Matemática para todos - Ciencia en la Escuela

Matemática para todos
Fascículo
El mundo de las medidas
Medidas II
“De una manera indescriptible, mientras
(Davidson) iba de un lado a otro en Londres, su
mirada iba de un lado a otro de manera
correspondiente por aquella isla lejana... Cuando
yo le señalé que no se podía alterar el hecho de
que ese lugar (la isla Antípoda) estaba a ocho mil
millas de distancia, me respondió que aunque
dos puntos estuvieran separados por una yarda
en una hoja de papel, se les podía poner uno
junto al otro al dar vuelta al papel sobre sí mismo.”
H.G. Wells
Escritor británico, 1866-1946
La matemática y la astronomía tuvieron un gran avance
con los científicos del Islam, quienes hicieron grandes
aportes en álgebra, geometría y trigonometría. Esta es una
ilustración persa del s. XVI y en ella se observa a varios
astrónomos utilizando diversos instrumentos de medida y
de observación como son: compás, astrolabio, plomada,
reloj de arena, escuadra y un globo terrestre, entre otros.

¿Qué medimos?
Las líneas: segmentos, poligonales y curvas (objetos unidimensionales),
a las que calculamos sus longitudes.
Del segmento De la poligonal De la curva y de
objetos enrollados
Las regiones de un plano limitadas por líneas (objetos bidimensionales),
a las que calculamos sus áreas.
Del triángulo Del polígono Del círculo de una región
Los cuerpos en el espacio (objetos tridimensionales), a los que calculamos
su volumen.
Del tetraedro Del paralelepípedo Del cilindro
De la esfera Del barril Capacidad
del recipiente
También se calculan: las áreas de las superficies (planas o curvas) que los
limitan, las longitudes de sus aristas y los contornos rectos o curvos.
Calculando las longitudes
Cuando medimos el largo, ancho o altura de un objeto estamos
midiendo la longitud de las dimensiones de ese objeto. Al medir
cada una de estas longitudes lo que hacemos es medir la distancia
entre los extremos de un segmento. Por ejemplo, en el dibujo el
ancho, el largo y la altura del paralelepípedo, son respectivamente
la distancia entre los puntos A y B, B y C, C y D.
Asimismo, cuando medimos la distancia entre Barcelona y Maturín,
bien sea en línea recta en un mapa o por carretera, la profundidad
de un pozo, el perímetro de un polígono o la circunferencia de
un círculo, medimos longitudes.
A
Ancho
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
B
¿Longitud
del ecuador?
Joan Miró
Pintor español (1893-1983)
El hermoso pájaro que revela
lo deconocido a una pareja de enamorados
Largo
¿Distancia
entre la Tierra y la
Luna?
¿Superficie
de la Tierra?
D
Altura
C

135 km
210 km
19 pulgadas
Al referirnos al tamaño de un monitor
de computadora o un televisor, lo
expresamos en pulgadas (ejemplo: 15”,
19”, 27”), refiriéndonos a la longitud de
la diagonal de la pantalla.
Escala gráfica
0 50 km 100 km
F
Unidades de longitud
La unidad patrón de la longitud es el metro.
Se considera la unidad base del Sistema Internacional de Medidas (SI)
porque las unidades de superficie, volumen y peso derivan de esta unidad
de longitud.
Cuando necesitamos medir longitudes muy grandes, por ejemplo, la distancia
entre dos ciudades, utilizamos el kilómetro que es un múltiplo del metro, el
cual es equivalente a 1 000 m. Si, por el contrario, queremos medir longitudes
pequeñas utilizamos submúltiplos del metro como el centímetro o el milímetro
equivalentes a 0,01 m y a 0,001 m, respectivamente.
Para medidas microscópicas se utiliza la micra o micrón equivalente a una
millonésima parte del metro (0,000 001 m) o sea una milésima de milímetro
(0,001 mm). Análogamente, para grandes distancias se usa el megámetro
equivalente a 1 000 000 m = 1 000 km. Para expresar distancias enormes
en astronomía se utiliza el Año Luz, el cual representa la distancia que la
luz recorre en un año.
Otras medidas de longitud
Debido a tecnologías importadas y a la influencia del comercio internacional,
en nuestro país coexisten junto a las medidas del SI otras medidas como
la pulgada, medida inglesa equivalente a 2,54 centímetros que es utilizada
para medir, por ejemplo, herramientas como tornillos, llaves, tubos y otros.
La milla náutica internacional, también conocida como milla marina, es una
medida utilizada para medir distancias en navegación marítima. Su valor
está fijado por convención en 1 852 m, valor que se obtiene al dividir la
circunferencia aproximada de la Tierra (40 000 km) entre 360 grados y dividir
ese resultado entre 60 que es la cantidad de minutos de arco en un grado.
A
E
D
B
C
Perímetro del polígono=
AB + BC + CD + DE +
EF+ FA
G
A
C
E
Longitud de la poligonal=
AB + BC + CD + DE +
EF+ FG
B
F
D
C
R
Longitud de la
Circunferencia C = 2πR
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Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes
Micrómetro o tornillo micrométrico: Instrumento
que permite medir con gran precisión longitudes o
ángulos muy pequeños.
RETO:
En la figura se tienen dos circunferencias
concéntricas en O, siendo OB = 9 cm y
OA = 3 cm. Determina el perímetro de
la zona roja.
d
A
R
Medida de una circunferencia
Odómetro: Instrumento que permite contar la distancia.
Ejemplo: El cuentakilómetros de un automóvil.
Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, un método muy fácil consiste en
tomar un pabilo o cinta (inextensible), fijar uno de sus extremos en un punto A de la
circunferencia y bordear ésta con el pabilo hasta completar la curva. El punto en el cual
el pabilo completa la curva lo marcamos y lo llamamos B. Así obtenemos un segmento AB
del pabilo cuya longitud es la longitud de la circunferencia que llamaremos L. Si efectuamos
esta operación con diferentes objetos circulares como monedas, discos compactos, ruedas, etc.
y observamos los resultados, notaremos que siempre el segmento AB resultante contiene tres
veces el diámetro d y sobra un pequeño trozo CB el cual podemos comprobar que es
1
aproximadamente del diámetro. Es decir que la medida de cualquier circunferencia, con
7
respecto a su diámetro d como unidad es la misma; esta constante es el número que conocemos
como π (pi). Entonces π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
1 22
Es decir π = L/d aproximadamente igual a 3 + = .
7 7
Entonces la longitud de una circunferencia de radio R viene dada por la fórmula L=2 πR.
d d d
A C B
O A B
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Pietro Lorenzetti
Pintor italiano (c. 1280-1348)
Historia de la Beata Humildad
La escena representa el acarreo de ladrillos para
construir el convento y el hospicio. Para edificar es
necesario conocer correctamente las medidas de
superficies planas.
Calculando áreas
El área de una superficie (plana o curva) es una magnitud que
mide su extensión superficial con una unidad de medida prefijada.
En el Sistema Internacional (SI) la unidad es el metro cuadrado
(m 2 ). Igual que para otras magnitudes, en el SI hay múltiplos y
submúltiplos del metro cuadrado, y éstos van de 100 en 100.
Un múltiplo muy utilizado es el hectómetro cuadrado (hm 2 ) el
cual es empleado para la medición de parcelas de terreno y
recibe el nombre de hectárea (ha), y es equivalente a 10 000
m 2 . Cuando se trata de mediciones referidas a la construcción
de una casa recurrimos al metro cuadrado.
Si se trata de medir la extensión territorial de un país se emplea
el kilómetro cuadrado (km 2 ). Por ejemplo, Venezuela tiene una
extensión territorial de 916 445 km 2 .
(Fuente: Imagen de Venezuela,1992, PDVSA)
La Tierra no es de forma exactamente esférica, pero suponiendo que lo
fuese su superficie tiene un área aproximada de A= 4 x (3,14) x (6 367,59) 2 =
509 260 302,25 km2 . De éstos, aproximadamente, 381 945 226,68 km2 ,
(sus
3
partes) están cubiertas de agua.
4
Hemos tomado como aproximación de π el valor 3,14 y como radio de la
Tierra, el promedio entre su radio polar (6 356,8 km) y su radio ecuatorial
(6 378,38 km).
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¿Cómo calculamos el área de una figura plana?
Armando Barrios
Pintor caraqueño (1920-1999)
Composición
Existen varias formas para calcular el área de una figura plana. Para algunas
figuras tenemos fórmulas; por ejemplo, el área del círculo de radio R viene dada
por A=π R 2 . También existen instrumentos como el planímetro (o integrómetro)
mediante los cuales podemos hacer mediciones de áreas. A veces es necesario
hacer estimaciones para determinar el área. Esto último ocurre si queremos
conocer el área de una finca, de un país o de una región.
Asimismo, existen teoremas, como el de Pitágoras, los cuales establecen
interesantes relaciones entre áreas.
Sin embargo, también se calcula el área de figuras que no son planas. Por ejemplo,
el área de la superficie de una esfera de radio R es 4 π R 2 .
Actualmente existen modernos instrumentos digitales para la medición de áreas
como los planímetros que se muestran a continuación.
Herón de Alejandría (s. I d.C.) presenta en el libro I de su tratado Las métricas,
la fórmula A= s(s-a)(s-b)(s-c) para calcular el área de un triángulo de lados a, b y
(a+b+c)
c, donde s es el semiperímetro, [s= ]. Esta fórmula se conoce como fórmula
2
de Herón aunque algunos la atribuyen a Arquímedes.
El círculo tiene la mayor área entre todas las áreas de regiones limitadas por curvas con una longitud dada. Por
ejemplo, si tenemos una cuerda de longitud L =10 m y construimos un triángulo, un cuadrado y un pentágono regular
cuyos perímetros sean iguales a 10 m, y también construimos una circunferencia de longitud 10 m, entonces dicho
círculo tiene mayor área que los otros tres polígonos.
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Esta propiedad del círculo fue demostrada por Pappus de Alejandría
(s. IV d.C.), quien lo hizo para los polígonos regulares. “De todas las
figuras planas de igual perímetro, el círculo es el de mayor área”.
Hay una leyenda curiosa en torno de esta propiedad, denominada el
problema o la leyenda de Dido relacionada con la fundación de Cartago,
la ciudad rival de Roma durante varios siglos: la princesa fenicia Dido
desembarcó en las costas del Norte de África y realizó un convenio
con el rey del lugar que consistía en canjear sus joyas por un pedazo
de terreno, todo aquél que se podía limitar con una piel de toro. Una
vez que se aceptó ese convenio, ella cortó la piel del toro en trozos
muy delgados uniéndolos entre sí y luego formó una curva cerrada de
gran longitud, precisamente en forma de una circunferencia, dentro de
la cual construyó la ciudad de Cartago.

Vamos a mostrar algunas figuras planas y la respectiva fórmula que permite calcular sus áreas.
b
h
INTERESANTE
Utilizando una trenza de
longitud L representamos
diversos polígonos. De
ellos, el cuadrado es el
que encierra mayor área.
b
h
b
Un caso partícular de paralelogramo es el rectángulo, donde a la base y a la altura se les llama comúnmente largo y
ancho.
h
b m
Otra figura muy conocida es el triángulo.
h
C D
A B
b
Veamos algunas otras figuras planas.
El área de un rombo viene
B
d
dada por A = dd’, donde d
d’
y d’ son sus respectivas
diagonales.
A
l
h
m
A su vez, un caso particular es el cuadrado.
En esta figura la base y la altura miden lo
mismo y se les llama simplemente lado.
Si denotamos el lado por m, el área del cua-
drado viene expresada por A= m 2 .
El área de un triángulo viene dada por A= bh
2
Los triángulos ABC y ABD tienen la misma área
puesto que tienen la misma base AB, y la misma
altura ya que CD es paralelo a AB.
C
Para calcular el área de un polígono,
lo subdividiremos en
triángulos, calculamos sus respectivas
áreas y las sumamos.
Hay figuras planas cuyo contorno no está formado por líneas poligonales y para las cuales existen también fórmulas
que permiten calcular su área.
R
El área de un círculo viene
dada por A = π R 2 , donde R
es su radio.
W
F
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D
E
Todos estos paralelogramos
tienen la misma base b, y la misma
altura h. Su área viene dada por
la fórmula A = bh.
Si quieres calcular el área de
una región W con forma irregular
apelamos a la estimación del
área, ya que no conocemos ninguna
fórmula para hacerlo.
1

¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas?
Veamos ahora las áreas de algunas figuras que no son planas.
Dado cualquier cuerpo en el espacio podemos preguntarnos
cuál es el área de la superficie que conforma el borde o frontera
del cuerpo.
Parelelepípedo
Tetraedro
Estas figuras tienen el borde formado por caras. Cada cara es un
polígono y ya sabemos calcular áreas de polígonos. Luego basta
calcular el área de cada cara y sumarlas.
El Teorema de Pitágoras, el cual
sólo se cumple en triángulos
rectángulos, algebraicamente se
escribe así:
c 2 = a 2 + b 2
Ordinariamente la interpretación
geométrica es como se presenta en
la figura, en términos de área de
cuadrados.
RETO
El área del hexágono regular es S. ¿Cuánto es el
área del triángulo de vértices ABC?
Cubo
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A
B
Frank Lloyd Wright
arquitecto norteamericano (1867-1959)
Charles Ennis House, Los Ángeles, EE.UU.
Pitágoras de Samos, nació en la primera mitad del siglo VI a.C. en Samos, isla del mar Egeo.
Se dice que fue alumno de Tales de Mileto (uno de los Siete Sabios de la Antigüedad). Viajó
por Egipto y Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “todo es número”. Descubrió
las progresiones armónicas de la escala musical y a él se debe la tabla de multiplicar.
a 2
A
a b
c
B C
c 2
b 2
C
Existen diversas extensiones del Teorema
de Pitágoras en las cuales está involucrada
la noción de áreas.
A
Una forma más general es ésta. El
área de S 3 se obtiene como la suma
de las respectivas áreas de S 1 y de
S 2 , suponiendo que las figuras son
semejantes.
C
B
C = A + B donde A, B
y C son las respectivas
áreas de los
semicírculos.
S1
S3
S2

David Teniers
Pintor flamenco (1610-1690)
El alquimista
1 cm
1 cm 1 cm
Un cm 3 es el
volumen de un
cubo cuyas aristas
miden 1 cm.
2
2
2
6 cm
Matemática para todos
El mundo de las medidas
1 dm
1 dm
Fascículo
Calculando volúmenes
Si tenemos un paquete que a su vez contiene 9 cajitas de fósforos, ese
número mide el volumen del paquete considerando la cajita de fósforos
como la unidad de medida.
1 dm
1 dm 3 = 1 000 cm 3 .
El dm 3 es el volumen de
un cubo cuyas aristas
miden 1 dm.
En el sistema Internacional de
Medidas (SI), la unidad patrón
de longitud es el metro (m), de
la que se deriva la unidad de
volumen, el metro cúbico (m 3 ).
Otras unidades usuales que se
utilizan (submúltiplos del m 3 )
son el cm 3 y el dm 3 .
1 dm 3 es equivalente a un litro
de agua pura a la temperatura
de 4 ºC. Litro, centilitro, mililitro,
son medidas de capacidad que
tienen sus equivalentes en
volumen:
1 m 3 =1 000 dm 3 = 1 000 l
1 dm 3 =1 000 cm 3 = 1l
100 cl = 1 000 ml
1 cm 3 = 1 ml
INTERESANTE
En varios productos es frecuente expresar sus cantidades en cm 3 (abreviado cc) o en mililitros
(ml). También es usual en muchos productos importados: perfumes, cosméticos, medicinas, etc.,
expresar las cantidades del producto (capacidades netas de los recipientes que los contienen)
en una unidad inglesa expresada como fl oz (onza de fluido).
Por ejemplo: 16,9 fl oz (500 mI); 4,2 fl oz (125 mI) como se lee en las etiquetas de algunos de
esos productos. ¿Cuántos mI equivalen a 1 fl oz?
24 cm
20 cm
RETOS:
1) Toma una cajita de fósforos de las que
utilizan en tu casa, que tenga forma de
paralelepípedo, y calcula su volumen (en
cm 3 ). Calcula el volumen de un paquete
con 9 cajitas de fósforos.
2) Calcula el volumen de la caja dibujada
tomando como unidad un pequeño cubo de
2 cm de arista.
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Interesante
1 cm
Figuras de un plano con áreas
iguales y perímetros distintos.
1 cm
4 cuadrados formando
un cuadrado
Área = 4 cm 2
Perímetro = 8 cm
1 cm
1 cm
4 cuadrados formando
un rectángulo
Área = 4 cm 2
Perímetro = 10 cm
Figuras de un plano con áreas distintas
y perímetros iguales.
12 cm
12 cm
Un cuadrado de lado 12 cm
Área = 144 cm 2
Perímetro = 48 cm
14 cm
10 cm
Un rectángulo de
lados 10 cm y 14 cm
Área = 140 cm 2
Perímetro = 48 cm
Sandro Botticelli
pintor florentino (1455-1510)
San Agustín, fresco donde aparece
este santo en su estudio, rodeado
de instrumentos astrológicos y libros
Sólidos del espacio con volúmenes
iguales y suma de áreas de las
superficies que los limitan, distinta.
1 cm
El matemático griego Zenodoro (siglo II a.C.) escribió un libro en el que uno de sus enunciados se refiere a
las esferas. “Entre todos los sólidos con la misma superficie, la esfera es la que encierra mayor volumen”.
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1 cm
1 cm
4 cubos formando un
paralelepípedo
Volumen = 4 cm 3
Área = 18 cm 2
1 cm
1 cm
4 cubos formando un
paralelepípedo
Volumen = 4 cm 3
Área = 16 cm 2
Sólidos del espacio con volúmenes
distintos e suma de áreas de las
superficies que los limitan iguales.
1 cm
1 cm
1 cm
5 cubos formando un
paralelepípedo
Volumen = 5 cm 3
Área de
las caras = 22 cm 2
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
6 cubos formando un
paralelepípedo
Volumen = 6 cm 3
Área de
las caras = 22 cm 2
Hay varios sólidos para los
cuales se conocen fórmulas
que determinan sus volúmenes.
h
a
a
a
l
a
h
h
h
R
R
R
Cubo
V = a 3
Paralelepípedo
V = lah
Pirámide
Volumen =
área de la base.h
3
Cilindro
V = πR 2 h
Cono
V =
(πR2h) 3
Esfera
V = (4πR 2 )
3

Motor 4 cilindros
Medidas y tecnología
La energía generada por el motor de un vehículo hace que las ruedas giren y por ello
éste se mueve. Los motores usuales son los de combustión interna en donde el
combustible (la gasolina) se quema dentro de los cilindros (en la cámara de combustión).
Esa combustión, la "explosión" de la mezcla de combustible con aire (motor de
explosión), produce una energía que hace girar un eje, el eje-cigüeñal, y dicho
movimiento de rotación se transmite a las ruedas que hacen desplazar el vehículo y
éste se mueve.
Es frecuente leer en las partes traseras de los vehículos números y siglas como las
siguientes: 1.3, 1.6, 2.0 L, 4.0 L, 16V, entre otros.
¿Qué significan esos números?
Ellos se refieren a la cilindrada del vehículo, esto es, al volumen útil de los cilindros.
Por ejemplo, un vehículo tiene las siguientes especificaciones técnicas en su manual:
Motor 1.6 L
Cilindros 4 en línea
Válvulas 2 por cilindro
Cámara de combustión
Diámetro de los cilindros 82,07 mm
Carrera 75,48 mm
Cilindrada 1 597 cm3 Calculando el volumen de cada cilindro, resulta V=πR2h: V= 3,1416 • • 7,548 cm ≈ 399,29 cm3 luego 4V ≈
1 597 cm3 , cilindrada especificada en el manual.
En la inscripción de la parte trasera del automóvil se lee 1.6,
lo que indica 1,6 litros = 1 600 cm3 8,207 cm 2
2
con el fin práctico de no
escribir tantos números.
a=4
b=2
h=6
a
h
Hay vehículos con 4
válvulas por cilindro (total
16 válvulas si son 4
cilindros) y otros con 24
válvulas y 6 cilindros.
Este Ferrari de 1944 tenía
24 cilindros y 48 válvulas.
Pistón
Transmisión
A mayor cilindrada hay mayor
consumo de combustible y por
ende más combustión. Lo que
implica más energía generada.
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Carrera
Las fuentes principales para el conocimiento de la matemática egipcia de la época
de los faraones son los papiros, entre los que se encuentra el denominado papiro
Rhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. Otro de estos importantes
documentos es el papiro Golenischev o papiro de Moscú, así llamado por
conservarse en el Museo de Artes de Moscú. Este papiro fue escrito hacia el año
1850 a.C. por un escriba desconocido y contiene 25 ejemplos o problemas, la mayoría
relacionados con la vida práctica.
La resolución del problema 14 del papiro de Moscú es digna de admiración cuando
nos situamos en esa época tan lejana de la actual: se trata de determinar el volumen
de una pirámide truncada con bases cuadradas, la cual tiene por dimensiones 6
unidades de altura, con dos bases cuadradas cuyos lados miden, respectivamente,
4 y 2 unidades. La respuesta dada en ese papiro es 56, lo que efectivamente coincide
cuando hoy en día aplicamos la fórmula:
para calcular tal volumen de manera general.
En el caso del papiro de Moscú se tiene h=6, a=4, b=2.
¿Cómo obtuvieron el resultado los egipcios? ¿Era conocida esa fórmula de manera
general? No se sabe cuál fue el método empleado por ellos aún cuando se han
dado diversas explicaciones.
Observa que si b=0 se tiene una pirámide de base cuadrada, cuyo volumen V resulta
igual a a 2 V =
h, es decir, área de la base • altura.
(a2 +ab+b 2 )h
3
3 3

Medidas y geografía
El Ecuador terrestre mide 40 056,23 km (el radio ecuatorial es 6 378,38 km). El
meridiano de Greenwich mide 39 920,70 km (el radio polar es 6 356,80 km).
Observa que esas longitudes indican que la Tierra es más achatada en los polos
que en el Ecuador.
El promedio de esos dos radios es 6 367,59 km. Por lo tanto, suponiendo que
la Tierra sea de forma esférica con radio igual a 6 367,59 km, podemos calcular
su volumen:
Volumen 4π (radio) 3 4 • 3,14 • (6 367,59) 3 km 3 ≈ 1 080 920,27 millones de
km 3 = ≈
.
3 3
Volumen ≈ 1 080,1 millardos de km 3 .
Para tener idea de esas medidas, comparemos con el volumen del
Sol que es 1 301 503 veces el volumen de la Tierra y éste a su vez
Alejandría
RETO:
Construye dos triángulos distintos que tengan la
misma base e igual altura, pero con perímetros
distintos. ¿Qué concluyes?
es 49 veces el de la Luna (aproximadamente).
Asuán
El primero que realizó el cálculo de la
circunferencia terrestre (circunferencia
máxima) bastante aproximado a lo
conocido hoy en día, fue el griego
Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría
(Egipto). Eratóstenes determinó como
medida de la circunferencia 250 000
estadios, referida a la que pasa por las
ciudades de Alejandría y Siena (ahora
Asuán, en Egipto). El estadio era una
medida antigua y el que posiblemente
utilizó Eratóstenes fue el estadio egipcio,
cuyo valor es 157,50 m. Por lo tanto,
250 000 estadios = 250 000 • 157,50 m
= 39 375 000 m = 39 375 km , valor
próximo del conocido actualmente.
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N
Alejandría
7,2º
S
7,2º
Rayos solares
Eratóstenes
Matemático, geógrafo y
astrónomo griego
(s. III - s. II a.C)
Siena (Asuán)
360º = 50 • 7,20º
De Siena a
Alejandría hay 5 000
estadios.
5 000 • 50 estadios
= 250 000 estadios.

Medidas y ciencia
La Física estudia la materia, desde partículas tan diminutas
como los electrones y los quarks hasta cuerpos tan
grandes como las galaxias y el universo entero, por lo
tanto, existe un rango enorme de medidas de las regiones
que conforman el espacio conocido por la ciencia.
Por ejemplo, en la figura se representan en forma
esquemática diferentes longitudes (distancias o tamaños)
de objetos. La escala que se utiliza no es lineal, pues se
expresa en potencias de diez y existe un factor de 10 4
entre datos sucesivos de la escala. También se puede
notar que entre las cosas más pequeñas y las más grandes
existe un rango del orden de 10 41 . Las partículas más
pequeñas y los cuerpos más grandes son diferentes en
tamaño por más de 40 órdenes de magnitud. En este
rango existe una pequeña porción de distancias en la
que vivimos y que nuestros sentidos pueden apreciar con
facilidad. ¿Cuál es este rango? Al responder a esta
interrogante es posible afirmar que nuestro conocimiento
acerca del universo se va desarrollando en la medida en
que los científicos han diseñado y construido instrumentos
y técnicas que permiten medir magnitudes y que amplían
el trabajo de nuestros sentidos.
Estas ideas se comprenden mejor si se realiza una
exploración visual del dominio de la física en su intento
por desarrollar una visión del tamaño relativo de los
objetos del ambiente. La invitación consiste en emprender
un viaje fantástico, iniciándose desde lo familiar, es decir,
considerando la escala humana. Durante el viaje te puedes
dirigir hacia lo muy grande (macrocosmos) o descender
hacia lo muy pequeño (microcosmos). Cierra tus ojos e
intenta viajar comprando para ello un boleto a tu
imaginación.
u d
u
d
u u
d
d
u
d
d
d
u
u
u
d
10 24
10 20
10 16
10 12
10 -4
10 -8
10 -12
10 -16
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u d
u d
d
u
u d
10 8
10 4
10 0
Frontera del
universo
observable
≈ 10 24 m
Diámetro de
nuestra galaxia
≈ 7,6 x 10 20 m
Distancia a la
estrella más
cercana
≈ 4 x 10 16 m
Distancia
Tierra-Sol
≈ 1,5 x 10 11 m
Distancia
Tierra-Luna
≈ 10 8 m
Radio de la
Tierra
≈ 6 x 10 6 m
Altura del pico
Bolívar
≈ 5 x 10 3 m
Altura de una
persona
≈ 1,7 m
Diámetro de
cien bolívares
≈ 2,5 x 10 -2 m
Diámetro de
un glóbulo rojo
de la sangre
≈ 10 -5 m
Longitud de
onda de la luz
visible
≈ 5 x 10 -7 m
Diámetro del
átomo
≈ 1 x 10 -10 m
Diámetro del
protón
≈ 2 x 10 -15 m

Ventana didáctica
Estrategias sugeridas al docente
Áreas
Para que los niños se formen una idea clara de lo que es el área, de las
fórmulas que se utilizan para calcularla y de las unidades en que se expresa,
es conveniente hacerles vivir la experiencia de medir el tamaño de una
superficie con un pedazo de cartón de base cuadrada, que podría ser de un
decímetro por lado, para medir la superficie de una hoja de papel, de una
mesa rectangular o del pupitre.
Al medir el tamaño de diferentes superficies rectangulares, se van dando
cuenta de que el área depende de las longitudes de los lados. Luego se
puede plantear la situación de dibujar en el cuaderno diferentes rectángulos
que tengan de área 24 cuadraditos.
Así representarán rectángulos de lados de 8 y 3, 4 y 6, 12 y 2, 24 y 1, para
llegar a concluir que en todos estos casos el área es el producto del largo
por el ancho, o también de la base por la altura.
12
Área de un triángulo
Experimentalmente verificamos la fórmula del área de los
triángulos. A un cartón de base rectangular cuya área es
a x b se le traza una de las diagonales, obteniéndose dos
triángulos iguales. Por tanto, el área de cada uno de estos
triángulos es (a x b)
2
En general, se puede demostrar que el área de un triángulo
es (base x altura)
2
Verifiquemos esta fórmula en las siguientes situaciones:
Represente en un papel un triángulo isósceles, uno
escaleno, o uno equilátero llamados ABC. Si trazamos
una paralela a la base AC en la mitad (M) de la altura del
triángulo, se puede comprobar que los triángulos
coloreados C’MB y A’MB corresponden a los triángulos
C’XA y A’YC respectivamente. Estas dos últimas figuras
agregadas a la parte blanca (AC’A’C) del triángulo
completan un rectángulo, el cual tiene la misma base y
la mitad de la altura de los respectivos triángulos ABC.
A
B
X M Y
C’ A’
X
C A
B
M
C’ A’ Y
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2
2
C
24
8
Área de un paralelogramo
Con un pedazo de cartón de base rectangular se puede
“ver” cómo calcular el área de un paralelogramo y el
de un trapecio.
N
N
h
b
a
(a+b) x h
2
N
3
6
Del cartón de base
rectangular se corta un
pedazo triangular N que se
coloca en otras posiciones
como las indicadas más
abajo.
En este caso se observa un
paralelogramo no rectángulo
y su área sigue siendo base
por altura.
En este caso se tiene un
trapecio de igual área que
la del rectángulo de donde
proviene y se puede
comprobar que el área de
un trapecio es igual a la
semisuma de las bases por
su altura.
A partir de estas experiencias se pueden proponer
problemas de cálculo de áreas.
4
1

Tengo que pensarlo
Bibliografía
El cubo de la figura tiene un volumen de
27 cm 3 . ¿Cuánto es el área del rectángulo
rojo ABCD?
Tres pelotas de tenis están
estrechamente empaquetadas en
una caja cilíndrica, como se
muestra en la figura. ¿Qué fracción
de volumen de la caja está ocupada
por las pelotas de tenis?
Imagina que dispones de una cinta
métrica y de una foto de un edificio de
gran altura. ¿Cómo harías para
determinar su altura sin tener que subirte
piso por piso?
C D
Todos conocemos la obra de Leonardo da
Vinci La Monalisa o La Gioconda. Se sabe
que las dimensiones del lienzo son 77 cm de
altura y 53 cm de ancho. Si la dama de la
pintura tuviera los brazos extendidos
horizontalmente (1,70 m de longitud real) y
Leonardo mantuviera la proporcionalidad del
dibujo, ¿qué superficie mínima debería tener
el lienzo?
A B
¿Cuánto mide el área de color
anaranjado –comprendida entre los
dos cuadrados– sabiendo que el radio
de la circunferencia es 2 cm?
1,70 m
Chamorro, Carmen y Juan Belmonte (1994). El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales.
Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, Nº 17. Editorial Síntesis, Madrid, España.
Gaceta Oficial de la República de Venezuela. Extraordinario Nº 2.823, 14 de julio de 1981.
Rodríguez, Leonardo (2000). Pesos y medidas antiguas de Venezuela. Fondo Editorial Tropykos, Caracas, Venezuela.
Páginas web
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm
http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_49.html
El área del rectángulo es ≈ 12,72 cm Resultados 2 .
Las pelotas ocupan de la caja.
El área de color anaranjado es 8 cm2 .
La superficie mínima del lienzo es de ≈ 4,2 m2 2
3
.
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 6 - El mundo de las MEDIDAS 2

Nació en Caracas en 1938. Realizó sus
estudios en el Instituto de Tecnología de
California (Caltech), donde obtuvo con
honores el BSc. en Matemáticas, en 1959.
Luego, en esa misma institución, obtuvo
el PhD en matemáticas en 1965. El doctor
Báez Duarte ha sido profesor de la
Universidad de California y del Instituto
Tecnológico de Massachusetts y fue
fundador del departamento de
matemáticas del IVIC, donde se mantiene
como colaborador visitante desde 1990.
Le fue conferido el Premio “Lorenzo
Mendoza Fleury” de Fundación Polar en
1999.
Fotografía: Carlos Rivodó
Luis Báez Duarte
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*
Luis Báez Duarte ha centrado su trabajo de investigación en la búsqueda de la solución
a uno de los problemas más famosos de la matemática en la actualidad, quizás el más
famoso. Se trata de la Hipótesis de Riemann, RH, la cual fue planteada por el matemático
alemán Bernard Riemann durante la segunda mitad del siglo XIX y nos dice, hablando
de una manera muy informal desde el punto de vista matemático, dónde se piensa que
están ubicados los valores que anulan una cierta función (los ceros de la función),
definida en los números complejos. Esta función se conoce hoy en día como la función
Zeta de Riemann. La verdad de esta conjetura está conectada con el fascinante problema
de la distribución de los números primos dentro del conjunto de los números enteros.
Hoy en día hay muchos resultados matemáticos importantes, cuya verdad depende de
la veracidad de la Hipótesis de Riemann.
Varios matemáticos importantes del siglo XX han intentado resolver este problema sin
éxito. En el mejor de los casos han logrado encontrar reformulaciones de la Hipótesis,
es decir, han logrado plantear otros problemas cuya solución implicaría la solución de
RH y viceversa, la solución de RH implicaría la solución de estos problemas. Esta es
una técnica muy común en Matemáticas y rinde sus máximos beneficios cuando se
puede lograr una reformulación equivalente al problema original, pero más sencilla de
resolver. Algo similar a esto se logró hacer con éxito recientemente con el famoso
Teorema de Fermat, cuya solución requirió esfuerzos por más de trescientos años y el
hecho de haberla logrado, produjo un gran impacto en el mundo desde un punto de
vista noticioso, además del correspondiente impacto en la comunidad matemática.
Volviendo a RH, el Dr. Báez Duarte es autor de algunas de las reformulaciones
mencionadas, una de las cuales, según expertos en la materia, parece particularmente
esperanzadora. Se puede consultar en el sitio
http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHreformulations.htm.
En el camino a la búsqueda de la solución de RH el Dr. Báez Duarte ha logrado
interesantes aportes a la matemática, particularmente en el área de Teoría de Números.
Esta rama de la matemática ha sido considerada históricamente como una de las más
puras, sin embargo con el desarrollo de los computadores, se están utilizando muchos
de sus resultados en la codificación de mensajes, dando origen al fascinante mundo de
la criptografía.
* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,
creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más
destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo
y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.