Formulae involving ∇ Vector Identities with Proofs: Nabla Formulae ...

=
⎡⎛
∂A
⎤ ⎡
⎤
3 ∂A2
⎞ ⎛ ∂A3
∂A1
⎞ ⎛ ∂A2
∂A1
⎞ ⎛ ∂B3
∂B2
⎞ ⎛ ∂B3
∂B1
⎞ ⎛ ∂B2
∂B1
⎞
⎢⎜
− ⎟i
− ⎜ − ⎟ j + ⎜ − ⎟k⎥
+ ⎢⎜
− ⎟i
− ⎜ − ⎟ j + ⎜ − ⎟k⎥
⎣⎝
∂y
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂y
⎠ ⎦ ⎣⎝
∂y
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂y
⎠ ⎦
=
i j k
∂ ∂ ∂ +
∂x
∂y
∂z
A A A
∴ ∇x(A + B) = ∇xA + ∇xB
(7) Prove ∇.(φA) = (∇φ).A + φ(∇.A)
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
∇ .( φ ) = ⎜ i + j + k ⎟ 1 2 + φ
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
1
2
3
i
∂
∂x
B
. ( φAi
+ φA
j A k)
A 3
= ∂( φ A1
) ∂(
φA2
) ∂(
φA3
) = LHS
∂x
+
∂y
+
∂z
⎛ ∂φ
∂φ
∂φ
⎞
⎡⎛
∂ ∂ ∂ ⎞
⎤
( ∇φ ). A + φ(
∇.
A)
= ⎜ i + j + k ⎟.
( A1
i + A2
j + A3k
) + φ ⎢⎜
i + j + k ⎟.
( A1i
+ A2
j + A3k
)⎥
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
⎣⎝
∂x
∂y
∂z
⎠
⎦
=
1
j
∂
∂y
B
2
k
∂
∂z
B
⎛ ∂φ
∂φ
∂φ
⎞ ⎛ ∂A1
∂A2
∂A3
⎞
⎜ A1
+ A2
+ A3
⎟ + φ⎜
+ + ⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
= ⎛ ∂φ
∂A1
⎞ ⎛ ∂φ
∂A2
⎞ ⎛ ∂φ
∂A3
⎞
⎜ A1
+ φ ⎟ + ⎜ A2
+ φ ⎟ + ⎜ A3
+ φ ⎟
⎝ ∂x
∂x
⎠ ⎝ ∂y
∂y
⎠ ⎝ ∂z
∂z
⎠
= ∂( φ A1
) ∂(
φA2
) ∂(
φA3
) = RHS
∂x
+
∂y
LHS = RHS
+
∂z
∴ ∇.(φA) = (∇φ).A + φ(∇.A)
(8) Prove ∇x(φA) = (∇φ)xA + φ(∇xA)
∇ x
( φA)
i
∂
=
∂x
φA
1
j
∂
∂y
φA
2
k
∂
∂z
φA
3
= ⎛ ∂( φ A3
) ∂(
φA2
) ⎞ ⎛ ∂(
φA3
) ∂(
φA1
) ⎞ ⎛ ∂(
φA2
) ∂(
φA1
) ⎞
⎜ − ⎟i
− − j + ⎜ − ⎟k
⎝
∂y
∂z
⎠
⎜
⎝
∂x
∂z
⎟
⎠
⎝
∂x
= ⎛ ∂A3 ∂φ
∂A2
∂φ
⎞ ⎛ ∂A3
∂φ
∂A1
∂φ
⎞ ⎛ ∂A2
∂φ
∂A1
∂φ
⎞
⎜ + A −φ
− A ⎟i
− φ + A −φ
− A j + ⎜φ
+ A −φ
− A ⎟k
=
φ 3
2
3
1
2
1
⎝
∂y
∂y
∂y
∂y
⎠
⎜
⎝
∂x
∂x
⎡⎛
∂φ
∂φ
⎞ ⎛ ∂φ
∂φ
⎞ ⎛ ∂φ
∂φ
⎞ ⎤
⎢⎜
A3
− A2
⎟i
− ⎜ A3
− A1
⎟ j + ⎜ A2
− A1
⎟k⎥
⎣⎝
∂y
∂y
⎠ ⎝ ∂x
∂z
⎠ ⎝ ∂x
∂y
⎠ ⎦
3
3
∂y
∂z
⎠
⎟
∂z
⎠
⎝
∂x
∂x
∂y
∂y
⎠