câu 27. Tập xác định của hàm số y sinx 1 là: 

 

A. D B. D C. D k2 , k 

2 

1 

Câu 28. Tập xác định của hàm số y 

là: 

sinx 

cosx 

 

 

 

 

 

D. D 

2 

 

 

 

A. D \ 

4 

 

 

B. D x | x k , k 

 

2 

 

 

 

 

C. D * 

D. D x | x k , k 

4 

2 

Câu 29. Tập xác định của hàm số y 1 cos x 

là: 

A. D B. D x | x k2 , 

k 

C. D \ 

 

D. D x | x 

k, 

k 

Câu 30. Tập xác định của hàm số 

y tan 

 

x 

 

 

4 là: 

 

A. D \ 

 

4 

 

 

B. D x | x k 

, k 

 

4 

 

 

 

 

 

C. D \ 

4 

 

D. D x | x k 

, k 

4 

 

 

 


ycos 

cot 

 

x 

 

 

 

 

6 

là: 

A. 

2 

D x | x k 

, k 

3 

 

 

 

B. 

2 

D x | x k2 , k 

3 

 

 

 

 

C. D x | x k2 , k 

6 

 

 

 

 

D. D x | x k 

, k 

6 

 

 

 


y 

sin 

1 

x 

cos x 

4 4 

là: 

 

A. D x | x k2 , k 

4 

 

 

 

B. 

 

1 

D x | x k , k 

4 2 

 

 

 

 

C. D x | x k 

, k 

4 

 

 

 

D. 

 

1 

D x | x k , k 

 

4 

 

 

 


y 3 sin 2x tanx là: 

 

A. D x | x k 

, k 

2 

 

 

 

 

 

B. D x | x k , k 

 

2


11 

 

C. D x | x k2 , k 

2 

 

 

 

D. D x | x k 

, k 


y 

1 

1 

cos 4x 

là: 

A. 

 

1 

D x | x k , k 

 

4 

 

 

 

 

B. D x | x k , k 

4 

 

 

 

 

 

C. D x | x k , k 

 

2 

 

 

 

 

D. D x | x k , k 

4 2 

 

 

 

Câu 35. Tập xác định của hàm số y tanx 3 là: 

 

A. D x | k 

x k , 

k 

3 2 

 

 

 

 

B. D x | k 

x, k 

3 

 

 

 

 

 

C. D x |k 

x k , 

k 

 

3 

Bài 36. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào chẵn? 

A. 

 

 

 

3 

y sin tanx B. sinx tanx 

Bài 37. y 3cos 

2x 

 

là hàm số tuần hoàn với chu kì: 

6 

 

D. D x | k 

x k , 

k 

3 2 

y C. y cos x xsinx 

D. 

A. T 2 

B. T 

 

3 

C. T D. T 

2 

2 

Bài 38. y tan 5x 


A. T 

B. 

 

 

 

tanx 

y 

2 cos x 

2 

T C. T 

D. T 2 

5 

5 

Bài 39. 

y 

2 

tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 


2 

A. T 

B. T 

C. T 

D. T 

 

2 

2 

y sin 2x 

 

 

 

 


4 

A. T 

 

2 

B. T 2 

C. T 

D. T 

2 

Bài 41. y cos3x sin3x 


A. T 2 

B. T 

C. T 3 

D. T 

3 

2 

3 


y 

3 

cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 

A. T 

B. 

T 

3 

 

C. T 2 

 

D. T 

2 

3 


3 3 

y sin x cos x 


A. T 

 

3 

B. T 

C. T 3 

D. T 2 

3


12 


4 4 

y cos x sin x 


A. T 

 

4 

B. T 

C. T 

D. T 2 

4 

2 

Bài 45. y cos2x cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 


A. T 

B. T 2 

C. T 

D. T 2 

sinx 

y 1 cos x 


A. T 

B. 

Bài 47. GTLN và GTNN của hàm số 

1 

T C. T 2 

D. T 

 

 

2 

 

y cos x trên 

; 

4 3 

 

là: 

A. 1 và 1 2 

B. 

3 

2 và 1 2 

 

Bài 48. GTLN và GTNN của hàm số y sin 2x 

trên 

; 

6 3 

 

là: 

C. 

2 

2 và 1 2 

D. 0 và 1 2 

A. 1 2 và 3 

2 

B. 


3 

2 và 3 

C. 

2 

 

y 3 tanx trên 

; 

3 4 

 

là: 

3 

2 và 1 

D. 1 2 

2 và 1 

 

2 

A. 3 và 

3 

B. 3 và 

3 

3 

3 

C. 3 và 3 

D. 3 và 1 


y sinx cos2x trên là: 

A. 0 và 2 2 B. 4 

2 và 2 C. 2 và 0 D. 4 và 2 

2 

Bài 51. GTLN và GTNN của hàm số y cos x sin x 1 

trên là: 

A. 3 và 1 B. 1 và 1 

C. 9 4 và 0 D. 9 4 và 2 


4 4 

y cos x sin x 

trên là: 

A. 2 và 0 B. 1 và 1 2 

C. 2 và 0 D. 2 và 1 


A. 

13 và 1 

3 

1 

y 

B. 3 và 


A. 

1 

2 1 

và 

1 

2 1 

B. 

y 

1 

trên 

2 

3 sin x 

1 

3 

1 

12 và 1 

C. 

là: 

13 và 1 

1 

3 

2 

1 

2 

 

trên ; 

2 cos x 4 3 

 

là: 

2 

2 

2 

C. 

12 và 1 

2 

3 

2 

D. 

13 và 1 

3 

3 

4 

D. 2 và 

2 

2 2 1


13 

1D 2B 3B 4A 5B 6D 7D 8B 9A 10B 

11A 12D 13C 14D 15A 16D 17B 18C 19D 20B 

21A 22D 23A 24D 25D 26C 27C 28d 29B 30D 

31D 32B 33A 34D 35D 36C 37d 38c 39c 40a 

41d 42C 43D 44C 45D 46C 47C 48B 49C 50C 

51D 52B 53A 54D 

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 

Bài 1. Giải phương trình 

1 

sin 

2x 

 

 

 

3 

2 

A. 

 

x k 

 

4 

, k B. 

5 

x 

k 

12 

 

x 

k 

 

4 

, k C. 

5 

x k 

12 

 

x 

k 

 

4 

, k D. 

 

x 

k 

12 

 

x k 

 

4 2 

, k 

 

x 

k 

12 2 

Bài 2. Giải phương trình cos3 15 

x 

0 3 

2 

A. 

C. 

0 0 

x25 k.120 

 

x 15 k.120 

0 0 

, k B. 

0 0 

x25 k.120 

 

. k D. 

0 0 

x15 k.120 

0 0 

x5 k.120 

 

x15 k.120 

0 0 

0 0 

x5 k.120 

 

x 15 k.120 

0 0 

, k 

, k 


1 1 

sin(4 x ) 

2 3 

A. 

C. 

1 

x 

k 

 

8 2 

, k B. 

 

x k 

4 2 

1 1 1 

x arcsin k 

 

8 4 3 2 

, k D. 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

1 1 1 

x arcsin k 

 

8 4 3 2 

, k 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

1 1 1 

x arcsin k 

 

8 4 3 2 

, k 

1 1 

x arcsin k 

4 4 3 2 

Bài 4. Giải phương trình sin(2x 1) cos(2 x) 

A. 

 

x 

2 

k2 

 

2 

, k B. 

1 k2 

x 

6 3 3 

 

x 

3 

k2 

 

2 

, k 

1 k2 

x 

6 3 3


14 

C. 

 

x 

3 

k2 

 

2 

, k D. 

1 k2 

x 

6 3 3 

 

x 

k2 

 

2 

, k 

1 k2 

x 

6 3 3 

Bài 5. Giải phương trình 2cos x 2 0 

 

 

A. x k2 , ( k ) B. x k2 , ( k ) 

6 

5 

 

 

C. x k2 , ( k ) D. x k2 , ( k ) 

3 

4 


2x 2 cot 3 

3 

A. 

C. 

5 3 3 

x arc cot k 

( k 

2 2 2 

) 

B. 

3 3 3 

x arc cot k 

( k 

2 7 2 

) 

D. 

3 5 3 

x arc cot k 

( k ) 

2 2 2 

3 3 3 

x arc cot k 

( k ) 

2 2 2 


 

tan(4 x ) 3 

3 

 

A. x k 

, k B. 

2 

 

x k , k 

3 3 

C. 

 

x k 

, k 

D. 

3 

 

x k , k 

3 


cot(4x 20 ) 

0 1 

3 

A. 

C. 

0 0 

x 30 k.45 , k 

B. 

0 0 

x 35 k.90 , k 

D. 

0 0 

x 20 k.90 , k 

 

0 0 

x 20 k.45 , k 

 

Bài 9. Giải phương trình sin 2x2cos 2x 

0 

A. 

C. 

1 k 

x arctan 2 , k 3 2 

B. 

1 k 


D. 

1 k 

x arctan 2 , k 

3 3 

1 k 


2 2 

Bài 10. Giải phương trình tan 2x 

tan x 

A. 

1 

 

 

x k 

, k B. x k , k C. x k 

, k D. x k 

, k 

2 

2 

3 

Bài 11. Giải phương trình 3 tan 2x 3 0 

A. 

 

x k ( k ) 

B. 

6 2 

 

x k 

( k ) 

3


15 

 

C. x k 

( k ) 

D. 

6 

 

x k ( k ) 

2 2 

2 

Bài 12. Giải phương trình cos xsin2 x 0 

 

x 

k 

A. 

2 

k 

 

1 

xarctan k 

3 

 

x 

k 

C. 

2 

k 

 

1 

xarctan k 

5 

 

x 

k 

B. 

2 

k 

 

1 

xarctan k 

4 

 

x 

k 

D. 

2 

k 

 

1 

xarctan k 

2 

Bài 13. Giải phương trình sin(2x 1) cos(3x 1) 0 

 

x 2 

k2 

A. 

2 

k 

 

2 

x 

k 

10 5 

 

x 3 

k2 

C. 

2 

k 

 

2 

x k 

10 5 

 

x 2 

k2 

B. 

2 

k 

 

2 

x k 

10 5 

 

x 6 

k2 

D. 

2 

k 

 

2 

x 

k 

10 5 

 

Bài 14. Giải phương trình sin(4 x ) sin(2 x ) 0 

4 3 

7 

k 

x 

 

A. 

72 3 

k 

 

 

x 

k 

24 

7 

k 

x 

 

C. 

72 3 

k 

 

 

x 

 

11 

4 

 

k 

7 

k 

x 

 

B. 

72 3 

k 

 

11 

x 2k 

24 

7 

k 

x 

 

D. 

72 3 

k 

 

 

x 

 

11 

24 

k 

Bài 15. Giải phương trình cos7x sin(2 x ) 0 

5 

k2 

x 

 

A. 

50 5 

k 

B. 

50 5 

k 

 

k 

x 

30 7 

k2 

x 

 

3 

k2 

x 

 

k2 

x 

30 7 

C. 

50 5 

k 

D. 

50 5 

k 

 

k 

x 

30 7 

3 

k2 

x 

 

k2 

x 

30 7 


2 2 

sin 2 cos ( ) 

x x 

4


16 

 

x 

k 

A. 

4 

k 

 

k 

x 

2 3 

 

x 

2k 

B. 

4 

k 

 

k 

x 

12 3 

 

x k 

C. 

4 

k 

 

k 

x 

12 3 

 

x 

k 

D. 

4 

k 

 

k 

x 

12 3 


2 2 

sin xcos 4x 

1 

k 

x 

 

A. 

13 

k 

 

k 

x 

5 

k 

x 

 

B. 

23 

k 

 

k 

x 

25 

k 

x 

 

C. 

3 

k 

 

k 

x 

5 

k 

x 

 

D. 

3 

k 

 

k 

x 

35 

Bài 18. Giải phương trình sin 2x3sin 4x 

0 

k 

x 

 

2 

1 1 

 

x arccos 

k 

3 6 

A. 

k 

 

k 

x 

 

2 

7 1 

 

x arccos 

k 

2 6 

C. 

k 

 

k 

x 

 

2 

5 1 

 

x arccos 

k 

2 6 

B. 

k 

 

k 

x 

 

2 

1 1 

 

x arccos 

k 

2 6 

D. 

k 

 

Bài 19. Giải phương trình 6sin 4x5sin 8x 

0 

k 

x 

 

4 

1 3 

k 

 

x arccos 

4 5 2 

A. 

k 

 

k 

x 

1 

4 

1 3 

k 

 

x arccos 

4 5 2 

C. 

k 

 

k 

x 

 

4 

1 3 

k 

 

x arccos 

3 5 2 

B. 

k 

 

k 

x 

 

4 

1 3 

k 

 

x arccos 

4 5 2 

D. 

k 

 


cos 2x 

0 

1 

sin 2x 

 

4 

3 

14 

A. x k 

, k 

B. x k 

, k 

C. x 2 k 

, k 

D. x k 

, k 

 

Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin 3x 0 

3 

4 

3 

4 

 

x 

k 

A. 

4 2 

k 

 

2k 

x 

3 

 

x 

k 

B. 

3 2 

k 

 

2k 

x 

3 

 

x 

k 

C. 

4 

k 

3 m, 

k 

k 

x 

3 

D. 

 

x 

k 

 

4 2 

k 

x 

3 

 

k 3 m, 

k


17 

Bài 22. Giải phương trình tan 3x 

tan 4x 

 

2 

A. x m 

m B. x 2 m 

m C. x 2m 

m D. x m 

m 

 

Bài 23. Giải phương trình cot 5 x.cot 8x 

1 

m 

26 13 

m 

26 15 

A. x , m 13n 5, m, 

n 

B. x , m 13n 6, m, 

n 

 

m 

26 13 

m 

26 13 

C. x , m 13n 7, m, 

n 

D. x , m 13n 6, m, 

n 

 

Bài 24. Số nghiệm của phương trình 

2 

4 x 

sin 2x 

0 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 

Bài 25. Cho phương trình 

 

1 x 1 x cos x 0 kết luận nào sau đây về phương trình là đúng? 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 nghiệm C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm 


2 2 2 

tan cot 1 cos (3 ) 

x x x 

4 

 

A. x 2k 

B. 

4 

 

x k 

C. 

4 2 

 

x k 

D. 

4 3 

 

x k 

4 


2 

2 

cos( sin x ) 1 

3 3 

 

2 

2 , 2 3 

A. x k 

, k 

B. x k k 

C. x k2 , k 

D. x k2 , k 

 

 

 

cot cos 1 1 

4 

 

 

 

Bài 28. Giải phương trình x 

 

2 

 

2 2 

A. x 2 k 

, k 

B. x k , k 

C. x k , k 

D. x k 

, k 

 

Bài 29. Giải phương trình 3 sin 2x cos 2x 1 0 

 

2 

 

2 3 

 

3 

 

2 

x 

k 

A. 

k 

 

 

x k 

3 

x 

k 

B. 

k 

 

2 

x 2k 

3 

x 

2k 

C. 

k 

 

2 

x 2k 

3 

x 

k 

D. 

k 

 

2 

x k 

3 

Bài 30. Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2cos 5x 

5 

k 

x 

 

A. 

48 5 

k 

 

 

x 

 

5 

12 

k 

5 

k 

x 

 

B. 

48 4 

k 

 

5 

x 2k 

12


18 

5 

k 

x 

 

C. 

48 4 

k 

 

5 

 

x k 

12 2 

5 

k 

x 

 

D. 

48 4 

k 

 

 

x 

 

5 

12 

k 

Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x 2cos x) 2 

khẳng định nào sao đây là đúng? 

A. Có 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. Có 4 nghiệm D. Có 2 họ nghiệm 

Bài 32. Giải phương trình 3(sin 2x cos7 x) sin7x cos2x 

2 

x k 

A. 

10 5 

k 

 

7 

2 

x 

k 

54 9 

3 

x 

k 

B. 

10 5 

k 

 

7 

 

x 

k 

54 3 

 

x 

k 

C. 

10 5 

k 

 

7 

 

x 

k 

54 9 

4 sin x cos x 3 sin 4x 

2 

4 4 

Bài 33. Giải phương trình 

k 

x 

 

A. 

4 7 

k 

B. 

4 5 

k 

 

k 

x 

12 7 

k 

x 

 

k 

x 

 

k 

x 

12 5 

C. 

4 3 

k 

D. 

4 2 

k 

 

k 

x 

12 3 

k 

x 

 

k 

x 

12 2 

2 

x 

k 

D. 

10 5 

k 

 

7 

2 

x 

k 

54 9 


1 cos x cos2x cos3x 

2 

(3 3 sin x ) 

3 

2 

2cos xcos x1 

 

3 

A. x k, x k2 , 

k 

B. x k2 , x k2 , 

k 

 

 

3 

C. x k3 , x k3 , 

k 

D. x k, x k3 , 

k 

 

 

3 

 

3 


cos x 2sin x.cos 

x 

 

2 

2cos xsin x1 

3 

A. 

C. 

5 

k 

x , k 

18 3 

B. 

k4 

x , k 

9 3 

D. 

k2 

x , k 

18 3 

5 

k5 

x , k 

18 3 

2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x 

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 

A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất


19 


2 

3cos4x sin 2x cos2x 

2 0 

 

A. x k2 ( k ) 

2 

6 . 

7 

hoặc x arccos k2 

k 

 

 

B. x k ( k ) 

2 2 

6 . 

7 


k 

 

 

C. x k 

( k ) 

2 

arccos 6 . 

7 

hoặc x k 

k 

 

 

D. x k 

( k ) 

2 

6 . 

7 


k 

 


1 

3cot x 1 0 

2 

sin x 

 

4 2 

A. x k k 

hoặc x arc cot( 2) 

k k 

 

 

4 3 

B. x k k 


k k 

 

 

4 

C. x k 

k 


k 

k 

 

 

4 

D. x k 

k 

hoặc x arc cot(2) k 

k 

 

Bài 39. Giải phương trình 3 tan x cot x 3 1 0 

 

2 

 

3 

 

x 

k 

A. 

4 

k 

 

 

x k 

6 2 

 

x 

k2 

B. 

4 

k 

 

 

x 

k2 

6 

 

x 

k3 

C. 

4 

k 

 

 

x 

k3 

6 

 

x 

k 

D. 

4 

k 

 

 

x 

k 

6 


2 x 

cos2x3cos x 

4cos 2 

2 

3 

2 2 

3 3 

A. x k 

k 

 

B. x k k 

 

2 

D. 

3 

C. x k4 

k 

 

Bài 41. Giải phương trình x x 

1 sin 1 cos 2 

A. 

 

 

x 

k2 

2 , k B. x 

k 

 

4 , k 

 

x 

k 

x 

k 

C. 

 

x 

k2 

 

2 , k D. 

 

x 

k2 

 

x 

k2 

3 , k 

 

x 

k2


20 

Bài 42. Giải phương trình x x x 

sin2 4 sin cos 4 

 

x 

k 

 

x 

k 

A. 

2 k 

 

2 

x 

k 

 

B. 

2 3 

k 

 

2 

x 

k 

 

3 

1 

x 

k 

 

C. 

2 2 

k 

 

1 

x 

k 

 

2 

 

x 

k2 

 

x 

k2 

D. 

2 k 

 

2 sin x cos x tan x cot x 


 

4 

1 , 4 2 

2 , 4 3 

A. x k 

, k 

B. x k k 

C. x k k 

D. x k2 , k 

 

 

4 


3 3 

cos x sin x 1 

. 

 

x k 

 

x 

k 

A. 

2 k 

 

 

x 

k7 

 

x 

k7 

C. 

2 k 

 

 

x 

k3 

 

x 

k3 

B. 

2 k 

 

 

x 

k2 

 

x 

k2 

D. 

2 k 

 


2 

2sin x 5sin x 3 0 

 

2 

1 

2 2 

A. x k 

k 

 

B. x k k 

 

 

2 

C. x k3 

k 

 

D. x k2 

k 

 

Bài làm. Phương trình sin x 1 x k2 

2 

2 


2cos 2 2 3 1 cos2x 3 0 

 

2 

1 3 1 

2 2 2 

1 3 1 

2 2 

A. x arccos k k 

 

B. x arccos 3k 

k 

 

1 3 1 

2 2 

1 3 1 

2 2 

C. x arccos k 

k 

 

D. x arccos 2k 

k 

 


2 tan x 

5 

2 

1 

tan x . 

1 26 

5 

1 26 1 

5 2 

A. x arctan 2 k 

, k 

 

B. x arctan k 

, k 

 

1 26 

5 

1 26 

5 

C. x arctan 3 k 

, k 

 

D. x arctan k 

, k 

 

Bài 48. Giải phương trình cos 2x 5sin x 3 0 . 

7 

6 6 

7 

6 6 

A. x k, 

x kk 

 

B. x k3 , x k3 k


21 

7 

6 6 

7 

6 6 

C. x k4 , x k4 k 

D. x k2 , x k2 k 


4 4 

2 

3 

5 1 cos x 2 sin x cos x . 

2 1 , 3 2 

A. x k 

, k 

B. x k k 

 

2 

3 

C. x k2 , k 

 

D. x k2 , k 

 

 

3 


5 

7 

 

sin 2x 3cos x 1 

2sin x 

2 2 

. 

A. 

C. 

5 

x k , x 

k , x k 

6 6 

B. 

5 

x k2 , x 

k , x k 

6 6 

D. 

5 

x k2 , x k2 , x k2 

6 6 

5 

x k , x k2 , x k2 

6 6 


3 

7cos 4cos 4sin2 

x x x 

A. 

 

x 

k2 

 

2 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

B. 

 

x 

k2 

 

2 

5 

x k, 

x k 

6 6 

C. 

 

x 

k 

 

2 

5 

x k, 

x k 

6 6 

D. 

 

x 

k 

 

2 

5 

x k2 , x k2 

6 6 


2 

cos4x 

cos 3 

x 

A. 

x 

k2 

 

k3 

x 

12 2 

x 

k 

B. 

k3 

x 

12 2 

C. 

x 

k2 

 

k 

x 

12 2 

D. 

x 

k 

 

k 

x 

12 2 


2 2 

2cos x 6sin xcos x 6sin x 1 

A. 

 

x k2 

 

4 

1 

 

x arctan 

k2 

5 

B. 

 

x k2 

 

4 

1 

 

x arctan 

k 

5 

C. 

 

x k 

 

4 

1 

1 

 

x arctan 

k 

5 

2 

D. 

 

x k 

 

4 

1 

 

x arctan 

k 

5 


2 2 

cos x 3 sin 2x 1 

sin x


22 

 

x k 

A. 

 

3 

x 

k 

B. 

 

x 

k2 

 

3 

x 

k2 

C. 

 

x 

k 

 

3 

1 

x 

k 

2 

D. 

 

x 

k2 

 

3 

x 

k 


2 2 

cos x sin xcos x 2sin x 1 0 

là: 

A. 

1 

x k2 , x arctan 

k2 

3 

B. 

1 1 1 

x k , x arctan 

k 

3 3 3 

C. 

1 1 1 

x k , x arctan 

k 

2 3 2 

D. 

1 

x k, x arctan 

k 

3 


2 

cos x 3 sin xcos x 1 0 

là: 

 

A. x k2 , x k2 

B. 

3 

1 1 

x k , 

x k 

2 3 2 

C. 

1 1 

 

x k , 

x k 

D. x k, 

x k 

3 3 3 

3 

2 2 sin x cos x cos x 3 2cos x , Khẳng định nào sau đây đúng? 


2 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm 

Bài 59. Giải phương trình tan x cot x 2sin2x cos2x 

là: 

A. 

 

x 

k 

 

4 

 

x 

k 

8 

B. 

 

x 

k2 

 

4 

 

x 

k2 

8 

C. 

3 

x 

k 

 

4 2 

3 

x k 

8 2 

D. 

 

x 

k 

 

4 2 

 

x k 

8 2 


3 

2cos 

x 

sin3x 

A. 

x arctan( 2) k2 

 

 

B. 

x k2 

4 

 

1 

x arctan( 2) 

k 

 

2 

1 

x 

k 

 

4 2 

C. 

 

1 

x arctan( 2) 

k 

 

3 

1 

x 

k 

 

4 3 

D. 

x arctan( 2) 

k 

 

 

x k 

4 


3 3 2 

4sin x 3cos x 3sin x sin xcos x 0 

A. 

 

x k2 

 

3 

 

x 

k2 

4 

B. 

1 

x 

k 

 

3 2 

1 

x k 

 

4 2 

C. 

1 

x 

k 

 

3 3 

1 

x k 

 

4 3 

D. 

 

x k 

 

3 

 

x 

k 

4 

Bài 62 . Giải phương trình 3 sin 2xcos 2x 2 là:


23 

A. 

7 

x 

k 

 

24 

 

x 

k 

24 

B. 

7 

x 

k2 

 

24 

 

x 

k2 

24 

C. 

7 

1 

x 

k 

 

 

24 2 

1 

x 

k 

 

24 2 

D. 

7 

x 

k 

 

24 

 

x 

k 

24 


6 

4sin x 3cos x 6 

4sin x3cos x1 

là: 

A. 

3 

x arctan 

k 

4 

 

x 

k2 

2 

B. 

3 

x arctan 

k2 

4 

 

x k2 

 

2 

C. 

3 

1 

x arctan 

k 

4 

2 

1 

x k 

2 2 

D. 

3 

x arctan 

k2 

4 

 

x k 

2 



x 

 

2 

2cos xsin x1 

3 

 

4 

5 

A. x k B. x k 

C. x k 

D. 

18 3 

18 3 

18 3 

4 4 


4 sin x cos x 3 sin 4x 

2 

2 

x k 

18 3 

A. 

k3 

x 

 

 

4 2 

k3 

x 

12 2 

B. 

k5 

x 

 

 

4 2 

k5 

x 

12 2 

C. 

k7 

x 

 

 

4 2 

k7 

x 

12 2 

D. 

k 

x 

 

 

4 2 

k 

x 

12 2 


2sin2 sin cos 1 0 

 

A. x k, 

x k 

hoặc 

2 

1 

x arccos 

k 

4 2 2 

B. 

C. 

1 1 

x k , 

x k hoặc 

3 2 3 

2 2 

x k , 

x k hoặc 

3 2 3 

1 1 

x arccos 

k 

4 2 2 3 

1 2 

x arccos 

k 

4 2 2 3 

 

D. x k2 , x k2 

hoặc 

2 

1 

x arccos 

k2 

4 2 2 


sin2 12 sin cos 12 0 

 

A. x k , x k2 

B. 

2 

2 

x k2 , x k 

2 3 

C. 

1 2 

x k , x k 

D. x k2 , x k2 

2 3 3 

2


24 

Bài 68. Giải phương trình sin 2x 2 sin 

x 

 

1 

4 

 

A. x k , x k , x k2 

B. 

4 2 

1 1 1 

x k , x k , x k 

4 2 2 2 2 

C. 

2 2 

 

x k , x k , x k2 

D. x k , x k2 , x k2 

4 3 2 3 

4 2 

Bài 69. Giải phương trình 1tan x 2 2 sin x 

A. 

C. 

11 5 

x k , x k , x k 

4 12 12 

B. 

11 1 5 

x k2 , x k , x k2 

4 12 4 12 

D. 

2 11 2 5 2 

x k , x k , x k 

4 3 12 3 12 3 

11 5 

x k2 , x k2 x , x k2 

4 12 12 

Bài 70. Giải phương trình cos x sin x 2sin2x 

1 

A. 

k3 

x B. 

2 

k5 

x C. 

2 

k7 

x D. 

2 

k 

x 

2 


3 3 

cos sin cos2 

x x x 

 

 

A. x k2 , x k , x k 

B. 

4 2 

2 

x k , x k , x k 

4 3 2 

C. 

1 2 

 

x k , x k , x k2 

D. x k , x k2 , x k2 

4 3 2 3 

4 2 


3 3 

cos sin 2sin2 sin cos 

x x x x x 

A. 

k3 

x B. 

2 

k5 

x C. x k 

D. 

2 

k 

x 

2 


1 1 10 

cosx sinx 

cos x 

sin x 

3 

A. 

C. 

2 19 

x arccos k2 

4 3 2 

B. 

2 19 

x arccos k 

4 2 

D. 

2 19 

x arccos k2 

4 2 

2 19 

x arccos k2 

4 3 2 

2 

Bài 74. Giải phương trình x x x x x 

sin tan 1 3sin cos sin 3 

 

1 

2 

x k2 

A. 

4 

x 

k 

B. 

4 2 

x 

k 

 

C. 

4 3 

 

1 

x k2 

 

2 

x k 

 

x k 

3 

3 2 

3 3 

Bài 75. Giải phương trình cos 3 x sin 3 x 2cos 5 x sin 

5 x 

D. 

 

x k 

 

4 

 

x k 

3


25 

 

1 

1 

A. x k2 

B. x k C. x k D. 

4 

4 2 

4 3 

2 

Bài 76. Giải phương trình sin x 3tan x cos x4sin x cos x 

 

x k 

4 

 

 

A. x k2 , x arctan 1 2 k2 

B. , arctan 1 2 

4 

x k 1 x k 

1 

4 2 2 

 

C. x k 2 , x arctan 1 2 k 

2 

 

D. , arctan 1 2 

4 3 3 

x k x k 

4 

Bài 77 . Giải phương trình 

 

4 

3 

2 2 cos ( x ) 3cos x sin x 0 

A. 

 

x 

k2 

 

2 

 

x 

k2 

4 

B. 

1 

x 

k 

 

 

2 2 

1 

x 

k 

 

4 2 

C. 

2 

x 

k 

 

 

2 3 

2 

x 

k 

 

4 3 

D. 

 

x 

k 

 

2 

 

x 

k 

4 


2 

2sin x 3sin x1 0 

A. 

C. 

 

x 

k 

x k 

; 

6 

2 5 

x k 

6 

1 

5 x 

k 

 

x k ; 

6 2 

2 2 5 

1 

x 

k 

 

6 2 

2 

x 

k 

 

B. x k2 

; 

6 3 

2 5 

2 

x 

k 

 

6 3 

 

x 

k2 

D. x k2 

; 

6 

2 5 

x 

k2 

6 

Bài 79. Giải phương trình 2cos 2x 3sin x1 0 

A. 

 

x 

k 

 

2 

 

1 

x arcsin( ) k 

 

4 

 

 

1 

x arcsin( ) k 

 

4 

B. 

1 

x 

k 

 

 

2 2 

 

1 1 

x arcsin( ) k 

 

4 2 

 

 

1 1 


 

4 2 

C. 

2 

x 

k 

 

 

2 3 

 

1 2 


 

4 3 

 

 

1 2 


 

4 3 

D. 

 

x 

k2 

 

2 

 

1 

x arcsin( ) k2 

 

4 

 

 

1 


 

4 


2 

3cos4x sin 2x cos2x 

2 0 

A. 

 

x 

k 

 

2 

 

6 

x arccos k 

 

7 

B. 

 

x 

k2 

 

2 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

C. 

 

x 

k 

 

3 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

D. 

 

x 

k 

 

2 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

Bài 81. Giải phương trình 4cos x.cos 2x1 0


26 

A. 

 

x k2 

 

3 

 

1 3 

x arccos k2 

 

4 

B. 

 

x k2 

 

3 

 

1 5 

x arccos k2 

 

4 

C. 

 

x k2 

 

3 

 

1 7 

x arccos k2 

 

4 

D. 

 

x k2 

 

3 

 

1 6 

x arccos k2 

 

4 


8 8 2 

16(sin cos ) 17 cos 2 

x x x 

A. 

5 

x k 

B. 

8 4 

7 

x k 

C. 

8 4 

9 

x k 

D. 

8 4 

 

x k 

8 4 


4 6 

cos x cos2x 2sin x 0 

A. x k2 

B. 

1 

x k 

C. 

2 

2 

x k 

D. x 

k 

3 

Bài 84. Giải phương trình cos2x cos x 1 0 

A. 

C. 

 

2 

x k2 , 

x k 

2 3 

B. 

 

2 

7 

x k3 , 

x k 

2 3 2 

D. 

2 

x k, x k2 

2 3 

2 

x k, x k2 

2 3 


2 x 

cos2x3cos x 

4cos 2 

A. 

2 

x k 

B. 

3 

2 

2 

 

x k C. x k2 

D. 

3 3 

3 

2 

x k2 

3 


2 2 

6sin x 2sin 2x 5 

A. 

2 

x k B. 

4 3 

 

x k 

C. 

4 3 

 

x k 

D. 

4 4 

 

x k 

4 2 


4 4 

2sin x 2cos x 2sin2x 

1 

 

2 

1 

A. x k2 

B. x k C. x k D. 

4 

4 3 

4 2 

2cos 2x 2 3 1 cos2x 

3 0 

2 


 

x k 

4 

A. 

C. 

1 3 1 

x arccos k 

2 2 

B. 

1 3 2 

x arccos k 

2 2 

D. 

1 3 1 

x arccos k2 

2 2 

1 3 1 

x arccos k 

2 2 


2 tan x 3 

 

cos x 

2 3


27 

A. x k2 

B. x k 

C. 

2 

x k 

D. 

3 

1 

x 

k 

3 


4 

9 13cos x 0 

2 

1 

tan x 

A. x k2 

B. x k 

C. 

5 1 cos x 2 sin x cos x 


4 4 

1 

x k 

D. 

2 

2 

x 

k 

3 

A. 

2 

x k B. 

3 

2 

2 

x k C. 

3 3 

2 

3 

x k D. 

3 4 

2 

x k 2 

3 


5 

7 

 


2sinx 

2 2 

 

x 

k2 

 

 

6 

5 

x k 

6 

A. x k2 ; k 

 

1 

x 

k 

 

2 

 

6 

 

 

5 

x k2 

6 

B. 

 

x k 

; k 

 

 

x 

k 

 

 

6 

5 

x k2 

6 

C. x k2 ; k 

 

 

x 

k2 

 

 

6 

5 

x k2 

6 

D. x k2 ; k 

 

TỔNG HỢP LẦN 2 

Câu 1. Phương trình 

1 

sin x chỉ có các nghiệm là 

2 

A. 

 

x k 2 và 

4 

5 

 

x k2 

( k ). B. x k2 

và 

4 

4 

5 

x k2 

( k ). 

4 

 

C. x k2 

và 

4 

3 

 

x k2 

( k ). D. x k2 

và 

4 

4 

5 

x k2 

( k ). 

4 

Câu 2.Phương trình 

6 

cos x chỉ có các nghiệm là 

2 2 

 

A. x k2 

và 

3 

2 

 

x k2 

( k ). B. x k2 

và 

3 

6 

5 

x k2 

( k ). 

6 

C. 

5 

x k2 

và 

6 

5 

 

 

x k2 

( k ). D. x k2 

và x k2 

( k ). 

6 

3 

3 


6 

tan x chỉ có các nghiệm là 

3 2


28 

A. 

C. 

 

x k 

( k 

6 

). B. 

 

x k 

( k 

3 

). D. 

 

x k 

( k ). 

6 

 

x k 

( k ). 

3 


12 

cot x chỉ có các nghiệm là 

2 

A. 

C. 

 

x k 

( k 

6 

). B. 

 

x k 

( k 

3 

). D. 

 

x k 

( k ). 

6 

 

x k 

( k ). 

3 

Câu 5. Phương trình sin x cos x chỉ có các nghiệm là 

A. 

 

 

x k 

( k ). B. x k2 

( k ). 

4 

4 

C. 

 

x k 

và 

4 

 

 

 

x k 

( k ). D. x k2 

và x k2 

( k ). 

4 

4 

4 

Câu 6. Phương trình tan x cot x chỉ có các nghiệm là 

 

A. x k2 

( k ). B. 

4 

 

x k 

( k ). 

4 

C. 

 

x k ( k ). D. 

4 2 

 

x k ( k ). 

4 4 


2 

4sin x 3 chỉ có các nghiệm là 

 

 

A. x k2 

và x k2 

( k ). B. 

3 

3 

 

x k 

và 

3 

 

x k 

( k ). 

3 

C. 

 

x k 

và 

6 

 

 

 

x k 

( k ). D. x k2 

và x k2 

( k ). 

6 

6 

6 


2 

tan x 3 chỉ có các nghiệm là 

 

 

A. x k2 

và x k2 

( k ). B. 

3 

3 

 

x k 

và 

3 

 

x k 

( k ). 

3 

C. 

 

x k 

và 

6 

 

 

 

x k 

( k ). D. x k2 

và x k2 

( k ). 

6 

6 

6 

Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x 0 ? 

A. cos x 1 . B. cos x 1 . C. tan x 0 . D. cot x 1 .


29 

Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 

2 

2cos x 1? 

A. 2sin x 2 0 . B. 

2 

sin x . C. tan x 1 . D. 

2 

2 

tan x 1 . 

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 

2 

tan x 3 ? 

A. 

1 

cos x . B. 

2 

2 

4cos x 1. C. 

1 

cot x . D. 

3 

1 

cot x . 

3 


3sin 

x cos x? 

2 2 

A. 

1 

sin x . B. 

2 

3 

cos x . C. 

2 

sin 

x . D. 

4 

2 3 

2 

cot x 3 . 

Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x 1 ? 

A. 

2 

sin x . B. 

2 

2 

cos x . C. cot x 1 . D. 

2 

2 

cot x 1 . 

Câu 14 Phương trình sin x cos 5x 

chỉ có các nghiệm là 

 

 

A. x k2 

và x k2 

( k ). B. 

4 

4 

 

x k 

và 

4 

 

x k 

( k ). 

4 

C. 

 

x k và 

12 3 

 

x k ( k ). D. . 

8 2 

 

x k và 

12 3 

 

x k ( k ). 

8 2 

Câu 15. Trên khoảng 0; , phương trình tan x.tan 3x 1 

5 3 A. chỉ có các nghiệm là ; ; . B. chỉ có các nghiệm là ; ; . 

6 2 6 

6 4 4 

C. chỉ có các nghiệm là 

 

x k ( k ). D. có các nghiệm khác với các nghiệm ở trên. 

6 3 


2 

2sin x7sin x 3 0 

A. vô nghiệm. 

 

B. chỉ có các nghiệm là x k2 

( k ). 

6 


5 

x k2 

( k ). 

6 

 

D. chỉ có các nghiệm là x k2 

và 

6 

5 

x k2 

( k ). 

6


30 

2 

Câu 17. Phương trình 2cos x 3 3 cos x 3 0 


 


( k ). 

3 

 

C. chỉ có các nghiệm là x k2 

( k ). 

6 

 

 


và x k2 

( k ). 

6 

6 


2 

2sin x7cos x 5 0 


 


( k ). 

3 


5 

x k2 

( k ). 

3 

 

 


và x k2 

( k ). 

3 

3 


2 2 

sin x 4sin xcos x 3cos x 0 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 

nào sau đây? 

A. cos x 0 . B. cot x 1 . C. tan x 3 . D. 

tan x 1 

 

1 . 

cot 

x 

3 


2 2 


có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 


A. cos x 0 . B. 

1 

tan x . C. cot x 2 . D. 

2 

1 

tan 

x 

2 . 

 

cos x 0 

Câu 21. Phương trình tan x5cot x6 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 

A. cot x 1 . B. tan x 5 . C. 

tan x 1 

. D. 

tan x 5 

tan x 2 

. 

tan x 3 

Câu 22. Phương trình cos 2x3cos x 4 


A. cos x 1 . B. 

5 

cos x . C. 

2 

cos x 1 

 

5 . D. 

cos 

x 

2 

cos x 1 

 

5 . 

cos 

x 

2


31 

Câu 23. Phương trình cos 2x 5sin x 6 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau 

đây? 

A. 

5 

sin x . B. sin x 1 . C. 

2 

sin x 1 

 

7 . D. 

sin 

x 

2 

sin x 1 

 

7 . 

sin 

x 

2 

Câu 24. Phương trình sin xcos x1 


A. 

 

x 

k2 

 

4 

( k ). B. 

 

x k2 

4 

 

x 

k 

 

4 

( k ). C. 

 

x k 

4 

x 

k2 

 

( k ). D. 

x 

k2 

2 

x 

k2 

 

( k ). 

x k2 

4 

Câu 25. Phương trình sin x 

cos x 1 


A. 

 

x 

k2 

 

4 

( k ). B. 

 

x k2 

4 

 

x 

k 

 

4 

( k ). C. 

 

x k 

4 

x 

k2 

 

( k ). D. 

x 

k2 

4 

 

x 

2k1 

 

 

( k ). 

 

x k2 

2 

 

Câu 26. Phương trình sin x 3 cos x 1chỉ có các nghiệm là 

A. 

 

x 

k2 

 

2 

( k ). B. 

7 

x 

k2 

6 

 

x k2 

 

2 

( k ).C. 

7 

x k2 

6 

 

x k2 

 

2 

( k ). D. 

7 

x 

k2 

6 

 

x 

k2 

 

2 

( k ). 

7 

x k2 

6 

Câu 27. Phương trình 3sin x ( m1)cos x m 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi 

A. m 1 . B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . 

Câu 28. Phương trình tan x mcot x 8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi 

A. m 16 . B. m 16 . C. m 16 . D. m 16 . 

Câu 29. Phương trình 16cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos8x 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 


A. sin x 0 . B. sin x sin 8x. C. sin x sin16x. D. sin x sin 32x. 


n1 

n 

2 cos x.cos2 x.cos4 x.cos8 x...cos2 x 1 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 

phương trình nào sau đây? 

A. sin x 0 . B. sin x sin2 n x. C. 

sin x 

1 

sin2 n 

x. D. 

sin x 

2 

sin2 n 

x. 

Câu 31. Phương trình sin 3x sin 2x sin 

x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau 

đây?


32 

A. sin x 0 . B. cos x 1 . C. 

1 

cos x . D. 

2 

sin x 0 

 

1 . 

cos 

x 

2 

Câu 32. Phương trình cos 5 x.cos 3x cos 4 x.cos 2x 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào 

sau đây? 

A. sin x cos x. B. cos x 0 . C. cos8x cos6x. D. sin8x cos6x. 


4 4 

sin x cos x 1 


A. sin x 1 . B. sin x 1 . C. cos x 1 . D. 

sin x 0 

. 

cos x 0 


2m 

2m 

sin x cos x 1 

( m1, 

m ) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương 

trình nào sau đây? 

A. sin x 1 . B. sin x 1 . C. cos x 1 . D. 

sin x 0 

. 

cos x 0 

Câu 35. Phương trình sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x 



A. 

3 

sin x . B. cos 2x sin 2x. C. 

2 

1 

cos x . D. 

2 

1 

cos 

x 

2 . 

 

cos 2x 

sin 2x 


4 4 

sin3x cos x sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau 

đây? 

A. cos 2x sin 3x. B. cos 2x sin 3x. C. cos 2x sin 2x. D. cos 2x sin 2x. 


2 2 2 2 

sin x sin 2x sin 3x sin 4x 

2 

có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương 


A. sin 5x 1 . B. cos 3x cos x. C. cos 3x cos x. D. cos 3x cos x. 

Câu 38. Phương trình tan x tan 2x sin 3 x.cos 

x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào 

sau đây? 

A. sin 3x 0 . B. cos 2x 0 . C. cos 2x 2 . D. 

sin 3x 

0 

. 

cos 2x 

0 


2 


có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như 

sau 

A. t sin x. B. t cos x. C. t tan x . D. t cot x .


33 


2 

3cos x 4sin x 10 

có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như 

sau 

A. t sin x. B. t cos x. C. t tan x . D. t cot x . 

Câu 41 Phương trình 4 x 

4 x 

2 cos sin 1 

A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm 

 

x 

 

 

6 

. 

 

x 

6 

C. chỉ có các nghiệm 

 

x 

k2 

 

6 

( k ) 

 

x k2 

6 

D. . chỉ có các nghiệm 

 

x 

k 

 

6 

( k ) 

 

x k 

6 

cos x sin x 3sin 2x 

Câu 42. Phương trình 2 


 

x 

 

 

12 

. 

5 

x 

12 


 

x 

k 

 

12 

( k ). D. . chỉ có các nghiệm 

5 

x 

k 

12 

 

x 

k2 

 

12 

( k ). 

5 

x 

k2 

12 

cos x sin x 1 

cos 3x 



 

x 

 

 

10 

. 

 

x 

2 


 

x 

k 

 

10 


 

x k 

2 

2 

x 

k 

 

10 5 ( k ) . 

 

x k2 

2 


sin 

xcos 

x 

4 

4 4 3 

 

A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm x k , k . 

8 4 


 

x 

k2 

 

8 

( k ). D. chỉ có các nghiệm 

 

x k2 

8 

 

x 

k 

 

8 

( k ). 

 

x k 

8


34 


sin 

xcos 

x 

16 

6 6 7 

 

 

A. chỉ có các nghiệm x k , k .. B. chỉ có các nghiệm x k , k . 

6 2 

6 2 


 

x 

k 

 

6 2 ( k ) . D. vô nghiệm. 

 

x k 

6 2 


2 2 

tan 3x 

tan x 

1 

2 2 

1 

tan 3 x.tan 

x 

A. chỉ có các nghiệm 

 

x 

k 

 

12 6 

 

x k 

, k 

2 

 

x 

k 

6 3 

 

. B. chỉ có các nghiệm x k2 , k . 

3 

 

C. chỉ có các nghiệm x k , k . D. vô nghiệm. 

6 3 

4 4 3 cos x 

Câu 47. Phương trình sin xcos 

x 

4 


2 

x k , k . 

3 


2 

x k , k . D. chỉ có các nghiệm 

5 

2 

x k và 

5 

2 

x k ( k ) . 

5 

 

Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng 

; 

2 2 của phương trình 2 

4sin 2x 1 0 bằng: 

A. 0 B. 

 

6 

B. 

 

3 

D. 

Câu 49. Số nghiệm thuộc 0; 

của phương trình 2 2 

sin xcos 3x 0 là: 

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0;2 

của phương trình 

 

cos 2x cos x 0 

3 6 

là: 

A. 0 B. 

2 

3 

C. 

4 

9 

D. 2 

 

Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x sin x 

0 là: 

4 3


35 

A. 

13 

x 

k2 

 

36 

7 

x k2 

12 

B. 

13 

2 

x 

k 

 

 

36 3 

7 

x k2 

12 

C. 

13 

2 

x 

k 

 

 

36 3 

7 

x k2 

12 

D. 

13 

2 

x 

k 

 

 

36 3 

7 

x k2 

12 

Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0; 

của phương trình 3 

 

sin2x cos x 

0 

4 

bằng: 

A. 

2 

 

48 

B. 

2 

 

16 

C. 

2 

3 

16 

D. 

2 

 

64 

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx 3 cos x 2 là: 

A. 

17 

12 

B. 

13 

C. 

12 

11 

D. 

12 

19 

 

12 

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 cos 2xsin 2x 

2 

bằng 

A. 0 B. 

 

2 

C. D. 

3 

2 

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

2 2 4 3 

sin x tanx cos xcot x 2sinxcosx bằng: 

3 

A. 

 

B. 

2 

 

6 

C. 

 

3 

D. 

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx cos 2 x thuộc 0;2 

là: 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

 

Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x 

2 

6 3 

thuộc 0; là: 

A. 

 

2 

B. 

5 

12 

C. 

 

24 

D. 

 

4 

Câu 58. Số nghiệm của phương trình 

2 

sin x 

1 

cos x 

1 

 

thuộc 

;0 

2 là: 

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình sinxcos 3x sinx 2cos 3x 2 0 là: 

A. 

2 

3 

B. 2 C. 4 D. 0 


của phương trình sin 

2x 

 

 

0 

4 

là: 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 61. Phương trình msinx3cosx 2 m có nghiệm khi và chỉ khi: 

A. m 3 

B. m 3 

C. m 3 

D. m 3


36 

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5sin 2x sinx cosx 6 0 trong khoảng 0; là: 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

 

Câu 63. Cho phương trình cos x sin 2x 0 

3 2 

. Có hai bạn giải được hai đáp án sau: 

 

x 

l2 

I. 

 

9 

 

x k2 

3 

2 

x 

l 

II. 

 

9 3 

 

x k2 

3 

A. I, II cùng sai B. Chỉ I đúng C. Chỉ II đúng D. I, II cùng đúng 

Câu 64. Cho phương trình 

2 

2cos 2x 

cos4x 

0 

. Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình 

trên: 

I. 

 

x k 

II. 

6 4 

 

x k 

III. 

6 2 

 

x k 

IV. 

6 2 

 

x k 

6 4 

Chọn câu trả lời đúng nhất. 

A. Chỉ I, IV đúng B. Chỉ I đúng C. Chỉ IV đúng D. I, II, III, IV cùng đúng 


6 6 

sin x cos x 1 

. Có ba bạn giải được 3 kết quả sau: 

I. 

x k 

x 

k 

II. 

 

 

2 

x k 

2 

x 

k2 

x k2 

III. 

hay 

 

 

x k2 x k2 

2 

A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Chỉ III đúng D. Cả ba đều đúng 

Câu 66. Phương trình cos 

1 

2 

x có mấy nghiệm thuộc khoảng ;4 

? 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 

x 

 

 

1 

3 

là: 

A. 

7 

B. 

12 

5 

C. 

12 

11 

D. Một đáp án khác 

12 

Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 

2 

2 

sinx 

 

3 2 

là: 

A. 

 

B. 

15 

7 

C. 

12 

 

D. Đáp án khac 

12 

Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình 

1 

cos 

 

x 

 

 

 

4 2 

trong khoảng ; là: 

A. 

 

2 

B. 

 

C. 

2 

3 

D. Đáp án khác 

2 


1 

sinxcos sin cos x trên 

; 

8 8 2 

là: 

A. 

 

2 

B. 

 

C. 

2 

3 

2 

D. 

3 

4


37 


m có đúng 1 nghiệm 

3 

 

x 0; 

2 

 

khi và chỉ khi: 

A. 1 m 1 

B. 1 m 1 

C. 1 m 0 

D. Đáp số khác 

Câu 72. Phương trình 1cos x m có đúng 2 nghiệm 

 

3 

 

x ; 

2 2 


A. 0 m 1 

B. 0 m 1 

C. 1 m 1 

D. 1 m 0 


1 

 

sin xcos xcos2xcos4x cos8x sin12x 

trên ; 

16 

 

2 2 

 

là: 

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 

Câu 1 Câu 2 Câu 3 

C C B 

ĐÁP ÁN 

Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 

B A C B B C D B D C 


C D D D D D B C A B 


C D A D D C D D C D 


D D A D A B A D C D 

Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 

B C A D 

TỔNG HỢP LẦN 3


38 

Câu 1. Nghiệm của phương trình 

 

B. 

2 

A. x k2 


sinx = 1 là: 

 

 

x k 

C. x k 

D. x k2 

2 

2 

sinx = –1 là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

C. x k 

2 

2 

D. 

3 

x k 

2 


sinx = 1 2 là: 

 

 

B. 

3 

A. x k2 


 

 

x k 

C. x k 

D. x k2 

6 

6 

cosx = 1 là: 

 

A. x k 

B. x k2 

C. x k2 

2 

D. 

 

x k 

2 


cosx = –1 là: 

 

A. x 

k 

B. x k2 

C. x 

k2 

D. 

2 

3 

x k 

2 

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = 1 2 là: 

 

 

 

B. x k2 

3 

6 

A. x k2 

C. 

 

 

x k 

D. x k2 

4 

2 

Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – 1 2 là: 

 

 

B. x k2 

C. 

3 

6 

A. x k2 

2 

x k2 

D. 

3 

 

x k 

6 

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos 2 x = 1 2 là: 

 

 

B. 

2 

A. x k2 

 

x k 

4 2 

 

 

 

D. x k2 

3 

4 

C. x k2 


3 + 3tanx = 0 là:


39 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

C. 

3 

2 

 

x k 

D. 

6 

 

x k 

2 


sin3x = sinx là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k; 

x k 

2 

4 2 

C. x k2 

D. x k; x k2 

2 

 

 


 

 

B. 

2 

A. x k2 


sinx.cosx = 0 là: 

x k 

 

C. x k2 

D. x k2 

2 

6 

cos3x = cosx là: 

k 

B. x k2 ; x k2 

2 

A. x 2 

C. x k2 

D. x k; x k2 

2 

 

 


sin3x = cosx là: 

 

x k x k 

B. x k2 ; x k2 

8 2 4 

2 

A. ; 

 

x k x k 

`D. x k; 

x k 

4 

2 

C. ; 

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin 2 x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 

A. 

 

x B. x 

2 

C. x = 0 D. 

 

x 

2 

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin 2 x + sinx = 0 thỏa điều kiện: 

 

A. x 0 

B. x 

C. x = 

3 

 

< x < 

2 2 

Câu 16. Nghiệm của phương trình cos 2 x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 

D. 

 

x 

2 

A. 

x 

 

2 

B. 

 

 

x C. x = 

4 

6 

D. 

 

x 

2 

3 

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos 2 x + cosx = 0 thỏa điều kiện: < x < 

2 2 

A. x 

B. 

 

x C. x = 3 

3 

2 

D. 

3 

x 

2


40 

Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

 

x k 

C. x k 

6 

D. 

 

x k 

4 

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – 

3 

) – 1 = 0 là: 

A. 

7 

x k ; x k 

 

B. x k2 ; x k2 

8 2 24 2 

2 

C. x k; x k2 

D. x k2 ; 

x k 

2 

 

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 x < 

2 

A. 

x 

 

6 

B. 

 

 

x C. x = 

4 

2 

D. 

 

x 

2 

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 là: 

A. 

7 

x k2 ; x k2 

B. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

3 6 

 

C. x k; x k2 

D. 

2 

5 

x k2 ; x k2 

4 4 


 

A. x k2 ; x k2 

B. x k; x k2 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

D. x k; 

x k 

6 

4 

Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: 

 

A. x k2 ; x k2 

B. x k2 ; x k2 

2 

2 

 

 

C. x k2 ; x k2 

D. x k; 

x k 

3 

6 

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + 3 cosx = 2 là: 

A. 

C. 

5 

x k2 ; x k2 

12 12 

B. 

2 

x k2 ; x k2 

3 3 

D. 

3 

x k2 ; x k2 

4 4 

 

5 

x k2 ; x k2 

4 4


41 

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: 

A. x k 

B. x k. 

C. x k. 

D. x 

k. 

2 

8 

4 

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos 2 x = – 8.cosx – 5 là: 

A. x k 

B. x 

k2 

 

k 

D. x k2 

2 

C. x 2 

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + 

3 = 0 là: 

 

 

B. 

3 

A. x k2 

 

x k 

C. 

6 

 

x k 

D. 

6 

 

x k 

3 

Câu 28. Nghiêm của pt sinx + 

3 .cosx = 0 la: 

 

B. 

3 

A. x k2 

 

x k 

C. 

3 

 

x k 

D. 

3 

 

x k 

6 

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: 

k 

B. x k 

C. x k. 

2 

A. x 2 

D. 

 

x k 

4 

Câu 30. Nghiêm của pt sin 2 x = 1 là 

A. x 2 

k 

B. x 

k2 

C. 

Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: 

 

x k 

D. 

2 

 

x k 

2 

A. x 2 

k 

B. x 

k2 

C. 

 

 

x k 

D. x k2 

2 

2 

Câu 32. Nghiệm của pt sinx + 

3 

0 

2 là: 

 

 

 

B. x k2 

6 

3 

A. x k2 

C. 

5 

x k 

D. 

6 

2 

x k2 

3 

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : 

k 

B. x k4 

C. x k 

D. x 

k. 

2 

A. x 2 

Câu 34. Nghiêm của pt sin 2 x = – sinx + 2 là:


42 

 

 

B. 

2 

A. x k2 

 

 

x k 

C. x k2 

D. x 

k 

2 

2 

Câu 35. Nghiêm của pt sin 4 x – cos 4 x = 0 là: 

 

B. 

4 

A. x k2 

3 

x k2 

C. 

4 

 

 

x k 

D. x k. 

4 

4 2 

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: 

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos 2 x + cos 2 2x = 2 

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? 

A. Chỉ (III ) B. Chỉ (I ) C. (I ) và (III ) D. Chỉ (II ) 

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – 1 2 là: 

 

 

 

B. x k2 

C. 

3 

6 

A. x k2 

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: 

 

x k 

D. 

6 

5 

x k2 

6 

A. 

 

x k 

B. 

4 

3 

x k2 

C. 

4 

 

x k 

D. 

8 2 

 

x k 

4 

Câu 39. Nghiêm của pt cos 2 x = 0 là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

2 

2 

 

 

D. x k2 

4 2 

2 

C. x k. 

Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1) 

A. sin4x = 0 B. cos3x = 0 C. cos4x = 0 D. sin5x = 0 

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

 

x k 

4 

 

 

 

D. x k2 

4 

4 

C. x k2 

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 

 

A. x k2 

B. 

4 

 

 

x k 

C. x k2 

D. 

4 

3 

 

x k 

3 

Câu 43. Nghiệm của pt sinx – 

3 cosx = 0 là:


43 

A. 

 

x k 

B. 

6 

 

 

 

x k 

C. x k2 

D. x k2 

3 

3 

6 

Câu 44. Nghiệm của pt 

3 sinx + cosx = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

6 

 

x k 

C. 

3 

 

x k 

D. 

3 

 

x k 

6 

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: 

A. a 2 + b 2 c 2 B. a 2 + b 2 c 2 C. a 2 + b 2 > c 2 D. a 2 + b 2 < c 2 

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

 

 

 

x k 

C. x k2 

D. x k2 

4 

4 

4 

Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

 

x k 

C. 

4 

5 

x k2 

D. 

4 

3 

x k2 

4 

Câu 48. Nghiệm của pt cos 2 x + sinx + 1 = 0 là: 

 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

C. x k2 

D. 

2 

2 

2 

 

x k 

2 

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos 2 x = 2 

m 

có nghiệm là: 

A. 1 5 m 1 5 B. 1 3 m 1 3 C. 1 2 m 1 2 D. 0 m 2 

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin 2 x là: 

A. 

 

x B. 

6 

5 

 

x C. x 

D. 

6 

12 

Câu 51. Nghiệm của pt cos 2 x – sinx cosx = 0 là: 

 

A. x k; 

x k 

B. 

4 2 

 

x k 

2 

C. 

 

x k 

D. 

2 

5 

7 

x k; 

x k 

6 6 

Câu 52. Tìm m để pt 2sin 2 x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 

A. 0 < m < 4 3 

B. 

4 

0 m 

C. 

3 

4 

m0; 

m D. m < 0 ; 

3 

4 

m 

3 

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + 

2 sin2x = 0 là: 

A. 

3 

x B. 

4 

 

x C. 

4 

 

x D. x 

3 

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là:


44 

A. 

 

x B. 

12 

 

x C. 

3 

 

x D. 

6 

 

x 

4 

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 

 

A. x ; x B. 

18 6 

2 

x ; x 

18 9 

 

 

C. x ; x D. x ; x 

18 2 

18 3 

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos 2 x – 3.cosx + 1 = 0 

 

A. x k2 ; x k2 

B. 

6 

5 

x k2 ; x k2 

6 6 

 

C. x k2 ; x k2 

D. 

2 6 

2 

x k2 ; x k2 

3 


 

 

A. x k2 

B. x k2 

2 

2 

C. 

 

 

x k 

D. x k2 

2 

2 

Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin 2 x + 3. 3 sin2x – 2.cos 2 x = 4 là: 

A. 

C. 

 

x 

6 

B. 

 

x 

3 

D. 

 

x 

4 

 

x 

2 

Câu 59. Nghiệm của pt cos 4 x – sin 4 x = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 2 

 

x k 

2 

C. x 

k2 

D. x 

k 

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = 

2 là: 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

4 

4 

 

 

C. x k2 

D. x k2 

6 

6 

Câu 61. Nghiệm của pt sin 2 x + 

3 sinx.cosx = 1 là: 

 

 

A. x k; 

x k 

B. x k2 ; x k2 

2 6 

2 6


45 

C. 

 

5 

x k2 ; x k2 

D. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

6 6 


3 cosx = 1 là 

A. 

5 

13 

 

x k2 ; x k2 

B. x k2 ; x k2 

12 12 

2 6 

C. 

5 

x k2 ; x k2 

D. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

4 4 

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: 

(I) cosx = 5 3 

(II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2 

A. (I) B. (II) 

C. (III) D. (I) và (II) 

TỔNG HỢP LẦN 4. 

Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos( x ) 1 trên ( ; ) 

3 

A. 

2 

3 

B. 

 

3 

C. 

4 

3 

D. 7 

3 

 

 

Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x ) cos(2 x ) trên [0; ] 

3 3 

A. 7 

18 

B. 

4 

18 

 

Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau x x 

2 x 

C. 

47 

8 

D. 

47 

18 

 

sin 3 9 16 80 0 

4 

. 

 

 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: 

2 

cos (3 3 2 x x ) 1 

. 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 5. Tìm số nghiệm x0;14 

nghiệm đúng phương trình : cos 3 x 4cos 2 x 3cos x 4 0 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 

2 

2( 1)( 2 3 1) 4 . 

sinx sin x sinx sin x cosx 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 7 Tìm số nghiệm x 0;2 

 

của phương trình : sin 3 x 

sin x 

sin 2xcos 2x 

1 

cos 2x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Bài 8: Giải phương trình : sin x cos2x


46 

 

A. x k2 

B. 

6 

1 

x k C. 

6 2 

1 

x k D. 

6 3 

 

x k 

6 

Bài 9: Giải phương trình : cos 3x tan 4x sin 5x 

A. 

k3 

x k2 , x B. 

16 8 

1 k3 

x k , x 

2 16 8 

C. 

2 k 

k 

x k , x D. x k 

, x 

3 16 8 

16 8 

Bài 10: Giải phương trình 

2 sin 3x cos 3x 1 2 sin 6x 2 sin 2x 

A. 

 

x n 

và 

12 

17 

 

x 2n 

B. x 2n 

và 

12 

12 

17 

x n 

12 

C. 

2 

x n 

và 

12 3 

17 

 

x 2n 

D. x 2n 

và 

12 

12 

17 

x 2n 

12 

Bài 11: Giải phương trình : tan 2x tan 3x tan7x tan 2x tan 3x tan7x 

. 

A. 

k 

x với 

2 

k 

2(2t 

1) 

 

k 3(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

B. 

k 

x với 

12 

k 

2(2t 

1) 

 

k 5(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

C. 

k 

x với 

3 

k 

2(2t 

1) 

 

k 5(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

D. 

k 

2(2t 

1) 

k 

 

x với k 3(2t 1) , t 

12 k 

6(2t 

1)


47 

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 

I. Các công thức lƣợng giác 

1. Các hằng đẳng thức: 

2 2 

* sin cos 1 với mọi 

* tan .cot 1 với mọi 

* 1 

tan 

* 1 

cot 

2 

2 

1 

 

2 

cos 

1 

 

2 

sin 

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC 

k 

 

2 

với mọi k2 

với mọi 

2. Hệ thức các cung đặc biệt 

A.Hai cung đối nhau: và 

k 

cos( ) cos sin( ) sin 

 

tan( ) tan cot( ) cot 

 

B. Hai cung phụ nhau: và 2 

 

 

cos( ) sin sin( ) cos 

2 

2 

 

tan( ) cot cot( ) tan 

2 

2 

C. Hai cung bù nhau: và 

sin( ) sin 

cos( ) cos 

 

tan( ) tan 

cot( ) cot 

 

d) Hai cung hơn kém nhau : và 

sin( ) sin cos( ) cos 

tan( ) tan cot( ) cot 

3. Các công thức lượng giác 

A. Công thức cộng 

cos( a b) cos a.cos b sin a.sin 

b 

sin( a b) sin a.cos b cos a.sin 

b 

tan a 

tan b 

tan( ab) 

 

1 tan a.tan 

b 

b) Công thức nhân 

sin2a 2sin acos 

a 

2 2 2 2 

cos 2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 

sin 3 3sin 4sin 

3 

a a a 

3 

cos3a 4cos a 3cos a


48 

C. Công thức hạ bậc 

2 1 

cos2a 

sin a 

2 

2 1 

cos 2a 

tan a 

1 cos 2a 

D. Công thức biến đổi tích thành tổng 

1 

cos a.cos b [cos( a b) cos( a b)] 

2 

1 

sin a.sin b [cos( a b) cos( a b)] 

2 

1 

sin a.cos b [sin( a b) sin( a b)] 

. 

2 

e. Công thức biến đổi tổng thành tích 

2 1 

cos 2a 

cos a 

2 

a b a b 

a b a b 

cos acos b 2 cos .cos 

cos a cos b 2 sin .sin 

2 2 

2 2 

a b a b 

a b a b 

sin asin b 2 sin .cos 

s in a - sin b 2 cos .sin 

2 2 

2 2 

sin( a 

b) 

tan atan 

b 

cos acos 

b 

sin( a 

b) 

tan atan 

b . 

cos acos 

b 

II. Tính tuần hoàn của hàm số 

Định nghĩa: Hàm số y f ( x) 

xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số 

T 0 sao cho với mọi x D ta có 

x T D và f ( x T) f ( x) 

. 

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số 

tuần hoàn với chu kì T . 

III. Các hàm số lƣợng giác 

1. Hàm số y 

sin x 

Tập xác định: D 

R 

Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 sin x 1 x R 

 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) , nghịch biến trên mỗi khoảng 

2 2 

3 

( k2 ; k2 ) . 

2 2 

Hàm số 

Hàm số 

Đồ thị hàm số 

y sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 

y sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2. 

y sin x.


49 

y 

-3 

-5 

2 

- 

3 

-2 - 

2 

2 2 

3 

1 

x 

-3 

 

5 

O 

2 

2 

2 

2 


cos x 

Tập xác định: D 

R 

Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1 cos x 1 x R 

Hàm số y cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 ; k2 ) , đồng biến trên mỗi 

khoảng ( k2 ; k2 ) . 

Hàm số y cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. 

Hàm số y cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2. 

Đồ thị hàm số y cos x. 

Đồ thị hàm số y cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y 

sin x 

 

theo véc tơ v ( ;0). 

2 

y 

-3 

-5 

2 

- 1 

3 

-2 - 

2 

2 2 

3 

x 

-3 

 

5 

O 

2 

2 

2 


tan x 

 

Tập xác định : D \ k, 

k 

2 

 

Tập giá trị: 

Là hàm số lẻ 

Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k; 

k 

 

2 2 

 

 

 

 

Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k, 

k làm một đường tiệm cận. 

2 

Đồ thị


50 

y 

-5 

2 

-2 - 

- 

2 

 

2 

3 

2 2 

-3 

O 

2 

5 

2 

x 

4. Hàm số y cot x 

Tập xác định : D \ k, 

k 

Tập giá trị: 

Là hàm số lẻ 

Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k; 

k 

Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k, 

k làm một đường tiệm cận. 

Đồ thị 

y 

 

-5 

2 

-2 - 

- 

2 

 

2 

3 

2 2 

-3 

O 

2 

5 

2 

x 

B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 

Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm số 

Phƣơng pháp . 

Hàm số y f ( x) 

có nghĩa f( x) 0 và f( x ) tồn tại 

Hàm số 

1 

y f( x) 

có nghĩa f ( x ) 0 và f( x ) tồn tại. 

sin u( x) 0 u( x) k, 

k 

 

cos u( x) 0 u( x) k, 

k . 

2


51 

1 sin x, cos x 1. 

Các ví dụ 

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau: 

1. y tan( x 

2 2 

) 

2. ycot ( 3 x) 

6 

3 

Lời giải. 

2 

1. Điều kiện: cos( x ) 0 x k x k 

6 6 2 3 

2 

TXĐ: D \ 

k, 

k 

3 

. 

2 2 2 

2. Điều kiện: sin( 3 x) 0 3x k x k 

3 3 9 3 

2 

TXĐ: D \ 

k , k 

 

 

9 3 . 

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau: 

tan 2x 

 

tan 5x 

1. y cot(3 x 

) 

2. y 

sin x 1 6 

sin 4x 

cos3x 


 

sin x 1 x k2 

 

 

1. Điều kiện: 

2 

 

sin(3 x ) 0 

k 

6 

 

 

x 

18 3 

n 

Vậy TXĐ: D \ k2 , ; k, 

n 

 

2 18 3 

2. Ta có: sin 4x cos 3x sin 4x sin 

3x 

2 

 

 

x 7x 

 

2cos sin 

2 4 

 

2 4 

 

 

 

 

 

cos 5x 

0 x k 

 

 

10 5 

x 

Điều kiện: cos 

0 x k2 

2 4 

 

2 

7x 

k2 

sin 0 x 

 

2 4 

 

14 7 

 

k 2m 

Vậy TXĐ: D \ , n2 , 

 

10 5 2 14 7 . 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP


52 

1 

sin 2x 

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số y 

cos 3x 

1 

2 

A. D \ k , k 

 

 

 

B. D \ k , k 

3 

6 

 

 

C. D \ k , k 

D. D \ k , k 

3 

2 

Lời giải: 

2 

Điều kiện: cos3x 1 0 cos3x 1 x k , k 

3 

2 

TXĐ: D \ k , k 

 

 

3 . 

1 

cos 3x 

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số y 

1 

sin 4x 

 

A. D \ k , k 

B. 

8 2 

3 

D \ k , k 

 

 

8 2 

 

 

C. D \ k , k 

D. D \ k , k 

4 2 

6 2 


Do 1cos3x 0 x nên hàm số có nghĩa 1 sin4x 

0 

 

sin 4x 1 x k , k . 

8 2 

 

TXĐ: D \ k , k 

8 2 . 

 

 

 

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số ytan(2 x 

) 

4 

3 k 

3 k 

A. D \ , k 

 

B. D \ , k 

 

8 2 

7 2 

3 k 

3 k 

C. D \ , k 

 

D. D \ , k 

 

5 2 

4 2 


3 

Điều kiện: 2 x k x k , k 

4 2 8 2 

3 k 

Vậy TXĐ: D \ , k 

 

8 2 

2 

1 

cot x 


1 

sin 3x


53 

n2 

n2 

A. D \ k, ; k, 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

 

6 3 

3 6 3 

n2 

n2 

C. D \ k, ; k, 

n 

D. D \ k, ; k, 

n 

 

6 5 

5 3 


x k 

x k 

Điều kiện: 2 

sin 3x 1 x k 

6 3 

n2 

Vật TXĐ: D \ k, ; k, 

n 

 

6 3 

1 


sin 2x 

cos3x 

2 

A. D \ k , k2 ; k 

 

4 

B. D \ k , k2 ; 

k 

 

 

3 5 

 

5 7 

 

2 

C. D \ k , k2 ; k 

 

4 

D. D \ k , k2 ; 

k 

 

 

5 5 

 

7 5 

 


5x 

x 

: Điều kiện: sin 2x cos 3x 0 cos .sin 0 

2 2 

5x 

5x 

 

cos 0 k 

2 

2 2 2 x k 

5 5 . 

x x 

sin 0 k x k2 

 

 

2 2 

2 

TXĐ: D \ k , k2 ; 

k 

 

 

5 5 

. 

tan 2x 


3 sin 2x 

cos 2x 

 

 

A. D \ k , k ; k B. D \ k , k ; k 

4 2 12 2 

3 2 5 2 

 

 

C. D \ k , k ; k D. D \ k , k ; k 

4 2 3 2 

3 2 12 2 


 

 

2x 

k 

x k 

 

 

Điều kiện: 2 

4 2 

 

 

3 sin 2x 

cos 2x 

0 

2sin(2 x ) 0 

6


54 

 

x k x k 

4 2 

 

4 2 

 

. 

 

2x k x k 

 

6 

12 2 

 

TXĐ: D \ k , k ; k 

4 2 12 2 . 

cot x 


2sin x 1 

5 

A. D \ k , k2 , k2 ; k 

 

5 

B. D \ k , k2 , k2 ; 

k 

 

 

6 6 

 

2 4 6 

 

5 

C. D \ k , k2 , k2 ; k 

 

5 

D. D \ k, k2 , k2 ; 

k 

 

 

4 6 

 

3 4 

 


x k 

x k 

 

 

Điều kiện: 1 

sin x 0 

sin x sin 0 

2 

 

6 

 

x k 

x k 

 

x x x k2 

. 

2cos( )sin( ) 0 6 

2 12 2 12 

 

5 

x k2 

 

6 

5 

TXĐ: D \ k, k2 , k2 ; 

k 

 

 

6 6 

. 

 

Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan( x ).cot( x ) 

4 3 

3 

A. D \ 

k, k; 

k 

 

B. 

4 3 

 

C. D \ k, k; 

k D. 

4 3 


3 

x k x k 

 

Điều kiện: 

4 2 4 

 

. 

 

 

x k x k 

 

3 

3 

3 

TXĐ: D \ 

k, k; 

k 

 

 

4 3 . 

Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số sau ytan(2 x 

) 

3 

3 

D \ 

k, k; 

k 

 

 

4 5 

3 

D \ 

k, k; 

k 

 

 

5 6


55 

 

A. D \ k , k 

3 2 

 

C. D \ k , k 

12 2 

 

Điều kiện: 2x k x k 

3 2 12 2 

 

TXĐ: D \ k , k 

12 2 . 

 

B. D \ k , k 

4 2 

 

D. D \ k , k 

8 2 


Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số sau y tan 3 x.cot 5x 

n 

A. D \ k , ; k, 

n 

 

6 3 5 

n 

C. D \ k , ; k, 

n 

 

6 4 5 


 

cos 3x 

0 x 

k 

6 3 

 

sin 5x0 

n 

x 

5 

n 

TXĐ: D \ k , ; k, 

n 

 

6 3 5 

n 

B. D \ k , ; k, 

n 

 

5 3 5 

n 

D. D \ k , ; k, 

n 

 

4 3 5 


Phƣơng pháp . 

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số 

Cho hàm số y f ( x) 

tuần hoàn với chu kì T 

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 

trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ kv . (với 

v ( T;0), 

k ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số. 

* Số nghiệm của phương trình f ( x) 

đồ thị y f ( x) 

và y k. 

k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai 

* Nghiệm của bất phương trình f( x) 0 là miền x mà đồ thị hàm số y f ( x) 

nằm trên 

trục Ox . 

Chú ý:


56 

Hàm số f ( x) asinux bcos 

vx c ( với uv , 

2 

T ( ( uv , ) là ước chung lớn nhất). 

( uv , ) 

Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot 

vx c (với uv , 

T 

( uv , ) 

. 

Các ví dụ 

Ví dụ 1. 

) là hàm số tuần hoàn với chu kì 

) là hàm tuần hoàn với chu kì 

3x 

x 

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số : f( x) cos .cos 

2 2 

Ta có f ( x) cos x cos2x 


1 hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T 2. 

0 

2 

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau. 

1. f ( x) cos x cos 3. x 

2. 

f ( x) sin x 


1. Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa 

f ( x T) f ( x) cos( x T) cos 3( x T) cos x cos 3x 

2 

Cho 

 

cosT 

1 

x 0 cosT cos 3T 

2 

cos 3T 

1 

 

T 2n 

m 

m 

3 vô lí, do mn , là số hữu tỉ. 

3T 

2m 

n 

n 

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn. 

2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn 

2 2 

T 0 : f ( x T) f ( x) sin( x T) sin x x 

 

Cho 

2 2 

x 0 sinT 0 T k T k 

 

f ( x k) f ( x) 

x 

. 

Cho x 2k 

f ( 2 k) sin k2 sin( k2 ) 0 . 

ta có: 2 

2 

 

f ( x k) sin k2 k sin 3k 2k 2 sin(2k 

2) 

f ( x k) 0 . 

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số tuần hoàn.


57 

Ví dụ 3. Cho a, b, c, 

d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số 

f ( x) asin cx bcosdx 

là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi c d 

là số hữu tỉ. 


* Giả sử f( x ) là hàm số tuần hoàn T 0 : f ( x T) f ( x) 

x 

Cho 

asin cT bcosdT b cosdT 

1 

x 0, x T 

 

 

asin cT bcosdT b sin cT 0 

dT 2n 

c m 

 

cT m 

d 2n 

c c k 2k 

2l 

* Giả sử kl 

, : . Đặt T 

d d l c d 

. 

Ta có: f ( x T) f ( x) 

x 

f( x) 

là hàm số tuần hoàn với chu kì 

2k 

2l 

T . 

c d 

Ví dụ 4. Cho hàm số y f ( x) 

và y g( x) 

là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là 

T1 

T , T . Chứng minh rằng nếu 

1 2 

T 

hàm số tuần hoàn. 

T1 

Vì 

T 

2 

2 

là số hữu tỉ thì các hàm số f ( x ) g ( x ); f ( x ). g ( x ) là những 


là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên mnn , ; 0 sao cho 

T1 

m 

nT 

1 mT 

2 T 

T n 

2 

Khi đó f ( x T) f ( x nT ) f ( x) 

và g( x T) g( x mT ) g( x) 

1 

2 

Suy ra f ( x T) g( x T) f ( x) g( x) 

và f ( x T). g( x T) f ( x). g( x) 

, 

đó ta có điều phải chứng minh. 

Nhận xét: 

1. Hàm số f ( x) asinux bcos 

vx c ( với uv , 

2 

T ( ( uv , ) là ước chung lớn nhất). 

( uv , ) 

2. Hàm số f ( x) a.tan ux b.cot 

vx c (với uv , 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 

Bài 1. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x) 

sin x 

A. T 2 B. T C. T 

0 0 

0 


f ( x T) f ( x) 

. Từ 

g( x T) g( x) 

) là hàm số tuần hoàn với chu kì 

) là hàm tuần hoàn với chu kì T 

( uv , ) 

. 

 

 

D. T 

0 

2 

4


58 

Ta có f ( x 2 ) sin( x 2 ) sin x f ( x) 

x 

 

Giả sử có số thực dương T 2 thỏa f ( x T) f ( x) 

sin( x T) sin x x 

(1). 

 

Cho x VT(1) sin T cosT 

1 

2 

 

2 

 

 

 

VP(1) sin 1 (1) không xảy ra với mọi x . 

2 

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T 2. 

0 

Bài 2. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau f ( x) tan 2 x, 

 

 

A. T B. T 2 C. T D. T 

0 

0 0 

0 

2 

4 


 

Ta có f ( x ) tan 2 x tan(2 x ) tan 2 x f ( x) 

2 

 

2 

 

 

Giả sử có số thực dương T thỏa mãn f ( x T) f ( x) 

2 

tan(2x 2 T) tan 2 x x 

(2) 

Cho x 0 VT(2) tan 2T 

0 , còn VP(2) 0 

(2) không xảy ra với mọi x . 

 

Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T . 

0 

2 

Bài 3. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 2x sin x 

 

 

A. T 2 B. T C. T D. T 

0 

0 

0 

2 

4 

Bài 4.. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y tan x.tan 3x 

 

 

A. T B. T 2 C. T D. T 

0 

0 

4 

2 

Bài 5. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 3x 2cos 2x 

 

 

A. T 2 B. T C. T D. T 

0 

0 

0 

2 

4 

Bài 6. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 2x sin x 

 

 

A. T 2 B. T C. T D. T 

0 

0 

0 

2 

4 

Bài 7. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y tan x.tan 3x 

 

 

A. T B. T 2 C. T D. T 

0 

0 

4 

2 

Bài 8. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin 3x 2cos 2x


59 

 

A. T 2 B. T C. T D. T 

0 

0 

0 

2 

Bài 9. Tìm chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số sau y sin x 

A. Hàm số không tuần hoàn 

 

B. T 

0 

2 

C. T 

0 

 

D. T 

0 

4 

ĐÁP ÁN 

 

 

4 

1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 

Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 

Các ví dụ 

Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 

2sin x 


Hàm số y 

2sin x 

TXĐ: D 

Hàm số y 2sin x là hàm số lẻ 

Hàm số y 2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2. 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 

 

2 

. Nghịch biến trên mỗi khoảng 

 

 

 

 

k2 ; k2 

2 

 

. 

 

Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( k;0), k2 ; 2 

2 

 

 

. x 

-5 

2 

-3 

- 

2 

y 

O 

 

3 

2 

5 

2 

2 

2 

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 

tan 2x 

Hàm số y 

tan 2x 

 

TXĐ: D \ k , k 

4 2 

Lời giải:


60 

Hàm số y tan 2x 

là hàm số lẻ 

Hàm số y tan 2x 

là hàm tuần hoàn với chu kì T . 

2 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k; k 

 

4 

 

. 

Các đường tiệm cận: 

 

x k . 

4 2 

k 

Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;0) . 

2 

y 

-7 

4 

-5 

4 

-3 

4 

- 

4 

O 

 

4 

3 

4 

5 

4 

7 

4 

x 

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau 

y 1 

2 cos 

2 

x 

Hàm số y 1 

2 cos 

2 


x 

Ta có: y2 cos 2x 

TXĐ: D 

Hàm số y2 cos 2x 

là hàm số chẵn 

Hàm số y2 cos 2x 

là hàm tuần hoàn với chu kì T . 

 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k; 

k 

2 

, nghịch biến trên mỗi khoảng 

 

 

k; k 

 

2 

 

. 

k 

2 

Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;1), k ; 3 

.


61 

y 

3 

1 

-2 

-3 

- - 

O 

 

 

3 

2 

x 

2 

2 

2 

2 


Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 

sin 2x 

Đồ thị hàm số: y 

sin 2x 

y 

-5π 

4 

-π 

4 

1 

3π 

4 

7π 

4 

x 

-3π 

4 

O π 

4 

-1 

5π 

4 

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số 

y 

2 cos x 

Đồ thị hàm số: 

y 

2 cos x 

2 

y 

-3π 

2 

π 

-π 

2 

O 

π 

2 

π 

3π 

2 

x 

Các ví dụ 

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 

1. y 4sin xcos x 1 

2. 

1 Ta có y2sin 2x 1. 


Do 1 sin2x 1 2 2sin2x 2 1 2sin2x 

1 3 

1 y 3. 

y 

2 

4 3sin 2 

x


62 

 

 

* y 1 sin 2x 1 2x k2 x k . 

2 4 

 

* y 3 sin 2x 1 x k . 

4 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 

2. Ta có: 

* 

* 

2 2 

0 sin x 1 1 4 3sin x 

4 

 

. 

2 

2 

y 1 sin x 1 cos x 0 x k 

2 

y 4 sin x 0 x k 

. 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1 . 

Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau. 

2 2 

1. y 6 cos x cos 2x 

2. y x x x x 

2 

(4sin 3cos ) 4(4sin 3cos ) 1 

1. Ta có: 


y x x x x 

2 2 2 4 2 

6cos (2cos 1) 4cos 2cos 1 

Đặt 

t x t 

2 

cos 0;1 

. Khi đó 2 

y 4t 2t 1 f ( t) 

t 0 

1 

ft () 7 

 

Vậy min y 1 đạt được khi cos x 0 x k 

2 

max y 1 đạt được khi 

1 

2 

cos 1 

x x k 

2. Đặt t 4sin x 3cos x 5 t 5 x 

 

Khi đó: 

2 2 

y t 4t 1 ( t 2) 3 

2 

Vì t 5; 5 

7 t 2 3 0 ( t 2) 49 

Do đó 3 y 46 

Vậy min y 3; max y 46 . 

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : 

y x x x x m 

2 

(3sin 4cos ) 6sin 8cos 2 1 

Đặt t 3sin x 4cos x 5 t 5 

Ta có: 

2 2 

y t t m t m 

2 2 1 ( 1) 2 2 



63 

Do 

 

2 

5 t 5 0 ( t 1) 36 y 2m 2 min y 2m 

2 

Hàm số chỉ nhận giá trị dương y 0 x min y 0 

2m 2 0 m 1. 

Vậy m 1 là giá trị cần tìm. 

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số 

y x x x m x 

2 2 

2sin 4sin cos (3 2 )cos 2 xác định với mọi x 

Hàm số xác định với mọi x 


2 2 

2sin x 4sin xcos x (3 2 m)cos x 2 0 x 

(1) 

cos x 0 (1) đúng 

cos x 0 khi đó ta có: 

2 

4 tan x 4 tan x 1 2 m x 

 

2 2 

(1) 2tan x 4tan x (3 2 m) 2(1 tan x) 0 

 

2 

(2tan x 1) 2 2 m x 2 2m 0 m 1 

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn xy , thỏa mãn 

 

xy 

2 

2 2 

sin x sin y sin( x y) 


 

Ta có hàm số y sin x, y cos x đồng biến trên khoảng 0; 2 

 

 

 

Và x, y, x, y 0; 

2 2 

2 

. 

Giả sử 

Suy ra: 

 

x y 

sin x sin y cos y 

2 

2 

 

 

x y 

2 

y x sin y sin x cos x 

2 

2 

 

 

2 2 

sin sin sin .sin sin .sin 

Mâu thuẫn với ( ) 

Giả sử 

Suy ra: 

x y x x y y 

sin xcos y sin y cos x sin( x y) 

 

x y 

sin x sin y cos y 

2 

2 

 

 

x y 

2 

y x sin y sin x cos x 

2 

2 

 

 

2 2 

sin sin sin .sin sin .sin 

Mâu thuẫn với ( ) 

x y x x y y 

sin xcos y sin y cos x sin( x y) 

( ). Chứng minh rằng:


64 

Nếu 

 

x y () đúng. 

2 

 

Vậy ( ) 

x y . 

2 

Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau : 

1. y 3sin x 4cos x 5 

2. 

1. Xét phương trình : y 3sin x 4cos x 5 


3sin x 4cos x 5 y 0 phương trình có nghiệm 

 

2 2 2 2 

3 4 (5 y) y 10y 0 0 y 10 

Vậy min y0 ; max y 10 . 

2. Do sin x cos x 2 0 x 

hàm số xác định với x 

 

sin x2 cos x1 

Xét phương trình : y 

sin xcos x2 

(1 y)sin x (2 y)cos x 1 2y 

0 

sin x2 cos x1 

y 

sin xcos x2 

Phương trình có nghiệm 

(1 y) (2 y) (1 

2 y) 

2 2 2 

2 

y y y 

2 0 2 1 

Vậy min y 2; max y 1. 


Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sin x 

3 


B. max y 5 , min y 2 5 



Ta có 1 2sin x 3 5 1 y 5 . 


 

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng max y 5 , đạt được khi sin x 1 x k2 . 

2 

 

Giá trị nhỏ nhất bằng min y 1, đạt được khi x k2 . 

2 

Bài 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 

y 

A. max y 1, min y 1 3 


3 

C. max y 2 , min y 1 3 


3 


2 

1 2cos x 1


65 

2 

Ta có 1 2cos x 1 3 1 3 y 

0 

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng max y 0 , đạt được khi 

 

x 

k 

2 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng min y 1 3 , đạt được khi xk. 

 

Bài 3. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3sin2x 

4 

 

 





 

Ta có: 1 sin2x 1 2 y 

4 

4 

 

 


 

y 2 sin2x 1 

x k 

4 

 

min y 2 

 

8 

 

3 

y 4 sin 2x 1 x k 

4 

 

max y 4 

8 



 

 

y 

A. min y 1, max y 2 

B. min y 1, max y 3 



2 

0 cos 3x 1 1 y 

3 

k 

min y 1 

3 

2 

y 1 cos 3x 1 x 

2 

y 3 cos 3x 0 x 


k 

max y 3 

6 3 

2 

3 2cos 3 

Bài 5. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 sin 2x 

A. min y 2 , max y 1 3 

B. min y 2 , max y 2 3 

C. min y 1, max y 1 3 

D. min y 1, max y 2 

Ta có: 1 sin 2x 1 2 y 1 

3 


 

y 2 sin 2x 1 

x k min y 2 

4 

 

y 1 3 sin 2x 1 x k min y 2 

4 

4 

Bài 6. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

2 

1 2sin x 

x


66 

A. 

C. 


 

 

4 

min y , max y 4 

B. 

3 

4 


D. 

3 

0 sin x 1 y 

4 

3 

2 4 

2 

y sin x 1 x k 


4 

 

4 

min 

y 

3 2 

3 

2 

y 4 sin x 0 x k 

max y 4 


Đặt 

4 


3 

1 


2 

2 2 

y 2sin x cos 2x 

3 

A. max y 4 , min y B. max y 3 , min y 2 

4 

3 


D. max y 3 , min y 

4 

2 

t sin x, 0 t 1 cos2x 1 

2t 

1 3 

2 4 

2 2 2 

y 2 t (1 2 t) 4t 2t 1 (2 t ) . 

Do 


1 1 3 1 2 9 3 

0 t 1 2t 0 (2 t ) y 3. 

2 2 2 2 4 4 

Vậy max y 3 đạt được khi 

3 

min y đạt được khi sin 

4 

 

x k . 

2 

x . 

4 

2 1 

Bài 8. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 

1 





2 2 2 2 2 

Áp dụng BĐT ( ac bd) ( c d )( a b ) . 

Đẳng thức xảy ra khi a b . 

c d 


2 2 2 2 2 

Ta có: (3sin x 4cos x) (3 4 )(sin x cos x) 25 

5 3sin x 4cos x 5 4 y 6 . 

Vậy max y 6 , đạt được khi 

min y 4 , đạt được khi 

3 

tan x . 

4 

3 

tan x . 

4


67 

Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau 

max( asin x bcos x) 

a b 

2 2 

, 

min( asin x bcos x) 

a b 

2 2 

Tức là: 

2 2 2 2 

a b asin 

x bcos 

x a b . 

Bài 9. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3sin x 4cos x 

1 


B. min y 6; max y 

5 


D. min y 6; max y 

6 


4 

Ta có : y 5sin( x ) 1 trong đó 

sin 

 

0; 2 

thỏa 5 

 

3 

cos 

5 

Suy ra min y 6; max y 4 . 


2 2 

y 2sin x 3sin 2x 4cos x 

A. min y 3 2 1; max y 3 2 1 B. min y 3 2 1; max y 3 2 1 

C. min y 3 2; max y 3 2 1 D. min y 3 2 2; max y 3 2 1 

Ta có: y 1 cos 2x 3sin 2x 2(1 cos 2 x) 


 

3sin 2x 3cos 2x 1 3 2 sin2x 

1 

4 

 

 

Suy ra min y 3 2 1; max y 3 2 1. 


2 2 

y sin x 3sin 2x 3cos x 


A. max y 2 10; min y 2 10 B. max y 2 5; min y 2 5 

C. max y 2 2; min y 2 2 D. max y 2 7; min y 2 7 


1cos 2x 

3(1 cos 2 x) 

y 3sin 2x 3sin2x cos2x 2 . 

2 2 

Mà 10 3sin 2x cos 2x 10 2 10 y 2 10 

Từ đó ta có được: max y 2 10; min y 2 10 . 

Bài 12. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2sin 3x 

1 


B. min y 1,max y 

2 


D. 

min y 3,max y 

3


68 

:C 



y 



7 


D. 

min y 2,max y 

7 

Đáp án C 


2 

3 4cos 2 

Bài 14. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 4 cos 3x 

A. min y 1 2 3,max y 1 2 5 B. min y2 3,max y 

2 5 

C. min y 1 2 3,max y 1 2 5 D. min y 1 2 3,max y 1 2 5 

Đáp án A. 


Bài 15. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 4sin6x 3cos6x 



4 


D. min y 6,max y 

6 

Đáp án A. 



A. 

C. 

Đáp án D 

3 3 

min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

2 3 

min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

B. 

D. 


x 

3 

y 

1 

2 sin 

3 4 

min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

3 3 

min y 

,max y 

1 

3 1 

2 

3sin 2x 

cos2x 

Bài 17. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 

2 

sin 2x4cos x1 

A. 

C. 

Đáp án D 

6 3 5 6 3 5 

min y ,max y B. 

4 4 

7 3 5 7 3 5 

min y ,max y D. 

4 4 


4 3 5 4 3 5 

min y ,max y 

4 4 

5 3 5 5 3 5 

min y ,max y 

4 4 

Bài 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2cos(3 x ) 3 

3 

2 

x


69 


B. min y 1, max y 4 

C. min y 1, max y 5 

D. min y 1, max y 3 

Ta có: min y 1 đạt được khi 

max y 5 đạt được khi 

4 

2 

x k 

9 3 

2 

x k 

9 3 



y 

A. min y 6 , max y 4 3 

B. min y 5 , max y 4 2 3 

C. min y 5 , max y 4 3 3 

D. min y 5 , max y 4 3 

Ta có: min y 5 đạt được khi 

 

x k 

4 2 

max y 4 3 đạt được khi 

x 

k 

2 



2 

3 2sin 2x 

4 

2 

y sin x 2 sin x 





Ta có y0 

x và 

2 2 

y 2 2sin x 2 sin x 


Mà 

2 2 2 

2 sin x 2 sin x sin x 2 sin x 2 

Suy ra 

2 

0 y 4 0 y 

2 

 

min y 0 đạt được khi x k2 

2 

 

max y 2 đạt được khi x k2 

2 

Bài 21. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 


y x x 

2 

tan 4 tan 1 

A. min y 2 B. min y 3 C. min y 4 D. min y 1 

t 

2 

(tan x 2) 3 

min y 3 đạt được khi tan x 2 

Không tông tại max . 


Bài 22. Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 

y x x x x 

2 2 

tan cot 3(tan cot ) 1 

A. min y 5 B. min y 3 C. min y 2 D. min y 4


70 

Ta có: x x 2 

x x 

Đặt 

Suy ra 

tan cot 3 tan cot 3 

2 

t tan x cot x t 2 

sin 2x 

2 

y t t f t 

Bảng biến thiên 

3 3 ( ) 


t 2 2 

ft () 

Vậy min y 5 đạt được khi 

Không tồn tại max y . 

 

x k . 

4 

5 

7 

Bài 23. Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos 4x 2m 

1 xác định với mọi x . 

A. m 1 

B. 

61 1 

m C. 

2 


Hàm số xác định với mọi x 5sin4x 6cos4 x 1 2 

m x 

Do min(5sin 4x 6cos 4 x) 61 61 1 

2m 

61 1 

m D. m 

2 

61 1 

m 

. 

2 

Bài 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2 3sin 3x 



4 



5 


Ta có: 1 sin 3x 1 1 y 5. Suy ra: min y 1; max y 

5 


. Ta có: 

y 



5 



1 

2 

0 sin 2x 

1 3 y 1 


. Suy ra: min y 3; max y 

1 

2 

1 4 sin 2 

61 1 

2 

Bài 26. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3 2sin x 

A. min y 2; max y 1 5 

B. min y2; max y 

5 

C. min y 2; max y 1 5 

D. min y2; max y 

4 

x


71 


Ta có: 1 3 2sin x 5 2 y 1 5 . Suy ra: min y 2; max y 1 

5 


y 

2 

3 2 2 sin 4 

x 


A. min y 3 2 2; max y 3 2 3 B. min y 2 2 2; max y 3 2 3 

C. min y 3 2 2; max y 3 2 3 D. min y 3 2 2; max y 3 3 3 


2 

2 2 sin 4x 3 3 2 2 y 3 2 3 

Suy ra: min y 3 2 2; max y 3 2 3 

Bài 28. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 4sin 3x 3cos 3x 

1 



6 



6 


Ta có: 5 4sin 3x 3cos 3x 5 4 y 6 . Suy ra: min y 4; max y 

6 

Bài 29. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 cos x sin x 4 

A. min y2; max y 4 

B. min y2; max y 

6 

C. min y4; max y 6 

D. 

min y2; max y 

8 


 

Ta có: y 2sinx 4 

3 

. Suy ra: min y2; max y 

6 

 


A. 

C. 

2 

min y ; max y 2 

B. 

11 

2 


D. 

11 

Ta có: 2sin2x cos2x 4 4 5 0 x 

 


2 

min y ; max y 

3 

11 

2 

min y ; max y 

2 

11 

sin 2x2cos 2x3 

y (2y 1)sin 2 x ( y 2)cos 2x 3 4y 

2sin 2xcos 2x4 

(2y 1) ( y 2) (3 4 y) 11y 24y 4 0 y 2 

11 

Suy ra: 

2 2 2 2 2 

2 

min y ; max y 2 . 

11 

sin 2x2cos 2x3 

y 

2sin 2xcos 2x4


72 


2 

2sin 3x 4sin 3xcos3x 

1 

y 

sin6x4cos6x10 

A. 

C. 

119 7 119 7 

min y ; max y B. 

83 83 

33 9 7 33 9 7 

min y ; max y D. 

83 83 


Ta có: sin6x 4cos6x 10 10 17 0 x 

 

2sin6xcos6x2 

y ( y 2)sin6 x (4y 1)cos6x 2 10y 

sin6x4cos6x10 

 

2 2 2 2 

( y 2) (4y 1) (2 10 y) 83y 44y 

1 0 

22 9 7 22 9 7 

y 

83 83 

Suy ra: 

22 9 7 22 9 7 

min y ; max y . 

83 83 

22 9 7 22 9 7 

min y ; max y 

11 11 

22 9 7 22 9 7 

min y ; max y 

83 83 

Bài 31. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3cos x sin x 2 

A. min y 2 5; max y 2 5 B. min y 2 7; max y 2 7 

C. min y 2 3; max y 2 3 D. min y 2 10; max y 2 10 

Xét phương trình: 3cos x sin x y 2 


Phương trình có nghiệm 

2 2 2 

3 1 ( y 2) 2 10 y 2 10 

Vậy min y 2 10; maxy 2 10 . 


A. 

C. 

Ta có 

5 97 5 97 

min y , max y B. 

4 4 

5 97 5 97 

min y , max y D. 

8 8 

6sin 4xcos4x1 

y 

2cos4x2sin 4x6 

( do cos4x sin4x 3 0 x 

) 

(6 2 y)sin 4 x (1 2 y)cos 4x 6y 

1 


 

2 2 2 2 

(6 2 y) (1 2 y) (6y 1) 8y 10y 

9 0 

y 

2 

sin 2x 

3sin 4 

x 

2 

2cos 2xsin 4x2 

5 97 5 97 

min y , max y 

18 18 

7 97 7 97 

min y , max y 

8 8 

5 97 5 97 

y 

8 8


73 

Vậy 

5 97 5 97 

min y , max y . 

8 8 


y x x x x 

2 

3(3sin 4cos ) 4(3sin 4cos ) 1 

A. 

C. 

1 


B. 

3 

1 

min y ; max y 

6 

3 

1 


D. min y2; max y 

6 

3 

Đặt t 3sin x 4cosx t 5; 5 

 

Khi đó: 

Do 

y t t f t 

2 

3 4 1 ( ) với t 5; 5 

2 1 

min y f ( ) ; max y f (5) 96 . 

3 3 

 


 

2 

Bài 33. Tìm m để các bất phương trình (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos x 2m 1 đúng với 

mọi x 

A. m 0 

B. m 0 

C. m 0 

D. m 1 

Đặt t 3sin x 4cos x 5 t 5 


Do 

2 

y (3sin x 4cos x) 6sin x 8cos x 

2 2 

t t t 

2 ( 1) 1 

 

2 

5 t 5 0 ( t 1) 36 min y 1 

Suy ra yêu cầu bài toán 1 2m1 m 0 . 


3sin 2x 

cos2x 

Bài 34. Tìm m để các bất phương trình m 

1 

đúng với mọi x 

2 

sin 2x4cos x1 

Đặt 

A. 

3 5 

m B. 

4 

3sin 2x 

cos 2x 

y 

sin 2x2 cos 2x3 

3 5 9 

m C. 

4 


(Do sin2x 2cos2x 3 0 x 

hàm số xác định trên ) 

(3 y)sin 2 x (1 2 y)cos 2x 3y 

3 5 9 

m D. 

2 

3 5 9 

m 

4 

Suy ra 

2 2 2 2 

(3 y) (1 2 y) 9y 2y 5y 

5 0 

5 3 5 5 3 5 5 3 5 

y max y 

 

4 4 4 

5 3 5 3 5 9 

Yêu cầu bài toán m 1 m . 

4 4


74 

4sin 2xcos 2x17 


2 đúng với mọi x 

3cos 2x sin 2x m 1 

A. 

C. 

15 29 

10 3 m B. 

2 

15 29 

10 1 

m 

2 

15 29 

10 1 

m D. 10 1 m 10 1 

2 


Trước hết ta có: 3cos2x sin2x m1 0 x 

 

 

2 2 2 2 

m 1 

10 

3 1 ( m 1) m 2m 

9 0 

m 

1 10 

m 1 10 3cos2x sin2x m1 0, x 

 

Nên 


2 2sin 2x 5cos2x 2m 

15 


15 29 

29 2m15 

m 

2 

Suy ra: 

15 29 

10 1 

m 

2 

m 1 10 3cos2x sin2x m1 0, x 

 

Nên 


2 2sin 2x 5cos2x 2m 

15 


15 29 

29 2m15 

m (loại) 

2 

Vậy 

15 29 

10 1 

m là những giá trị cần tìm. 

2 

Bài 36. Cho xy , 0; 

2 thỏa cos 2 cos 2 2sin( ) 2 

x y x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 

4 

4 

sin x cos y 

P y 

x 

. 

A. 


Suy ra: 

3 

min P 

B. 

(*) 

2 

min P 

C. 


2 

min P D. 

3 

2 2 

cos 2x cos 2y 2sin( x y) 2 sin x sin y sin( x y) 

 

xy 

2 

Áp dụng bđt: 

a b ( a b) 

 

m n m n 

2 2 2 

5 

min P


75 

Suy ra: 

Do đó: 

P 

2 x 

2 y 2 

sin sin 2 

 

xy 

. Đẳng thức xảy ra 

x y . 

4 

2 

min P 

. 

Bài 37.. Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số 

ksin x1 

y 

cos x 2 

lớn hơn 1 . 


A. k 2 B. k 2 3 C. k 3 

D. k 2 2 


ksin x1 

y y cos x k sin x 2y 

1 0 

cos x 2 

2 2 

2 3k 

1 2 3k 

1 

(2 1) 3 4 1 0 y 

3 3 

2 2 2 2 2 

y k y y y k 

Yêu cầu bài toán 

C.BÀI TẬP TỔNG HỢP 

2 

2 3k 

1 

2 

1 5 3k 

1 k 2 2 

Câu 1. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa, 

A. hàm số lượng giác có tập xác định là . 

B. hàm số y tan x có tập xác định là . 

C. hàm số y cot x có tập xác định là . 

D. hàm số y sin x có tập xác định là . 


3 

A. hàm số lượng giác có tập giá trị là 1;1 . 

B. hàm số y cos xcó tập giá trị là 1;1 . 

C. hàm số y tan xcó tập giá trị là 1;1 . 

D. hàm số y cot xcó tập giá trị là 1;1 . 


A. hàm số y 

sin xlà hàm số chẵn. 

B. hàm số y cos x là hàm số chẵn. 

C. hàm số y tan x là hàm số chẵn. 

D. hàm số y cot x là hàm số chẵn. 

Câu 4. Cho biết khẳng định nào sau đây là sai? 

.


76 

A. hàm số y 

cos xlà hàm số lẻ. 

B. hàm số y sin x là hàm số lẻ. 

C. hàm số y tan x là hàm số lẻ. 

D. hàm số y cot x là hàm số lẻ. 

Câu 5. Cho hàm số lượng giác nào sau đây có đồ thị đối xứng nhau qua Oy ? 



A. hàm số lượng giác tuần hoàn với chu kì 2 . 

B. hàm số y sin x tuần hoàn với chu kì 2 . 

C. hàm số y cos x tuần hoàn với chu kì 2 . 

D. hàm số y cot x tuần hoàn với chu kì 2 . 

Câu 7. Xét trên một chu kì thì đường thẳng y m (với 1 m 1) luôn cắt đồ thị 

A. hàm số lượng giác tại duy nhất một điểm. 

B. hàm số y sin x tại duy nhất một điểm. 

C. hàm số y cos x tại duy nhất một điểm. 

D. hàm số y cot x tại duy nhất một điểm. 


A. hàm số lượng giác luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

B. hàm số y sin x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

C. hàm số y tan x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

D. hàm số y cot x luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

Câu 9. Trên khoảng ( 4 ; 3 ) , hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dương? 


7 5 

Câu 10 .Trên khoảng 

 

; 

 

2 2 

, hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị âm? 

 


Câu 11. Các hàm số 

khoảng nào sau đây? 

y sin x, y cos x, y tan x, y cot x nhận giá trị cùng dấu trên 

3 

A. 2 ; 

 

2 

 

. B. 3 

 

; 

2 

 

. C. 

; 

 

 

2 

. D. 

;0 

2 

 

. 

Câu 12. Hàm số y5 3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây?


77 

A. 1;1 . B. 3; 3 . C. 5;8 

. D. 2;8 

. 

Câu 13. Hàm số y 5 4cos x 3sin x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? 

A. 1;1 . B. 5; 5 . C. 0;10 

. D. 2;9 

. 

Câu 14. Trên tập xác định, hàm số y tan x cot x luôn nhận giá trị trên tập nào sau đây? 

A. ; 

. B. ; 2 . C. 2; 

. D. ; 2 2; 

 

. 


A. y = sinx B. y = x+1 C. y = x 2 D. 

Câu 16. Hàm số y = sinx: 

x 1 

y 

x 2 

 

 



2 

 

 

k2 ; k2 

với kZ 

 

B. Đồng biến trên mỗi khoảng 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 

3 

5 

 

k2 ; k2 

 

2 2 


C. Đồng biến trên mỗi khoảng 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 

 

3 

 

k2 ; k2 

 

2 2 


 



2 2 

 

3 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 


A. y = sinx –x B. y = cosx C. y = x.sinx D. 


A. y = x.cosx B. y = x.tanx C. y = tanx D. 


A. y = sin x 

x 

Câu 20. Hàm số y = cosx: 

2 

x 1 

y 

x 

1 

y 

x 

B. y = tanx + x C. y = x 2 +1 D. y = cotx


78 

 

 

 

 


 

2 

 

 

k2 ; k2 

với kZ 

 


 

k2 ; k2 

với kZ 

 



 

3 

 

C. Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 


2 2 

 

k2 ; k2 

với kZ 

2 2 


 

k2 ;3 k2 

với kZ 

 


Câu 21. Chu kỳ của hàm số y = sinx là: 

A. k2 kZ 

B. 2 

 

C. D. 2 

Câu 22. Tập xác định của hàm số y = tan2x là: 

A. 

 

x k 

B. 

2 

 

x k 

C. 

4 

Câu 23. Chu kỳ của hàm số y = cosx là: 

A. k2 kZ B. 2 

3 

Câu 24. Tập xác định của hàm số y = cotx là: 

A. 

 

x k 

B. 

2 

 

x k 

C. 

4 

Câu 25. Chu kỳ của hàm số y = tanx là: 

A. 2 B. 4 

 

 

x k D. 

8 2 

C. D. 2 

 

x k 

4 2 

 

x k D. x 

k 

8 2 

C. k , kZ D. 

Câu 26. Chu kỳ của hàm số y = cotx là: 

A. 2 B. 2 

 

C. D. k kZ 

Câu 27. Tập xác định của hàm số y sinx 1 là: 

 

A. D B. D C. D k2 , 

k 

2 


1 

y 

là: 

sinx 

cosx 

 

 

 

D. D 

 

2


79 

 

A. D \ 

4 

 

B. D x | x k , k 

 

2 

 

C. D * 

D. D x | x k , 

k 

4 


2 

y 1 cos x 

là: 

A. D B. D x | x k2 , 

k 

C. D \ 

D. D x | x k, 

k 


 

A. D \ 

 

4 

 

C. D \ 

4 

 

ytanx 

4 

 

là: 

 

Câu 31. Tập xác định của hàm số ycoscot 

x 

 

6 

là: 

 

A. 

2 

D x | x k, 

k 

 

 

3 

 

C. D x | x k2 , 

k 

6 

 

 

B. D x | x k, 

k 

 

4 

 

D. D x | x k, 

k 

4 

B. 

2 

D x | x k2 , 

k 

 

 

3 

 

 

D. D x | x k, 

k 

6 

1 


là: 

4 4 

sin x 

cos x 

 

A. D x | x k2 , 

k B. 

4 

 

 

C. D x | x k, 

k D. 

4 

1 

D x | x k , 

k 

 

 

4 2 

 

1 

D x | x k , 

k 

 

4 

 

 

 


y 3 sin 2x tanx là: 

 

A. D x | x k, 

k 

2 

 

C. D x | x k2 , 

k 

2 

 

 

B. D x | x k , k 

 

2 

D. D x | x k, 

k


80 


 

1 

A. D x | x k , 

k 

 

4 

 

C. D x | x k , k 

 

2 

1 

là: 

1 

cos 4x 

 

B. D x | x k , 

k 

4 

 

D. D x | x k , k 

4 2 

Câu 35. Tập xác định của hàm số y tanx 3 là: 

 

A. D x | k x k , 

k 

3 2 

 

C. D x |k x k , 

k 

 

3 

Bài 36. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số 

A. 

3 

y sin tanx B. sinx tanx 

 

B. D x | k x, k 

3 

 

 

D. D x | k x k , 

k 

3 2 

 

y f x sau đây: 

y C. y cos x xsinx 

D. 

 

Bài 37. y3cos2x 

6 


 

A. T 2 B. 

Bài 38. y tan 5x 


T 

 

3 

C. T D. T 

2 

2 

tanx 

y 

2 cos x 

2 

A. T B. T C. T 

D. T 2 

5 

5 


A. 


y 

2 

tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 

2 

T B. T C. T D. 

y 

 

 

 

2 

sin 2 

 

x 

4 


 

A. T 

B. T 2 C. T D. 

2 

Bài 41. y cos 3x sin 3x 


T 

 

2 

2 

T 


A. T 2 B. 

y 

T 

C. T 3 D. 

3 

3 

cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 

T 

2 

3


81 


A. T B. 

3 3 

y sin x cos x 

3 

T C. T 2 D. 


A. T 

B. 

3 


4 4 

y cos x sin x 

T 

2 

3 

3 

T C. T 3 D. T 2 


A. 

T 

B. 

4 

4 

T C. 

T 

D. T 2 

2 

Bài 45. y cos 2x cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì: 


A. T B. T 2 C. T D. T 2 

sinx 

y 1 cos x 


A. T B. 


1 

T C. T 2 D. 

 

 

y cos x trên 

; 

4 3 

 

là: 

T 

 

2 

A. 1 và 1 2 

B. 

3 

2 và 1 2 

C. 

2 

2 và 1 2 

 

Bài 48. GTLN và GTNN của hàm số y sin 2x 

trên 

; 

6 3 

 

là: 

D. 0 và 1 2 

A. 1 2 và 3 

2 

B. 


A. 3 và 

3 

B. 3 và 

3 

3 

2 và 3 

C. 

2 

3 

3 


3 

2 và 1 

D. 1 2 

2 và 1 

 

2 

 

y 3 tanx trên 

; 

3 4 

 

là: 

C. 3 và 3 D. 3 và 1 

y sinx cos 2 x trên là: 

A. 0 và 2 2 B. 2 và 2 2 C. 2 2 và 0 D. 4 và 2 


y x x 

2 2 

cos sin 1 trên là: 

A. 3 và 1 B. 1 và 1 

C. 9 4 và 0 D. 9 4 và 2 


A. 2 và 0 B. 1 và 1 2 

4 4 

y cos x sin x 

trên là: 

C. 2 và 0 D. 2 và 1


82 


y 

1 

3 sin 

2 

x 

trên 

là: 

A. 

13 và 1 

3 

1 

B. 3 và 

1 

3 

1 

C. 

13 và 1 

1 

3 

2 

D. 

13 và 1 

3 

3 

4 


y 

1 

2 cos x 

trên 

2 

; 

4 3 

 

là: 

A. 

2 và 

1 

2 1 

2 

2 2 1 

và 

1 

2 1 

B. 

12 và 1 

2 

2 

2 

C. 

12 và 1 

2 

3 

2 

D. 

1D 2B 3B 4A 5B 6D 7D 8B 9A 10B 

11A 12D 13C 14D 15A 16D 17B 18C 19C 20B 

21A 22D 23A 24D 25D 26C 27C 28d 29B 30D 

31D 32B 33A 34D 35D 36 

37d 38c 39c 40a 

Le-le- 

Chanle 

41d 42C 43D 44C 45D 46C 47C 48C 49B 50C 

51D 52C 53B 54A 55D


83 

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt 

Dạng toán 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 

1. Phƣơng trình: sin x 

m (1) 

* Nếu: m 1 

Phương trình vô nghiệm 

 

* Nếu: m 1 ; sin 

m 

2 2 

(1) sin x sin 

x 

k2 

 

x 

k2 

( k ). 

 

 

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 

 

sin 

m 

thì ta viết 

arcsin m. 

*Các trường hợp đặc biệt: 

 

1. sin x 1 x k2 

2 

 

2 sin x 1 x k2 

2 

3. sin x 0 x k 

2. Phƣơng trình: cos x 

m (2) 

* Nếu: m 1 

phương trình vô nghiệm 

* Nếu: m 1 [0; ] : cos m 

(2) cos x cos 

x 

k2 

 

x 

k2 

( k Z). 

Chú ý : * Nếu thỏa mãn 

* Các trường hợp đặc biệt: 

1. cos x 1 x k2 

0 

 

 

cosm 


arccosm .


84 

2. cos x 1 x k2 

 

3. cos x 0 x k 

2 

3. Phƣơng trình : tan x 

m (3) 

 

Với m 

 

; : 

2 2 tan m 

(3) tan x tan x k . 

 

 


 

tan 

m 


arctanm . 


 

1. tan x 1 x k 

4 

 

2. tan x 1 

x k 

4 

3. tan x 0 x k 

4. Phƣơng trình: cot x 

m (4) 

 

Với m 

( ; ) : cot m 

2 2 

(4) cot x cot x k. 

 

 


 

cot 

m 

thì ta viết arc co t m . 


 

1. cot x 1 x k 

4 

 

2. co tx 1 x k 

4


85 

 

3. cot x 0 x k 

2 

Ghi chú: 

* 

u v k2 

sinusin 

v 

u v k2 

( k ) * cosu cos v u v k2 ( k ) 

u v k 

 

* tanutan 

v 

u, 

v n 

2 

( kn , ) 

u v k 

* cot ucot 

v 

u, 

v n 

( kn , ) 

Dạng 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx 

Là phương trình có dạng: asin x bcos x c (1) ; với a, b, 

c và 

a 

b 

0 . 

2 2 

Cách giải: Chia hai vế cho 

a 

b và đặt 

2 2 

cos 

a 

b 

;sin 

a b a b 

2 2 2 2 

. 

(1) sin x.cos cos x.sin 

 

a 

c 

b 

2 2 

sin( x ) 

 

a 

c 

b 

2 2 

(2). 

Chú ý: 

(1) có nghiệm (2) 

2 2 2 

có nghiệm a b c . 

 

 

 

1 3 

sin x 3 cos x 2 sin x cos x 

2sin( x ) 

 

2 2 

3 

3 1 

3 sin x cos x 2 sin x cos x 

2sin( x ) 

 

2 2 

6 

1 1 

sin x cos x 2 sin x cos x 

2 sin( x ) . 

2 2 

4 

Dạng 3. Phƣơng trình bậc hai chứa một hàm số lƣợng giác


86 

Là phương trình có dạng : 

2 

sin u( x) sin u( x) 

 

 

cos u( x) cos u( x) 

a b c 0 

tan u( x) tan u( x) 

 

cot u( x) cot u( x) 

 

Cách giải: Đặt 

sin ux ( ) 

 

cos ux ( ) 

t 

tan ux ( ) 

cot ux ( ) 

ta có phương trình : 

2 

at bt c 

0 

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x 

Khi đặt 

sin ux ( ) 

t , ta co điều kiện: t 1;1 

cos ux ( ) 

 

 

Dạng 4. Phƣơng trình đẳng cấp 

Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn 

hoặc cùng lẻ. 

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương 

trình ẩn là tan x . 

Dạng 5. Phƣơng trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx 

Là phương trình có dạng: a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) 

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ 

2 

t 

1 

 

sin xcos 

x 

t sin x cos x 2 sin x 

2 

4 

 

t 

 

2; 2 

 

Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. 

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng 

a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) 

t 

 

2; 2 

 

Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 2 sinx 

2 

4 

 

1 

t 

sin 

xcos 

x 

 

2 

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.


87 

B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 

Vấn đề 1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 

Các ví dụ 

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 

1. sin xcos2 x 0 

2. 

2 

cos xsin 2 x 0 

3. 

0 

2 sin(2x 35 ) 3 

4. sin(2x 1) cos(3x1) 0 

 

1. Phương trình cos 2x sin x cos( x) 

2 


 

2 

2x x k2 x k 

2 

 

 

6 3 

 

 

, k . 

 

 

2x x k2 x k2 

2 

2 

2. Phương trình 

2 

cos x 2sin xcos x 0 

cos x 0 

cos x 0 

cos x(cos x 2sin x) 0 

1 

2sin x 

cos x tan 

x 

2 

 

x 

k 

 

2 

 

, k 

1 

x arctan k 

 

2 

. 


3 

sin(2x 

35 ) sin 60 

2 

0 0 

0 0 0 

2x35 60 k360 

 

2x 35 180 60 k360 

0 0 0 0 

95 

x 

 

2 

 

0 

155 

x 

 

0 

2 

k.180 

0 

k.180 

0 

. 

 

4. Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 

2x 

1 

2


88 

 

 

3x 1 2x 1 k2 x 2 k2 

2 

 

 

2 

 

 

. 

 

2 

3x 1 2x 1 k2 

x k 

2 

 

10 5 


1. cos x2sin2x 0 

2. 

sin xsin 3x cos xcos 3x 

 

2 

3 3 5 

3. 

2 2 

sin 2 cos 2 cos 3 

x x x 4. sin2 x.cos3x sin5 x.cos6x 

5. sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x 

6. 

2 2 2 2 

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 

x x x x 7. 

2 2 

cos 3xcos 2x cos x 0 


1. Phương trình cos x 4sin xcos x 0 cos x(1 4sin x) 0 

 

cos x 0 

x k 

 

2 

1 

sin 

x 1 1 

4 x arcsin k2 , x arcsin k2 

4 4 

2. Ta có 

sin 

3sin x sin 3 x cos 3 3cos 

;cos 

x 

x x 

x 

4 4 

3 3 

Nên phương trình đã cho tương đương với 

5 

sin 3x3sin x sin 3x cos 3xcos 3x 3cos x 

 

2 

5 

3sin 3xsin x cos 3xcos x 

1 

 

2 

3 1 

3cos4x cos4 x x k , k . 

2 2 12 2 

2 2 

3. Phương trình sin 2x cos 2x cos 3x 

cos 4x cos 3x cos 3x 

2 

4x 3x k2 x k 

 

7 7 

4x 3x k2 

 

x k2


89 


1 1 

sin 5x sin x sin11x sin x 

2 

 

2 

 

sin 5x sin11x x k hoặc 

6 

 

x k 

16 8 

5. Phương trình (sin x sin 3 x) sin 2 x (cos x cos 3 x) cos 2x 

2sin2xcos x sin2x 2cos2x cos x cos2x 

(2cos x 1)(sin 2x cos 2 x) 0 

6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 

2 

1 x k2 

cos x 

 

3 

2 

. 

 

sin 2x cos 2x 

x k 

8 2 

Phương trình 

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 

cos12x 

 

2 2 2 2 

cos6x cos8x cos10x cos12x 

cos x 0 

2 cos7xcos x 2 cos11xcos 

x 

cos11x 

cos7x 

 

x 

k 

 

2 

 

. 

 

x k ; x k 

2 9 

7. Phương trình (1 cos6 x)cos 2x 1 cos 2x 

0 

cos6 x.cos2x 1 0 cos8x cos4x 2 0 

2 

2cos 4 cos4 3 0 cos4 1 . 

Nhận xét: 

x x x x k 

2 

* Ở cos6 x.cos2x1 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay 

3 

cos6 4cos 2 3cos 2 

x x x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số 

lượng giác cos2x . 

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về 

phương trình chỉ chứa cosx và đặt 

t 

2 

cos 

x 

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ 

bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .


90 

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 

1. 3sin x4 cos x 0 

2. sin 2x 3 cos 2x 

1 

3. 2sin 3x 5 cos 3x 5 

4. 3cos x 3 sin x 

1 

5. sin 7x cos 2x 3(sin 2x cos 7 x) 

6. sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x 

7. 

3 

sin x cos xsin 2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x) 




4 

3sin x 4cos x tan x 

3 

1 

2sin(2 x ) 1 sin(2 x ) sin 

3 3 2 6 

4 

x arctan k 

3 

. 

 

 

2x k2 x k 

3 6 

 

 

 

12 

 

, k 

5 

2x k2 x k 

 

3 6 4 

. 

2 2 

2 5 9 5 phương trình vô nghiệm. 

3. Ta có 2 


1 1 

3 cos x sin x cos( ) 

3 x 

6 2 3 

1 

x arccos k2, k . 

6 2 3 

5. Phương trình sin7x 3 cos7x 3 sin2x cos2x 

 

7x x k2 

 

cos(7 x ) cos( x ) 

6 3 

x k 

 

 

36 3 

 

, 

6 3 

7x x k2 

 

x k 

6 3 16 4 

k 

. 


 

3x 2x k2 

 

 

sin(3 x ) sin 2x 3 

 

3 

 

3x 2x k2 

3


91 

 

x k2 

 

3 

 

, k . 

4 

2 

x k 

15 5 


3 1 

3 1 

sin x sin 3x 3 cos 3x 

2cos4x sin x sin 3x 

2 2 

2 2 

sin3x 3 cos3x 2cos4x 

 

x k2 

 

 

cos(3 x ) cos 4x 6 

 

. 

3 2 

x k 

42 7 


1. cos( sin x) cos(3 sin x) 

 

tan sin 1 1 

4 

 

 

2. x 



sin 

x 

k 

3sin x sin x k2 

 

n 

3 sin x sin x n2 

sin x 

2 

Xét phương trình sin x k. Do k và 1 sin x 1 nên ta có các giá trị của k : 1,0,1 

 

Từ đó ta có các nghiệm: x m, x m, 

m 

2 

n 

Xét phương trình sin x . Ta có các giá trị của n là: n 2, n 1, n 0 

2 

 

 

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x l, x l, x l, 

l 

2 6 

 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x m, x m, 

x m m . 

2 6 

 

 

k 

4 4 

2. Phương trình sin x 1 

sin x 1 1 4k sin x 4k 

sin x 0 x m, m . 

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:


92 

3 1 sin x 3 1 cos x 2 2 sin 2x 

1. 

2. 

2 2 

3sin 5cos 2cos 2 4sin 2 

x x x x 

3. 

2 

5sin x 2 3 1 sin x tan x 4. 

x 

x 

 

2 4 

 

 

2 

2 2 2 

sin tan x cos 0 


1. Phương trình 3 sin x cos x 3 cos x sin x 2 2 sin2x 

7 

sin( x ) cos( x ) 2 sin 2x sin( x ) sin 2x 

6 6 12 

7 

2x x k2 

 

12 

 

7 

2x x k2 

12 

7 

x k2 

 

12 

 

. 

5 

2 

x k 

36 3 

2. Phương trình đã cho tương đương với 

2 2 2 2 

3sin 5cos 2(cos sin ) 8sin cos 

x x x x x x 

 

2 2 

5sin x 8sin xcos x 3cos x 0 

2 

5tan x 8 tan x 3 0 tan x 1 hoặc 

3 

tan x 

5 

 

x k hoặc 

4 

3 

x 

arctan k 

5 

 

3. Điều kiện : cos x 0 x k 

2 


2 

sin x 

5sin x 2 3(1 sin x) cos 

2 

 

x 

2 

sin x 

5sin x 2 3(1 sin x) 1 sin 

2 

 

 

sin x 

5sin 2 3 (5sin 2)(1 sin ) 3sin 

1 

sin x 

2 

2 

x x x x 

 

2 


x 

 

x k2 

1 

sin x sin 

6 

 

. 

2 6 5 

x k2 

6


93 

 

4. Điều kiện : cos x 0 x k . 

2 


2 

sin x 

1 cos( x ) (1 cos x) 0 

2 

2 

 

 

cos 

x 

2 

sin x 

(1 sin x) (1 cos x) 0 

2 

1 

sin x 

2 

sin x 

(1 cos x) 0 

1 

sin x 

 

2 

(1 cos x) (1 cos x)(1 sin x) 0 

x k2 

cos x 1 

(1 cos x)(cos x sin x) 0 

. 

tan x 1 x k 

4 


3 3 

1. sin x cos x sin x cos x 

2. 

2 

3. sin x 3tan x cos x4sin x cos x 

3 

2cos x 

sin 3 

x 



 

3 3 2 2 

sin x cos x (sin x cos x)(sin x cos x) 

 

3 2 2 

2cos x sin xcos x cos x.sin x 0 

 

 

2 2 

cos x sin x sin xcos x 2cos x 0 

 

 

cos x 0 x k (Do 

2 

2 2 

sin sin cos 2cos 0 

x x x x x 

) 


3 3 

2cos x 3sin x 4sin x 

 

3 3 2 2 

4sin x 2cos x 3sin x(sin x cos x) 0 

 

3 2 3 


3 

tan x 3tan x 2 0 (do cos 0 

 

2 

(tan x 1)(tan x tan x 2) 0 

x không là nghiệm của hệ)


94 

 

tan x 1 

x k 

4 

tan x 2 

 

x arctan( 2) 

k 

3. Điều kiện: cos x 0 


 

2 2 

tan x 3tan x(1 tan x) 4tan x 1 

 

3 2 

3tan x tan x tan x 1 0 

 

2 

(tan x 1)(3tan x 2tan x 1) 0 

 

tan x 1 

x k . 

4 


2 2 

1. sin x 5sin xcos x 6cos x 0 2. 

2 

sin x 3sin x.cos x 1 

2 2 

3. 3sin x 5cos x 2cos 2x 4sin 2x 

4. 

3 3 

sin cos sin cos 

x x x x 


1. Nhận thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương 

trình cho 

2 

cos x ta được: 

 

ttan 

x 

2 

tan x 1 

x k 

tan x 5tan x 6 0 4 . 

tan x 6 

x arctan 6 k 


 

2 2 2 

sin x 3sin x.cos x (sin x cos x) 

 

2 2 

2sin x 3cos xsin x cos x 0 

Do cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho 

được: 

 

tan 1 

 

. 

tan 

x 1 

2 x arctan k 

2 

x 

ttan 

x x k 

2 

2 tan x 3tan x 1 0 

4 

1 

3. Phương trình đã cho tương đương với 

2 2 2 2 

3sin 5cos 2(cos sin ) 8sin cos 

x x x x x x 

2 

cos x ta 

 

2 2 

5sin x 8sin xcos x 3cos x 0


95 

tan x 1 

ttan 

x 

2 

5tan x 8 tan x 3 0 

3 

tan x 

5 

 

x 

k 

 

4 

. 

3 

x arctan k 

5 


 

3 3 2 2 

sin x cos x (sin x cos x)(sin x cos x) 

 

3 2 2 

2cos x sin xcos x cos x.sin x 0 

 

 

2 2 

cos x sin x sin xcos x 2cos x 0 

 

cos x 0 x k 

2 

 

(Do 

2 

2 2 1 7 2 

sin x sin xcos x 2cos x sin x cos x cos x 0 

 

 

2 

 

4 

). 


1. cos3x cos2x cos x 1 0 

2. 

6 2 

3cos 4x 8cos x 2cos x 3 0 

1 1 7 

3. 4sin( x) 

sin x 3 

4 

sin( x ) 

2 

4. 2sin x(1 cos 2 x) sin 2x 1 

2cos x 


1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2 x,3x nên ta tìm cách đưa về cùng một 

cung x . 


 

3 2 

4cos x 3cos x (2cos x 1) cos x 1 0 

3 2 

2cos x cos x 2cos x 1 0 . 

Đặt t cos x, t 1. 


2t t 2t 1 0 ( t 1)(2t 1) 0 t 1, 

t . 

2 

3 2 2 1 

* t 1 cos x 1 sin x 0 x k 

* 

1 1 2 

2 

t cos x cos x k2 . 

2 2 3 3 

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau 

phương trình cos 3x cos x (1 cos 2 x) 0


96 

 

2 2 

2sin2xsin x 2sin x 0 sin x(2cos x 1) 0 

sin x 0 

x k 

 

1 

2 

. 

cos 

x x k2 

 

2 

3 

2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa 

chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x . 


 

2 3 

3(2cos 2x 1) (1 cos2 x) 1 cos2x 

3 

 

2 

cos2 x(cos 2x 3cos2x 

2) 0 

 

cos 2x 0 

x k 

4 2 . 

cos 2x 

1 

xk 

3. Trong phương trình có ba cung 

3 

7 

x; x ; x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về 

2 4 

cùng một cung x 


3 

sin( x ) sin ( x ) 2 sin( x ) cos x 

2 

 

2 

 

2 

7 1 

sin( x) sin 2 ( x ) sin( x ) sin x cos x 

4 

 

4 

 

4 2 

 


1 1 

2 2(sin x cos x) 

sin x 

cos x 

 

(sin x cos x)( 2 sin 2x 

1) 0 . 

sin x cos x 0 

 

x k 

 

 

4 

1 

. 

sin 2x 

5 

2 x k; 

x k 

8 8 

4. Ta chuyển cung 2x về cung x. 


2 

4sin xcos x 2sin xcos x 1 

2cos x 

2sin xcos x(2cos x 1) 2cos x 1 

 

x 

k 

(2cos x 1)(sin 2x1) 0 

4 

 

. 

2 

x k2 

3


97 


1. 4cos3x cos 3 x sin3xsin 3 x 3 sin6x 1 3cos 4 x sin 

4 x 

2. 

4 x 4 x x x x 

4 sin cos sin 4 3 1 tan 2 tan 3 

3 3 

1. Ta có: 


4 cos3x cos x sin3xsin x 3cos2x cos6x 

và 

4 4 

cos sin cos 2 

x x x nên 

Phương trình 3cos2x cos6x 3 sin6x 1 

3cos2x 

2 

3 sin6x 1cos6x 2 3 sin3xcos3x 2sin 3x 

 

2sin 3 x 3 cos 3 x sin 3 x 0 . 

 

Suy ra nghiệm cần tìm là x k ; x k . 

3 9 3 

 

2. Điều kiện 

 

cos 2x 

0 x 

k 

4 2 

. 

cos x 0 

 

x k 

2 

4 4 2 

4 sin cos 4 2 sin 2 3 cos4 

Ta có : 

x x x x 

sin 2x sin x cos2xcos x sin 2xsin 

x 

1 tan 2xtan x 1 . 

cos2x cos x cos2xcos 

x 

 

cos 2x 

x 1 

. 

cos 2xcos x cos 2x 

 

Phương trình đã cho 

sin 4x 

3 cos4x 3 sin 4x 3 

cos2x 

 

cos4x 3 sin 4x 2sin 2x sin(4 x ) sin 2x 

. 

6 

Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là: 

5 k 

x k; 

x . 

12 36 3


98 

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : 

y x x x x 

2 2 3 

sin 14sin .cos 5cos 3. 33 

Nếu 

3 

cos x 0 y 1 3. 33 0 


Với cos x 0 ta có: 

Vì 

y 

2 3 3 

7 (1 3. 33)(3. 33 5) 0 

3 2 

(1 3 33)tan x14 tan x 3 3 33 5 

cos 

2 

x 

Suy ra 

3 2 

3 

(1 3 33)tan 14 tan 3 33 5 0 

x x x 

. 

Suy ra điều phải chứng minh. 

Ví dụ 11. 

1. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình 

thức sau 

2 2 

P sin ( ) 5sin(2 2 ) 2.cos ( ) 

2. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình 

x 

2 

6x 2 0 . Tính giá trị của biểu 

0 ( c 1). Tính giá trị của 

2 

x bx c 

biểu thức 

P a b c 

a b c 

2 2 

.sin ( ) sin(2 2 ) .cos ( ) theo , , 


1. Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan .tan 2 

Suy ra 


tan tan 

tan( ) 

2 . 

1 tan .tan 

2 

P(1 tan ( )) 

 

P 

2 

cos ( ) 

2 

tan ( ) 10tan( ) 2 

2 

tan ( ) 10 tan( ) 2 4 20 2 18 

P 

1 

4 5 

2 

1 

tan ( ) 

2. Theo định lí Viét ta có: tan tan b,tan .tan c 

Suy ra 

tan tan b 

tan( ) 

 

 

1 tan .tan 1 c 

.


99 


2 

P(1 tan ( )) 

 

P 

2 

cos ( ) 

2 

a tan ( ) 2btan( ) 

 

2 2 

b 2b 

a. 

c 

2 2 

a tan ( ) 2btan( ) c (1 c) 

1 

c 

P 

2 2 

1 

tan ( ) 

b 

1 (1 ) 

2 

c 

c 

ab 2 b (1 c) c(1 c) 

 

2 2 

(1 c) 

b 

2 2 2 

. 

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết) 


1 

sin2x 

 

3 

 

2 

A. 

 

x k 

4 

 

, k B. 

5 

x k 

12 

 

x 

k 

4 

, k C. 

5 

x k 

12 

 

x 

k 

4 

, k 

 

x k 

12 

D. 

 

x k 

4 2 

 

, k 

 

x k 

12 2 

 

Phương trình sin 2x 

sin 

3 

 

6 

 

 


 

2x k2 x k 

3 6 

 

 

 

4 

 

, k 

5 

2x k2 x k 

 

3 6 12 

Bài 2. Giải phương trình cos3 15 

x 

0 3 

2 

A. 

0 0 

x25 k.120 

 

x 15 k.120 

0 0 

, k B. 

0 0 

x5 k.120 

 

, k 

0 0 

x15 k.120


100 

C. 

x25 k.120 

 

x15 k.120 

0 0 

0 0 

. k D. 

0 0 

x5 k.120 

 

x 15 k.120 

0 0 

, k 


cos(3x 

15 ) cos30 

0 0 


0 0 0 0 0 

3x 15 30 k.360 x 5 k.120 

 

 

3 x 15 30 k.360 x 15 k.120 

0 0 0 0 0 

, k 


1 1 

sin(4 x ) 

2 3 

A. 

1 

x k 

8 2 

 

, k B. 

 

x k 

4 2 

1 1 1 

x arcsin k 

8 4 3 2 

 

, k 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

C. 

1 1 1 

x arcsin k 

8 4 3 2 

 

, k D. 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

1 1 1 

x arcsin k 

8 4 3 2 

 

, k 

1 1 

x arcsin k 

4 4 3 2 



1 1 

4x arcsin k2 

 

2 3 

 

1 1 

4x arcsin k2 

2 3 

1 1 1 

x arcsin k 

 

8 4 3 2 

 

, k 

1 1 1 

x arcsin k 

4 8 4 3 2 

Bài 4. Giải phương trình sin(2x 1) cos(2 x) 

A. 

 

x 2 k2 

2 

 

, k B. 

1 k2 

x 

6 3 3 

 

x 3 k2 

2 

 

, k 

1 k2 

x 

6 3 3


101 

C. 

 

x 3 k2 

2 

 

, k D. 

1 k2 

x 

6 3 3 

 

x k2 

2 

 

, k 

1 k2 

x 

6 3 3 

 

Phương trình sin(2x 1) sin( 2 x) 

2 


 

 

2x 1 2 x k2 x 3 k2 

2 

 

 

2 

 

 

, k . 

 

1 k2 

2x 1 2 x k2 

x 

 

2 

 

6 3 3 

Bài 5. Giải phương trình 2 cos x 2 0 

 

 

A. x k2 , ( k ) 

B. x k2 , ( k ) 

6 

5 

 

 

C. x k2 , ( k ) 

D. x k2 , ( k ) 

3 

4 



2 

cos x cos x k2 , ( k ) 

2 4 4 


2x 2 cot 3 

3 

A. 

C. 

5 3 3 

x arc cot k ( k 

2 2 2 

) B. 

3 3 3 

x arc cot k ( k 

2 7 2 

) D. 

3 5 3 

x arc cot k ( k ) 

2 2 2 

3 3 3 

x arc cot k ( k ) 

2 2 2 



2x 

3 2x 

3 

cot arc cot k 

3 2 3 2 

3 3 3 

x arc cot k ( k ) . 

2 2 2 


1 

sin(4 x ) 

3 2


102 

 

 

A. x k, 

k B. x k, 

k 

2 

3 

 

C. x k, 

k D. x k, 

k 

5 

 

Phương trình tan 3x 

tan 

3 

 

3 

 

 


 

3 x k x k, 

k 

3 3 


cot(4x 20 ) 

0 1 

3 

A. 

C. 

0 0 

x 30 k.45 , k 

B. 

0 0 

x 35 k.90 , k 

D. 

0 0 

x 20 k.90 , k 

 

0 0 

x 20 k.45 , k 

 


cot(4x 

20 ) cot60 

0 0 


0 0 0 0 0 

4x 20 60 k.180 x 20 k.45 , k 

Bài 9. Giải phương trình sin2x2cos2x 

0 

A. 

C. 

1 k 


B. 

1 k 


D. 

1 k 


3 3 

1 k 


2 2 

Phương trình sin2x 2cos2x tan2x 

2 


1 k 

2x arctan 2 k x arctan 2 , k 

2 2 

Bài 10. Giải phương trình tan2x 

tan x 

A. 

1 

 

 

x k, 

k B. x k , k C. x k, 

k D. x k, 

k 

2 

2 

3 



103 


 

 

2x x k x k 

 

x k x k 

2 2 

 

 

x k x k 

4 2 

4 2 

x k, 

k . 

Bài 11. Giải phương trình 3 tan 2x 3 0 

 

 

A. x 2 k ( k ) 

B. x 2 k ( k ) 

6 

3 

 

 

C. x k ( k ) 

D. x k ( k ) 

6 

2 


 

 

Phương trình tan 2x 3 tan 2x k2 x k ( k ) . 

3 3 

6 

2 

Bài 12. Giải phương trình cos xsin 2 x 0 

 

x 

k 

A. 

2 

 

k 

 

1 

x arctan k 

 

3 

 

x 

k 

C. 

2 

 

k 

 

1 

x arctan k 

 

5 

 

x 

k 

B. 

2 

 

k 

 

1 

x arctan k 

 

4 

 

x 

k 

D. 

2 

 

k 

 

1 

x arctan k 

 

2 


2 

cos x 2sin xcos x 0 


cos x 0 

cos x 0 

cos x(cos x 2sin x) 0 

1 

2sin x 

cos x tan 

x 

2 

 

x 

k 

 

2 

. 

1 

x arctan k 

2 

Bài 13. Giải phương trình sin(2x 1) cos(3x1) 0


104 

 

x 2 k2 

A. 

2 

 

k 

 

2 

x k 

10 5 

 

x 3 k2 

C. 

2 

 

k 

 

2 

x k 

10 5 

 

x 2 k2 

B. 

2 

 

k 

 

2 

x k 

10 5 

 

x 6 k2 

D. 

2 

 

k 

 

2 

x k 

10 5 


 

Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 

2x 

1 

2 

 

 

 

 

3x 1 2x 1 k2 x 2 k2 

2 

 

 

2 

 

 

 

2 

3x 1 2x 1 k2 

x k 

2 

 

10 5 

 

Bài 14. Giải phương trình sin(4 x ) sin(2 x ) 0 

4 3 

7 k 

x 

 

A. 

72 3 

 

k 

 

 

x k 

24 

B. 

7 k 

x 

 

72 3 

 

k 

 

11 

x 2k 

24 

 

7 k 

x 

 

C. 

72 3 

 

k 

 

11 

x k 

4 

7 k 

x 

 

D. 

72 3 

 

k 

 

11 

x k 

24 


Phương trình sin 4x sin 2x 

 

4 

 

3 

 

 

7 k 

4x 2x k2 x 

4 3 

 

 

 

72 3 

 

2 11 

4x 2x k2 x k 

 

4 3 24


105 

Bài 15. Giải phương trình cos7x sin(2 x ) 0 

5 

k2 

x 

 

A. 

50 5 

 

k 

 

k 

x 

20 5 

k2 

x 

 

C. 

50 5 

 

k 

 

k 

x 

20 5 

3 k2 

x 

 

B. 

50 5 

 

k 

 

k 

x 

20 5 

3 k2 

x 

 

D. 

50 5 

 

k 

 

k 

x 

20 5 



3 

cos7x sin 2x cos 2x 

5 

 

10 

 

 

3 3 k2 

7x 2x k2 x 

10 

 

 

50 5 

 

 

3 k 

7x 2x k2 x 

 

 

10 

20 5 


 

x 

k 

A. 

4 

k 

 

k 

x 

2 3 

2 2 

sin 2 cos ( ) 

x x 

4 

 

x 2k 

B. 

4 

 

k 

 

k 

x 

12 3 

C. 

 

x k 

4 

 

k 

x 

12 3 

 

k 

 

 

x 

k 

D. 

4 

 

k 

 

k 

x 

12 3 



 

1cos 2x 

 

1 cos 4x 

 

2 

 

 

 

cos 4x sin( 2 x) 

2 2 

 

x 

k 

 

cos 4x cos 2x 

4 

 

2 

 

k 

x 

12 3


106 


2 2 

sin xcos 4x 

1 

k 

x 

 

A. 

13 

k 

 

k 

x 

15 

k 

x 

 

B. 

23 

k 

 

k 

x 

25 

k 

x 

 

C. 

3 

k 

 

k 

x 

5 

k 

x 

 

D. 

33 

k 

 

k 

x 

35 



k 

x 

 

cos8x cos 2x 3 

 

k 

x 

5 

Bài 18. Giải phương trình sin2x3sin4x 

0 

k 

x 

 

2 

1 1 

x arccos k 

3 

 

6 

 

 

 

A. 

k 

 

k 

x 

 

2 

7 1 

x arccos k 

2 

 

6 

 

 

 

C. 

k 

 

Phương trình x x 

sin 2 1 6cos 2 0 

k 

x 

 

2 

5 1 

x arccos k 

2 

 

6 

 

 

 

B. 

k 

 

k 

x 

 

2 

1 1 

x arccos k 

2 

 

6 

 

 

 

D. 

k 

 


k 

x 

 

2 

 

1 1 

x arccos k 

2 

 

6 

 

 

 

Bài 19. Giải phương trình 6sin4x5sin8x 

0 

k 

x 

 

4 

1 3 k 

x arccos 

4 

 

5 

 

 

2 

A. 

k 

 

k 

x 

 

4 

1 3 k 

x arccos 

3 

 

5 

 

 

2 

B. 

k


107 

k 

x 

1 

4 

1 3 k 

x arccos 

4 

 

5 

 

 

2 

C. 

k 

 


sin 4 3 5cos 4 0 

k 

x 

 

4 

1 3 k 

x arccos 

4 

 

5 

 

 

2 

D. 

k 

 


k 

x 

 

4 

 

. 

1 3 k 

x arccos 

4 

 

5 

 

 

2 


cos 2x 

0 

1 

sin 2x 

 

4 

3 

C. 

14 

A. x k, 

k 

 

B. x k , k 

 

3 

x k k 

4 

3 

4 

2 , 

D. x k, 

k 

 

 

Điều kiện: sin 2x 1 x k 

4 


 

Phương trình cos 2x 0 x k 

4 2 

Kết hợp điều kiện ta có: 

x 

3 

4 

k là nghiệm của phương trình 

Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin3x 

0 

 

x 

k 

A. 

4 2 

k 

 

2k 

x 

3 

 

x 

k 

D. 

4 2 

k 

 

k 

x 

3 

 

x 

k 

B. 

3 2 

k 

 

2k 

x 

3 

 

x 

k 

C. 

4 

k 

 

k 

x 

3 

k 

Điều kiện: sin 2x 0 x 

2 



108 


 

cot 2x 

0 x 

k 

 

4 2 

 

sin 3x 

0 k 

x 

3 

m 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x k , x với m 

3n 

4 2 3 

Bài 22. Giải phương trình tan3x 

tan4x 

 

2 

A. x m m 

B. x 2 m m C. x 2m m 

 

 

x m m 

 

D. 


 

cos 3x 

0 x 

k 

6 3 

 

cos 4x 

0 

x k 

8 4 


Phương trình 4x 3x m x m 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x 

Bài 23. Giải phương trình cot 5 x.cot8x 

1 

m 

26 13 

m. 

m 

26 15 

A. x , m 13n 5, m, 

n B. x , m 13n 6, m, 

n 

 

m 

26 13 

m 

26 13 

C. x , m 13n 7, m, 

n D. x , m 13n 6, m, 

n 

 


k 

sin 5x 

0 x 

5 

 

sin 8x0 

k 

x 

8 


 

Phương trình cot 8x tan 5x cot 5x 

2 

x m 

26 13 

m 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x , m 13n 

6 . 

26 13 

Bài 24. Số nghiệm của phương trình 

2 

4 x 

sin 2x 

0


109 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 

Điều kiện: 2 x 2 



x 

2 

x 

2 

 

k 

sin 2x 

0 x 

 

2 

 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x 2, x , x 0 . 

2 


là đúng? 

 

1 x 1 x cos x 0 kết luận nào sau đây về phương trình 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 nghiệm C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm 

Điều kiện: 1 x 1 


 

Phương trình cos x 0 x k 

2 

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm. 


2 2 2 

tan cot 1 cos (3 ) 

x x x 

4 

 

A. x 2k B. 

4 

 

x k C. 

4 2 

 

x k D. 

4 3 

 

x 

k 

4 

k 


2 



 

x x x 

4 

 

 

2 2 2 

tan cot 2 1 cos 3 

Nên phương trình 

2 2 

tan 

x cot x 

 

x k 

 

 

 

4 

 

sin3x 

0 

4 

 

 

x m 

12 3 

 

x k là nghiệm của phương trình đã cho. 

4


110 


2 

2 

cos( sin x ) 1 

3 3 

 

2 

2 

, C. 

2 3 

A. x k, 

k 

 

B. x k k 

 

 

x k k 

2 

 

3 

2 , D. x k2 , 

k 

 



2 

2 

sin x k2 sin x 1 

3k 

3 3 

 

Do 1 sin x 1 k 0 x k2 

2 

 

cot cos 1 1 

4 

 

 


 

2 

 

2 2 

 

2 3 

A. x 2 k, 

k 

 

B. x k , k 

C. x k , k 

 

 

2 

D. x k, 

k 

 

 

 

k 

4 4 

Phương trình cos x 1 


 

cos x 4k k 0 cos x 0 x k. 

2 

Bài 29. Giải phương trình 3 sin2x cos2x 1 0 

x k 

A. 

k 

 

 

 

x k 

3 

x k 

B. 

k 

 

 

2 

x 2k 

3 

C. 

x 2k 

 

2 k 

 

 

 

x 2k 

3 

 

x k 

D. 

k 

 

 

2 

x k 

3 



x k 

1 

sin 2x 

 

2 

6 

 

2 x k 

3


111 

Bài 30. Giải phương trình sin3x 3 cos3x 2cos5x 

5 k 

x 

 

A. 

48 5 

 

k 

 

5 

x k 

12 

5 k 

x 

 

C. 

48 4 

 

k 

 

5 

 

x k 

12 2 

5 k 

x 

 

B. 

48 4 

 

k 

 

5 

x 2k 

12 

5 k 

x 

 

D. 

48 4 

 

k 

 

5 

x k 

12 

Phương trình sin 3x sin 5x 

 

3 

 

2 

 

 

5 k 

3x 5x k2 x 

3 2 

 

 

 

48 4 

 

5 

3x 5x k2 x k 

 

3 2 12 


Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x 2cos x) 2 

khẳng định nào sao đây là đúng? 

A. Có 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. Có 4 nghiệm D. Có 2 họ nghiệm 



1 

cos 2x 

sin 2x 2 2sin 2x cos 2x 

3 

2 

Phương trình vô nghiệm. 

Bài 32. Giải phương trình 3(sin 2x cos7 x) sin7x cos 2x 

2 

x k 

A. 

10 5 

 

k 

 

7 

2 

x k 

54 9 

3 

x 

k 

B. 

10 5 

 

k 

 

7 

 

x k 

54 3


112 

 

x 

k 

C. 

10 5 

 

k 

 

7 

 

x k 

54 9 

D. 

2 

x 

k 

10 5 

 

7 

2 

x k 

54 9 

 

k 

 


Phương trình 3 sin2x cos2x sin7x 3 cos7x 

2 

x 

k 

 

sin 2x 

sin 7x 

10 5 

 

6 

 

3 

 

7 

2 

x k 

54 9 

4 sin x cos x 3 sin4x 

2 

4 4 


k 

x 

 

A. 

4 7 

 

k 

 

k 

x 

12 7 

k 

x 

 

C. 

4 3 

 

k 

 

k 

x 

12 3 

k 

x 

 

B. 

4 5 

 

k 

 

k 

x 

12 5 

k 

x 

 

D. 

4 2 

 

k 

 

k 

x 

12 2 


 

2 

4 2sin 2x 

3 sin4x 

2 


1 

cos 4x 3 sin 4x 1 cos4x 

 

3 

 

2 

k 

x 

 

 

4 2 

 

. 

k 

x 

12 2 

1 cos x cos 2x cos 3x 

2 


2 

(3 3 sin x ) 

2cos xcos x1 

3 

 

2 6 

 

 

2 6 

A. x k, x k, 

k 

B. x k2 , x k2 , 

k


113 

 

 

2 6 

 

 

2 6 

C. x k3 , x k3 , 

k 

D. x k2 , x k2 , 

k 

 


2 

2cos x cos x1 0 


4cos 3 x 2cos 2 x 2cos x 2 

Phương trình 

2 

3 3 sin x 

2cos xcos x1 

3 

3 

3cos x 3 3 sin x cosx 

 

6 

 

2 

 

x k2 

 

2 

 

 

x k2 

6 

 

 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x k2 , x k2 . 

2 6 


x 


2 

2cos xsin x1 

3 

A. 

C. 

5 

k 

x , k B. 

18 3 

5 

k4 

x , k D. 

18 3 

5 

k2 

x , k 

18 3 

5 

k5 

x , k 

18 3 


2 

2cos x sin x1 0 


Phương trình cos x sin2x 3 cos2x 3 sin x 

 

x k2 

 

sin 2x 

sin( x ) 

2 

 

3 

 

6 5 

k2 

x 

18 3 

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình. 

5 

k2 

x , k 

18 3 

2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x 

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 

nhất 

A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy 


Phương trình 2 sin 2x 2(1 cos 2 x) 3 cos 2x


114 

 

 

2 sin 2 x 2 1 cos 2 x 3 2 phương trình vô nghiệm. 


2 

3cos 4x sin 2x cos 2x 

2 0 

 

A. x k2 ( k ) 

2 

6 . 

7 


k 

 

 

B. x k ( k ) 

2 2 

6 . 

7 


k 

 

 

C. x k ( k ) 

2 

arccos 6 . 

7 

hoặc x k k 

 

 

D. x k ( k ) 

2 

6 . 

7 


k 

 

Phương trình đã cho tương đương với 


2 2 

3(2cos 2x 1) (1 cos 2 x) cos2x 

1 0 

2 

7 cos 2x cos 2x 6 0 cos 2x 

1 hoặc 

6 

cos 2x 

7 

 

x k hoặc 

2 

6 

x arccos k2 . 

7 

1 

Bài 38. Giải phương trình 3cot x 1 0 

2 

sin x 

 

4 2 

A. x k k 


k k 

 

 

4 3 

B. x k k 


k k 

 

 

4 

C. x k k 


k k 

 

 

4 

D. x k k 

hoặc x arc cot(2) k k 

 

 

2 

 

3 


 

2 

1 cot x 3cot x 1 0 


2 

cot x 3cot x 2 0 cot x 1 hoặc cot x 2


115 

 

x k hoặc x arc cot( 2) 

k 

4 

Bài 39. Giải phương trình 3 tan x cot x 3 1 0 

 

x 

k 

A. 

4 

k 

 

 

x k 

6 2 

 

x k2 

B. 

4 

k 

C. 

4 

k 

 

 

x k2 

6 

 

x k3 

 

x k3 

6 

 

x 

k 

D. 

4 

k 

 

 

x k 

6 


 


2 

3 tan x ( 3 1)tan x 1 0 

tan x 1 

 

x k 

 

 

4 

1 

 

 

tan x 

3 x k 

6 


2 x 

cos 2x3cos x 

4cos 2 

2 

B. 

3 

A. x k k 

 

2 

2 

x k k 

 

3 3 

 

2 

3 

C. x k4 k 

 

D. x k2 k 

 

2 

3 


 


2 

2cos x 1 3cos x 2(1 cos x) 

2cos x 5cos x 3 0 cos x 

2 

2 1 

Bài 41. Giải phương trình x x 

2 

x k2 

3 

1 sin 1 cos 2 

A. 

 

 

x k2 

2 , k B. x 

k 

4 , k 

 

 

xk 

x k


116 

C. 

 

x k2 

 

2 , k D. 

 

x k2 

 

x k2 

3 , k 

 

xk2 


Phương trình sin x cos x sin xcos x 1 0 

2 

 

Đặt t sin x cos x 2 cos( x ), t 

2; 2 

t 1 

sin 

xcos 

x . 

4 2 

Thay vào phương trình ta có: 

2 

t 

t t t t 

2 

1 1 0 

2 2 3 0 1 

 

x k2 

 

 

2 cos x 1 

4 4 

x k2 

 

4 

 

 

2 , k . 

 

x k2 

x k2 

4 4 


sin 2 4 sin cos 4 

 

x 

k 

 

x k 

A. 

2 k 

 

2 

x k 

B. 

2 3 

 

k 

 

2 

x k 

 

3 

 

C. 

1 

x k 

2 2 

 

k 

 

1 

x k 

 

2 

 

 

 

x k2 

 

x k2 

D. 

2 k 

 


 

Đặt t sin x cos x 2 sin x , t 2; 2 

2 

 

4 

2sin x cosx 1 t . 

 

 

Thay vào phương trình ta được: 

2 2 

1t 4t 4 t 4t 3 0 t 1 

 

1 x k2 

sin x 

 

2 

4 

 

2 

x k2 

2 sin x cos x tan x cot x 

Bài 43. Giải phương trình


117 

 

4 

 

1 , C. 

4 2 

A. x k, 

k 

 

B. x k k 

 

2 

, D. x k2 , 

k 

 

x k k 

4 3 

4 

k 


2 


2 

sin 2 sin cos 2 

sin 2x 

Phương trình 2 sin x cos x 

x x x 

Đặt t sin x cos x, t 

2; 2 

2 

sin 2x t 1 

 

Thay vào phương trình ta có được: 

2 3 2 

( t 1) t 2 t t 2 0 ( t 2)( t 2t 

1) 0 

 

t 2 sinx 1 x k2 

4 

 

. 

4 


3 3 

cos x sin x 1 

. 

 

x 

k 

 

x k 

A. 

2 k 

 

 

x k7 

 

x k7 

C. 

2 k 

 

 

x k3 

 

x k3 

B. 

2 k 

 

 

x k2 

 

x k2 

D. 

2 k 

 


Phương trình (cos x sin x)(1 sin xcos x) 1 0 

2 

 

Đặt t cos x sin x 2 cos x , t 

2; 2 

1t 

 

4 

sin 

xcos 

x . 

 

 

2 

Thay vào phương trình ta được: 

1 

t 

t t t t 

2 

2 

3 

1 1 0 3 2 0 1 

 

1 x k2 

cos x 

 

2 

4 

 

. 

2 

x k2 


2 

2sin x 5sin x 3 0


118 

 

2 

1 

2 2 

A. x k k 

 

B. x k k 

 

 

2 

C. x k3 k 

 

D. x k2 k 

 


 

Phương trình sin x 1 x k2 

2 

2 


1 3 1 

2 2 2 

2cos 2 2 3 1 cos 2x 3 0 

1 3 1 

2 2 

A. x arccos k k 

B. x arccos 3k k 

 

1 3 1 

2 2 

1 3 1 

2 2 

C. x arccos k k 

D. x arccos 2k k 

 


 

2 


3 1 1 3 1 

cos 2x x arccos k 

2 2 2 

2 tan x 

Bài 47. Giải phương trình 5 

2 

1 

tan x . 

1 

26 

5 

1 

26 1 

5 2 

A. x arctan 2 k, 

k 

B. x arctan k, 

k 

 

1 

26 

5 

1 

26 

5 

C. x arctan 3 k, 

k 

D. x arctan k, 

k 

 


 

2 

5tan x 2 tan x 5 0 


1 

26 1 

26 

tan x x arctan k 

5 5 

Bài 48. Giải phương trình cos2x 5sin x 3 0 . 

7 

6 6 

7 

6 6 

A. x k, 

x kk 

B. x k3 , x k3k 

 

7 

6 6 

7 

6 6 

C. x k4 , x k4k 

D. x k2 , x k2k 

 



119 


 

2 


1 7 

sin x x k2 , x k2 . 

2 6 6 


4 4 

2 

3 

5 1 cos x 2 sin x cos x . 

2 1 , 3 2 

A. x k, 

k 

 

B. x k k 

 

2 

3 

C. x k2 , 

k 

 

D. x k2 , 

k 

 

 

3 


5 5cos 2 sin cos 


2 2 

x x x 

2 1 2 

2cos x 5cos x 2 0 cos x x k2 

2 3 


5 7 


2sin x 

2 

 

2 

 

 

. 

A. 

C. 

5 

x k , x 

k, 

x k 6 6 

B. 

5 

x k2 , x 

k, 

x k 6 6 

D. 

5 

x k2 , x k2 , x k2 

6 6 

5 

x k, x k2 , x k2 

6 6 

Phương trình cos2x 3sin x 1 

2sin x 


2 5 

2sin x sin x 0 x k, x k2 , x k2 

6 6 


3 

7 cos 4cos 4sin 2 

x x x 

A. 

 

x k2 

2 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

B. 

 

x k2 

2 

 

5 

x k, 

x k 

6 6 

C. 

 

x 

k 

2 

 

5 

x k, 

x k 

6 6 

D. 

 

x 

k 

2 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

Phương trình x 2 x x 


cos 4cos 8sin 7 0


120 

 

cos x 0 x 

k 

 

2 

 

 

2 

4sin 8sin x 3 0 5 

x k2 , x k2 

6 6 


2 

cos 4x 

cos 3 

x 

A. 

x k2 

 

 

k3 

x 

12 2 

x k 

B. 

 

k3 

x 

12 2 

C. 

x k2 

 

 

k 

x 

12 2 

D. 

x k 

 

 

k 

x 

12 2 


3 2 

Phương trình 2cos4x 1 

cos6x 

4cos 2x 4cos 2x 3cos x 3 0 

cos 2x 

1 

 

 

2 3 

cos 2x 

 

4 

x k x k 

 

1 

 

k 

cos 4x x 

 

2 

12 2 


2 2 


A. 

 

x k2 

4 

 

1 

x arctan k2 

 

6 

 

 

B. 

 

x k2 

4 

 

1 

x arctan k 

 

6 

 

 

C. 

 

x k 

4 

 

1 

1 

x arctan k 

 

6 

 

2 

D. 

 

x k 

4 

 

1 

x arctan k 

 

6 

 

 



2 2 

cos x 5sin xcos x 5sin x 0 

 

tan x 1 

x k 

2 

4 

5tan x 6 tan x 1 0 

1 

tan 

x 1 

 

6 x arctan k 

 

6 

 

 


2 2 

cos x 3 sin2x 1 

sin x 

 

x k 

A. 

3 

 

x k 

B. 

 

x k2 

3 

 

xk2 

C. 

 

x 

k 

3 

 

1 

x k 

 

2 

 

D. 

 

x k2 

3 

 

xk


121 



1 

cos 2x 3 sin 2x 1 cos2x 

 

3 

 

2 

 

2x k2 

 

3 3 

x k2 

 

3 

 

2x k2 xk 

3 3 


2 2 

cos x sin xcos x 2sin x 1 0 

là: 

A. 

1 

x k2 , x arctan k2 

3 

 

 

B. 

1 1 1 

x k , x arctan k 

3 

 

3 

 

3 

C. 

1 1 1 

x k , x arctan k 

2 

 

3 

 

2 

D. 

1 

x k, x arctan k 

3 

 

 


Phương trình sin x(3sin x cos x) 0 sin x 0 hoặc 

1 

x k, x arctan k 

3 

 

 

1 

tan x 

3 


2 

cos x 3 sin xcos x 1 0 

là: 

 

A. x k2 , x k2 B. 

3 

1 1 

x k , 

x k 

2 3 2 

C. 

1 1 

 

x k , 

x k D. x k, 

x k 

3 3 3 

3 


 

x k, 

x k . 

3 


sin x 3 cos x sin x 0 sin x 0 hoặc tan x 3 

2 2 sin x cos x cos x 3 2cos x , Khẳng định nào sau đây 


2 

đúng? 

A. Có 1 nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm


122 


2 


2 2 tan 1 3 1 tan 2 

2 

3tan x 2 2 tan x 5 2 2 0 vô nghiệm 

Bài 59. Giải phương trình tan x cot x 2sin 2x cos2x 

là: 

A. 

 

x 

k 

4 

 

 

x k 

8 

B. 

 

x k2 

4 

 

 

x k2 

8 

C. 

3 

x 

k 

4 2 

 

3 

x k 

8 2 

D. 

 

x 

k 

4 2 

 

 

x k 

8 2 



1 

2 

sin 2x cos2x 1 cot 2x 1 

cot 2x 

sin 2x 

 

cot 2x 

0 x 

k 

 

4 2 

 

cot 2x 

1 

x k 

8 2 


3 

2cos x 

sin 3 

x 

A. 


 

 

 

x k2 

4 

B. 

 

1 

x arctan( 2) 

k 

2 

 

1 

x k 

4 2 

C. 

 

1 

x arctan( 2) 

k 

3 

 

1 

x k 

4 3 

D. 

x arctan( 2) 

k 

 

 

 

x k 

4 



3 3 2 3 

2cos x 3sin x 4sin x 3sin xcos x sin x 

x arctan( 2) 

k 

tan x 2 

 

 

tan x 1 x k 

4 

3 

2 3tan x tan x 


3 3 2 

4sin x 3cos x 3sin x sin xcos x 0


123 

A. 

 

x k2 

3 

 

 

x k2 

4 

B. 

1 

x k 

3 2 

 

1 

x k 

4 2 

C. 

1 

x k 

3 3 

 

1 

x k 

4 3 

D. 

 

x k 

3 

 

 

x k 

4 



 

3 2 2 

4tan x 3 3tan x(1 tan x) tan x 0 

 

tan x tan x 3tan x 3 0 

tan x 1 

2 

3 2 

tan x 3 

 

x k 

 

3 

 

 

x k 

4 

Bài 62 . Giải phương trình 3 sin2xcos2x 2 là: 

A. 

7 

x 

k 

24 

 

 

x k 

24 

B. 

7 

x k2 

24 

 

 

x k2 

24 

C. 

7 

1 

x k 

24 2 

 

1 

x k 

24 2 

D. 

7 

x 

k 

24 

 

 

x k 

24 



7 

2x k2 

2 

cos 2x 

3 4 

x 

k 

 

3 

 

 

24 

 

2 

2x k2 

 

x k 

3 4 24 


6 


4sin x3cos x1 

là: 

A. 

3 

x arcsin k 

5 

 

 

 

3 

x arcsin k 

5 

 

 

 

hoặc 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

B. 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

hoặc 

2 

x arcsin k 

5 

 

 

 

2 

x arcsin k 

5 

 

 

 

C. 

3 

1 

x arcsin k 

5 

 

 

2 

3 

1 

x arcsin k 

5 

 

 

2 

2 

1 

x arcsin k 

5 

 

3 

hoặc 

 

2 

1 

x arcsin k 

5 

 

 

3


124 

D. 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

hoặc 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 



 

2 

(4sin x 3cos x) 5(4sin x 3cos x) 6 0 

 

3 

4sin x 3cos x 3 sin( x ) 

 

 

5 

 

 

4sin x 3cos x 2 

2 

sin( x ) 

 

 

5 

với 

3 

0; : sin 

2 

 

5 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

3 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

hoặc 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 

2 

x arcsin k2 

5 

 

 

 


x 


2 

2cos xsin x1 

3 

A. 

 

x k B. 

18 3 

4 

x k C. 

18 3 

5 

x k D. 

18 3 

2 

x k 

18 3 



2 

2cos x sin x 1 0 cos 2x sin x 0 

Phương trình cos x sin2x 3 cos2x 3 sin x 

 

x k2 

 

cos 2x 

cos x 

2 

 

6 

 

3 

 

k2 

x 

18 3 

2 

Kết hợp điều kiện ta có x k . 

18 3 

4 sin x cos x 3 sin4x 

2 

4 4 

Bài 65. Giải phương trình


125 

A. 

k3 

x 

 

4 2 

 

k3 

x 

12 2 

B. 

k5 

x 

 

4 2 

 

k5 

x 

12 2 

C. 

k7 

x 

 

4 2 

 

k7 

x 

12 2 

D. 

k 

x 

 

4 2 

 

k 

x 

12 2 


1 

 

2 

 

 

 


2 

4 1 sin 2x 

3 sin 4x 

2 

 

2 

1 2sin 2x 3 sin4x 1 cos4x 3 sin4x 

1 

k 

x 

1 

cos 4x 

4 2 

 

3 

 

2 k 

x 

12 2 


2sin 2 sin cos 1 0 

 

A. x k, 

x k hoặc 

2 

1 

x arccos k 

4 2 2 

B. 

C. 

1 1 

x k , 

x k hoặc 

3 2 3 

2 2 

x k , 

x k hoặc 

3 2 3 

1 1 

x arccos k 

4 2 2 3 

1 2 

x arccos k 

4 2 2 3 

 

D. x k2 , x k2 hoặc 

2 

1 

x arccos k2 

4 2 2 

Đặt 


 

t 2 

t sin x cos x 2 cosx 

 

 

4 

2 

sin 2x 

t 1 

Ta có : 

2( t 1) t 1 0 2t t 1 0 t 1, t 

2 

2 2 1 

 

t 1 

1 cos x 

2 , 2 

4 2 

x k x 

 

2 

k 

 

1 1 1 

t 

cos arccos 2 

2 x 

4 2 2 x 

4 

2 2 

k


126 


sin 2 12 sin cos 12 0 

 

A. x k, x k2 B. 

2 

 

2 

x k2 , 

x k 

2 3 

C. 

1 2 

 

x k , 

x k D. x k2 , x k2 

2 3 3 

2 

Đặt 


 

t 2 

t cos x sin x 2 cosx 

 

4 

 

sin 2x1t 

2 


2 1 

1 t 12t 12 0 t 1 cosx 

 

4 

 

2 

 

x k2 , x k2 . 

2 

 

Bài 68. Giải phương trình sin 2x 2 sinx 1 

4 

 

 

 

A. x k, x k, x k2 B. 

4 2 

1 1 1 

x k , x k , 

x k 

4 2 2 2 2 

C. 

2 2 

 

x k , x k , x k2 D. x k, x k2 , x k2 

4 3 2 3 

4 2 

Đặt 


 

t 2 

t 2 sinx sin x cosx 

4 

 

sin 2x1t 

2 


2 

1t t 1 t 0, t 1 

 

Từ đó ta tìm được: x k, x k2 , x k2 

4 2 

Bài 69. Giải phương trình 1tan x 

2 2 sin x 

A. 

11 5 

x k, x k, 

x k B. 

4 12 12 

2 11 2 5 2 

x k , x k , 

x k 

4 3 12 3 12 3 

C. 

11 1 5 

x k2 , x k , x k2 D. 

4 12 4 12 

11 5 

x k2 , x k2 x , x k2 

4 12 12


127 

Điều kiên: cos x 0 


Phương trình sin x cos x 2 sin 2x 

Đặt 

 

t 2 


 

 

4 

2 

sin 2x 

t 1 

Ta có: 

t 2 t 1 2t t 2 0 t 2, t 

2 2 1 

2 

Từ đó tìm được: 

11 5 

x k2 , x k2 x , x k2 

4 12 12 

Bài 70. Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 

1 

A. 

k3 

x B. 

2 

k5 

x C. 

2 

k7 

x D. 

2 

k 

x 

2 

Đặt 


 

sin 2x1t 


 

4 

 

0t 

2 

2 


k 

 

2 

2 2 

t 2(1 t ) 1 2t t 1 0 t 1 sin 2x 0 x 


3 3 

cos sin cos 2 

x x x 

 

 

A. x k2 , x k, 

x k B. 

4 2 

2 

x k , x k , x k 

4 3 2 

C. 

1 2 

 

x k , x k , x k2 D. x k, x k2 , x k2 

4 3 2 3 

4 2 


Phương trình (sin x cos x)(1 sin xcos x) (sin x cos x)(cos x sin x) 

x x x x x x 

sin cos 1 sin cos cos sin 0 

 

Từ đó ta tìm được: x k, x k2 , x k2 

4 2 


3 3 

cos sin 2sin 2 sin cos 

x x x x x


128 

A. 

k3 

x B. 

2 

k5 

x C. xk D. 

2 

k 

x 

2 



cos x sin x 1 sin xcos x 2sin 2x sin x cos x 

Đặt 

 

t 2 


 

 

4 

2 

sin 2x 

t 1 


2 

t 1 

 

2 2 

k 

t 1 2( t 1) t t 1 sin 2x 0 x 

2 

2 

Giải phương trình 


1 1 10 

cosx sinx 

cos x 

sin x 

3 

A. 

C. 

2 19 

x arccos k2 4 3 2 

B. 

2 19 

x arccos k 4 2 

D. 

2 19 

x arccos k2 

4 2 

2 19 

x arccos k2 

4 3 2 

Bài 73. Phương trình 

sin x 

cos x 10 

sin x cos x 

sin xcos x 3 

Đặt 

 

t 2 


 

 

4 

2 

sin 2x 

t 1 


2t 

10 

t t t t t t 

2 

t 1 

3 

2 2 

3 ( 1) 6 10( 1) ( 1) 

3 2 2 2 19 

3t 10t 3t 10 0 ( t 2)(3t 4t 5) 0 t 

3 

2 19 2 19 

cosx x arccos k2 

4 

 

3 2 4 3 2 


2 2 


A. 

1 

x k2 ; x arctan k2 

4 

 

5 

 

 

B. 

2 1 2 

x k ; x arctan 

k 

4 3 

 

5 

 

3 

C. 

1 1 1 

x k ; x arctan 

k 

4 4 

 

5 

 

4 

D. 

1 

x k; x arctan 

k 

4 

 

5


129 



 

2 2 

5sin x 6sin xcos x cos x 0 

Giải ra ta được 

1 

x k; x arctan 

k 

4 

 

5 

. 

 


2 2 

cos x 3 sin2x 1 

sin x 

A. 

x k2 

 

 

 

x k2 

3 

B. 

1 

xk 

 

2 

 

1 

x k 

3 2 

C. 

2 

xk 

 

3 

 

2 

x k 

3 3 

D. 

x k 

 

 

 

x k 

3 


 

2 

2sin x 2 3 sin xcos x 0 


Bài 77. Giải phương trình tan x cot x 2sin 2x cos2x 

sin x 0 

x k 

. 

tan x 3 x k 

3 

 

 

A. x k, 

x k B. x k , x k 

4 8 

4 4 8 4 

 

 

C. x k , x k 

D. x k , x k 

4 3 8 3 

4 2 8 2 

Điều kiện: sin2x 0 


Phương trình 2 1 

2(sin 2x cos2 x) 1 cot 2x 

2 

sin 2x 

sin 2x 

 

 

4 2 8 2 

2 

cot 2x cot 2 x x k , x k . 


3 

2cos x 

sin 3 

x 

A. 


 

 

 

x k2 

4 

B. 

 

1 

x arctan( 2) 

k 

2 

 

1 

x k 

4 2 

C. 

 

2 

x arctan( 2) 

k 

3 

 

2 

x k 

4 3 

D. 

x arctan( 2) 

k 

 

 

 

x k 

4


130 


3 3 

Phương trình 2cos x 3sin x 4sin x 

 

 

 

2 3 3 

2 3tan x 1 tan x 4tan x tan x 3tan x 2 0 

x arctan( 2) 

k 

tan x 2 

 

 

tan x 1 x k 

4 


3 3 2 

4sin x 3cos x 3sin x sin xcos x 0 

 

 

A. x k2 , x k2 B. 

4 3 

1 1 

x k , 

x k 

4 2 3 2 

C. 

1 1 

 

x k , 

x k D. x k, 

x k 

4 3 3 3 

4 3 


Ta thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình 

Nên phương trình 

 

3 2 2 

4tan x 3 3tan x(1 tan x) tan x 0 

tan x 1 

3 2 

tan x tan x 3 tan x 3 0 

tan x 3 

 

x k, 

x k . 

4 3 

2 

Bài 80. Giải phương trình x x x x x 

sin tan 1 3sin cos sin 3 

A. 

 

x k2 

4 

 

 

x k2 

3 

B. 

1 

x k 

4 2 

 

1 

x k 

3 2 

C. 

2 

x k 

4 3 

 

2 

x k 

3 3 

D. 

 

x k 

4 

 

 

x k 

3 



2 2 

tan x(tan x 1) 3tan x(1 tan x) 3(1 tan x) 

 

x k 

3 2 

tan x tan x 3tan x 3 0 

4 

 

 

x k 

3 

Bài 81. Giải phương trình cos 3 x sin 3 x 2cos 5 x sin 

5 x


131 

 

A. x k2 B. 

4 

1 

x k C. 

4 2 

1 

x k D. 

4 3 

 

x k 

4 


vì cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có 

2 3 2 5 

1 tan x tan x(1 tan x) 2 1 

tan x 

 

5 3 2 2 3 

tan x tan x tan x 1 0 (tan x 1)(tan x 1) 0 

 

tan x 1 

x k . 

4 

Cách khác: 

 

 

 

 

 

3 3 5 5 5 3 5 3 

cos x sin x 2 cos x sin x 2cos x cos x 2sin x sin x 

3 2 3 2 3 3 

cos x 2cos x 1 sin x 2sin x 1 cos 2x cos x sin x 

 

x k 

x 

k 

 

 

4 2 

4 2 ; k 

 

 

tan x 1 

x k 

4 

2 

Bài 82. Giải phương trình sin x 3tan x cos x4sin x cos x 

 

 

A. x k2 , x arctan 1 2 k2 B. , arctan 1 2 

4 

 

x k 1 x k 

1 

4 2 2 

 

C. x k 2 , x arctan 1 2 k 

2 

 

D. , arctan 1 2 

4 3 3 

x k x k 

4 



 

2 2 

tan x tan x(1 tan x) 4tan x 1 

 

3 2 

tan x tan x 3tan x 1 0 

 

2 

(tan x 1)(tan x 2tan x 1) 0 

 

x k 4 

, x arctan 1 2 k . 

 

 


 

4 

3 

2 2 cos ( x ) 3cos x sin x 0


132 

A. 

 

x k2 

2 

 

 

x k2 

4 

B. 

1 

x k 

2 2 

 

1 

x k 

4 2 

C. 

2 

x k 

2 3 

 

2 

x k 

4 3 

D. 

 

x 

k 

2 

 

 

x k 

4 

Phương trình 3 


sin x cos x 3cos x sin x 0 

 

3 2 2 

(sin x cos x) (3cos x sin x)(sin x cos x) 0 

 

2 3 

cos x 0 x 

k 

sin xcos x cos x 0 

2 

. 

tan x 1 

 

x k 

4 


2 

2sin x 3sin x1 0 

A. 

C. 

 

x 

k 

x k ; 

6 

 

2 5 

x k 

6 

1 

5 x k 

x k ; 

6 2 

 

2 2 5 

1 

x k 

 

6 2 

2 

x k 

B. x k2 ; 

6 3 

 

2 5 

2 

x k 

 

6 3 

 

x k2 

D. x k2 ; 

6 

 

2 5 

x k2 

6 


Đặt t sin x, t [ 1;1] , ta có phương trình : 2t 3t 1 0 t 1; t . 

2 

 

* t 1 sin x 1 x k2 . 

2 

2 1 

* 

 

x k2 

1 1 

t sin x sin 

6 

 

. 

2 2 6 5 

x k2 

6 

Bài 85. Giải phương trình 2cos2x 3sin x1 0


133 

A. 

 

x 

k 

2 

 

1 

x arcsin( ) k 

 

4 

 

 

1 

x arcsin( ) k 

 

4 

B. 

1 

x k 

2 2 

 

1 1 

x arcsin( ) k 

 

4 2 

 

 

1 1 


 

4 2 

C. 

2 

x k 

2 3 

 

1 2 

x arcsin( ) k 

 

4 3 

 

 

 

1 2 


 

4 3 

D. 

 

x k2 

2 

 

1 


 

4 

 

 

1 


 

4 


 

2 



 

x k2 

2 

sin x 1 

 

1 

 

1 x arcsin( ) k2 

. 

sin 

x 

4 

 

4 

1 


 

4 


2 

3cos 4x sin 2x cos 2x 

2 0 

A. 

 

x 

k 

2 

 

6 

x arccos k 

 

7 

B. 

 

x k2 

2 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

 

C. 

 

x 

k 

3 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

 

D. 

 

x 

k 

2 

 

6 

x arccos k2 

 

7 

 



2 2 

3(2cos 2x 1) (1 cos 2 x) cos2x 

1 0 

 

cos 2x 

1 

x 

k 

2 

7 cos 2x cos 2x 6 0 

2 

 

6 

cos 2x 

6 

7 x arccos k2 

 

7


134 

Bài 87. Giải phương trình 4cos x.cos2x1 0 

A. 

 

x k2 

3 

 

 

1 

3 

x arccos k2 

 

8 

B. 

 

x k2 

3 

 

 

1 

5 

x arccos k2 

 

8 

C. 

 

x k2 

3 

 

 

1 

7 

x arccos k2 

 

8 

D. 

 

x k2 

3 

 

 

1 

6 

x arccos k2 

 

8 


 

2 

4cos x(2cos x 1) 1 0 


 

 

3 2 

8cos x 4cos x 1 0 (2cos x 1)(4cos x 2cos x 1) 0 

 

1 cos x 

cos x 

 

2 

x 

k2 

 

3 

2 

 

 

 

2 

1 

5 

4cos x 2cos x1 0 

 

 

cos 

x 

x 

 

1 

8 

 

 

 

 

 

. 

1 

5 

arccos k2 

8 


8 8 2 

16(sin cos ) 17 cos 2 

x x x 

A. 

5 

x k B. 

8 4 

7 

x k C. 

8 4 

9 

x k D. 

8 4 

 

x k 

8 4 



8 8 4 4 2 4 4 

sin x cos x (sin x cos x) 2sin xcos 

x 

2 

1 2 1 4 

1 sin 2x 

sin 2 

 

 

2 

 

 

8 

x. 

Nên đặt 

2 

t sin 2 x, 0 t 1 ta được phương trình: 

2 

2 2 

16 1 2 17(1 ) 2 1 0 

 

 

1 1 

t t t t t t 

2 

 

 

2 

1 

 

2 8 4 

2 2 

sin 2x 1 2sin 2x 0 cos4x 0 x k . 


4 6 

cos x cos 2x 2sin x 0 

A. xk2 B. 

1 

xk 

C. 

2 

2 

xk 

D. xk 

3


135 


1 1 

Đặt t cos2x 1 t 1 cos x (1 t) ;sin x (1 t) 

4 8 

Nên phương trình đã cho trở thành: 

1 1 

4 4 

4 2 6 3 

2 3 3 2 

(1 t) t (1 t) 0 t 4t 5t 2 0 t 1; t 2 

t 1 cos2x 1 x k. 

Bài 90. Giải phương trình cos2x cos x 1 0 

A. 

C. 

 

2 

x k2 , 

x k 2 3 

B. 

 

2 

7 

x k3 , 

x k 

2 3 2 

D. 

2 

x k, x k2 

2 3 

2 

x k, x k2 

2 3 



2 2 

2cos x cos x 0 x k, x k2 

2 3 


2 x 

cos 2x3cos x 

4cos 2 

A. 

2 

x k B. 

3 

2 

2 

 

x k C. x k2 D. 

3 3 

3 

2 

x k2 

3 


2 

. Phương trình 2cos x 1 3cos x 2(1 cos x) 

2 1 2 


2 3 


2 2 

6sin x 2sin 2x 5 

A. 

2 

x k B. 

4 3 

 

x k C. 

4 3 

 

x k D. 

4 4 

 

x k 

4 2 


 


2 

3(1 cos2 x) 2(1 cos 2 x) 5 

 

x x x k 

4 2 

2 

2cos 2 3cos 2 0 


4 4 

2sin x 2cos x 2sin 2x 

1


136 

 

A. x k2 B. 

4 

2 

x k C. 

4 3 

1 

x k D. 

4 2 

 

x 

k 

4 


1 1 

2 2 

2 

1 sin 2x sin 2x 


2 

sin 2x 2sin 2x 3 0 sin 2x 1 x k 

2 


 

4 

2cos 2x 2 3 1 cos2x 

3 0 

A. 

C. 

1 3 1 


B. 

1 3 2 


D. 

1 3 1 

x arccos k2 

2 2 

1 3 1 

x arccos k 

2 2 



3 1 1 3 1 

cos 2x x arccos k 

2 2 2 


2 tan x 3 

 

cos x 

2 3 

A. xk2 B. xk C. 

2 

xk 

D. 

3 

1 

xk 

 

3 

1 3 

Phương trình 2 

1 3 

2 

cos 

x cos x 


1 1 

2 3 1 0 cos x 1 x k2 

2 

cos x 

cos x 

 

4 

Bài 96. Giải phương trình 9 13cos x 0 

2 

1 

tan x 

A. xk2 B. xk C. 

1 

xk 

D. 

2 

xk 

2 

3 

 


 

cos x 0 


cos x 1 x k2 

2 

4cos x13cos x 9 0


137 


4 4 

5 1 cos x 2 sin x cos x 

A. 

 

x k B. 

3 

2 

x k C. 

3 3 

3 

 

x k D. x k2 

3 4 

3 



 

2 2 2 2 

3 5cos x (sin x cos x)(sin x cos x) 

2 1 


2 3 


 

xk2 

 

 

6 

5 

x 

k 

6 

A. x k2 ; 

k 

 

5 7 


2sinx 

2 

 

2 

 

 

1 

x 

k 

2 

 

 

6 

 

5 

x k2 

6 

B. x k ; k 

 

 

x k 

 

 

6 

5 

x k2 

6 

C. x k2 ; k 

 

 

x 

k2 

 

 

6 

5 

x k2 

6 

D. x k2 ; k 

 



 

2 

cos 2x 3sin x 1 2sin x 1 2sin x 3sin x 1 2sin x 0 

 

xk 

sin x 0 

 

 

1 

 

 

sin 

x 6 

2 5 

x k2 

6 

2 

2sin x sin x 0 x k2 ; k 

 

 


3 

7 cos 4cos 4sin 2 

x x x 

A. 

 

x k2 

2 

 

5 

x k, 

x k 

6 6 

B. 

1 

x k 

2 4 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6


138 

C. 

1 

x k 

2 2 

 

5 

x k, x k2 

6 6 

D. 

 

x 

k 

2 

 

5 

x k2 , x k2 

6 6 

Phương trình x 2 x x 


cos 4cos 8sin 7 0 

 

x 

k 

2 

cos x 

2 

4sin x 8sin x 3 

0 

5 

x k2 , x k2 

6 6 


2 

cos4x cos 3x 

A. 

x k2 

 

 

5 

x k, 

x k 

12 12 

x k 

B. 

 

1 5 

1 

x k , 

x k 

12 2 12 2 

x k 

C. 

 

 

5 

x k3 , x k3 

12 12 

Phương trình 2cos4x 1 

cos6x 

 

 

2 3 

2 2cos 2x 1 1 4cos 2x 3cos2x 

x k 

D. 

 

5 

x k, 

x k 

12 12 


 

3 2 

4cos 2x 4cos 2x 3cos 2x 

3 0 

cos 2x 1 

x k 

 

 

3 

5 

cos 2x 

x k, 

x k 

 

2 

12 12 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT) 


 

A. x k2 và 

4 

1 

sin x chỉ có các nghiệm là 

2 

5 

 

x k2 ( k ). B. x k2 và 

4 

4 

5 

x k2 ( k ). 

4 

 

C. x k2 và 

4 

3 

 

x k2 ( k ). D. x k2 và 

4 

4 

5 

x k2 ( k ). 

4


139 

Câu 2.Phương trình 

 

A. x k2 và 

3 

6 

cos x chỉ có các nghiệm là 

2 2 

2 

 

x k2 ( k ). B. x k2 và 

3 

6 

5 

x k2 ( k ). 

6 

C. 

5 

x k2 và 

6 

5 

 

 

x k2 ( k ). D. x k2 và x k2 ( k ). 

6 

3 

3 


6 

tan x chỉ có các nghiệm là 

3 2 

A. 

C. 

 

x k ( k 

6 

). B. 

 

x k ( k 

3 

). D. 

 

x k ( k ). 

6 

 

x k ( k ). 

3 


12 

cot x chỉ có các nghiệm là 

2 

A. 

C. 

 

x k ( k 

6 

). B. 

 

x k ( k 

3 

). D. 

 

x k ( k ). 

6 

 

x k ( k ). 

3 

Câu 5. Phương trình sin x cos x chỉ có các nghiệm là 

A. 

 

 

x k ( k ). B. x k2 ( k ). 

4 

4 

C. 

 

x 

k và 

4 

 

 

 

x k ( k ). D. x k2 và x k2 ( k ). 

4 

4 

4 

Câu 6. Phương trình tan x cot x chỉ có các nghiệm là 

 

A. x k2 ( k ). B. 

4 

 

x k ( k ). 

4 

C. 

 

x k ( k ). D. 

4 2 

 

x k ( k ). 

4 4 


2 

4sin x 3 chỉ có các nghiệm là


140 

 

 

A. x k2 và x k2 ( k ). B. 

3 

3 

 

x 

k và 

3 

 

x k ( k ). 

3 

C. 

 

x 

k và 

6 

 

 

 

x k ( k ). D. x k2 và x k2 ( k ). 

6 

6 

6 


2 

tan x 3 chỉ có các nghiệm là 

 

 

A. x k2 và x k2 ( k ). B. 

3 

3 

 

x 

k và 

3 

 

x k ( k ). 

3 

C. 

 

x 

k và 

6 

 

 

 

x k ( k ). D. x k2 và x k2 ( k ). 

6 

6 

6 


sin x 0? 

A. cos x 1. B. cos x 1. C. tan x 0 . D. cot x 1 . 


2 

2cos x 1? 

A. 2sin x 2 0 . B. 

2 

sin x . C. tan x 1. D. 

2 

2 

tan x 1. 

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 

2 

tan x 3 ? 

A. 

1 

cos x . B. 

2 

2 

4cos x 1. C. 

1 

cot x . D. 

3 

1 

cot x . 

3 


3sin 

x cos x? 

2 2 

A. 

1 

sin x . B. 

2 

3 

cos x . C. 

2 

sin 

x . D. 

4 

2 3 

2 

cot x 3 . 


tan x 1?


141 

A. 

2 

sin x . B. 

2 

2 

cos x . C. cot x 1. D. 

2 

2 

cot x 1. 

Câu 14 Phương trình sin x cos5x 


 

 

A. x k2 và x k2 ( k ). B. 

4 

4 

 

x 

k và 

4 

 

x k ( k ). 

4 

C. 

 

x k và 

12 3 

 

x k ( k ). D. . 

8 2 

 

x k và 

12 3 

 

x k ( k ). 

8 2 

Câu 15. Trên khoảng 0; , phương trình tan x.tan3x 

1 

5 3 A. chỉ có các nghiệm là ; ; . B. chỉ có các nghiệm là ; ; . 

6 2 6 

6 4 4 


 

x k ( k ). D. có các nghiệm khác 

6 3 

với các nghiệm ở trên. 


2 

2sin x 7 sin x 3 0 


 

B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ). 

6 


5 

x k2 ( k ). 

6 

 

D. chỉ có các nghiệm là x k2 và 

6 

5 

x k2 ( k ). 

6 


2 

2cos x 4 3 cos x 3 0 


 

B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k 

3 

). 

 

C. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k 

6 

).


142 

 

 

D. chỉ có các nghiệm là x k2 và x k2 ( k ). 

6 

6 


2 

2sin x 7 cos x 5 0 


 

B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ). 

3 


5 

x k2 ( k ). 

3 

 

 

D. chỉ có các nghiệm là x k2 và x k2 ( k ). 

3 

3 


2 2 


có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 

của phương trình nào sau đây? 

A. cos x 0 . B. cot x 1. C. tan x 3 . D. 

tan x 1 

 

1 . 

cot 

x 

3 


2 2 


có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 


A. cos x 0 . B. 

1 

tan x . C. cot x 2 . D. 

2 

1 

tan 

x 

2 . 

 

cos x 0 

Câu 21. Phương trình tan x5cot x6 



A. cot x 1. B. tan x 5 . C. 

tan x 1 

. D. 

tan x 5 

tan x 2 

. 

tan x 3 

Câu 22. Phương trình cos2x3cos x4 



A. cos x 1. B. 

5 

cos x . C. 

2 

cos x 1 

 

5 . D. 

cos 

x 

2 

cos x 1 

 

5 . 

cos 

x 

2


143 

Câu 23. Phương trình cos2x 5sin x 6 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. 

5 

sin x . B. sin x 1. C. 

2 

sin x 1 

 

7 . D. 

sin 

x 

2 

sin x 1 

 

7 . 

sin 

x 

2 

Câu 24. Phương trình sin xcos x1chỉ có các nghiệm là 

A. 

 

x k2 

4 

 

( k ). B. 

 

x k2 

4 

 

x 

k 

4 

( k ). C. 

 

x k 

4 

x k2 

 

( k ). D. 

x k2 

2 

x k2 

 

( k ). 

x k2 

4 


cos x 1 


 

 

x k2 

A. 

4 

x 

k 

 

( k ). B. 

4 

( k 

 

x k2 

 

x k 

4 

4 

). C. 

x k2 

 

( k ). D. 

x k2 

4 

 

x 2k 1 

 

( k ). 

 

x k2 

2 


3 cos x1chỉ có các nghiệm là 

 

A. 

 

x k2 

2 

 

( k ). B. 

7 

x k2 

6 

 

x k2 

2 

 

( k ).C. 

7 

x k2 

6 

 

x k2 

2 

 

( k ). D. 

7 

x k2 

6 

 

x k2 

2 

 

( k ). 

7 

x k2 

6


144 

Câu 27. Phương trình 3sin x ( m 1)cos x m 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ 

khi 

A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. 

Câu 28. Phương trình tan x mcot x 8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi 

A. m 16 . B. m 16 . C. m 16 . D. m 16 . 

Câu 29. Phương trình 16cos x.cos2 x.cos4 x.cos8x 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm 


A. sin x 0. B. sin x sin8x. C. sin x sin16x. D. sin x sin32x. 


n1 

n 

2 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos8 x...cos 2 x 1 

có tập nghiệm trùng với 

tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 

A. sin x 0. B. sin x sin 2 n x. C. 

sin x 

1 

sin 2 n 

x. D. 

sin x 

2 

sin 2 n 

x. 

Câu 31. Phương trình sin3x sin2x sin 

x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. sin x 0. B. cos x 1. C. 

1 

cos x . D. 

2 

sin x 0 

 

1 . 

cos 

x 

2 

Câu 32. Phương trình cos5 x.cos3x cos4 x.cos2x 



A. sin x cos x. B. cos x 0 . C. cos8x cos6x. D. sin8x cos6x. 


4 4 

sin xcos x 1 



A. sin x 1. B. sin x 1. C. cos x 1. D. 

sin x 0 

. 

cos x 0 


( m1, 

m ) có tập nghiệm trùng với tập 

2m 

2m 

sin x cos x 1 

nghiệm của phương trình nào sau đây?


145 

A. sin x 1. B. sin x 1. C. cos x 1. D. 

sin x 0 

. 

cos x 0 

Câu 35. Phương trình sin x sin2x sin3x cos x cos2x cos3x 

có tập nghiệm trùng với 

tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 

A. 

3 

sin x . B. cos2x sin2x. C. 

2 

1 

cos x . D. 

2 

1 

cos 

x 

2 . 

 

cos 2x 

sin 2x 


4 4 

sin 3x cos x sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. cos2x sin3x. B. cos2x sin3x. C. cos2x sin2x. D. cos2x sin2x. 


2 2 2 2 

sin x sin 2x sin 3x sin 4x 

2 

có tập nghiệm trùng với tập 

nghiệm của phương trình nào sau đây? 

A. sin 5x 1. B. cos3x cos x. C. cos3x cos x. D. cos3x cos x. 

Câu 38. Phương trình tan x tan2x sin3 x.cos 

x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của 


A. sin3x 0 . B. cos2x 0 . C. cos2x 2 . D. 

sin 3x 

0 

. 

cos 2x 

0 


2 


có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn 

phụ được đặt như sau 

A. t sin x. B. t cos x. C. t tan x. D. t cot x. 


2 

3cos x 4sin x 10 

có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn 

phụ được đặt như sau 

A. t sin x. B. t cos x. C. t tan x. D. t cot x. 

Câu 41 Phương trình 4 x 

4 x 

2 cos sin 1


146 


 

x 

 

6 

 

x 

. 

6 


 

x k2 

6 

 

( k ) 

 

x k2 

6 

D. . chỉ có các nghiệm 

 

x 

k 

6 

( k ) 

 

x k 

6 


cos x sin x 3sin 2x 


 

x 

 

12 

. 

5 

x 

12 


 

x 

k 

12 


5 

x k 

12 

 

x k2 

12 

 

( k ). 

5 

x k2 

12 


cos x sin x 1 

cos3x 


 

x 

 

10 

 

x 

. 

2 


 

x 

k 

10 


 

x k 

2 

2 

x 

k 

10 5 

 

( k ) . 

 

x k2 

2 


sin 

xcos 

x 

4 

4 4 3 

 

A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm x k , k . 

8 4 


 

x k2 

8 

 

( k ). D. chỉ có các nghiệm 

 

x k2 

8 

 

x 

k 

8 

( k ). 

 

x k 

8


147 


sin 

xcos 

x 

16 

6 6 7 

 

 

A. chỉ có các nghiệm x k , k .. B. chỉ có các nghiệm x k , k . 

6 2 

6 2 


 

x 

k 

6 2 

 

( k ) . D. vô nghiệm. 

 

x k 

6 2 


2 2 

tan 3x 

tan x 

1 

2 2 

1 

tan 3 x.tan 

x 

A. chỉ có các nghiệm 

 

x 

k 

12 6 

 

x k , k 

2 

 

 

x k 

6 3 

 

. B. chỉ có các nghiệm x k2 , 

k . 

3 

 

C. chỉ có các nghiệm x k , k . D. vô nghiệm. 

6 3 


4 4 3 cos x 

sin xcos 

x 

4 


2 

x k , k . 

3 


2 

x k ( k ) . 

5 

2 

x k , k . D. chỉ có các nghiệm 

5 

2 

x k và 

5 

Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình 

2 

4sin 2x 1 0 bằng: 

A. 0 B. 

 

(1 m)tan x 1 3m 

0 B. 

cos x 

3 

2 2 

D. 

Câu 49. Số nghiệm thuộc t 1 

, t 2 

1 của phương trình 

2 2 

sin x cos 3x 

0 

là: 

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0; 2 của phương trình 

3 m 3 

1 0 m 1 là: 

4 4


148 

A. 0 B. 2 

3 

C. 4 

9 

D. 2 

Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x sin x 

0 

4 

 

3 

là: 

 

A. 

13 

x k2 

36 

 

7 

x k2 

12 

B. 

13 

2 

x k 

36 3 

 

7 

x k2 

12 

C. 

13 

2 

x k 

36 3 

 

7 

x k2 

12 

D. 

13 

2 

x k 

36 3 

 

7 

x k2 

12 

Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0; 

của phương trình 3 

sin2x cos x 

0 

4 

 

 

bằng: 

A. 

2 

 

48 

B. 

2 

 

16 

C. 

2 

3 

16 

D. 

2 

 

64 

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx 3 cos x 2 là: 

A. 

17 

12 

B. 

13 

C. 

12 

11 

D. 

12 

19 

 

12 

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình 

3 cos2xsin2x 2 bằng 

A. 0 B. 2 

 

C. D. 3 

2 

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

2 2 4 3 

sin x tanx cos xcot x 2sinxcosx bằng: 

3 

A. 

 

 

B. 

2 

6 

C. 3 

 

D. 

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx cos2x thuộc 0; 2 là: 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x 

2 

6 

 

3 

 

 

thuộc 0; là: 

A. 2 

 

B. 5 

12 

C. 24 

 

D. 4 

 


2 

sin x 

1 

cos x 

1 

 

thuộc 

;0 

2 

 

là: 

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3


149 

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình sinxcos3x sinx 2cos3x 2 0 

là: 

A. 2 

3 

B. 2 C. 4 D. 0 


 

 

của phương trình sin2x 

0 

4 

 

 

là: 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 61. Phương trình msinx3cosx 2m có nghiệm khi và chỉ khi: 

A. m 3 

B. m 3 C. m 3 D. m 3 

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5sin2x sinx cosx 6 0 trong khoảng 0; là: 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

Câu 63. Cho phương trình cos x sin 2x 0 

3 

 

2 

 

 

. Có hai bạn giải được hai đáp án 

sau: 

 

x l2 

I. 

9 

 

 

x k2 

3 

2 

x 

l 

II. 

9 3 

 

 

x k2 

3 

A. I, II cùng sai B. Chỉ I đúng C. Chỉ II đúng D. I, II cùng đúng 


2 

2cos 2x 

cos 4x 

0 

. Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của 

phương trình trên: 

I. 

 

x k II. 

6 4 

 

x k III. 

6 2 

 

x k IV. 

6 2 

 

x k 

6 4 

đúng 

Chọn câu trả lời đúng nhất. 

A. Chỉ I, IV đúng B. Chỉ I đúng C. Chỉ IV đúng D. I, II, III, IV cùng 


6 6 

sin x cos x 1 

. Có ba bạn giải được 3 kết quả sau: 

I. 

x k 

x k 

II. 

 

2 

 

 

x k 

2 

x k2 

x k2 

III. 

hay 

 

 

x k2 x k2 

2 

A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Chỉ III đúng D. Cả ba đều đúng


150 


cos 

1 

2 

x có mấy nghiệm thuộc khoảng ;4 

? 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

 

Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tanx 

1 

3 

là: 

 

A. 

7 

B. 

12 

5 

C. 

12 

11 

D. Một đáp án khác 

12 

Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 

2 2 

sinx 

 

3 

 

2 

là: 

A. 

 

B. 

15 

7 

C. 

12 

 

D. Đáp án khac 

12 


1 

cosx 

 

4 

 

2 

trong khoảng ; 

là: 

A. 2 

 

B. 

 

C. 

2 

3 

D. Đáp án khác 

2 


1 

sinxcos sin cos x trên ; 

 

8 8 2 

là: 

A. 2 

 

B. 

 

C. 3 

2 

2 

D. 3 

4 


m có đúng 1 nghiệm 

x 3 

0; 

2 

 


A. 1 m 1 B. 1 m 1 C. 1 m 0 D. Đáp số khác 

Câu 72. Phương trình 1cos x m có đúng 2 nghiệm 

x 3 

; 

 

 

2 2 

 


A. 0m 

1 B. 0m 

1 C. 1 m 1 D. 1 m 0 


1 

sin xcos xcos2xcos4x cos8x sin12x 

trên 

16 

 

 

; 

2 2 

 

là: 

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 

ĐÁP ÁN


151 

Câu 1 Câu 2 Câu 3 

C C B 

Câu 4 

Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

10 

11 

12 

13 

B A C B B C D B D C 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

14 

15 

16 

17 

18 

19 

20 

21 

22 

23 

C D D D D D B C A B 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

24 

25 

26 

27 

28 

29 

30 

31 

32 

33 

C D A D D C D D C D 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

Câu 

34 

35 

36 

37 

38 

39 

40 

41 

42 

43 

D D A D A B A D C D 

Câu 44 Câu 

45 

Câu 

46 

Câu 

47 

B C A D 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN 

Câu 1. Nghiệm của phương trình sinx = 1 là:


152 

 

A. x k2 

B. 

2 

 

 

x k 

C. x k 

D. x k2 

2 

2 

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx = –1 là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

C. x k 

D. 

2 

2 

3 

x k 

2 

Câu 3. Nghiệm của phương trình sinx = 1 2 

là: 

 

A. x k2 

B. 

3 

 

 

x k 

C. x k 

D. x k2 

6 

6 

Câu 4. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là: 

 

A. x k 

B. x k2 

C. x k2 

D. 

2 

 

x k 

2 

Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx = –1 là: 

 

A. x 

k 

B. x k2 

C. x 

k2 

D. 

2 

3 

x k 

2 

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = 1 2 

là: 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

3 

6 

C. 

 

 

x k 

D. x k2 

4 

2 

Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – 1 2 

là: 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

C. 

3 

6 

2 

x k2 

D. 

3 

 

x k 

6 

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos 2 x = 1 2 là: 

 

A. x k2 

B. 

2 

 

x k 

4 2 

 

 

C. x k2 

D. x k2 

3 

4 


3 + 3tanx = 0 là:


153 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

C. 

3 

2 

 

x k 

D. 

6 

 

x k 

2 

Câu 10. Nghiệm của phương trình sin3x = sinx là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k; 

x k 

2 

4 2 

C. x k2 

D. x k; x k2 

2 

Câu 11. Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 0 là: 

 

A. x k2 

B. 

2 

x k 

 

C. x k2 

D. x k2 

2 

6 

Câu 12. Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là: 

A. x k2 

B. x k2 ; x k2 

2 

C. x k2 

D. x k; x k2 

2 

Câu 13. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là: 

 

A. x k ; x k 

B. x k2 ; x k2 

8 2 4 

2 

 

C. x k; 

x k 

`D. x k; 

x k 

4 

2 

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin 2 x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 

A. 

 

x B. x 

C. x = 0 D. 

2 

 

x 

2 

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin 2 x + sinx = 0 thỏa điều kiện: 

 

< x < 

2 2 

 

A. x 0 

B. x 

C. x = 3 

D. 

 

x 

2 

Câu 16. Nghiệm của phương trình cos 2 x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < 

A. 

 

x B. 

2 

 

 

x C. x = 

4 

6 

D. 

 

x 

2 

3 

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos 2 x + cosx = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2


154 

A. x 

B. 

 

x C. x = 3 

3 

2 

D. 

x 

3 

2 


A. 

 

x k 

B. 

4 

 

x k 

C. x k 

D. 

6 

 

x 

k 

4 

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – 3 

) – 1 = 0 là: 

A. 

7 

x k ; x k 

 

B. x k2 ; x k2 

8 2 24 2 

2 

C. x k; x k2 

D. x k2 ; 

x k 

2 

 

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 x < 2 

A. 

 

x B. 

6 

 

 

x C. x = 

4 

2 

D. 

 

x 

2 

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin 2 x – 5sinx – 3 = 0 là: 

A. 

7 

x k2 ; x k2 

B. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

3 6 

 

C. x k; x k2 

D. 

2 

5 

x k2 ; x k2 

4 4 


 

A. x k2 ; x k2 

B. x k; x k2 

2 

2 

 

 

C. x k; x k2 

D. x k; 

x k 

6 

4 

Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: 

 

A. x k2 ; x k2 

B. x k2 ; x k2 

2 

2 

 

 

C. x k2 ; x k2 

D. x k; 

x k 

3 

6 

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + 3 cosx = 2 là:


155 

A. 

C. 

5 

x k2 ; x k2 

12 12 

B. 

2 

x k2 ; x k2 

3 3 

D. 

3 

x k2 ; x k2 

4 4 

 

5 

x k2 ; x k2 

4 4 

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: 

A. x k 

B. x k. 

C. x k. 

D. x 

k. 

2 

8 

4 

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos 2 x = – 8.cosx – 5 là: 

A. x k 

B. x 

k2 

C. x k2 

 

D. x k2 

2 

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + 

3 = 0 là: 

 

A. x k2 

B. 

3 

 

x k 

C. 

6 

 

x k 

D. 

6 

 

x k 

3 

Câu 28. Nghiêm của pt sinx + 

3 .cosx = 0 la: 

 

A. x k2 

B. 

3 

 

x k 

C. 

3 

 

x k 

D. 

3 

 

x k 

6 

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: 

A. x k2 

B. x k 

C. x k. 

D. 

2 

 

x k 

4 

Câu 30. Nghiêm của pt sin 2 x = 1 là 

A. x k2 

B. x 

k2 

C. 

Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: 

 

x k 

D. 

2 

 

x k 

2 

A. x k2 

B. x 

k2 

C. 

 

 

x k 

D. x k2 

2 

2 

Câu 32. Nghiệm của pt sinx + 

3 

0 

2 là: 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

6 

3


156 

C. 

5 

x k 

D. 

6 

2 

x k2 

3 

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : 

A. x k2 

B. x k4 

C. x k 

D. x 

k. 

2 

Câu 34. Nghiêm của pt sin 2 x = – sinx + 2 là: 

 

A. x k2 

B. 

2 

 

 

x k 

C. x k2 

D. x 

k 

2 

2 

Câu 35. Nghiêm của pt sin 4 x – cos 4 x = 0 là: 

 

A. x k2 

B. 

4 

3 

x k2 

C. 

4 

 

 

x k 

D. x k. 

4 

4 2 

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: 

(I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos 2 x + cos 2 2x = 2 

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? 

A. Chỉ (III ) B. Chỉ (I ) C. (I ) và (III ) D. Chỉ (II ) 

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – 1 2 

là: 

 

 

A. x k2 

B. x k2 

C. 

3 

6 

5 

x k2 

6 

 

x k 

D. 

6 

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

3 

x k2 

C. 

4 

 

x k 

D. 

8 2 

 

x k 

4 

Câu 39. Nghiêm của pt cos 2 x = 0 là: 

A. 

 

 

x k 

B. x k2 

2 

2 

 

 

C. x k. 

D. x k2 

4 2 

2 

Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1)


157 

A. sin4x = 0 B. cos3x = 0 C. cos4x = 0 D. sin5x = 0 

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 

 

x k 

4 

 

 

C. x k2 

D. x k2 

4 

4 

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 

 

A. x k2 B. 

4 


 

 


4 

3 

3 cosx = 0 là: 

 

x k 

3 

A. 

 

x k B. 

6 

 

 

 

x k C. x k2 D. x k2 

3 

3 

6 

Câu 44. Nghiệm của pt 

3 sinx + cosx = 0 là: 

A. 

 

x k B. 

6 

 

x k C. 

3 

 

x k D. 

3 

 

x 

k 

6 

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: 

A. a 2 + b 2 c 2 B. a 2 + b 2 c 2 C. a 2 + b 2 > c 2 D. a 2 + b 2 < c 2 

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: 

A. 

 

x k B. 

4 

 

 


4 

4 

 

x k2 

4 

Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: 

A. 

 

x k B. 

4 

 

x k C. 

4 

5 

x k2 D. 

4 

3 

x k2 

4 


 

 

 

A. x k2 B. x k2 C. x k2 D. 

2 

2 

2 

 

x 

k 

2


158 

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos 2 x = 2 

m 

có nghiệm là: 

A. 1 5 m 1 5 B. 1 3 m 1 3 C. 1 2 m 1 2 D. 0m 

2 

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin 2 x là: 

A. 

 

x B. 

6 

5 

 

x C. x D. 

6 

12 

Câu 51. Nghiệm của pt cos 2 x – sinx cosx = 0 là: 

 

A. x k; 

x k B. 

4 2 

 

x 

k 

2 

C. 

 

x k D. 

2 

5 

7 

x k; 

x k 

6 6 

Câu 52. Tìm m để pt 2sin 2 x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 

A. 0 < m < 4 3 

B. 

4 

0 m 

C. 

3 

4 

m0; 

m D. m < 0 ; 

3 

4 

m 

3 

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + 

2 sin2x = 0 là: 

A. 

3 

x B. 

4 

 

x C. 

4 

 

x D. x 

3 

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là: 

A. 

 

x B. 

12 

 

x C. 

3 

 

x D. 

6 

 

x 

4 

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 

 

A. x ; x B. 

18 6 

2 

x ; x 

18 9 

 

 

C. x ; x D. x ; x 

18 2 

18 3 

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos 2 x – 3.cosx + 1 = 0 

 

A. x k2 ; x k2 B. 

6 

5 

x k2 ; x k2 

6 6


159 

 

C. x k2 ; x k2 D. 

2 6 

2 

x k2 ; x k2 

3 


 

 

A. x k2 B. x k2 

2 

2 

C. 

 

 

x k D. x k2 

2 

2 

Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin 2 x + 3. 3 sin2x – 2.cos 2 x = 4 là: 

A. 

C. 

 

x 

6 

B. 

 

x 

3 

D. 

 

x 

4 

 

x 

2 

Câu 59. Nghiệm của pt cos 4 x – sin 4 x = 0 là: 

A. 

 

x k 

B. 

4 2 

 

x 

k 

2 

C. x k2 D. xk 

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = 

2 là: 

 

 

A. x k2 B. x k2 

4 

4 

 

 

C. x k2 D. x k2 

6 

6 

Câu 61. Nghiệm của pt sin 2 x + 

3 sinx.cosx = 1 là: 

 

 

A. x k; 

x k B. x k2 ; x k2 

2 6 

2 6 

C. 

 

5 

x k2 ; x k2 D. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

6 6 


3 cosx = 1 là 

A. 

5 

13 

 

x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 

12 12 

2 6


160 

C. 

5 

x k2 ; x k2 D. 

6 6 

5 

x k2 ; x k2 

4 4 

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: 

(I) cosx = 5 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2 

A. (I) B. (II) 

C. (III) D. (I) và (II) 

Các ví dụ 

Một số vấn đề nâng cao. 

Vấn đề 2. Tìm nghiệm phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 

Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( ; ) của phương trình: 

 

 

1. sin(3 x ) cos(2 x ) 

2. 

3 4 

2 2 

sin 2 cos (3 ) 

x x 

8 



3 

sin 3x sin 2x 

 

3 

 

4 

 

 

3 k2 

3x 2x k2 x 

3 4 

 

 

 

12 5 

 

 

3x 2x k2 x k2 

 

3 4 12 

Do x; 

nên ta có: 

43 19 29 53 

x , x , x , x , x , x 

 

60 60 12 60 60 12 

 

Vậy tổng các nghiệm trong ; 

bằng . 3 

 

 

 

 

4 

 

 

2. Phương trình cos 6x cos 4x cos 4x 

 

5 

6x 4x k2 x k 

4 

 

 

8 

 

 

3 k 

6x 4x k2 x 

 

4 

40 5


161 

Các nghiệm nằm trong ( ; ) của phương trình là: 

5 7 27 19 11 3 

x , x , x , x , x , x , x , 

8 8 40 40 40 40 8 

13 21 29 37 

x , x , x , x 

 

40 40 40 40 

Vậy tổng các nghiệm thuộc ( ; ) là: 7 . 

8 

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau: 

1. 

2 2 

sin 2x 

cos 5x 

1 

2. 

2 2 

(sin cos ) 2cos 3 

x x x 



1cos4x 

1cos10x 

1 

2 2 

k 

10x 4x k2 

x 

 

cos10x cos 4x 3 

 

 

10x 4x k2 k 

x 

7 

 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: x , x . 

7 7 

2. Phương trình 1 sin2x 1 

cos6x 

 

k 

6x 2x k2 

 

cos6x sin 2x cos 2x 

2 

x 

 

 

2 

 

 

16 4 

 

 

k 

6x 2x k2 

 

x 

2 

8 2 

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: 

 

x , x . 

16 8 

Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình : 

 

 

1. 1 

cos x 2 2x 

sin x 

2 

 

 

 

 

2 

sin x 

sin 

 

x1 

 

2 

2. 2 

 

 



162 

1. Phương trình sin ( x 2 2 x) sin x 

2 

 

2 2 

( x 2 x) x k2 

xk 

 

 

2 2 

 

 

( x 2 x) x k2 

 

 

 

2 

2x 2x 2k 

1 0 (1) 

Từ đó ta tìm được 

1 

3 

x . 

2 


 

 

 

 

 

2 2 

x ( x 1) k2 x 

2k 

1 

2 

0 

2 2 

x ( x 1) k2 

2 

x x k 

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

2k 

1 x , k là 

2 

1 

x 

2 

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 

Vậy 

1 

x là nghiệm cần tìm. 

2 

2 

x x k 

0 là: 

1 

5 1 

x 

2 2 

Ví dụ 4 

 

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x x 

2 x 

 

cos 3 9 160 800 1 

8 

 

 

 


2 

3 9 160 800 16 


16k 

16k 

x 

x 

 

x x x k 

3 

 

3 

 

 

2 

8k 

25 

25 

x 

9x 24k 40 

 

3 k 5 

3 k 5 

25 

3k 

5 

Theo bài toán suy ra: k 0, 2, 10 

Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình : 

x 7( k 2), x 31 ( k 10) . 

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau: 

 

3 1 sin x 3 1 cos x 2 2 sin 2x 



163 


7 6 2 7 6 2 

sin 

; cos 

 

 

12 4 12 4 

Nên phương trình đã cho tương đương với: 

3 1 3 1 

sin x cos x sin 2x 

2 2 2 2 

7 

7 

sin x.cos cos x.sin sin 2x 

12 12 

7 

7 

2x x k2 

7 

 

sin( x ) sin 2x 

12 

x k2 

 

 

12 

 

. 

12 

7 

5 2 

2x x k2 

 

x k 

12 36 3 

Do x0; 2 

nên phương trình có các nghiệm là: 

Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3. 

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau 

7 5 29 53 ; ; ; . 

12 36 36 36 

Phương trình 3 sin x cos x 3 cos x sin x 2 2 sin2x 

7 

sin( x ) cos( x ) 2 sin 2x sin( x ) sin 2x 

6 6 12 

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên. 


Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos( x ) 1 trên ( ; ) 

3 

A. 2 

3 

B. 

 

3 

C. 4 

3 

D. 7 

3 



x k2 

1 

cos( x ) cos 

2 

3 2 3 

 

x k2 

3


164 

Vì x; 

nên: 

* Với xk2 ta chỉ chọn được k 0 x 0. 

* Với 

2 

x k2 ta chỉ chọn được 

3 

2 

k 0 x . 

3 

Vậy tổng các nghiệm bằng 2 3 . 

 

 

Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x ) cos(2 x ) trên [0; ] 

3 3 

A. 7 

18 

B. 4 

18 

C. 47 

8 

D. 47 

18 



5 

sin(5 x ) sin( 2 x) 

3 6 

5 2 

5x 2x k2 x k 

3 6 

 

 

 

14 7 

 

. 

 

2 

5x 2x k2 

x k 

 

3 6 

18 3 

Với 

2 2 

x k 0 k 

 

14 7 14 7 

2 13 

1 13 

k 

k 

14 7 14 4 4 

. Do k k 

0,1,2,3 

Suy ra các nghiệm: 

5 9 13 

x , x , x , x 

 

14 14 14 14 

Với 

2 2 

x k 0 k 

 

18 3 18 3 

2 19 

1 19 

k k . Do k k 

1 

18 3 18 12 12 

Suy ra các nghiêm: 

11 

x . 

18 

Vậy tổng các nghiệm là: 47 18 .


165 

Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau 

 

 

4 

 

2 

sin 3x 9x 16x 

80 0 

 

 

 

 

. 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 



2 

9x 16x 80 0 x 4 

. 

 

2 


3x 9x 16x 80 k, 

k 

4 

2 

3x 9x 16x 80 4k 

2 

9x 16x 80 3x 4k 

4k 

x 

 

3 

 

9x 16x 80 (3x 4 k) 

2 2 

4k 

x 

 

 

3 

 

x 

 

 

3k 

2 

2 

2k 

10 

. 

Yêu cầu bài toán 

2 

2k 

10 4k 

 

 

3k 

2 3 

2 

2k 

10 

x 

4 . 

3k 

2 

2 

2k 

10 

 

3k 

2 


2 2 

2k 10 4k 6k 8k 

30 

 

0 

 

3k2 3 3k2 

2 

 

k 3 

2 

 

 

2 

2k 10 2k 12k 

18 3 

x 4 

0 

 

3k2 

3k2 

Vì k k 1,2,3 . 

* 

* 

* 

2 

2k 

10 

k 1 12 

3k 

2 

2 

2k 

10 9 

k 2 

3k 

2 2 

2 

2k 

10 

k 3 4 

3k 

2 

Kết hợp điều kiện, ta có x4, x 12 là những giá trị cần tìm.


166 

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: 

2 

cos (3 3 2 x x ) 1 

. 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

2 



3 3 2x x k2 , 

k 

2 2k 3 2x x 

2 


và 2 2k là số chẵn nên ta có các nghiệm là: x 1, x 3, x 1. 

2 

0 4 (1 x) 2 

Bài 5. Tìm số nghiệm x 0;14 

nghiệm đúng phương trình : 

cos3x 4cos2x 3cos x 4 0 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 



 

3 2 

4cos x 3cos x 4(2cos x 1) 3cos x 4 0 

3 2 

4cos x 8cos x 0 cos x 0 x k 

 

2 

Vì 

3 5 7 

x 0;14 x , x , x , x 

. 

2 2 2 2 

Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 

2 

2( 1)( 2 3 1) 4 . 

sinx sin x sinx sin x cosx 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Ta có phương trình đã cho tương đương với 


 

1 

2 sin 1 cos 4 x 

x 3sin x 1 sin 4 x.cos 

x 

2 

 

 

 

 

sin x 1 3 6sin x cos 4x sin 4 x.cos 

x 

sinx 13 6sinx 

sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx 

2 

3(1 2 sin x) 3sinx sin5x cos4x 

 

3cos 2x 3cos x cos 5x cos 4x 

2 

 

2


167 

3x x 9x x 

3.2. cos( ). cos( ) 2. cos( ). cos( ) 

2 4 2 4 2 4 2 4 

x 3x 9x 

3 

cos 3cos( ) cos( ) 0 

2 4 

 

2 4 2 4 

 

 

x 

cos( ) 0 

x 3x 

 

2 4 

2 4 2 4 3x 

 

cos( ) 0 

2 4 

3 

cos( ).cos ( ) 0 

3 

x k2 

 

2 

 

. 

 

x k2 

6 

Vì x ( ; ) nên suy ra 

Bài 7 Tìm số nghiệm 0; 2 

3 

x , x , x . 

2 6 2 

x của phương trình : sin 3 x 

sin x 

sin 2xcos 2x 

1 

cos 2x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Điều kiện: cos2x 1 2x k2 x k 



2cos 2xsin 

x 

2 cos2x 

 

2 sin x 

4 

 

 

Ta thấy x không là nghiệm của phương trình . 

Nếu x0; 

 

thì phương trình 

2cos 2xsin 

x 

2 cos2x 

 

2 sin x 

4 

 

 

 

cos 2x cos2 x x k , k 

4 

 

16 2 

1 15 

x 0; 0 

k , k k , k 

16 2 8 8 

Do 

 

k 

0 x 

 

 

16 

. 

k 

1 9 

x 

16 

Nếu x;2 

 

thì phương trình 

2cos 2xsin 

x 

2 cos2x 

 

2 sin x 

4 

 

 

5 

cos 2x cos2 x x k , k 

4 

 

16 2


168 

5 11 27 

x ; 2 

k 2 , k k , k 

16 2 8 8 

Do 

21 

k 

2 x 

 

 

16 

. 

k 

3 29 

x 

16 

Nghiệm phương trình thỏa mãn bài toán là : 

9 21 29 

x ; x ; x ; x . 

16 16 16 16 

Vấn đề 3 . Phƣơng pháp loại nghiệm khi giải phƣơng trình lƣợng giác có điều kiện 

Phƣơng pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC. Ta loại đi 

những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. 

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ 

Điểm biểu diễn cung và k2, k trùng nhau 

Để biểu diễn cung 

2k 

lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường 

n 

chọn k0,1,2,..., n 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn 

tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. 

Phƣơng pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên 

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm 

kl , là các chỉ số chạy. 

k 

và 

n 

l 

, trong đó mn , đã biết, còn 

m 

Ta xét phương trình : 

k 

l 

ak bl c (*) 

n m 

Với a, b, 

c là các số nguyên. 

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên 

ax by c (1).


169 

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau: 

Phương trình (1) có nghiệm d 

( a, b) 

là ước của c 

Nếu phương trình (1) có nghiệm ( x ; y ) thì (1) có vô số nghiệm 

0 0 

b 

x x t 

0 

d 

, t 

a 

y y 0 

t 

. 

Phƣơng pháp 3: Thử trực tiếp 

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để 

kiểm trA. 

Phƣơng pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác: 

Giả sử ta có điều kiện là ux ( ) 0 ( u( x) 0, u( x) 0 ), ta biến đổi phương trình đã cho về 

phương trình chứa ux ( ) và giải phương trình để tìm ux. ( ) 

Các ví dụ 


1. cot 3x cot x 

2. cot 4 x.cot7 x 1 


x 

k 

3 


n 

Phương trình 3 x x n x , n 

2 

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau 

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung 

k ta có các điểm A , A , A , A , A , A . 

1 2 3 4 5 6 

3 

Biểu diễn các điểm cuối của cung 

n ta có các điểm B , B , B , B . 

1 2 3 4 

2


170 

y 

B 2 

A 2 

A 3 

A 6 

B 3 

B 1 

O 

A 1 

x 

A 4 

A 5 

B 4 

Ta thấy A B , A B . 

1 1 4 3 

 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x m, 

m . 

2 

Cách 2: Ta có 

n 

k 

2k 

k 

3t 

n 

2 3 3 n 

2t 

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn. 

 

Vậy nghiệm của phương trình là: x m, 

m . 

2 


k 

x 

4 

. 

n 

x 

7 

 

Phương trình cot7x tan 4x cot( 4 x) 

2 

 

7x 4x m x m . 

2 22 11 


k k 

2 

m 2 4m 11k m 3k 

 

22 11 4 4 

Vì 

k 2 

m, k t k 4t 2 m 11t 

6 

4 

m n 

Ta có: 7 14m 22n 22n 14m 

7 

22 11 7


171 

Vì 22n 14m 

là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm. 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 

m 

x với m11t 6 , t . 

22 11 

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: sin x cot 5 x 

1 

cos9x 


m 

sin 5x 

0 x 

5 

 

cos9x 0 m 

x 

18 9 


Phương trình sin xcos5x cos9x sin5x 

sin6x sin4x sin14x sin4x sin14x sin6x 

k 

14x 6x k2 

x 

 

4 

 

 

14x 6x k2 k 

x 

20 10 

Nghiệm 

mk , 

k 

x bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm nguyên 

4 

k 

m 

m5t 

 

 

4 5 5k 

4m 

k 

4t 

k 

k m 9k 4m 2 

 

k 2 

4t 

 

 

4 18 9 

m49t 

(chẵn) 

Nghiệm 

k 

x bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm 

20 10 

nguyên mk , 

k m 

 

20 10 5 4m 2k 

1 

 

 

k m 18k 10m 

1 

 

20 10 18 9 

ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm. 


k 

x , 

20 10 

k 

x . 

4 2


172 


Bài 1: Giải phương trình : sin x cos 2x 

 

A. x k2 B. 

6 

1 

x k C. 

6 2 

1 

x k D. 

6 3 

 

x k 

6 

Cách 1: 


Với sin x 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với 

 

2x x k2 

 

cos 2x sin x cos x 

2 

2 

 

 

2x x k2 

2 

2k 

x 

(1) 

 

6 3 

 

 

x k2 (2) 

2 

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) 

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A , A , A . Trong đó chỉ 

1 2 3 

có hai điểm A , A nằm phía trên Ox 

1 2 

y 

A 2 

O 1 

A 3 

A 1 

x 

 

Hai điểm này ứng với các cung x k2 và 

6 

5 

x k2 . 

6 

Với sin x 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với


173 

 

2x x k2 

 

cos 2x sin x cos x 

2 

2 

 

 

2x x k2 

2 

 

x k2 (3) 

 

2 

 

k2 

x (4) 

6 3 

Dễ thấy (3) không thỏa (**) 

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B , B , B 

1 2 3 

Trong đó chỉ có hai điểm B , B nằm dưới Ox ( sin x 0 ) 

2 3 

y 

B 1 

O 1 x 

B 2 

B 3 

 

Hai điểm đó ứng với cung: x k2 và 

6 

5 

x k2 

6 


 

x k . 

6 

Bài 2: Giải phương trình : cos3x tan4x sin5x 

A. 

k3 

x k2 , 

x B. 

16 8 

1 k3 

x k , 

x 

2 16 8 

C. 

2 k 

k 

x k , x D. x k, 

x 

3 16 8 

16 8 

Điều kiện: cos4x 0 



174 

Phương trình sin4xcos3x sin5xcos4x 

sin7x sin x sin9x sin x sin9x sin7x 

k 

x k, 

x 

16 8 

Với xk thì cos4x cos4k 1 0 

Với 

k 

k 

x thì cos 4x 

cos 

0 

16 8 

4 2 

 

 

đúng với mọi k 

k 

Vậy nghiệm của phương trình là: x k, 

x , k . 

16 8 

Bài 3: Giải phương trình 

2 sin 3x cos3x 1 2sin6x 2sin 2x 

A. 

 

x 

n và 

12 

17 

 

x 2n B. x 2n và 

12 

12 

x 

17 

12 

n 

C. 

2 

x n và 

12 3 

17 

 

x 2n D. x 2n và 

12 

12 

17 

x 2n 

12 



 

sin 3x cos 3x 

0 

 

 

2sin 3x cos 3x 2 

1 2sin 6x 2sin 2x 

sin 3x cos 3x 0 sin 3x cos 3x 

0 (*) 

 

 

1 5 

sin 2 x x k (1), x k 

(2) 

2 

 

12 12 

Với nghiệm 

 

x 

k thì 

12 

 

sin 3x cos 3x sin 3k cos 3k 0 k 2n 

4 

 

4 

 

 

Với nghiệm 

5 

x 

k thì 

12 

5 5 

sin 3x cos 3x sin 3k cos 3k 0 

4 

 

4 

 

 

k 2n 1. 

 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 2n và 

12 

17 

x 2n 

12


175 

Bài 4: Giải phương trình : tan2x tan3x tan7x tan2x tan3x tan7x 

. 

A. 

k 

x với 

2 

k 

2(2t 

1) 

 

k 3(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

B. 

k 

x với 

12 

k 

2(2t 

1) 

 

k 5(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

C. 

k 

x với 

3 

k 

2(2t 

1) 

 

k 5(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 

D. 

k 

x với 

12 

k 

2(2t 

1) 

 

k 3(2t 1) , t 

k 

6(2t 

1) 


 

x 

k 

cos 2x 

0 

4 2 

 

 

cos 3x 0 x k . 

 

6 3 

cos7x 

0 

 

k 

 

x 

14 7 


Phương trình tan 2 x(1 tan 3x tan7 x) tan 3x tan7x 

Nếu tan3x tan7x 1 tan3x tan7 x 0 vô lí 

Nên ta có phương trình : 

tan 3x 

tan7x 

tan 2x tan10x 

1 

tan 3xtan7x 

m 

10x 2x m x . 

12 

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm bằng cách 

biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều 

trường hợp. Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số. 

m 

k 3 6k m 

4 2 12 

m 

k 2 4k m 

6 3 12 

 

m 

m 12t 

6 

k 6 12k 7 m , t 

14 7 12 

k 

7t 

3 

KL: Nghiệm của phương trình là: 

k 

2(2t 

1) 

k 

 

x với k 3(2t 1) , t 

12 k 

6(2t 

1)


176 

Vấn đề 4 . Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số. 

Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán tự luận cho học sinh, 

chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt. 

Các ví dụ 

 

Ví dụ 1. Tìm giá trị m để phương trình: 2sin( x ) 2m1vô nghiệm. 

10 


2m 

1 

sinx 

 

10 

 

2 


Nếu 

2m 

1 3 1 

1 1 m thì phương trình có nghiệm 

2 2 2 

2m 

1 

x arcsin k2 

10 2 

 

9 

2m 

1 

x arcsin k2 

10 2 

Nếu 

 

m 

 

m 

 

3 

 

2 

1 

 

2 

 

phương trình vô nghiệm. 

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình: mcos2x m 

1 

Nếu 


1 m 1 

m 1 phương trình có nghiệm 

2 m 

1 m 1 

x arccos k2 

2 m 

Nếu 

1 

m thì phương trình vô nghiệm. 

2 

Ví dụ 3. Cho phương trình : ( m 1)cos x 2sin x m 3 

1. Giải phương trình khi m 2 

2. Tìm m để phương trình có nghiệm


177 


1. Với m 2 ta có phương trình : 3cos x 

2sin x 1 

3 2 1 1 

cos x sin x cos( x ) 

 

13 13 13 13 

Với 

2 3 

sin ,cos ; 0; 

13 13 2 

. 

1 1 

x arccos k2 x arccos k2 . 

13 13 

2. Phương trình đã cho có nghiệm 

( m1) 4 ( m 

3) 

2 2 

1 

m . 

2 

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: m 1cosx m 1sinx 2m 3 

 

mãn: x x 

 

1 2 

3 

Ta có phương trình đã cho tương đương với 

m 1 m 1 2m 3 

cosx sinx 

2 2 2 

2m 2 2m 2 2m 

2 

có 2 nghiệm x , x thoả 

1 2 


 

 

cos x cos (với đk 

2m+3 

1 

1 

2 

2m 

2 

(*) ) 

(Trong đó 

cos 

m 1 2m+3 

; cos 

2 2 

2m 

2 2m 

2 

) x k2 

Do đó x , x có dạng x k 2 ; x k 2 

1 2 

1 1 2 2 

(Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì x x l2 , 

l Z ) 

1 2 

 

 

Do đ ó: x1 x2 2 ( k1k2)2 

3 

3 

 

1 

cos 2( k1k2) 

2 

cos cos2 . 

3 2 

Mặt khác 

c 

2 

os2 2cos 1 

nên ta có: 

m 

1 2 

2 

2 

1 m 1 3 

2 

1 

2m 

2 

m 

2 2 

4 2 2


178 

2 

m 4m1 0 m 2 3 (ko thoả mãn (*)) 

Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán . 


Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: 

1. 4sin2x2m 

1 

 

3. tan(2 x ) m 

1 

6 

2 

2 ( m 1)cos (4 x ) 2m 

3 

4. 

 

m x m 

8 

2 

cot (2 ) 2 1 

. Phương trình 

2m 

1 

sin 2x 

(1) 

4 


Nếu 2 m 1 5 3 

1 2m 

1 4 m thì phương trình (1) có 

4 2 2 

1 2m 

1 

x 

arcsin k 

nghiệm 

2 4 

 

, 

1 2m 

1 

x arcsin k 

2 2 4 

k 

Nếu 

2. 

m 5 3 

; ; 

 

2 

 

2 

 

 

thì phương trình (1) vô nghiệm 


Nếu m 1phương trình (1) vô nghiệm 

Nếu m 1phương trình đa cho 

2 2m 

cos 4x 

 

3 

 

m 1 

(2) 

+) Nếu 

2m 

0 

m 

1 

m( ;0] (1; ) 

1 m 0 

2m 

1 m 1 

1 

 

m 1 

thì 

Phương trình (2) 

2m 

cos2x 

 

3 

 

m 1


179 

2m 

 

1 2m 

 

2x arccos k2 

x arccos k , k 

3 m 1 

 

 

6 2 

m 1 

 

 

+) Nếu 

m 

1 

thì phương trình (2) vô nghiệm. 

m 

0 


3. Với mọi giá trị của m ta có phương trình đã cho tương đương với 

1 

k 

2x arctan( m 1) k x arctan( m 1) 

 

6 12 2 2 

4. 


Nếu m 0 


2 2 1 

Nếu m 0 thì phương trình đã ch tương đương với cot m 

2x 

 

 

 

8 

 

m 

(4) 

+) Nếu 2 m 1 0 1 m 0 thì phương trình (4) vô nghiệm 

m 2 

+) Nếu 

 

m 

 

m 

1 

 

2 

0 

thì phương trình (4) có nghiệm là 

2m 

1 

1 2m 1 k 

2x arc cot 

k 

x arc cot , k 

8 m 

 

 

16 2 

m 

 

2 

. 

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau: 

1. 

1. 

2 

msin 2x m 1 0 

2. 

2 

(2m1)tan 3x m 

2 


Nếu m 0 


Nếu m 0 

phương trình 

sin 2x 

 

2 1 

m 

m 

+) 

1 

m 

m 

1 

m 

 

1 1 m m 2 phương trình vô nghiệm 

 

m 

0


180 

+) 

1 

m phương trình có nghiệm : 

2 

1 1 

m 

x arcsin 

k 

2 m 

 

 

1 1m 

 

 

x arcsin 

k 

2 2 m 

 

 

2. 


Nếu 

Nếu 

1 

m phương trình vô nghiệm 

2 

1 

m thì phương trình 

2 

2 m 2 

tan 3x 

 

2m 

1 

+) Nếu 

1 

2 

m phương trình vô nghiệm 

2 

+) Nếu 

m 

2 

 

1 phương trình có nghiệm 

m 

 

2 

1 m2 

k 

x arc t an 

. 

3 2m 

1 

 

3 

Bài 3 Cho phương trình ( m 1)sinx mcos x 2m 

1 (1) 

1. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm 

 

x , giải phương trình với giá trị m vừa 

3 

tìm đượC. 

2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. 

1. Phương trình có nghiệm 


 

x khi và chỉ khi 

3 

3 

3 

( m 1)sin mcos 2m 1 

m 

3 3 6 

Bạn đọc tự giải phương trình. 

2. Phương trình có nghiệm 


( m1) m (2m 

1) 

2 2 2 

2 

m m 0 0 m 1 . 

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình


181 

1. 

2 

cos 2x cos x 3sin x 2m 

0 

có nghiệm 

. Phương trình 

 

2 

3sin x 3sin x 2m 

2 


Đặt t sin, t 1;1 . Ta có phương trình : 2 

3t 3t 2m 

2 

Xét hàm số 

2 

f ( t) 3t 3 t, t 1;1 


t 1 

ft () 

1 

6 

0 

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm 

0 2m 2 6 1 m 2 . 

 

2. cos 2 x (2m 1)cos x m 1 0 có nghiệm trên ; 

2 

 

 

2 

. Phương trình 


2cos x 2m 1 cosx m 0 

2cos x 1 0 

2cos x 1cos x m 

0 

cos xm0 

 

Ta có : x 

; 1 cos x 

0 

2 

 

 

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x 

 

; 

 

2 

1 m 0. 

 

Bài 5: Giải và biện luận phƣơng trình : 

2 3 2 3 

8m 1 sin x 4m 1 sin x 2mcos x 0 

1.


182 

. 


Nếu m 0 , phương trình 

k 

x x x x 

2 

2 

sin cos 0 sin 2 0 

 

3 

sin x sin x 0 

Nếu m 0 , chia hai vế phương trình cho 

2 3 2 2 

(8m 1)tan x (4m 1)tan x 1 tan x 2m 

0 

 

2 3 2 

4m tan x (4m 1)tan x 2m 

0 

 

 

3 

cos x 0 ta được 

 

2 

(2mtan x 1)(2m tan x tan x 2 m) 0 

1 

1 1 

tan x 

tan x x 

arctan k 

 

2m 

 

2m 

2 m 

 

 

 

2 

1 k 

 

2mtan x tan x 2m 

0 

tan 2x 

4m 

 

x arctan(4 m ) 

2 2 

KL: Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm 

Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm 

k 

1 1 

k 

x , x arctan k, x arctan(4 m) 

. 

2 2m 

2 2 

2. m x x x x 

2 sin cos sin cos 1 0 . 

k 

x 

2 


 

. Đặt t sin x cos x 2 cos x , t 2; 2 

 

4 

 

 

 

2 

t 1 

sin 

xcos 

x . 

2 

Thay vào phương trình ta có: 

2 

t 

1 

m( t 1) t 1 0 ( t 1)( mt m 1) 0 

mt 

1m 

 

 

1 x k2 

t 1 cos x 

 

2 

4 

 

2 

xk2 

Xét phương trình : mt 1 m (*)


183 

+) Nếu m 0 (*) vô nghiệm 

1 

m 

m 0 m 

1 

2 

+) Nếu 2 

 

2 

m 

m 2m1 0 

m 1 

2 

1 m 1 

m 1m 

 

(*) t cos x 

m 

 

4 

x arccos 

k2 

m 2 4 m 

2 

+) 

 

m 0 1 

m 

(*) t 

1 2 m 1 2 

m 

vô nghiệm. 

 

KL: Nếu 1 2 m 1 2 phương trình có nghiệm x k2 , x k2 . 

2 

Nếu 

m 

1 

2 

 

phương trình có nghiệm 

 

m 1 

2 

1 

m 

x k2 , x k2 , x arccos k2 

. 

2 4 m 

2 

3. 

cos 

mcot 2x 

cos 

x 

sin 

2 2 

x 

sin 

6 6 

x 

x 


cos 2x 

cos 2x 

. Phương trình m 

 

2 2 

sin 2x 1 3sin xcos 

x 

Phương trình luôn có nghiệm: 

 

x k . 

4 2 

m 4 

Phương trình: hay 

2 

sin 2x 

4 3sin 2x 

 

Với t sin 2x 1;1 \ 0 . 

2 

3mt 4t 4m 

0 

(*) 

+) m 0 phương trình vô nghiệm 

4 

+) m 0 

phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tt 1 2 

nên trong đó nếu có 

3 

thì chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc 1;1 

Nghiệm 

2 2 1 

3m 

3m 

2 

2 

t 1;1 2 1 3m 2 3 m


184 

 

2 2 4 2 

3m 8 8 1 3m 9m 144m 0 m 2 

Nghiệm 

2 2 1 

3m 

3m 

2 

2 

t 1;1 2 1 3m 2 3 m 

vô nghiệm 

Vậy : * Nếu 

m 

0 

 

 

m 2 

thì phương trình đã cho có nghiệm 

 

x k 

4 2 

* Nếu 

 

m 0 

 

 

m 2 

thì phương trình đã cho có nghiệm 

 

x k 

4 2 

2 2 

1 2 2 1 3m 

1 2 2 1 

3m 

x arcsin k, x arcsin 

k . 

2 3m 

2 2 3m 

Bài 6: Tìm m để phương trình mcos2x sin x cos xcot 

x có đúng 4 nghiệm thuộc 0; 2 



sin x 0 (1) 

 

cos 2 x( msin x 1) 0 (2) 

Nếu m 0 

phương trình cos2x 

0 

3 5 7 

x , x , x , x m 

0 thỏa yêu cầu bài toán 

4 4 4 4 

m 0 . Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên 0; 2 nêu yêu cầu bài toán phương 

trình msin x1 0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên 

Điều đó xảy ra khi 

m 

0 

 

1 m 

0 

 

1 

m m 1 

 

. 

 

 

 

 

1 2 m 2 

 

m 2 

Vậy 

m 1 

 

 

m 

2 

là những giá trị cần tìm. 

2. 

2 2 

 

(1 m)tan x 1 3m 

0 có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng 0; cos x 

2 

 

. 



185 

1 

m 2 

Phương trình 4m 

0 

2 

cos x cos x 

1 

cos x 

Đặt t t 1 x 

1; 

 

Ta có phương trình : 

2 

(1 m) t 2t 4m 

0 

(*) 

Yêu cầu bài toán (*) có nhiều hơn một nghiệm t 1 

(*) có hai nghiệm phân biệt t 1 

, t 2 

1 

1 m 0 1 

m1, 

m 

 

' 1 4 ( 1) 0 

2 

mm 

 

t 

t 2 

0 

1 2 

( t 1) ( t 1) 0 

1 2 

t t ( t t ) 1 0 

 

1 2 1 2 

( t 1)( t 1) 0 

1 2 

 

1 1 

m 1, m 1, 

2 

m m 

2 

2 2m 

2 0 0 

1m 

1m 

4m 

2 3m1 

 

1 0 0 

1 m 1 m 

 

1 

m 

1 

m1, m 1 

2 m 

 

 

0 m 1 

2 

. 

1 

1 

m 1 

m 

1 

3 

3 

3. 

2 

1 

mtan x 2 tan x 1 có nghiệm. 

cos 

2 

x 


 


2 2 

mtan x 2 tan x 1 1 tan x 

2 

( m1)tan x 2tan x 2 0 (1) 

m 1 (*) tan x 

1 

m 1. Ta có (*) có nghiệm 

Vậy 

1 

m là những giá trị cần tìm. 

2 

1 

' 2m1 0 m 

2 

4. 

2 2 

cos 4x cos 3x msin 

x có nghiệm x 0; 

12 

 



186 


2 1cos6 x m(1 cos 2 x) 

2cos 2x 

1 

 

2 2 

 

3 2 

4cos 2x 4cos 2x 3cos2x 3 m(1 cos2 x) 0 

cos 2x 

1 

 

 

 

cos 2x 

 

4 

2 

(cos 2x 1)(4cos 2x 3 m) 0 

2 m 3 

Vì 

3 

x 0; 2x 0; cos 2 x ;1 

 

 

12 

6 

 

 

2 

 

Do đó phương trình đã cho có nghiệm 

3 m 3 

1 0 m 1 

4 4 

Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 

4 4 2 

sin x cos x – cos2x sin 2x m 

0 

1 

4 


1 

 

4 

2 

1 sin 2x cos2x m 0 


2 

cos 2x 4cos 2x 3 4m 

Đặt t cos 2x t 1;1 

 

Ta có phương trình 

f t t t m 

2 

( ) 4 4 3 


t 1 

ft () 

1 

5 

3 

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm


187 

3 4m 3 5 2 m 0 . 

Bài 9: Chứng minh phương trình cosx mcos2x 0 

luôn có nghiệm với mọi m. 


 

2 

2mcos x cos x m 0 


Đặt t cos x, t 1;1 ta có phương trình 2 

2mt t m 0. 

m 0 t 0 là nghiệm phương trình 

1 

m 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t 1 

, t 2 

và tt trong hai nghiệm 

1 2 

2 

luôn có một nghiệm thuộc 1;1


188

Chuyên đề Lượng giác (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có giải) - Thầy Bảo Vương - FULLTEXT (188 trang)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?