Capítulo 3 - OPERADORES DIFERENCIALES Teoríade Campos ...

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALESCapítulo 3º: OPERADORES DIFERENCIALESPreliminar: Diferencial de una magnitud variable en 3(ó 2)•1) En general (Análisis): Si f depende de (y 1 , … y m ), df := y1 f dy 1 +…+ ym f dy mLo mismo ocurre si se trata de una magnitud vectorial de n componentes, F:dF := y1 F dy 1 +…+ ym F dy m . El df o el dF son los términos de primer orden en el desarrollode Taylor de f o de F alrededor del punto y constituyen una aprox. del f o F•2) En 3 : Diferencial del vector posición r(P) en cart. y en curv.•dr.: En cartesianas, al pasar de P(x,y,z) a Q(x+dx, y+dy, z+dz), se deduce (figura)rdr = d x = dx i e i = dx i + dy j + dz k = PQ = desplazto. vect. real = r = OQ OPxiiEn curvilíneas, al pasar de P(u,v,w) a Q(u+du, v+dv, w+dw), el Análisis asegura:dr = r r riudu vdv wdw d x gi PQ = r (figura para esféricas)El dr es, pues, análogo, pero resulta el desarrollo contravariante del vector dr, y sólose aproxima () el desplazamiento real, r, en lugar de coincidir con él.Pero el vector dr es intrínseco (el mismo vector, expresado en los dos sistemas) porque:col. iª J1kkxxkd r d x e d x g d x g d x g– Obs. (!!!): la expresión de un producto escalar u·dr en curvilíneas necesita las componentescovas del campo u, para operar con las componentes contras del dr. Así:u·dr = u i dx i = u 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) dx 1 + u 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) dx 2 + u 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) dx 3 ;una contracción T·dr necesita, por ejemplo, componentes t i j(x 1 ,x 2 ,x 3 ) para producircomponentes contras del resultado.i i i xik xii k kDesplazamiento elemental dr en cartesianas en 3 y 2ZPQdr = rXOYQPdr = rTeoríade Campos 2012-13 1

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALESdesplazamiento elemental dr en esféricasddrRsende = dg QPdrdre rdr = PQRde = dg r dr d ug( u, u , u) d rg( r,φ,θ) dφgdθgi 1 2 3i rφ θ§3.1 OPERADORES DIFERENCIALESa) Gradiente de un c. escalar, U:– 1) definición: dado U : 3 , en 3 con referª. cartesiana {O; x i } ycurvilínea {O; x i } asociadas en un punto origen O de cierta región . Se estudia lavariación de U respecto del punto P, o sea, al variar la posición del punto en elespacio. Como hemos repasado, sabemos:– el incr. de U: U := U(x+dx, y+dy, z+dz) – U(x,y,z) dU = U U U:xdx ydy zdz– es análogo en curvilíneas, con dU = U U Udu dv dwU.u v w– en ambos casos se puede entender dU como resultado (escalar) de la acción de untensor de orden 1 (forma lineal) sobre el vector dr:• en cart.: dU = ( x U i+ y U j+ z U k) · dr• y en curv. : dU = ( x 1Ug 1 + x 2Ug 2 + x 3Ug 3 )·(dx i g i ) (¡Obs.: prefactor en covas!)Se observa que se trata del mismo vector expresado en los dos sist. Se llama vectorgradiente de U y es el vector:filai de Ja covasU U U U U xkiU xi k UkU i+ j k ei g k k g gkx y z xi xi x xix xel símbolo “nabla”, , (o “atled”) es la delta may. griega invertida, debido a Hamilton (1805-65)Teoríade Campos 2012-13 2

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALES‒ 2) Propiedades del gradiente de un c. escalar de clase C 1 :i) Prop. fundamental: el vector U regula la variación de U en el espacio,porque U dU=U ·dr , como se ha visto.ii) Naturaleza tensorial: porque la derivada direccional e U(P) de un c. esc. de clase 1 Uen cualquier dirección e tomada en P es: ( P) U ( P)·e edem:UU( Pλ e) U( P) U( P)·λee( P): lim lim U( P)·eλ0 λλ0λy esto sugiere considerarlo como un campo tensorial de primer orden: U(P) Î (1) .iii) las lín. de campo de U son ortogonales a las isocuantas de U, U = cte.dem: si e es tangte. a la sup. {U = c} en P, entonces e U(P) = 0, luego U(P)·e = 0Como ocurre "e tangte. a la sup., resulta que U(P) tgte(isocuanta U = U(P) = c te )iv) la máxima derivada direccional de UenP es | U(P) | en la propia dir. e U delgradiente U(P).dem: e U(P) = U(P) ·e = |U(P)|cosU(P), e máximo si el ángulo es 0. i‒3) El operador diferencial nabla: : ix ei gi x–Es ventajoso considerar como un operador diferencial vectorial que produce elgradiente al "multiplicarse" por campos escalares.–Las Reglas de actuación de sobre campos escalares que se operan entre sí: son lasmismas de la derivada, es decir:…/…–linealidad frente a comb. lin. con coef. constantes, a, b:(aU+bV) = a U + b V–gradiente del producto o cociente de campos escalares(UV) = (U) V + U (V) ,(U/V) = [(U)V U (V)]/V 2–gradiente de una potencia: (U m ) = mU m-1 U–otras reglas de actuación → en b) operadores relacionados con – Ejemplos:1) En cartesianas se cumple x i = e i2) En curvilíneas: x i = x ixg j i j i(alternativa para calcular g i j g g)3) x en cil.:4) (a·r+c), donde a es un vec. cte. y c = cte. escalar: (a·r+c) = a5) (a·r/r 2 ) = ...x x xzx g g g cosg seng zDe Pr2.9, apartados:1, 2, 3, y 7j Teoríade Campos 2012-13 3

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALES•b) Operadores diferenciales relacionados con nabla Sabemos: se llama operador nabla al vector simbólico: := x i+ y j+ z k= x i e i ,que resulta al abstraer el campo esc. U del gradiente U.En curv. es análogo: := x i g i = u g u + v g v + w g w (¡pero sale en covas!)u v wo sea: :i+jkx y z ugvg wgCuando actúa sobre un campo escalar da el gradiente U y la forma de tratarlo es:vector simbólico cuyas componentes se "multiplican" por U produciendo la derivadaparcial que indican. En curv. es covariante pero se entiende igual.Otros operadores: el operador se combina con otros productos * de vectores otensores y la acción del operador resultante se determina en general así: u 1º) se deriva el 2º factor• en cartes. se define: *u := ei* u: ei* xi xi 2º ) se efectua el producto q.sea i i u 1º) se deriva (deriv. covariante)• en curv. es análogo: *u := gi* u: g * i x x 2º ) se efectua el producto Casos más importantes:• op. divergencia := · • op. rotacional := × se aplica la norma general anterior y resulta:…• op. laplaciano := · = 2 |• op. gradiente-tensor: Si u = U i e i = u i g i = u i g i , se tiene:●1) divergencia de u : ·u = ...cartes.: ...=curv.: ...=Forma práctica en curv. formlº:1 i· u i gu obs: ¡ usa contras de u! g xdem: se observa: 1) u i ,i = u k , i i k = [ x i u k + u h k hi] i k = x i u i + u h i hi2) ∂ x k (±√g) = ∂ x k [g 1 , g 2 , g 3 ] = [ i 1k g i , g 2 , g 3 ] + [g 1 , i k2g i , g 3 ] + [g 1 , g 2 , i k3 g i ] == [ 1 1kg 1 ,g 2 ,g 3 ] + [g 1 , 2 2kg 2 ,g 3 ] + [g 1 ,g 2 , 3 3kg 3 ] = ±√g ( 1 1k+ 2 2k+ 3 3k) = ±√g h hky se deduce: x i(±√gu i ) = ±√g h hiu i ±√g x i u i = ±√g(u i ,i) ·u = 1/√g [x i (√gu i )],c.q.d.Ejemplos: Calcular la divergencia de: 1) F(x,y,z) =esféricas ; 3) u(, , z) = g + g + zg z (¡ ojo, u no es r !)PR2.9, apartados 4 y 9uUjUjU ix ·i i x i xj xij xx y ze · u : e· e e ·ui i i iu i i xiUUUx y zg · u : g · g · u g u u u u u ·ui i i h h i i 1 2 3x, i h , i h , i ,1 ,2 ,3xiyjzkx2y 2z2; 2) Mismo campo enTeoríade Campos 2012-13 4

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALES●2) rotacional de u = U i e i = u i g i : ×u = ...e e e u Uj Ujen cart.:… ei u ei ei ej ijkek xi xi xi xiU U U1 2 3 :x y zx y zuen curv.:u1 i :i xi i i j ijkg u g g u g u gj , i j , i gkuxhji1 ijk j1i gkgxu ... hgijk ujixgkg g g1 2 3q. conduce a la fórmla. práctica (formulº):1 uobs.: ¡covas de u!1 2 3 g x x xu u u1 2 3Ejemplos: Calcular el rotacional de los campos considerados en el ejemplo anterior:x iyjzk1) F(x,y,z) = ; y mismo ejemplo pasándolo a esféricas ;2 2 2x y z2) u(, , z) = g + g + zg z3) Otros ejercicios: PR2.9-apt.8), PR2.10, cuestión; PR2.14-i); PR2.15-iv).•3) laplaciano := ∆U := ·(U) = 2 U…en cartesianas:en curvilíneas:•4) gradiente-tensor := = …en cartesianas:2 2 2 U U UU·( U) ... 2 2 2x y z1 Ug xx ijU ·( U) g gi j Uj x i ixi i u e U e e ej j i j i j j ien curvilíneas: u g u g u g gxj ,i jobs: el diferencial de un campo vectorial u es: du = u = (u)•Reglas de actuación de los operadores sobre productos ¡formulario!Ejemplo: Calcular div(ar) siendo a un c. vectorial constante del espacio 3 .Otros ejercicios: PR2.12, PR2.10-cuestión, PR2.11…Teoríade Campos 2012-13 5

Capítulo 3 - OPERADORESDIFERENCIALESc*) Operadores diferenciales en base física curvilín.Las fórmulas para calcular los op. diferenciales de campos en base física se adaptan consencillez, cambiando las bases o componentes generales a aquélla : h i := |g i |, a = â i ê i ,√g = h u h v h w , g i = ê i /h i (para cada i), a i = â i /h i (para cada i), a i = h i â i (para cada i). Así(formulario)1 U 1 U 1 UU eˆ eˆ eˆh u h v h wu v wu v w1 ·a aˆ h h h aˆ h h h aˆhhhu v wu v wheˆ heˆ h eˆa 1 hhh u v wu v wu v w u v w u v wu u v v w whaˆ haˆ h aˆu u v v w w1 hh U hh U hhUv w u w u vU · U hu hv h w u h u u v h v v w h w w Ejemplos y ejercicios•1) ·g u y ×g u siendo {x = exp(u+v), y = exp(uv), z = w}solución: g u en contras es (1,0,0); y en covas, es g 1 = g 1j g j = (2e 2u Ch2v, 2e 2u Sh2v, 0)luego:1 2u· gu2 2 e ·10 2u2euu v wg g g1 gu ... 0 (campo irrotacional)2u2eu v w2u2u2e Ch2v 2e Sh2v0•2) Práctica 2-b):– Ejercicios: PR2.14, y PR2.15– Problemas de examen: PR2.13 , PR2.14, PR2.15 ._____________________________________Teoríade Campos 2012-13 6