Fractales autosemejantes

GEOMETRÍA DE LO
IRREGULAR
"He encontrado la
fuerza esencial de la
geometría y temo que
nuestros jóvenes hayan
sido privados
demasiado tiempo de
este placer"

Por qué se suele
ecir que la
eometría es fría y
spera? En parte,
or su incapacidad
ara describir la
orma de una nube,
e una montaña, de
na costa o de un
rbol. Las nubes no
on esferas, las
ontañas no son
onos, las costas
o son círculos, …

es que la
turaleza exhiba
grado mayor de
mplejidad, sino
e presenta un
vel
mpletamente
ferente de
mplejidad”.
andelbrot, 1977).

Mandelbrot desarrolló la
GEOMETRÍA FRACTAL,
término acuñado por él,
que designa objetos
geométricos de estructura
irregular presentes en
muchos comportamientos y
formas de la naturaleza

Rasgos característicos
La simplicidad de
su construcción.
La aparente
complejidad del
producto final.

ntecedentes de los fractales
Construcciones
intuitivas:
El conjunto de
Cantor.
Curvas continuas de
propiedades
sorprendentes :
curva de Koch,
curva de Hilbert…

El conjunto de Cantor
(1845-1918)

El conjunto de Cantor
ue descrito en
883 por George
antor, pero fue
encionado en 1875
posiblemente
ntes) por el
atemático irlandés
enry Shmith.

El conjunto de Cantor
• Se parte de un segmento de longitud 1
• Se divide el segmento inicial en tres
partes iguales
• Se elimina la parte central
• Se repite el proceso sobre cada
segmento obtenido

Curva de Koch

Curva de Koch
Es una curva del
Plano, continua en
todos sus puntos y no
diferenciable en
ninguno

Curva de Koch
e parte de un
egmento de lado 1.
e divide el segmento
n 3 partes iguales.
e elimina el segmento
entral.
e sustituye por dos
egmentos con ángulo
0º.

construcción de
isla de Koch
mienza con un
ángulo equilátero,
que aplicamos un
oritmo análogo al
scrito para la
rva, a cada uno
sus lados.
Isla de Koch

Longitud
la etapa k disponemos de 3·4k segmentos,
longitud 3-k cada uno de ellos. Así, la
gitud total de la curva en esa etapa
3·(4/3) k .
evidente que esta cantidad crece
efinidamente cuando k→∞

Área
designamos con Δ el área del triángulo de
rtida, el área de la figura obtenida en la etapa
e escribe
A
k
1 k 1
i
4
1
3 9
i0
yo límite, cuando k→∞, es
8
5

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert
La curva de
Hilbert pertenece
a un tipo de
curvas que
pasan por todos
los puntos de un
cuadrado de lado
la unidad

La curva de Hilbert
Es una curva del
plano,continua
en todos los
puntos, no
diferenciable en
ningúno y de
longitud infinita.

Fractales autosemejantes
) Cada una de sus
artes es semejante
l todo, repitiéndose
ste proceso
ndefinidamente.

Su estructura, forma y características
rmanecen constantes al variar la escala
observación

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski
Se parte de un triángulo equilátero T0 , de
lado unidad.
Se halla el punto medio de cada lado de T0 .
Se unen dichos puntos dando lugar a
triángulos semejantes a T0 , de lado 1/2
Se elimina el triángulo central.
Se repite el proceso ilimitadamente sobre

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Contemos y midamos
En el paso k-ésimo, F, tendrá 3 k
triángulos con:
Longitud del lado:
Altura:
k
1 3
2 2
k
1
2

Área
i definimos el área de F como la suma
e las áreas de todos los triángulos
ue componen F, este conjunto tiene
rea :
k
k
11 3
AF ( ) 3
22 2
k
k

Longitud
efinimos la longitud de F como la
uma de los perímetros de todos los
riángulos que componen F, este
onjunto tiene longitud :
1 LF ( ) 3 3
2 k
k
k

Semejanzas
ransformaciones ortogonales
omotecias
omposición de transformaciones
rtogonales con homotecias

Conjuntos semejantes
y F’ son
emejantes si existe
na semejanza que
ransforme F en F’

Conjuntos autosemejantes
conjunto F del plano es
tosemejante si existen semejanzas
,…,g n de razones k 1 ,…,k n menores que
o tales que
F g ( F) ... g(
F)
1
n

Triángulo de Sierpinski
T 0
Las semejanzas que
dan lugar al triángulo
de Sierpinski T 1
• Homotecias de razón
½ con centro en en
cada uno de los
vértices del T 0

T g ( T ) g( T ) g(
T )
1 1 0 2 0 3 0

Dimensión de Haussdorf
ra un conjunto autosemejante del
no,
F g ( F) ... g
( F)
1
n g 1,…,g n semejanzas de razones k 1
,k n menores que uno, definimos la
ensión de Haussdorf de F como la
lución de la ecuación
n

Dimensión de Haussdorf
las razones de semejanzas son todas
ales a k entonces la dimensión es
k
log
log
n
k

Dimensión fractal
onjunto de Cantor:
log2/log3=0,62093
riángulo de Sierpinski:
log3/log2=1,58496
urva de Koch:
log4/log3=1,262

Conjunto de Mandelbrot
ndelbrot estudió la convergencia y la
ergencia de procesos iterativos en el plano
plejo
2
n1n z z c
de c es un determinado número fijo.
tiendo del cero como número inicial, la serie
erada por este método puede ser
vergente o divergente, y eso dependerá del

Conjunto de Mandelbrot
l representar los
istintos valores de
, coloreados
egún las serie
onverja o diverja,
btenemos el
onjunto de
andelbrot

Conjunto de Mandelbrot
án representados
egro todos los
res posibles de c
dan lugar a series
vergentes y en
s colores los
res que causan
rgencia, variando
nalidad del color
ún la velocidad de
rgencia.

¿Qué es un fractal?
nneth Falconer, en su obra titulada “Fractal
eometry: Mathematical Foundations and
pplications” (John Wiley and Sons, 1990),
escribe un concepto de estructura fractal
F’ como la que satisface alguna(s) de las
ropiedades siguientes:

) “F” posee detalle a todas las escalas de
servación.
) No es posible describir “F” con
eometría Euclidiana, tanto local como
obalmente.
) “F” posee alguna clase de
tosemejanza, posiblemente estadística.
) La dimensión fractal de “F” es mayor que
dimensión topológica.

Arquitectura fractal

H. Vöth

ater cubo, Libeskind